Det visas hur man känner igen en generaliserad homogen differentialekvation. En metod för att lösa en generaliserad homogen differentialekvation av första ordningen övervägs. Ett exempel ges detaljerad lösning en sådan ekvation.
InnehållDefinition
Den generaliserade första ordningens homogena differentialekvation är formens ekvation:, där ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funktion.
Hur man avgör om en differentialekvation är en generaliserad homogen
För att avgöra om en differentialekvation är en generaliserad homogen, måste vi införa en konstant t och göra substitutionen:
y → t α y , x → t x .
Om vi lyckas välja ett sådant värde α där konstanten t kommer att minska, så är detta - generaliserad homogen differentialekvation. Förändringen av derivatan y′ under en sådan ersättning har formen:
.
Exempel
Bestäm om det är det given ekvation generaliserad homogen:
.
Vi gör ändringen y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 y′:
;
.
Dividera med t α+ 5
:
;
.
Ekvationen kommer inte att innehålla t if
4a - 6 = 0,
α = 3/2
.
Eftersom för α = 3/2
, t reduceras alltså detta är en generaliserad homogen ekvation.
Lösningsmetod
Betrakta den generaliserade homogena differentialekvationen av första ordningen:
(1)
.
Låt oss visa att det kan reduceras till en homogen ekvation genom substitution:
t = xa.
Verkligen,
.
Härifrån
;
.
(1)
:
;
.
Detta är en homogen ekvation. Det löses genom substitution:
y = z t,
där z är en funktion av t.
När du löser problem är det lättare att omedelbart tillämpa substitutionen:
y = z x α ,
där z är en funktion av x .
Ett exempel på att lösa en generaliserad homogen differentialekvation av första ordningen
Lös differentialekvation
(P.1) .
Låt oss kontrollera om den givna ekvationen är en generaliserad homogen sådan. För detta i (P.1) göra ett byte:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 y′.
.
Dividera med t α :
.
t kommer att minska om vi sätter α = - 1
. Så detta är en generaliserad homogen ekvation.
Vi gör ett byte:
y = z x α = z x - 1
,
där z är en funktion av x .
.
Vi byter in i den ursprungliga ekvationen (P.1):
(P.1) ;
;
.
Multiplicera med x och öppna parenteserna:
;
;
.
Dividera variabler - multiplicera med dx och dividera med x z 2
. För z ≠ 0
vi har:
.
Vi integrerar med hjälp av tabellen över integraler:
;
;
;
.
Potentiera:
.
Vi ersätter konstanten e C → C och tar bort tecknet för modulen, eftersom valet av det önskade tecknet bestäms av valet av tecknet för konstanten C:
.
Vi återgår till variabeln y . Ersätt z = xy :
.
Dividera med x:
(P.2) .
När vi dividerar med z 2
, vi antog att z ≠ 0
. Betrakta nu lösningen z = xy = 0
, eller y = 0
.
Eftersom för y = 0
, vänster sida av uttrycket (P.2) inte är definierad, adderar vi till den erhållna allmänna integralen lösningen y = 0
.
;
.
Referenser:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problem i högre matematik, Lan, 2003.
Differentialekvationer i generaliserade funktioner
Låt det finnas en ekvation. Om är en vanlig funktion, så är dess lösning antiderivata, det vill säga. Låt nu vara en generaliserad funktion.
Definition. En generaliserad funktion kallas en antiderivativ generaliserad funktion if. Om är en singular generaliserad funktion, så finns det fall då dess antiderivata är en vanlig generaliserad funktion. Till exempel är antiderivatet; antiderivatan är en funktion, och lösningen till ekvationen kan skrivas som: , där.
Det finns en linjär ekvation av ordningen med konstanta koefficienter
var är en generaliserad funktion. Låta vara ett differentialpolynom av th ordningen.
Definition. Den generaliserade lösningen av differentialekvationen (8) är den generaliserade funktion för vilken relationen är uppfylld:
Om är en kontinuerlig funktion, så är den enda lösningen till ekvation (8) den klassiska lösningen.
Definition. Den grundläggande lösningen av ekvation (8) är vilken generaliserad funktion som helst som.
Greenens funktion är en grundläggande lösning som uppfyller ett gräns-, initial- eller asymptotiskt tillstånd.
Sats. Lösningen av ekvation (8) finns och har formen:
om inte faltning är definierad.
Bevis. Verkligen,. Enligt faltningsegenskapen följer det: .
