Kopparstick "Melancholy I" av den västeuropeiska renässansens mest kända konstnär Albrecht Durer höljd i mystik, full av symboler och allegorier. I den otroligt lilla storleken på sin skapelse lyckades den oöverträffade gravyrmästaren kryptera så många hemliga betydelser och budskap som fortfarande leder konstkritiker till en återvändsgränd. Olika versioner av svaren på dessa mysterier finns längre fram i recensionen.
Albrecht Dürer (tyska: Albrecht Dürer, 1471-1528) - tysk målare och grafiker, den första konstteoretikern, en av de största mästarna under den nordliga renässansen, var det tredje barnet i en familj på arton födda och åtta överlevande barn. Fadern, en guldsmed, försökte från barndomen att introducera sin son till smyckeshantverket, som han själv tjänade på.
Men tvärtemot hans förväntningar blev den unge Albrecht vid femton års ålder elev till Michael Wolgemut, en ledande Nürnbergkonstnär, målare och utmärkt gravör. Från honom fick den flitige studenten de kunskaper och färdigheter som han använde under hela sin kreativa väg. Dessutom var det trä- och kopparstick som gav den unga konstnären hans första framgång. Han blev därefter en innovatör inom denna teknik. Åh målningar Durer behöver inte nämnas - det här är mästerverk av världskonst.
Dürers kunskaper om astronomi, matematik och naturvetenskap var fantastiska. Han skapade kartor över stjärnhimlen och övervakade himlakropparna från taket på sitt eget hus, där ett litet observatorium var beläget. Han beräknade värdena för det magiska torget, som först skapades i Europa, och skapade teoretiska konstverk.
"Melancholia I"
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-006.jpg" alt=" Fragment av gravyren "Melancholy I". Författare: A. Durer. ¦ Foto: kaplyasveta.ru." title="Fragment av gravyren "Melankoli I".
I mitten av kompositionen ser vi en kvinna med vingar och en krans, som personifierar Logik - det här är Durers Muse. Sitter orörlig på verandan, är hon nedsänkt i melankolisk eftertänksamhet och sorg: även om en kvinna har vingar, kan hon inte tränga in i universums mysteriums slöja. Allt som händer runt omkring sker utan hennes medverkan. Detta deprimerar henne och gör henne på ett melankoliskt humör.
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-007.jpg" alt="Fragment av gravyren "Melankoli I". Författare: A. Durer. ¦ Foto: kaplyasveta.ru." title="Fragment av gravyren "Melankoli I".
Gravyren, som mäter 23,9 x 18,8 centimeter, är övermättad med detaljer och föremål. Här kan du se sand och solur, våg, klocka, kompass, sfär, polyeder, snidad magisk fyrkant, samt konstruktionsverktyg.
Och det mest intressanta antagandet av den ryska konstkritikern Paola Volkova är versionen: gravyren föreställer inte en bevingad kvinna, utan Albrecht Durer själv med en ängels vingar, vilket dock är ganska naturligt.
Magiskt torg
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-004.jpg" alt=" Fragment av gravyren "Melancholy I". Författare: A. Durer. ¦ Foto: kaplyasveta.ru." title="Fragment av gravyren "Melankoli I".
Den första versionen: konstnären bestämde sig för att skapa flera verk som speglar melankoli, så han började numrera sina verk. Men som ni vet hade Dürer inte längre en fortsättning på serien av gravyrer tillägnad melankoli.
Den andra versionen baserades på den tidens psykologiska läror, som slog fast att det fanns tre typer av melankoliska människor. Några av dem var kreativa människor, med utvecklad fantasi, andra var politiker och vetenskapsmän, med utvecklade sinnen, och andra var människor med religion och filosofer, med utvecklad intuition. Därför skriver Durer, som ansåg sig vara en melankolisk person, i gravyren: MELENCOLIA I.
Enligt den tredje versionen: "I" är inte en romersk siffra alls, utan den latinska bokstaven "i". Och i kombination med melankoli betyder det "Kom iväg, melankoli."
Och den sista, den mest troliga. Eftersom gravyrtekniken utförs i spegelbild Dürer gjorde ett misstag när han skrev namnet, vilket inte var första gången i hans praktik. Istället för bokstaven "A" - den sista bokstaven, började han skriva bokstaven "M". Och för att rätta till sitt misstag bestämde han sig för att ta sig ur den nuvarande situationen på detta sätt.
