Exempel på differensekvationer av 1:a ordningens Euler-metod. Lösa vanliga differentialekvationer. Lösning av den homogena Euler-ekvationen

Geometriska modeller klassificeras i ämne, beräknings- och kognitiva. Bland geometriska modeller vi kan skilja platt och volymetriska modeller. Ämnesmodeller är nära besläktade med visuell observation. Information erhållen från ämnesmodeller inkluderar information om formen och storleken på ett föremål och dess placering i förhållande till andra. Ritningar av maskiner, tekniska anordningar och deras delar utförs i enlighet med ett antal symboler, speciella regler och en viss skala. Ritningar kan vara installation, allmän vy, montering, tabellform, dimensionell, extern vy, drift, etc. Ritningar kännetecknas också av produktionsgrenar: maskinteknik, instrumenttillverkning, konstruktion, gruvdrift och geologisk, topografisk, etc. Ritningar jordens yta kallas kort. Ritningar kännetecknas av bildmetoder: ortogonal ritning, axonometri, perspektiv, projektioner med numeriska märken, affina projektioner, stereografiska projektioner, filmperspektiv, etc. Ämnesmodeller inkluderar ritningar, kartor, fotografier, layouter, tv-bilder etc. Ämnesmodeller är nära besläktade med visuell observation. Bland objektgeometriska modeller kan man urskilja platta och tredimensionella modeller. Objektmodeller skiljer sig avsevärt i utförandemetoden: ritningar, teckningar, målningar, fotografier, filmer, röntgenbilder, layouter, modeller, skulpturer, etc. Beroende på designstadiet delas ritningar in i ritningar av ett tekniskt förslag, preliminära och tekniska konstruktioner samt arbetsritningar. Ritningar särskiljs också i original, original och kopior.

Grafiska konstruktioner kan användas för att få numeriska lösningar på olika problem. Grafiskt kan du utföra algebraiska operationer (lägga till, subtrahera, multiplicera, dividera), differentiera, integrera och lösa ekvationer. Vid beräkning av algebraiska uttryck representeras siffror av riktade segment. För att hitta skillnaden eller summan av tal, ritas motsvarande segment på en rät linje. Multiplikation och division utförs genom att konstruera proportionella segment, som är avskurna på sidorna av vinkeln med raka parallella linjer. Kombinationen av multiplikation och addition gör att du kan beräkna summor av produkter och vägda medelvärden. Grafisk höjning till en heltalspotens består av sekventiell upprepning av multiplikation. Den grafiska lösningen av ekvationerna är abskissvärdet för kurvornas skärningspunkt. Grafiskt kan man räkna ut en bestämd integral, bygga en graf av derivatan, d.v.s. differentiera och integrera och lösa ekvationer. Geometriska modeller för grafiska beräkningar måste skiljas från nomogram och beräkningsgeometriska modeller (CGM). Grafiska beräkningar kräver en sekvens av konstruktioner varje gång. Nomogram och RGM är geometriska bilder av funktionella beroenden och kräver inga nya konstruktioner för att hitta numeriska värden. Nomogram och RGM används för beräkningar och studier av funktionella beroenden. Beräkningar på RGM och nomogram ersätts av att läsa svaren med hjälp av elementära operationer som anges i nomogramnyckeln. Huvudelementen i nomogram är skalor och binära fält. Nomogram är indelade i elementära och sammansatta nomogram. Nomogram kännetecknas också av operationen i nyckeln. Den grundläggande skillnaden mellan RGM och nomogram är att geometriska metoder används för att konstruera RGM, och analytiska metoder används för att konstruera nomogram. Nomografi är övergången från en analytisk motor till en geometrisk maskin.