Det är lätt att se att den grundläggande lösningen på denna ekvation är, eftersom
Egenskaper hos generaliserade derivat
Differentieringsoperationen är linjär och kontinuerlig från till:
i om i;
Varje generaliserad funktion är oändligt differentierbar. Ja, om, då; i sin tur etc.;
Resultatet av differentieringen beror inte på differentieringsordningen. Till exempel, ;
Om och, då är Leibniz formel för att differentiera en produkt giltig. Till exempel, ;
Om en generaliserad funktion, då;
Om en serie sammansatt av lokalt integrerbara funktioner konvergerar enhetligt på varje kompakt uppsättning, då kan den differentieras term för term vilket antal gånger som helst (som en generaliserad funktion), och den resulterande serien kommer att konvergera till.
Exempel. Låta
Funktionen kallas för Heaviside-funktionen eller identitetsfunktionen. Den är lokalt integrerbar och kan därför betraktas som en generaliserad funktion. Du kan hitta dess derivata. Per definition, dvs. .
Generaliserade funktioner som motsvarar kvadratiska former med komplexa koefficienter
Hittills har endast kvadratiska former med reella koefficienter beaktats. I detta avsnitt studerar vi utrymmet för alla kvadratiska former med komplexa koefficienter.
Uppgiften är att bestämma en generaliserad funktion, där är ett komplext tal. Dock i allmänt fall kommer inte att vara en envärdig analytisk funktion av . Därför, i utrymmet för alla kvadratiska former, utpekas "övre halvplanet" av kvadratiska former med en positivt definierad imaginär del och en funktion bestäms för dem. Nämligen, om den kvadratiska formen tillhör detta "halvplan", så antas det var. En sådan funktion är en envärdig analytisk funktion av.
Du kan nu mappa en funktion till en generisk funktion:
där integrationen genomförs över hela utrymmet. Integral (13) konvergerar vid och är en analytisk funktion i detta halvplan. Fortsätter denna funktion analytiskt, bestäms funktionaliteten för andra värden.
För kvadratiska former med en positiv bestämd imaginär del hittas funktionernas singularpunkter och resterna av dessa funktioner vid singularpunkterna beräknas.
Den generaliserade funktionen beror analytiskt inte bara på utan också på koefficienterna för den kvadratiska formen. Således är en analytisk funktion i det övre "halvplanet" av alla kvadratiska former av formen där det finns en positiv bestämd form. Därför bestäms unikt av dess värden på den "imaginära halvaxeln", det vill säga på uppsättningen av kvadratiska former av formen, där är en positiv bestämd form.
Ekvationen M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 kallas generaliserad homogen om det är möjligt att välja ett sådant nummer k att den vänstra sidan av denna ekvation blir en homogen funktion av någon grad m relativt x, y, dx Och dy förutsatt att x anses vara värdet av den första mätningen, y – k‑ e mätningen , dx Och dy – noll och (k-1) e mätningarna. Detta skulle till exempel vara ekvationen. (6.1)
Gäller under det antagande som gjorts om mätningar
x,
y,
dx
Och dy
medlemmar på vänster sida 
Och dy
kommer att ha måtten -2, 2 respektive k Och
k-1. Genom att likställa dem får vi villkoret att det önskade antalet måste uppfylla k:
-2 = 2k
=
k-1. Detta villkor är uppfyllt när k
= -1 (med sådana k alla termer på vänster sida av ekvationen i fråga kommer att ha dimensionen -2). Följaktligen är ekvation (6.1) generaliserad homogen.
Den generaliserade homogena ekvationen reduceras till en ekvation med separerbara variabler med hjälp av substitutionen 
, Var zär en ny okänd funktion. Låt oss integrera ekvation (6.1) med den angivna metoden. Därför att k
= -1, alltså 
, varefter vi får ekvationen.
Att integrera det, finner vi 
, var 
. Detta är den allmänna lösningen av ekvation (6.1).
§ 7. Linjära differentialekvationer av första ordningen.
En linjär ekvation av första ordningen är en ekvation som är linjär med avseende på den önskade funktionen och dess derivata. Det ser ut som:
,
(7.1)
Var P(x)
Och
F(x)
ges kontinuerliga funktioner av x.
Om funktionen
,
då har ekvation (7.1) formen: 
(7.2)
och kallas linjär homogen ekvation, annars 
det kallas en linjär inhomogen ekvation.
Linjär homogen differentialekvation (7.2) är en ekvation med separerbara variabler:
(7.3)
Uttryck (7.3) är den allmänna lösningen av ekvation (7.2). För att hitta en generell lösning till ekvation (7.1) där funktionen P(x) betecknar samma funktion som i ekvation (7.2), tillämpar vi metoden som kallas metoden för variation av en godtycklig konstant och består av följande: vi ska försöka välja funktionen C=C(x) så att den allmänna lösningen av den linjära homogena ekvationen (7.2) skulle vara lösningen av den inhomogena ekvationen linjär ekvation(7.1). Sedan för derivatan av funktion (7.3) får vi:
.