"Melancholia I" är den sista i en serie av tre berömda "mästargravyrer" av Dürer och hans mest älskade verk. De två första är "Jerome in the Cell" och "The Knight, Death and the Devil."
I alla tre finns en karaktär: en riddare, Saint Hieronymus, en bevingad kvinna. Enligt många konstkritiker beskrev konstnären i dessa tre verk olika tillstånd i den mänskliga själen.
Du kan lära dig mer om verket "Knight, Death and the Devil" i recensionen:
XIII vetenskaplig och praktisk konferens för skolbarn
"Magiska kvadrater"
Elever i 8 A-klass
PTP Lyceum
Sholokhova Anna
Chef Anokhin M.N.
Historien om skapandet av mitt verk………………………………………………………………2
Magisk fyrkant................................................ ...................................3
Historiskt betydelsefulla magiska rutor...................4-5
KVADRAT HITTAT I KHAJURAHO(INDIEN).......6
Magiska torget i Yang Hui (Kina)........................................... ..7
Albrecht Dürers torg................................................ ............ 8
Squares av Henry E. Dudeney och Allan W. Johnson Jr.....9
Djävulens magiska fyrkant...................................10-11
REGLER FÖR ATT BYGGA MAGISKA KVADRATUR.....12
ATT UTFORMA MAGISKA KVADRATUR...................................13-15
Skapandet av Albrecht Durers magiska torg. .....17-18
Sudoku ................................................... ...........................................19-21 Kakuro ................................................... ...........................................22-23
UPPGIFTSBANK ................................................... ...............24-25
Slutsatser................................................. ...................................26 Litteratur................. ................................................... ........ .........27
Historien om skapandet av mitt verk .
Förut trodde jag inte ens att något sådant här kunde uppfinnas. Första gången jag stötte på magiska rutor var i första klass i en lärobok, de var de enklaste.
Några år senare åkte jag till havet med mina föräldrar och träffade en tjej som höll på med Sudoku. Jag ville också lära mig, och hon förklarade hur man gör. Jag gillade verkligen den här aktiviteten, och det blev min så kallade hobby.
Efter att jag erbjöds att delta i en vetenskaplig och praktisk konferens valde jag omedelbart ämnet "Magiska kvadrater". I detta arbete inkluderade jag historiskt material, varianter och regler för att skapa ett gåtaspel.
Magiskt torg.
En magisk eller magisk kvadrat är en kvadratisk tabell fylld med n tal så att summan av talen i varje rad, i varje kolumn och på båda diagonalerna är densamma. En magisk fyrkant fylld med hela nummer från 1 till n.
Magiska rutor finns för alla ordningar utom n=2, även om fallet n=1 är trivialt - kvadraten består av ett enda tal.
Summan av siffrorna i varje rad, kolumn och diagonal. Kallad magisk konstant, M. Den magiska konstanten för en normal magisk kvadrat beror endast på n och ges av formeln.
| Beställning n |
|||||||||||
De första värdena för de magiska konstanterna ges i följande tabeller.
Historiskt betydelsefulla magiska rutor.
På kinesiska gammal bok"Zhe-kim" ("Book of Permutations") innehåller en legend om att kejsar Nu, som levde för 4 tusen år sedan, såg en helig sköldpadda på flodstranden. På hennes skal fanns ett mönster av vita och svarta cirklar (Fig. 1). Om du ersätter varje figur med ett nummer som anger hur många cirklar den innehåller får du en tabell.
Detta bord har en underbar egenskap. Låt oss lägga till siffrorna i den första kolumnen: 4+3+8=15 Samma resultat kommer att erhållas när siffrorna i den andra och tredje kolumnen adderas. Det erhålls också genom att lägga till siffror från någon av de tre raderna. Inte nog med det, utan samma svar 15 erhålls om du lägger till siffrorna för var och en av de två diagonalerna: 4+5+6=8+5+2=15.
Kineserna kom förmodligen på denna legend när de hittade arrangemanget av siffror från 1 till 9 med en sådan anmärkningsvärd egenskap. De kallade teckningen "lo-shu" och började betrakta den som en magisk symbol och använda den i trollformler. Därför kallas nu vilken kvadratisk tabell som består av tal och har denna egenskap magisk kvadrat.