Kognitiva modeller inkluderar funktionsgrafer, diagram och grafer. En grafisk modell av en variabels beroende av en annan kallas en funktionsgraf. Grafer av funktioner kan konstrueras från en given del av den eller från grafen för en annan funktion med hjälp av geometriska transformationer. Grafisk bild, som tydligt visar förhållandet mellan eventuella kvantiteter, är ett diagram. Ett stapeldiagram, som är en samling av intilliggande rektanglar byggda på en rät linje och representerar fördelningen av eventuella kvantiteter enligt en kvantitativ egenskap, kallas ett histogram. Geometriska modeller som visar relationer mellan element i en uppsättning kallas grafer. Grafer är modeller för ordning och funktion. På dessa modeller finns inga avstånd, vinklar, det spelar ingen roll om punkterna är förbundna med en rät linje eller en kurva. I grafer urskiljs endast hörn, kanter och bågar. Grafer användes först för att lösa pussel. För närvarande används grafer effektivt i teorin om planering och kontroll, schemaläggningsteori, sociologi, biologi, för att lösa probabilistiska och kombinatoriska problem och så vidare.

Teoretiska geometriska modeller är av särskild betydelse. Inom analytisk geometri studeras geometriska bilder med hjälp av algebra utifrån koordinatmetoden. I projektiv geometri studeras projektiva transformationer och oföränderliga egenskaper hos figurer oberoende av dem. Inom deskriptiv geometri studeras rumsliga figurer och metoder för att lösa rumsliga problem genom att konstruera deras bilder på ett plan. Egenskaperna för plana figurer beaktas i planimetri, och egenskaperna hos rumsliga figurer beaktas i stereometri. Sfärisk trigonometri studerar sambanden mellan vinklar och sidor av sfäriska trianglar. Teorin om fotogrammetri och stereo- och fotogrammetri gör det möjligt att bestämma objekts former, storlekar och positioner utifrån deras fotografiska bilder inom militära angelägenheter, rymdforskning, geodesi och kartografi. Modern topologi studerar de kontinuerliga egenskaperna hos figurer och deras relativa positioner. Fraktal geometri (infördes i vetenskapen 1975 av B. Mandelbrot), som studerar allmänna mönster processer och strukturer i naturen, tack vare modern datorteknik, har blivit en av de mest fruktbara och underbara upptäckterna inom matematik. Fraktaler skulle vara ännu mer populära om de var baserade på prestationerna modern teori beskrivande geometri.

Problem med klassisk deskriptiv geometri kan delas in i positionella, metriska och konstruktiva problem.

Inom tekniska discipliner används statiska geometriska modeller, som hjälper till att bilda idéer om vissa objekt, deras designegenskaper och deras beståndsdelar, och dynamiska eller funktionella geometriska modeller, som låter en demonstrera kinematik, funktionella samband eller tekniska och tekniska processer . Mycket ofta gör geometriska modeller det möjligt att spåra förloppet av fenomen som inte är mottagliga för vanlig observation och som kan representeras på basis av befintlig kunskap. Bilder låter dig inte bara presentera strukturen för vissa maskiner, instrument och utrustning, utan samtidigt karakterisera deras tekniska egenskaper och funktionella parametrar.

Ritningar ger inte bara geometrisk information om formen på aggregatets delar. Den förstår enhetens funktionsprincip, rörelsen av delar i förhållande till varandra, omvandlingen av rörelser, förekomsten av krafter, spänningar, omvandlingen av energi till mekaniskt arbete, etc. Vid ett tekniskt universitet sker ritningar och diagram inom alla studerade generella tekniska och specialdiscipliner ( teoretisk mekanik, materialstyrka, konstruktionsmaterial, elektromekanik, hydraulik, maskinteknik, verktygsmaskiner och verktyg, teori om maskiner och mekanismer, maskindelar, maskiner och utrustning, etc.). För att förmedla olika information kompletteras ritningar med olika tecken och symboler, och nya begrepp används för att beskriva dem verbalt, vars bildning är baserad på de grundläggande begreppen fysik, kemi och matematik.