Om vi ersätter den hittade derivatan i ekvation (7.1), kommer vi att ha:
eller 
.
Var 
, Var 
är en godtycklig konstant. Som ett resultat kommer den allmänna lösningen av den inhomogena linjära ekvationen (7.1) att vara (7.4) 
Den första termen i denna formel representerar den allmänna lösningen (7.3) av den linjära homogena differentialekvationen (7.2), och den andra termen i formeln (7.4) är en speciell lösning av den linjära inhomogena ekvationen (7.1) erhållen från den allmänna (7.4) ) med 
. Låt oss peka ut denna viktiga slutsats i form av ett teorem.
Sats. Om en speciell lösning av en linjär inhomogen differentialekvation är känd 
, då har alla andra lösningar formen 
, Var 
är den allmänna lösningen av den motsvarande linjära homogena differentialekvationen.
Det bör dock noteras att en annan metod, ibland kallad Bernoulli-metoden, oftare används för att lösa den linjära inhomogena differentialekvationen av 1:a ordningen (7.1). Vi kommer att leta efter en lösning till ekvation (7.1) i formuläret 
. Sedan 
. Vi ersätter den hittade derivatan i den ursprungliga ekvationen: 
.
Låt oss kombinera till exempel den andra och tredje termen i det sista uttrycket och ta ut funktionen u(x)
för parentes: 
(7.5)
Vi kräver att parentesen försvinner: 
.
Vi löser denna ekvation genom att sätta en godtycklig konstant C
lika med noll: 
. Med funnen funktion v(x)
tillbaka till ekvation (7.5): 
.
När vi löser det får vi: 
.
Följaktligen har den allmänna lösningen av ekvation (7.1) formen.
Genom att klicka på knappen "Ladda ner arkiv" laddar du ner filen du behöver gratis.
Innan du laddar ner den här filen, kom ihåg dessa bra uppsatser, kontroll, terminsuppsatser, avhandlingar, artiklar och andra dokument som inte har gjorts anspråk på på din dator. Det här är ditt arbete, det ska delta i samhällets utveckling och gynna människor. Hitta dessa verk och skicka dem till kunskapsbasen.
Vi och alla studenter, doktorander, unga forskare som använder kunskapsbasen i sina studier och arbete kommer att vara er mycket tacksamma.
För att ladda ner ett arkiv med ett dokument, ange ett femsiffrigt nummer i fältet nedan och klicka på knappen "Ladda ner arkiv"
Liknande dokument
Cauchyproblem för differentialekvationer. Graf över lösningen av differentialekvationen av första ordningen. Ekvationer med separerbara variabler och reducerande till homogena. Homogena och inhomogena linjära ekvationer av första ordningen. Bernoullis ekvation.
föreläsning, tillagd 2012-08-18
Grundbegrepp i teorin om vanliga differentialekvationer. Ett tecken på en ekvation i totala differentialer, konstruktionen av en allmän integral. De enklaste fallen att hitta den integrerande faktorn. Fallet med en multiplikator som endast beror på X och endast på Y.
terminsuppsats, tillagd 2014-12-24
Egenskaper hos differentialekvationer som relationer mellan funktioner och deras derivator. Bevis på teoremet om existens och lösningens unika karaktär. Exempel och algoritm för att lösa ekvationer i totala differentialer. Integrerande faktor i exempel.
terminsuppsats, tillagd 2014-11-02
Riccati differentialekvationer. Gemensamt beslut linjär ekvation. Att hitta alla möjliga lösningar av Bernoullis differentialekvation. Lösning av ekvationer med separerbara variabler. Allmänna och speciallösningar av Clairauts differentialekvation.
terminsuppsats, tillagd 2015-01-26
En ekvation med separerbara variabler. Homogena och linjära differentialekvationer. Geometriska egenskaper integralkurvor. Total differential av en funktion av två variabler. Bestämning av integralen med Bernoulli-metoder och variationer av en godtycklig konstant.
abstrakt, tillagt 2015-08-24
Begrepp och lösningar av de enklaste differentialekvationer och differentialekvationer av godtycklig ordning, inklusive de med konstanta analytiska koefficienter. System av linjära ekvationer. Asymptotiskt beteende hos lösningar av vissa linjära system.
avhandling, tillagd 2010-10-06
Generell integral av ekvationen, tillämpning av Lagrangemetoden för att lösa en inhomogen linjär ekvation med okänd funktion. Lösning av en differentialekvation i parametrisk form. Eulervillkor, första ordningens ekvation i totala differentialer.
kontrollarbete, tillagt 2011-02-11