Figur 1
TORG FINNS I KHAJURAHO (INDIEN).
Det tidigaste unika magiska torget upptäcktes i en inskription från 1000-talet i den indiska staden Khajuraho.
Detta är den första magiska torget, som tillhör en mängd olika så kallade "djävulska" rutor.
Magiska torget i Yang Hui (Kina)
På 1200-talet tog matematikern Yang Hui upp problemet med metoder för att konstruera magiska rutor. Hans forskning fortsatte sedan av andra kinesiska matematiker. Yang Hui ansåg magiska rutor inte bara av den tredje, utan också av högre ordning.
Vissa av hans rutor var ganska komplexa, men han gav alltid regler för deras konstruktion. Han lyckades konstruera en magisk kvadrat av sjätte ordningen.
Summan av siffrorna på alla horisontella, vertikala och diagonala är 34. Denna summa finns också i alla 2x2 hörnrutor, i den centrala kvadraten (10+11+6+7), i kvadraten av hörnceller (16+13+4+1), i rutor byggda av "riddarens drag" (2+8 +9+15 och 3+5+12+14), rektanglar bildade av par av mellanceller på motsatta sidor(3+2+15+14 och 5+8+9+12). De flesta ytterligare symmetrier beror på att summan av två centralt symmetriskt placerade tal är 17.
Squares av Henry E. Dudeney och Allan W. Johnson, Jr.
Om en icke strikt naturlig serie av tal läggs in i en kvadratisk n x n matris, är denna magiska kvadrat icke-traditionell. Nedan finns två sådana magiska rutor, mestadels fyllda primtal. Den första (fig. 3) har ordningen n=3 (Dudeney square); den andra (fig. 4) (storlek 4x4) är en Johnson-ruta. Båda utvecklades i början av nittonhundratalet.
Fig.3 Fig.4
Djävulens magiska kvadrat- en magisk kvadrat, där summan av siffror längs brutna diagonaler (diagonaler som bildas när kvadraten vikas till torus)åt båda hållen.
Sådana rutor kallas också pandiagonal .
Det finns 48 4x4 djävulska magiska rutor med rotations- och reflektionsprecision. Om vi också tar hänsyn till deras ytterligare symmetri - toriska parallella översättningar, återstår bara 3 signifikant olika kvadrater:
Ris. 5 fig. 6
Det har dock bevisats att (fig. 7) de enklaste permutationerna av tal ger de två första kvadraterna (fig. 5, 6). Det vill säga, det tredje alternativet är en grundläggande diabolisk kvadrat, från vilken alla andra kan konstrueras med hjälp av olika transformationer.
Pandiagonala kvadrater finns för udda ordning n>3, för vilken dubbel paritetsordning som helst n=4k (k=1,2,3...) och finns inte för enkel paritetsordning n=4k+2 (k=1,2, 3...).
Pandiagonala kvadrater av fjärde ordningen har ett antal ytterligare egenskaper som de kallas för perfekt. Det finns inga perfekta pandiagonala rutor av udda ordning. Bland pandiagonala kvadrater med paritet högre än 4 finns perfekta sådana.
Det finns 3600 pandiagonala kvadrater av femte ordningen. Med hänsyn till toriska parallella översättningar finns det 144 olika pandiagonala kvadrater. En av dem visas nedan.
REGLER FÖR ATT KONSTRUERA MAGISKA KVADRATUR
Reglerna för att konstruera magiska rutor är indelade i tre kategorier beroende på om kvadratens ordning är udda, lika med två gånger ett udda tal eller lika med fyra gånger ett udda tal. En allmän metod för att konstruera alla rutor är okänd, även om olika scheman används i stor utsträckning.
Det är möjligt att hitta alla magiska kvadrater av ordningen n endast för n=3,4, därför är speciella procedurer för att konstruera magiska kvadrater för n>4 av stort intresse.Den enklaste konstruktionen är för en magisk kvadrat av udda ordning. Du måste sätta ett tal i cellen med koordinater (x,y).
Det är ännu enklare att konstruera det på följande sätt: ta en n x n-matris. En trappad romb byggs inuti den. I den är cellerna från vänster till toppen längs diagonalerna fyllda med en sekventiell serie av nummer. Värdet på den centrala cellen C bestäms.