Särskilt intressant är användningen av geometriska modeller för att dra analogier mellan geometriska lagar och riktiga föremål att analysera essensen av fenomenet och utvärdera det teoretiska och praktisk betydelse matematiska resonemang och analys av den matematiska formalismens väsen. Låt oss notera att de allmänt accepterade sätten att överföra förvärvad erfarenhet, kunskap och perception (tal, skrift, målning, etc.) uppenbarligen är en homomorf projektionsmodell av verkligheten. Begreppen projektionsschematism och designoperationen relaterar till deskriptiv geometri och har sin generalisering i teorin om geometrisk modellering.Projektionsgeometriska modeller som erhålls som ett resultat av projektionsoperationen kan vara perfekta, imperfekta (varierande grader av imperfektion) och kollapsade. Ur en geometrisk synvinkel kan alla objekt ha många projektioner, som skiljer sig både i positionen för mitten av designen och bilden, och i deras dimension, d.v.s. verkliga fenomen natur och sociala relationer tillåter olika beskrivningar, som skiljer sig från varandra i graden av tillförlitlighet och perfektion. grund vetenskaplig forskning och källan till varje vetenskaplig teori är observation och experiment, som alltid har som mål att identifiera något mönster. Alla dessa omständigheter tjänade som grund för användningen av analogier mellan olika typer projektionsgeometriska modeller erhållna genom homomorfisk modellering, och modeller som uppstår som ett resultat av forskning.

Geometrisk modell -
idé om yttre tecken
verkligt föremål.
Geometrisk dator
modell - representation
informationsmodell med
med hjälp av datorverktyg
grafik.

Geometrisk modellering är indelad i:

o
o
o
ramdesign - geometrisk
modellen är byggd från en begränsad uppsättning
grafiska primitiver (segment, bågar,
koniska kurvor).
ytor - modellering
andra ordningens sorter (sfärer,
cylindrar, koner, etc.).
volumetriska kroppar - huvudobjektet
modellering är tredimensionell
volymetrisk kropp.

Typer och egenskaper hos modeller

o
Rader kan beskriva individuella geometriska egenskaper föremål, närvarande
karaktäristiska egenskaper hos föremål. De kan vara rumsliga eller tvådimensionella. Kurvor
linjer tjäna som byggnadsmaterial för att skapa ytor och kroppar.
o
Ytor, liksom linjer, är matematiska abstraktioner som ger
en uppfattning om föremålens individuella egenskaper och fungerar som byggmaterial
att skapa kroppar.
o
Uppsättningen av ytor som förenas längs gränserna kallas ett skal. För
modellering är det nödvändigt att beskriva uppsättningen ytor som separerar den inre volymen
föremål från resten av utrymmet.
o
För geometrisk modellering av objekt som upptar en ändlig volym, in
Matematik använder objekt som kallas stela kroppar eller helt enkelt kroppar. På
Vid modellering av kroppar byggs ytor som skiljer den del de upptar
utrymme från resten av utrymmet.

2D-grafikmodeller

Raster
Vektor
Tredimensionell
Fraktal

Raster modell

Fördelar
Brister
enkel digitalisering (skanning eller strikt fast kvantitet
fotografera med ev
pixlar i ett raster.
efterföljande skanning
print (slide)).
möjlighet till mycket bra
bildjusteringar
interferens
Enkel konverteringsprocedur
brist på intern struktur,
pixelmodell till en bild med lämplig struktur
visa eller skriva ut
avbildade föremål
stor minneskapacitet och lång livslängd
handläggningstid

Vektor modell

Fördelar
Brister
Ganska lite utrymme upptaget
minne
Inkludering i en vektormodell
flera typer av objekt gör det svårt
studera dess struktur
Vektorbilden kan vara
strukturerad med godtyckliga
detaljgrad
Att bygga en vektormodell
bild representerar
svår uppgift
automatisering
Vektor modell objekt
bilder lätt
förvandlas, deras
skalning inte medför
ingen bildförvrängning eller förlust
visuell information
Vektorbildsmodellen är det inte
ger användaren verktyg
motsvarande traditionella
målningsteknik
I vektormodellen, text,
verkar vara en separat kategori
föremål

evolutionsprocessen
vektorprogram
grafik snabbast
flyttar in exakt
ökningsriktning
realism
vektorbilder,
och nya föremål
vektor modell
(mesh fyllningar, skuggor,
lutning
transparens) i
i stor utsträckning
bygga ut
visuella möjligheter för vektor

