Hitta volym med integral online. Beräkning av volymen av en kropp som bildas genom rotation. Hur man hittar volymen av en rotationskropp med hjälp av en integral

I en flervägskanal är det nödvändigt att minska påverkan av fördröjda strålar, till exempel genom att använda följande schema:

Varje linjeelement fördröjer signalen med en tid A. Låt oss anta att när en enda puls sänds, tar mottagaren emot 3 pulser med ett amplitudförhållande på 1: 0,5: 0,2, efter med lika tidsintervall Δ. Denna signal x(t) beskrivs av läsningar: X 0 = 1, X 1 = 0.5, X 2 = 0.2.

Signalen vid filterutgången erhålls genom summering, med viktningskoefficienter b 0 , b 1 , b 2, signaler x(t) och dess försenade kopior:

alternativ b i måste väljas så att filterutgången tar emot sampel y 0 = 1, y 1 = y 2 = 0 för ingångssampel 1, 0,5, 0,2:

Lösning b 0 = 1, b 1 = – 0.5, b 2 = 0,05. Med dessa viktningskoefficienter

I det betraktade exemplet beräknas utjämnarparametrarna med användning av kanalens kända impulssvar. Denna egenskap bestäms av kanalens svar på en "träningssekvens" (inställning) som är känd för mottagaren. Med en stor överskottsfördröjning och en hög nivå av flervägssignalkomponenter måste längden på träningssekvensen, antalet fördröjningselement i filtret och signalsamplingsfrekvensen vara ganska stora. Därför att den verkliga kanalen är inte stationär, bestämningen av dess egenskaper och korrigeringen av filterparametrar måste upprepas med jämna mellanrum. När filtret blir mer komplext ökar dess anpassningstid.

Identifiering av kanalegenskaper

Korrelationsmetod för identifiering av impulssvar

Filterutgång

Låt impulssvaret beskrivas med tre exempel:

Kriterium för modelltillräcklighet – minsta felvarians

Minsta avvikelsevillkor

eller

Detta system, skrivet i allmän form

är en diskret form av att skriva Wiener-Hopf-ekvationen

För signal x(t) av vitbrustyp R x(τ) ≈ 0,5 N 0 δ(τ),

och utvärderingen av impulssvaret reduceras till att bestämma korrelationsfunktionen R zx (τ).

Equalizer med bakåtkanalsvar

Att känna till kanalegenskaperna är inte nödvändigt för dess inriktning. Filterparametrar kan väljas baserat på minimivarianskriteriet D e fel e(t) = x(t) – x*(t), Var x(t) – träningssekvens som sänds över en kommunikationskanal och genereras i mottagaren.

Ideal utjämning av kanalkarakteristiken (vid H k (ω) H f (ω) = 1) kan vara oönskad om kanalens frekvenssvar har djupa fall: korrigeringsfiltret kommer att kräva en mycket stor förstärkning vid frekvenser som motsvarar nollorna av kanalöverföringsfunktionen, och bruset kommer att öka.

Hur Viterbi equalizer fungerar

Signal z(t), som tas emot när träningssekvensen överförs x(t), matas till ett filter som matchas med avstämningssekvensen. Utsignalen från det matchade filtret kan betraktas som en uppskattning av kanalimpulssvaret.

En signal som representerar en sekvens av n bit. Alla 2 n möjliga binära sekvenser som skulle kunna sändas genereras vid mottagaren och passerar genom ett filter - en kanalmodell. Den sekvens vars filtersvar skiljer sig minst från den mottagna signalen väljs.

Volymen av en rotationskropp kan beräknas med hjälp av formeln:

I formeln måste talet finnas före integralen. Så blev det - allt som kretsar i livet är kopplat till denna konstant.

Jag tror att det är lätt att gissa hur man sätter gränserna för integration "a" och "be" från den färdiga ritningen.

Funktion... vad är denna funktion? Låt oss titta på ritningen. Den platta figuren avgränsas av parabelgrafen överst. Det här är funktionen som antyds i formeln.

I praktiska uppgifter kan ibland en platt figur placeras under axeln. Detta förändrar ingenting - integranden i formeln är kvadratisk: alltså integralen är alltid icke-negativ , vilket är väldigt logiskt.

Låt oss beräkna volymen av en rotationskropp med denna formel:

Som jag redan har noterat visar sig integralen nästan alltid vara enkel, det viktigaste är att vara försiktig.

Svar:

I ditt svar ska du ange dimensionen - kubikenheter. Det vill säga, i vår rotationskropp finns det ungefär 3,35 "kuber". Varför kubik enheter? Eftersom den mest universella formuleringen. Det kan finnas kubikcentimeter, det kan finnas kubikmeter, det kan finnas kubikkilometer, etc., det är hur många gröna män din fantasi kan lägga i ett flygande tefat.