Sedan i hörnen av den magiska kvadraten kommer värdena att vara som följer: övre högra cell C-1; nedre vänstra cell C+1; nedre högra cell C-n; övre vänstra cellen C+n.
ATT UTFORMA MAGISKA KVADRATUR.
Hur görs magiska rutor?
Skapandet av den magiska torget "Lo-Shu".
Uppgift: En 3x3 kvadrat, uppbyggd av siffror från 1 till 9, så att summan av talen i varje rad, kolumn och diagonal är lika.
Lösning: Låt oss lösa problemet utan att gå igenom alla permutationer av 9 siffror i 9 celler efter varandra (antalet sådana arrangemang är 362880). Låt oss tänka så här. Summan av alla tal från 1 till 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Det betyder att i varje rad och i varje kolumn ska summan av talen vara lika med: 45:3=15. Men om du summerar alla siffror i den andra kolumnen och raden och i båda diagonalerna, kommer varje nummer att dyka upp en gång, med undantag för det centrala, som kommer att dyka upp fyra gånger. Det betyder att om vi betecknar det centrala talet med x, så måste likheten 4*15=3x+3*15 gälla. Därför x=5, det vill säga siffran 5 ska vara i mitten av tabellen.
Notera nu att siffran 9 inte kan visas i bordets hörn, säg i det övre vänstra hörnet. När allt kommer omkring, i det motsatta hörnet skulle det finnas siffran 1, och för den första raden och kolumnen skulle det finnas en kombination kvar - siffrorna 4 och 2. Det betyder att 9 är i mitten av några yttre rader eller kolumner ( i vår, mitt på första raden). De andra två siffrorna i den här raden är 4 och 2, och den tredje siffran i mittenkolumnen ska vara 15-9-5=1. Siffrorna 8 och 6 ska stå på samma rad med 1. Därmed är den magiska kvadraten nästan fylld och det är lätt att hitta en plats för de återstående siffrorna. Resultatet är en "Lo-Shu"-ruta.
Naturligtvis kan du för 9 välja andra tre platser, och efter att ha valt en plats för detta nummer finns det två möjligheter för placeringen av siffrorna 4 och 2. Totalt får du 4 * 2 = 8 olika magiska rutor av tre rader och tre kolumner (eller, som matematiker säger, kvadrater av tredje ordningen). Alla dessa rutor kan erhållas på "Lo-Shu" antingen genom att rotera kvadraten med 180,90 eller 270. Ett spegelbildsalternativ är också möjligt.
Fyrkant
"Lo-Shu"
| 4 |
9 |
2 |
| 3 |
5 |
7 |
| 8 |
1 |
6 |
Skapa en magisk fyrkant
Albrecht Durer.
Uppgift : Skapa en 4x4 magisk kvadrat av siffrorna 1 till 16, så att summan av siffrorna i varje rad, kolumn och diagonal är lika.
Lösning: Summan av alla tal från 1 till 16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Det betyder att i varje rad och i varje kolumn ska summan av talen vara lika med: 136:4 = 34. Men om du summerar alla siffror, för det andra, i kolumnen och raden och i båda diagonalerna, kommer varje nummer att visas en gång, med undantag för de centrala, som kommer att visas två gånger. Dessa nummer kommer att vara 10,11,6,7. Sedan kommer vi att leverera de återstående siffrorna 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 till de återstående cellerna
Albrecht Durer-torget
Sudoku.
Översatt från japanska betyder "su" "siffra" och "doku" betyder "stå ensam".
Det finns ingen anledning att gissa eller fördjupa sig i böcker - bara logik och uppmärksamhet!
Uppgift: Fyll i de tomma cellerna med siffror från 1 till 9 så att numret inte upprepas i någon rad, någon kolumn och i vart och ett av de 9 3x3-blocken.
Lösning: steg 1
Låt oss titta på den markerade raden. Den saknar bara två nummer: 1 och 2. Låt oss titta på den första tomma cellen till höger. Kan vi lägga 1 där? Nej. Eftersom denna kolumn redan har 1, och dessa siffror kan inte upprepas i kolumnen. Det betyder att vi bara kan passa 2 i den här cellen. Vi kommer att göra det. Nu behöver vi bara skriva in siffran 1 i den tomma, sista cellen i den här raden, och raden är klar.