Modeller för att representera information om tredimensionella objekt

Polygonal
(maska)
Voxel
Funktionell

Polygonala (mesh) modeller

Fördelar
Brister
motsvarar inte bilden, utan formen
föremål och bär mer
information om dem än någon modell
2D-grafik
visualiserings- och exekveringsalgoritmer
topologiska operationer (t.ex.
konstruktion av sektioner) är ganska komplicerade
gör det möjligt att automatiskt lösa antalet problem vid konstruktion av komplexa modeller
uppgiften att konstruera illusionen av perspektiv, fasetter växer med fantastiska
skuggor och högdagrar i olika ljushastighet, vilket inte bara gör
nätmodellen är inte för kompakt,
men kräver också kolossala
beräkningskraft
modellen gör det möjligt att
bygga med minimala arbetskostnader
bild av en simulerad scen i
från vilken vinkel som helst
approximation med plana ytor
leder till ett betydande fel,
speciellt när man modellerar komplex
ytor
vara vektor i naturen,
behåller många av de inneboende fördelarna
vektor bild modell
ökade krav på användaren,
antyder att han har en utvecklad
rumslig fantasi

Voxel modell

VOXEL MODELL
Fördelar
Brister
möjlighet att representera
insidan av ett föremål, och inte bara
yttre lager
Mycket information,
nödvändig för presentationen
volymetriska data
enkel kartläggning
volymetriska scener
betydande minneskostnader,
begränsa det tillåtande
förmåga, modelleringsnoggrannhet
enkel exekvering av topologiska
operationer (till exempel för att visa
sektion av en rumslig kropp,
tillräckligt med voxlar att göra
transparent)
problem med förstoring eller
minska bilden; till exempel med
ökande upplösning försämras
bildförmåga

Funktionella modeller

Fördelar med funktionella modeller

enkel beräkningsmetod
koordinater för varje punkt;
liten volym
information för
beskrivningar av komplexa former;
möjlighet att bygga
ytbaserad
skalär data utan
preliminära
triangulering.
Shukhov Tower - exempel på användning
revolutionens hyperboloid

Geometrisk parametrisering kallas
parametrisk modellering, där
geometri för varje parametriskt objekt
räknas om beroende på position
överordnade objekt, dess parametrar och
variabler.

Geometrisk parametrering

o
o
Det är en bra idé att ändra en eller flera
parametrar och se hur det kommer att bete sig när
det är hela modellen.
Konstruktör, i fallet med parametrisk
design, skapar en matematisk modell
objekt med parametrar som, när de ändras,
det finns förändringar i delens konfiguration,
ömsesidiga rörelser av delar i en sammansättning, etc.

Geometriska operationer på modeller

Över fasta ämnen, såväl som över andra geometriska
objekt, kan du utföra operationer –
en uppsättning åtgärder på en eller flera
källkroppar, vilket leder till förlossningen
ny kropp. En av huvudoperationerna för
två organ är booleska operationer.
o Booleska operationer är operationer
förening, skärning och subtraktion av kroppar, så
hur de utför operationer med samma namn på
inre volymer av kroppar (över set
punkter i rymden inuti kroppar).

Facklig verksamhet

o Resultatet av operationen att kombinera två kroppar är en kropp
som innehåller punkter som hör till det inre
volymen av både den första och andra kroppen.
o kärnan i operationen: du måste hitta skärningslinjerna för kropparnas ansikten,
ta bort den del av den första kroppen som kom in i den andra
kroppen och den delen av den andra kroppen som kom in i den första
kroppar, och från allt annat att bygga en ny kropp.
Två källinstanser
Sammanfogande kroppar

Korsningsoperation

o Resultatet av operationen av skärningspunkten mellan två kroppar är en kropp
som innehåller punkter som hör till den inre volymen
både den första och andra kroppen.
o Kärnan i operationen av korsande kroppar: du måste hitta linjer
korsning av kroppar, ta bort den del av den första kroppen som inte är det
kom in i den andra, och den delen av den andra kroppen som inte var det
fick inuti den första, och från allt annat att bygga en ny
kropp.
Två källinstanser
Korsande kroppar