Exempel 2

Hitta volymen av en kropp som bildas genom rotation runt axeln av en figur som begränsas av linjer,

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Låt oss överväga två till komplexa uppgifter, som också ofta förekommer i praktiken.

Exempel 3

Beräkna volymen av kroppen som erhålls genom att rotera runt abskissaxeln på figuren avgränsad av linjerna ,, och

Lösning: Låt oss på ritningen avbilda en platt figur avgränsad av linjerna ,,,, utan att glömma att ekvationen definierar axeln:

Den önskade figuren är skuggad i blått. När den roterar runt sin axel visar det sig vara en surrealistisk munk med fyra hörn.

Låt oss beräkna volymen av rotationskroppen som skillnad i kroppsvolymer.

Låt oss först titta på figuren inringad i rött. När den roterar runt en axel erhålls en stympad kon. Låt oss beteckna volymen av denna stympade kon med.

Tänk på figuren som är inringad grön. Vrider du denna figur runt axeln får du också en stympad kon, bara lite mindre. Låt oss beteckna dess volym med.

Och uppenbarligen är skillnaden i volym exakt volymen på vår "munk".

Vi använder standardformeln för att hitta volymen av en rotationskropp:

1) Figuren inringad i rött avgränsas ovanför av en rät linje, därför:

2) Figuren inringad i grönt är avgränsad ovanför av en rät linje, därför:

3) Volym av önskad rotationskropp:

Svar:

Det är märkligt att i det här fallet kan lösningen kontrolleras med hjälp av skolformeln för att beräkna volymen av en trunkerad kon.

Själva beslutet skrivs ofta kortare, ungefär så här:

Låt oss nu vila lite och berätta om geometriska illusioner.

Människor har ofta illusioner förknippade med volymer, vilket uppmärksammades av Perelman (en annan) i boken Underhållande geometri. Titta på den platta figuren i det lösta problemet - det verkar vara litet i ytan och volymen på rotationskroppen är drygt 50 kubikenheter, vilket verkar för stort. Förresten, den genomsnittliga personen dricker motsvarande ett rum med 18 kvadratmeter vätska i hela sitt liv, vilket tvärtom verkar vara en för liten volym.

I allmänhet var utbildningssystemet i Sovjetunionen verkligen det bästa. Samma bok av Perelman, utgiven redan 1950, utvecklar mycket väl, som humoristen sa, tänkande och lär dig att leta efter originella, icke-standardiserade lösningar på problem. Jag läste nyligen om några av kapitlen med stort intresse, jag rekommenderar det, det är tillgängligt även för humanister. Nej, du behöver inte le för att jag erbjöd en ledig tid, kunskap och breda vyer i kommunikation är en fantastisk sak.

Efter en lyrisk utvikning är det bara lämpligt att lösa en kreativ uppgift:

Exempel 4

Beräkna volymen av en kropp som bildas genom rotation kring axeln av en platt figur avgränsad av linjer,, där.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Observera att alla fall förekommer i bandet, med andra ord är färdiga gränser för integration faktiskt givna. Rita graferna för trigonometriska funktioner korrekt, låt mig påminna dig om lektionsmaterialet om geometriska transformationer av grafer : om argumentet delas med två: , så sträcks graferna ut längs axeln två gånger. Det är lämpligt att hitta minst 3-4 poäng enligt trigonometriska tabeller för att slutföra ritningen mer exakt. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen. För övrigt kan uppgiften lösas rationellt och inte särskilt rationellt.

En cylinder är en enkel geometrisk kropp som erhålls genom att rotera en rektangel runt en av dess sidor. En annan definition: en cylinder är en geometrisk kropp som begränsas av en cylindrisk yta och två parallella plan som korsar den.

cylindervolymformel

Om du vill veta hur man beräknar volymen av en cylinder, då är allt du behöver göra att hitta höjden (h) och radien (r) och koppla in dem i formeln:

Om du tittar noga på denna formel kommer du att märka att (\pi r^2) är formeln för arean av en cirkel, och i vårt fall, arean av basen.

Därför kan formeln för volymen av en cylinder skrivas i termer av basarea och höjd:

Vår online-kalkylator hjälper dig att beräkna volymen på en cylinder. Ange bara de angivna parametrarna för cylindern och få dess volym.

ditt märke

[Betyg: 168 Genomsnitt: 3,4]

Volym av en cylinderformel (med basradie och höjd)

(V=\pi r^2 h), där

r är radien för cylinderbasen,

h - cylinderhöjd

Volym av en cylinderformel (via basarea och höjd)

S är arean av cylinderbasen,

h - cylinderhöjd

Cylindervolymberäknare online

Hur man hittar volymen av en rotationskropp med hjälp av en integral

Med hjälp av en bestämd integral kan du inte bara beräkna områden av plana figurer, men också volymerna av kroppar som bildas av dessa figurers rotation kring koordinataxlar.