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
8 |
7 |
||||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
3 |
1 |
|||||
| 3 |
7 |
4 |
5 |
2 |
Låt oss titta på den valda kolumnen: den saknar också bara två siffror - 2 och 7. Vi kan inte ange siffran 7 i den första tomma cellen från toppen av denna kolumn, eftersom det redan finns ett nummer 7 i raden som skär kolumnen. Men vi kan skriva in det i nummer 2, vilket är vad vi gör! Och för siffran 7 finns det bara en tom
cellen i denna kolumn är den andra cellen från botten. Skriv gärna siffran 7 i den - spalten är fylld!
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Nåväl, låt oss nu ta en titt på det centrala blocket av celler: det finns bara en tom cell kvar i den, det vill säga bara ett nummer saknas. Låt oss titta noga - det här är nummer 9, eftersom alla andra nummer redan är på plats. Vi skriver siffran 9 i cellen igen ... och igen "titta runt" - och igen har vi en rad och en kolumn. Där två siffror saknas. Vad kommer härnäst? Svaret hittar vi själva - steg 1, steg 2...
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Datanummer.
| 1 |
9 |
2 |
3 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
| 8 |
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
7 |
| 6 |
4 |
7 |
8 |
9 |
5 |
2 |
3 |
1 |
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 9 |
2 |
6 |
4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
9 |
7 |
6 |
3 |
| 2 |
6 |
9 |
5 |
1 |
8 |
3 |
7 |
4 |
| 4 |
5 |
8 |
7 |
3 |
2 |
9 |
1 |
6 |
| 3 |
Det magiska torget, som återges av den tyske konstnären Albrecht Durer i gravyren "Melankoli", är känt för alla forskare av magiska rutor.
Fyrkant i sin vanliga form (bild 6.1):
Figur 6.1
Intressant nog utgör de två mittersta siffrorna i den sista raden av torget (de är markerade) året då gravyren skapades - 1514.
Man tror att detta torg, som så fascinerade Albrecht Durer, kom till Västeuropa från Indien till tidiga XVIårhundrade. I Indien var detta torg känt under 1:a århundradet e.Kr.
Man tror att magiska rutor uppfanns av kineserna, eftersom det tidigaste omnämnandet av dem finns i ett kinesiskt manuskript skrivet 4000-5000 f.Kr. Så gamla magiska rutor är!
Låt oss nu överväga alla egenskaperna hos detta fantastiska torg. Men vi kommer att göra detta på ett annat torg, vars grupp inkluderar Durer-torget.
Det betyder att Dürer-torget erhålls från kvadraten som vi nu kommer att betrakta genom en av de sju huvudsakliga transformationerna av magiska kvadrater, nämligen en rotation på 180 grader. Alla 8 rutor som utgör denna grupp har egenskaper som nu kommer att listas, bara i egenskap 8 för vissa rutor kommer ordet "rad" att ersättas med ordet "kolumn" och vice versa.
Du kan se huvudtorget för denna grupp i fig. 6.2.
Figur 6.2
Egenskaper för denna kvadrat:.
Fastighet 1. Denna kvadrat är associativ, det vill säga varje par av tal som är symmetriskt placerade i förhållande till kvadratens mitt ger en summa 17=1+n2.
Fastighet 2. Summan av talen i kvadratens hörnceller är lika med kvadratens magiska konstant - 34 .
Fastighet 3. Summan av siffrorna i varje hörn 2x2 kvadrat, såväl som i den centrala 2x2 kvadraten, är lika med den magiska konstanten för kvadraten.
Fastighet 4. Den magiska konstanten för en kvadrat är lika med summan av talen på motsatta sidor av de två centrala 2x4 rektanglarna, nämligen: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Fastighet 5. Den magiska konstanten för en kvadrat är lika med summan av siffrorna i cellerna markerade av rörelsen schackriddare, nämligen: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 och 4+10+13+7=34.
Fastighet 6. Den magiska konstanten för en kvadrat är lika med summan av talen i motsvarande diagonaler av de 2x2 hörnrutorna intill kvadratens motsatta hörn.