Subtraktionsoperation

o Resultatet av operationen att subtrahera två kroppar är en kropp som
innehåller punkter som hör till den inre volymen av den första, men inte
tillhörande den inre volymen av den andra kroppen.
o Kärnan i operationen med att subtrahera kroppar: du måste hitta kropparnas skärningslinjer,
ta bort den delen av den första kroppen som kom in i den andra, och den delen
den andra kroppen, som inte kom in i den första, utan från allt annat
bygga en ny kropp. Resultatet av operationen beror på typen av kropp
dras av.
Två källinstanser
Kroppsskillnad

Grafisk och geometrisk modellering (GGM) delsystem intar en central plats i CAPP. Utformningen av produkter i dem utförs som regel interaktivt när man arbetar med geometriska modeller, d.v.s. matematiska objekt som visar produktens form, sammansättningen av monteringsenheterna och eventuellt några ytterligare parametrar (vikt, ytfärger etc.).

I GGM-delsystem inkluderar en typisk databearbetningsväg att erhålla en designlösning i ett applikationsprogram, dess presentation i form av en geometrisk modell (geometrisk modellering), förbereda designlösningen för visualisering, visualisering själv med hjälp av en PC, om nödvändigt, justering lösningen interaktivt.

De två sista operationerna implementeras på basis av GGM-beräkningsverktyg. När de talar om det matematiska stödet för GGM menar de först och främst modeller, metoder och algoritmer för geometrisk modellering och förberedelse för visualisering.

Det finns tvådimensionell (2D) och tredimensionell (3D) GGM-mjukvara.

Huvudapplikationerna för 2D GGM är förberedelse av ritningsdokumentation i SAPP, topologisk design av kretskort och LSI-chips i CAPP för elektronikindustrin.

I processen med 3D-modellering skapas geometriska modeller, d.v.s. modeller som återspeglar produkternas geometriska egenskaper. Det finns geometriska modeller: ram (tråd), yta, volymetrisk (fast).

Rammodell representerar formen på en produkt i form av en ändlig uppsättning linjer som ligger på produktens ytor. För varje linje är koordinaterna för ändpunkterna kända och deras infall med kanter eller ytor indikeras. Det är obekvämt att arbeta med en rammodell i ytterligare CAPP-operationer, och därför används rammodeller sällan för närvarande.

Ytmodell visar formen på en produkt genom att specificera dess gränsytor, till exempel i form av en uppsättning data om ytor, kanter och hörn.

En speciell plats upptas av produktmodeller med komplexa ytor, den så kallade skulpturala ytor. Sådana produkter inkluderar till exempel höljen för mikrokretsar, datorer, arbetsstationer etc.

Volumetriska modeller skiljer sig genom att de uttryckligen innehåller information om elements tillhörighet till inre eller yttre utrymme i förhållande till produkten.

De övervägda modellerna visar kroppar med slutna volymer, som är de så kallade grenrören. Vissa geometriska modelleringssystem tillåter drift med en mängd olika modeller ( icke mångfaldigt), exempel på vilka kan vara modeller av kroppar som berör varandra vid en punkt eller längs en rak linje. Små modeller är bekväma i designprocessen, när det i mellanstadier är användbart att arbeta samtidigt med tredimensionella och tvådimensionella modeller, utan att specificera tjockleken på strukturens väggar etc.

Systematisering av geometriska modeller

Matematiker och fysiker, ingenjörer och designers, vetenskapsmän och arbetare, läkare och konstnärer, astronauter och fotografer har att göra med geometriska modeller. Det finns dock fortfarande ingen systematisk vägledning om geometriska modeller och deras tillämpningar. Detta förklaras främst av det faktum att utbudet av geometriska modeller är för brett och varierat.

Geometriska modeller kan vara utförandet av designerns plan och tjäna till att skapa ett nytt objekt. Det omvända schemat uppstår också när en modell är gjord av ett föremål, till exempel under restaurering eller reparation.

Geometriska modeller klassificeras i ämne (ritningar, kartor, fotografier, layouter, tv-bilder etc.), beräkningsmässiga och kognitiva. Ämnesmodeller är nära besläktade med visuell observation. Information erhållen från ämnesmodeller inkluderar information om formen och storleken på ett föremål och dess placering i förhållande till andra.