En kropp som bildas genom rotation runt Ox-axeln av en krökt trapets som avgränsas ovanifrån av grafen för funktionen y= f(x) har en volym

På liknande sätt uttrycks volymen v för en kropp som erhålls genom rotation runt ordinataaxeln (Oy) för en krökt trapets med formeln

När vi beräknade arean för en plan figur lärde vi oss att områdena för vissa figurer kan hittas som skillnaden mellan två integraler där integranderna är de funktioner som begränsar figuren uppifrån och under. Detta liknar situationen med vissa rotationskroppar, vars volymer beräknas som skillnaden mellan volymerna för två kroppar; sådana fall diskuteras i exempel 3, 4 och 5.

Exempel 1.

Hitta volymen av kroppen som bildas genom rotation runt abskissaxeln (Ox) av figuren som begränsas av hyperbeln, abskissaxeln och linjerna ,.

Lösning. Vi hittar volymen av en rotationskropp med formel (1), där , och gränserna för integration a = 1, b = 4:

Exempel 2.

Hitta volymen av en sfär med radien R.

Lösning. Låt oss betrakta en boll som en kropp som erhålls genom att rotera runt abskissaxeln i en halvcirkel med radien R med centrum i origo. Sedan i formel (1) kommer integrandfunktionen att skrivas i formen , och integrationsgränserna är -R och R. Följaktligen,

Har du inte tid att fördjupa dig i lösningen?

Du kan beställa ett jobb!

Exempel 3. Hitta volymen av kroppen som bildas genom rotation runt abskissaxeln (Ox) på figuren som är innesluten mellan parabolerna och .

Låt oss föreställa oss den erforderliga volymen som skillnaden i volymen av kroppar som erhålls genom att rotera de kurvlinjära trapetserna ABCDE och ABFDE runt abskissaxeln. Vi hittar volymerna av dessa kroppar med formeln (1), där integrationsgränserna är lika med och är abskissorna för punkterna B och D i parabolernas skärningspunkt. Nu kan vi hitta kroppens volym:

Exempel 4.

Beräkna volymen av en torus (en torus är en kropp som erhålls genom att rotera en cirkel med radie a runt en axel som ligger i dess plan på ett avstånd b från cirkelns centrum ().

Till exempel har en ratt formen av en torus).

Lösning. Låt cirkeln rotera runt Ox-axeln (Fig.

Formler för ytor och volymer av geometriska figurer

20). Volymen av en torus kan representeras som skillnaden i volymen av kroppar som erhålls från rotationen av kurvlinjära trapets ABCDE och ABLDE runt Ox-axeln.

Cirkelns ekvation LBCD är

och ekvationen för BCD-kurvan

och ekvationen för BLD-kurvan

Med hjälp av skillnaden mellan kropparnas volymer får vi uttrycket för volymen av torus v

Exempel 5.

Hitta volymen av kroppen som bildas genom rotation runt ordinataaxeln (Oy) av figuren som avgränsas av linjerna och.

Låt oss föreställa oss den erforderliga volymen som skillnaden mellan volymerna av kroppar som erhålls genom att rotera runt ordinataaxeln för triangeln OBA och den kurvlinjära trapetsen OnBA.

Vi hittar volymerna av dessa kroppar med formel (2). Integrationsgränserna är och - ordinaterna för punkterna O och B i skärningspunkten mellan parabeln och den räta linjen.

Således får vi kroppens volym:

Förstasidan

Gör testet på ämnet Integral

Början av ämnet "Integral"

Obestämd integral: grundläggande begrepp, egenskaper, tabell över obestämda integraler

Hitta den obestämda integralen: början, exempel på lösningar

Metod för att ändra en variabel i en obestämd integral

Integration genom att subsumera differentialtecknet

Metod för integrering av delar

Integrering av bråk

Integration av rationella funktioner och metoden för obestämda koefficienter

Integrering av några irrationella funktioner

Integrering av trigonometriska funktioner

Definitiv integral

Arean av en plan figur med hjälp av en integral

Felaktiga integraler

Beräkning av dubbla integraler

Båglängd på en kurva med integral

Ytarea av revolution med integral

Bestämma en krafts arbete med hjälp av en integral

Bästa spjälsängen i matte. Kvalitativ. Inget extra.

Volym geometrisk figur - en kvantitativ egenskap hos det utrymme som upptas av en kropp eller ett ämne. Volymen av ett kärls kropp eller behållare bestäms av dess form och linjära dimensioner.