Till exempel, i 2x2 hörnrutorna, som är markerade i fig. 4, summan av siffrorna i det första paret av motsvarande diagonaler: 1+7+10+16=34 (detta är förståeligt, eftersom dessa tal är placerade på själva kvadratens huvuddiagonal). Summan av talen i det andra paret av motsvarande diagonaler: 14+12+5+3=34.
Fastighet 7. Den magiska konstanten för kvadraten är lika med summan av siffrorna i cellerna markerade av ett drag som liknar draget för en schackriddare, men med en långsträckt bokstav G. Jag visar dessa siffror: 1+9+8+16= 34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34, 4+3+14+13=34.
Fastighet 8. I varje rad av kvadraten finns ett par intilliggande tal, vars summa är 15, och ett annat par intilliggande tal, vars summa är 19. I varje kolumn i kvadraten finns ett par intilliggande tal, summan av vilka är 13, och ett annat par av också intilliggande tal , vars summa är 21. hjärncell kvadrat sudoku
Fastighet 9. Summorna av kvadraterna av talen i de två yttre raderna är lika med varandra. Detsamma kan sägas om summan av kvadraterna av talen i de två mittersta raderna. Ser:
12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438
122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310
Siffror i kolumnerna i en kvadrat har en liknande egenskap.
Fastighet 10. Om vi skriver in en kvadrat med hörn i mitten av sidorna i den aktuella kvadraten (Fig. 6.3), då:
- · summan av talen som finns längs ett par motsatta sidor av en inskriven kvadrat är lika med summan av talen som finns längs det andra paret av motsatta sidor, och var och en av dessa summor är lika med kvadratens magiska konstant;
- Summorna av kvadrater och summor av kuber av de angivna talen är lika:
- 122 + 142 + 32 + 52 = 152 + 92 + 82 + 22 = 374
- 123 + 143 + 33 + 53 = 153 + 93 + 83 + 23 = 4624
Figur 6.3
Dessa är egenskaperna hos den magiska kvadraten i fig. 5.2
Det bör noteras att i en associativ kvadrat, som är kvadraten i fråga, kan du också utföra sådana transformationer som att omarrangera symmetriska rader och/eller kolumner. Till exempel, i fig. 5.4 visar en kvadrat erhållen från kvadraten i fig. 4 genom att arrangera om de två mittersta kolumnerna.
Figur 6.4
I de nya associativa kvadraterna som erhålls genom sådana transformationer är inte alla ovan angivna egenskaper uppfyllda, men många av fastigheterna håller. Läsare uppmanas att kontrollera uppfyllandet av egenskaperna i torget som visas i Fig. 6.4.
Det finns en gravyr "Melankoli", som ägs av den tyske konstnären Albrecht Durer, som är mer känd för matematiker och ockultister än för målarintresserade.
Åtminstone - du kan kolla detta - har det skrivits väldigt lite om det på Internet. Men det här är en riktigt cool grej. Och den enda mer eller mindre detaljerade källan är Dan Browns bok "The Lost Symbol".
Jag läste den här boken och varken handlingen eller kvadraten fastnade i mitt huvud. Och så dök det plötsligt upp från ett oväntat håll.
Gravering "Melankoli" - var uppmärksam på torget i det övre högra hörnet:
Här är den större:
Kärnan i alla "magiska rutor" är i allmänhet tydlig: summan av kolumnerna och diagonalerna är lika med ett antal. Så det är här. Detta nummer är 34. Men faktum är att detta nummer förekommer i absolut ALLA scenarion. Summan av den övre vänstra kvadraten är 34, detsamma gäller för de övre högra, nedre högra och nedre vänstra små kvadraterna. Och även det centrala torget - 10+11+6+7=34. Och även, om du lägger till hörnsiffrorna 16,13, 4 och 1, får du också 34.
Och också, om du börjar lägga en linje från 1 till 16, får du denna absolut symmetriska (och i en spegelrelation!) figur:
Och längst ner indikerar siffrorna 15 och 14 datumet för skapandet av gravyren - 1514. Och siffrorna i de nedre hörnen - 4 och 1 - är de digitala beteckningarna på konstnärens initialer: D A - Dürer Albrecht.
All denna matematiska "palmistry", enligt vissa, indikerar att Dürer skapade sin ruta inte genom att peta eller plocka, utan genom att använda andra mått. I betydelsen - att gå bortom 3 dimensioner och.... på något sätt på den sjunde dimensionella(????) nivån?…. Kanske med hjälp av den sk "conchoids" eller "snäckor", som Dürer kallade det (i sin matematiska monografi "Guide to Measuring with Compass and Ruler", publicerad 1525) och som han var författare till, skapade han sin "magiska kvadrat".