Ritningar av maskiner, strukturer, tekniska anordningar och deras delar utförs i enlighet med ett antal symboler, speciella regler och en viss skala. Det finns ritningar av delar, montering, allmän vy, montering, tabellform, dimensionell, extern vy, drift, etc. Beroende på designstadiet delas ritningar in i ritningar av ett tekniskt förslag, preliminära och tekniska konstruktioner samt arbetsritningar. Ritningar kännetecknas också av produktionsgrenar: maskinteknik, instrumenttillverkning, konstruktion, gruvdrift och geologisk, topografisk, etc. Ritningar av jordens yta kallas kartor. Ritningar kännetecknas av representationsmetoden: ortogonal ritning, axonometri, perspektiv, numeriska märken, affina projektioner, stereografiska projektioner, filmperspektiv, etc.

Geometriska modeller skiljer sig avsevärt i utförandemetoden: originalritningar, original, kopior, ritningar, målningar, fotografier, filmer, röntgenbilder, kardiogram, layouter, modeller, skulpturer, etc. Bland de geometriska modellerna kan vi urskilja platta och volymetriska.

Grafiska konstruktioner kan användas för att få numeriska lösningar på olika problem. Vid beräkning av algebraiska uttryck representeras siffror av riktade segment. För att hitta skillnaden eller summan av tal, ritas motsvarande segment på en rät linje. Multiplikation och division utförs genom att konstruera proportionella segment, som är avskurna på sidorna av vinkeln med parallella raka linjer. Kombinationen av multiplikation och addition gör att du kan beräkna summor av produkter och vägda medelvärden. Grafisk höjning till en heltalspotens består av sekventiell upprepning av multiplikation. Den grafiska lösningen av ekvationerna är abskissvärdet för kurvornas skärningspunkt. Grafiskt kan man räkna ut en bestämd integral, bygga en graf av derivatan, d.v.s. differentiera och integrera differentialekvationer. Geometriska modeller för grafiska beräkningar måste skiljas från nomogram och beräkningsgeometriska modeller (CGM). Grafiska beräkningar kräver en sekvens av konstruktioner varje gång. Nomogram och RGM är geometriska bilder av funktionella beroenden och kräver inga nya konstruktioner för att hitta numeriska värden. Nomogram och RGM används för beräkningar och studier av funktionella beroenden. Beräkningar på RGM och nomogram ersätts av att läsa svaren med hjälp av elementära operationer som anges i nomogramnyckeln. Huvudelementen i nomogram är skalor och binära fält. Nomogram delas in i elementära och sammansatta. Nomogram kännetecknas också av operationen i nyckeln. Den grundläggande skillnaden mellan RGM och nomogram är att geometriska metoder används för att konstruera RGM, och analytiska metoder används för att konstruera nomogram.

Geometriska modeller som visar relationer mellan element i en uppsättning kallas grafer. Grafer är modeller för ordning och funktion. På dessa modeller finns inga avstånd, vinklar, det spelar ingen roll om punkterna är förbundna med en rak eller krökt linje. I grafer urskiljs endast hörn, kanter och bågar. Grafer användes först för att lösa pussel. För närvarande används grafer effektivt i teorin om planering och kontroll, schemaläggningsteori, sociologi, biologi, elektronik, för att lösa probabilistiska och kombinatoriska problem, etc.

En grafisk modell för funktionellt beroende kallas en graf. Grafer av funktioner kan konstrueras från en given del av den eller från grafen för en annan funktion med hjälp av geometriska transformationer.

En grafisk bild som tydligt visar förhållandet mellan eventuella kvantiteter är ett diagram. Till exempel visar ett tillståndsdiagram (fasdiagram) grafiskt förhållandet mellan tillståndsparametrarna för ett termodynamiskt jämviktssystem. Ett stapeldiagram, som är en samling av intilliggande rektanglar byggda på en rät linje och representerar fördelningen av eventuella kvantiteter enligt en kvantitativ egenskap, kallas ett histogram.

Geometrisk modellering

Vektor- och rastergrafik.

Det finns två typer av grafik - vektor och raster. Den största skillnaden är principen för bildlagring. Vektorgrafik beskriver en bild med hjälp av matematiska formler. Den största fördelen med vektorgrafik är att när bildskalan ändras förlorar den inte sin kvalitet. Detta leder till en annan fördel - när du ändrar storlek på bilden ändras inte filstorleken. Raster grafikär en rektangulär matris som består av många mycket små odelbara punkter (pixlar).