"Conchoid":
Och var uppmärksam på stenen i gravyren - en parallellepiped stympad i två hörn, vars sidoytor är 2 vanlig triangel och 6 femhörningar:
Robert Langdon, den symbolistiska detektiven i Dan Browns The Lost Symbol, lägger över det 16-siffriga chifferet från basen av frimurarpyramiden på Durer-torget och tar emot dekrypteringen:
det vill säga JEOVA SANCTUS UNUS - den Ende Sanne Guden.
Dürer tillhörde med all sannolikhet en viss Hemligt sällskap. Och kanske hade han någon hemlig helig kunskap...
Eller kanske det här är en bluff?!...
Låt oss rita 16 celler och placera siffror från 1 till 16 i dem i ordning. Nu är det bara att byta 1 och 16, 4 och 13 (dessa är hörnen), 6 och 10 och 7 och 11 (fyrkanten i mitten). Och även 2 och 3 och 14 och 15 som står bredvid varandra.
VOILA! Detta är den magiska kvadraten av den coolaste graden. Bara? Bara! Men gissa vad och hur man ändrar... Å andra sidan kan den absoluta symmetrin för att ersätta siffror inte annat än antyda lösningens enkelhet och universalitet. Eller är det lätt för oss att resonera nu, men Dürer behövde använda sin conchoid (se ovan) för att förstå hur och vad man skulle byta plats?...
Korrigeringen i gravyren, som Dürer AVSIKTIGT lämnade så uppenbar, kan ses med blotta ögat:
När du byter ut siffrorna i kvadraten som ritats för oss från 1 till 16 i ordning, förblir endast sidan 5 och 9 till vänster och 8 och 12 till höger oförändrade. Från början ville Dürer också byta dem, men det visade sig vara onödigt. Varför lämnade han sitt misstag för alla att se? Visa mig hur dina tankar fungerar? Fåfänga? Och årtalet 1514, som passar så bra in på torget, är också en merit eller väntade konstnären helt enkelt på önskat datum för större effekt, efter att ha tänkt igenom all matematik tidigare?))
Kanske så. Även den högre matematikens fält kan förklaras med fåfänga hos en konstnär som ansåg sig vara stilig och regelbundet målade sina självporträtt så att alla kunde beundra honom.
Återvänder till Melancholia, magiska rutor och det ockulta. Gravyren skrevs för kejsar Maximilian I (för de som vet, make till Maria av Bourgogne, svärson till Karl den djärve och farfar till kejsar Karl V).
Här är hans porträtt, också av Durer:
Maximilian ansåg sig vara melankolisk. Under medeltiden (och även nu) trodde man att melankoliska människor var influerade av planeten Saturnus. Den magiska fyrkanten var tänkt att vara en slags talisman som skulle avvärja Saturnus mörka inflytande, samtidigt som den attraherade Jupiters mer positiva energi.
Generellt kan du skriva mycket om denna gravyr. Du kan fortfarande överväga alla attribut - men det är till en annan gång. I det här fallet verkade matematik mer intressant för mig än att måla.
Baserat på en teoretisk analys av 4×4 pandiagonala kvadrater, visas deras "struktur"-egenskaper: invarianterna av strukturen av 4×4 pandiagonala kvadrater är par av nummer som totalt är lika med ett av de två Fibonacci-talen - 13 eller 21. Det avslöjas att varje variant av uppsättningen av sex siffror av detta och att det finns 51 liknande pandiagonala kvadrater 4x4 som bildar en kontinuerlig symmetrisk konfiguration. En geometrisk figur "kub i en kub" har konstruerats, som har egenskaperna för "gyllene symmetri". ” av pandiagonala rutor 4x4. Alla antal diagonaler i en kub har egenskaperna för "gyllene symmetri" (två siffror bildas i ett fall - det totala antalet är 13, i ett annat - 21), och alla plan som har 4 vinklar (tal) av både inre och yttre rutor geometrisk figur bildar ett totalt Fibonacci-tal på 34.
Introduktion
Baserat på en teoretisk analys av Khajuraho, Dürer-rutor och liknande 4x4-rutor, har särdragen i deras "struktur" identifierats: invarianterna för strukturen av pandiagonala 4x4-rutor är par av tal som i summa är lika med ett av de två Fibonacci-talen - 13 eller 21.
En magisk kvadrat är en n×n kvadratisk tabell fylld med n 2 olika tal så att summan av talen i varje rad, varje kolumn och på båda diagonalerna är densamma. Den tidigaste unika 4x4 magiska torget upptäcktes i en inskription från 1000-talet i den indiska staden Khajuraho. Den 4x4 kvadraten som avbildas i Albrecht Durers gravyr "Melankoli" anses vara den tidigaste inom europeisk konst (1514). Summan av siffrorna för en Durer-ruta på en horisontell, vertikal och diagonal är 34. Denna summa finns också i alla 2x2 hörnrutor, i den centrala fyrkanten, i kvadraten av hörnceller, i rutor byggda av "riddarens drag" ” (2+12+15 +5 och 3+8+14+9), vid hörnen av rektanglar parallella med diagonalerna (2+8+15+9 och 3+12+14+5), i rektanglar som bildas av par av mellanceller på motsatta sidor (3+2 +15+14 och 5+8+9+12). De flesta ytterligare symmetrier uppstår från det faktum att summan av två centralt symmetriskt placerade tal är 17.
Det finns 48 pandiagonala 4x4 rutor med rotations- och reflektionsprecision. Om vi också tar hänsyn till symmetrin med avseende på toriska parallella översättningar, så återstår bara 3 signifikant olika kvadrater (Figur 2).
Huvudsak
Jag analyserade "strukturen" av 4x4 pandiagonala rutor och identifierade de oföränderliga delarna av deras struktur (Figur 3). Invarianterna av strukturen av 4x4 pandiagonala kvadrater är par av tal som är lika i summa som ett av två Fibonacci-tal - 13 eller 21. Olika alternativ för att symmetriskt kombinera dessa talpar bildar en uppsättning av 4x4 pandiagonala kvadrater.
Dürer-torget (och liknande 4x4 pandiagonala rutor) har gyllene snittsymmetri. Till exempel i figur 4 visar röda och blå rutor varianter av symmetrier, där det aritmetiska medelvärdet av summan av kvadraternas röda komponenter i möjliga positioner (4 eller 2, när de roterar i olika riktningar) är 51. Alltså, summan av kvadratens alla tal är 136, varav 85 är blå, 51 är röda. 136/85=1,6; 85/51=1,667.
Baserat på Dürer-torget, konstruerade vi en geometrisk figur "kub i en kub", som har symmetriegenskaperna hos pandiagonala 4×4-rutor (Figur 5). En sådan "förvandling" blev möjlig genom att placera de vertikala kolumnerna av numren på Dürer-torget under viss vinkel, vilket bildar en kub i en kub. Samtidigt har alla antal diagonaler i kuben egenskaperna för "gyllene symmetri" (två siffror bildas i ett fall - det totala antalet är 13, i det andra - 21), och alla plan som har 4 vinklar ( antal) av både de inre och yttre kvadraterna av den konstruerade figuren bildar ett totalt Fibonacci-tal på 34.
Slutsats
- Baserat på en teoretisk analys av 4x4 pandiagonala rutor, visas deras "struktur"-egenskaper: invarianterna för strukturen av 4x4 pandiagonala kvadrater är par av nummer lika med summan av ett av två Fibonacci-tal - 13 eller 21.
- Det har avslöjats att varje version av uppsättningen av sex siffror av Dürer-torget och liknande pandiagonala 4x4-rutor, som bildar en kontinuerlig symmetrisk konfiguration, är lika med det totala antalet - 51.
- En geometrisk figur "kub i en kub" har konstruerats, som har egenskaperna för "gyllene symmetri" hos pandiagonala 4x4 rutor. Alla antal diagonaler i en kub har egenskaperna för "gyllene symmetri" (två siffror bildas i ett fall - det totala antalet är 13, i det andra - 21), och alla plan har 4 vinklar (tal) av både den interna och yttre kvadrater av en geometrisk figur form i Det totala Fibonacci-talet är 34.
Om du hittar ett fel, markera en text och klicka Ctrl+Enter.