En rasterbild kan jämföras med en barnmosaik, när bilden är uppbyggd av färgade rutor. Datorn kommer ihåg färgerna på alla rutor i rad i en viss ordning. Därför kräver bitmappsbilder mer minne att lagra. De är svåra att skala och ännu svårare att redigera. För att förstora bilden måste du öka storleken på rutorna, och då visar sig bilden vara "stegad". För att förminska en rasterbild måste du konvertera flera närliggande punkter till en eller kasta ut extra punkter. Som ett resultat blir bilden förvrängd, dess små detaljer blir oläsliga. Vektorgrafik har inte dessa brister. I vektorredigerare minns teckningen som en samling geometriska former- konturer presenterade i form av matematiska formler. För att göra ett objekt proportionellt större, ändra helt enkelt en siffra: zoomfaktorn. Ingen förvrängning uppstår vare sig vid förstoring eller förminskning av bilden. Därför, när du skapar en ritning, behöver du inte tänka på dess slutliga dimensioner - du kan alltid ändra dem.

Geometriska transformationer

Vektorgrafik är användningen av geometriska primitiver som punkter, linjer, splines och polygoner för att representera bilder i datorgrafik. Betrakta till exempel en cirkel med radien r. Lista över information som krävs för full beskrivning cirkeln är:

radie r;

koordinater för cirkelcentrum;

färg och tjocklek på konturen (eventuellt transparent);

fyllningsfärg (eventuellt transparent).

Fördelarna med denna metod för att beskriva grafik framför rastergrafik:

Den minsta mängden information överförs till en mycket mindre filstorlek (storleken beror inte på storleken på objektet).

Följaktligen kan du öka oändligt, till exempel cirkelbågen, och den kommer att förbli jämn. Å andra sidan, om kurvan representeras som en streckad linje, kommer förstoringen att visa att det inte är en kurva.

Vid förstoring eller förminskning av objekt kan linjetjockleken vara konstant.

Objektparametrar lagras och kan ändras. Detta innebär att flyttning, skalning, rotation, fyllning etc. inte kommer att försämra kvaliteten på ritningen. Dessutom är det vanligt att specificera dimensioner i enhetsoberoende enheter, vilket leder till bästa möjliga rasterisering på rasterenheter.

Vektorgrafik har två grundläggande nackdelar.

Inte alla objekt kan enkelt avbildas i vektorform. Dessutom beror mängden minne och visningstid på antalet objekt och deras komplexitet.

Att konvertera vektorgrafik till raster är ganska enkelt. Men som regel finns det ingen väg tillbaka - rasterspårning ger vanligtvis inte Hög kvalitet vektor ritning.

Vektorgrafikredigerare låter dig vanligtvis rotera, flytta, vända, sträcka, skeva, utföra grundläggande affina transformationer på objekt, ändra z-ordning och kombinera primitiver till mer komplexa objekt.

Mer sofistikerade transformationer inkluderar booleska operationer på slutna figurer: fackförening, komplement, korsning, etc.

Vektorgrafik är idealisk för enkla eller sammansatta mönster som behöver vara hårdvaruoberoende eller inte kräver fotorealism. Till exempel använder PostScript och PDF en vektorgrafikmodell

Linjer och brutna linjer.

Polygoner.

Cirklar och ellipser.

Bezier kurvor.

Bezigons.

Text (i datorteckensnitt som TrueType skapas varje bokstav från Bezier-kurvor).

Denna lista är ofullständig. Det finns olika typer av kurvor (Catmull-Rom splines, NURBS, etc.) som används i olika applikationer.

Det är också möjligt att tänka på en bitmapp som ett primitivt objekt som beter sig som en rektangel.

Huvudtyper av geometriska modeller

Geometriska modeller ger en extern uppfattning om det ursprungliga objektet och kännetecknas av samma proportioner av geometriska dimensioner. Dessa modeller är indelade i tvådimensionella och tredimensionella. Skisser, diagram, ritningar, grafer, målningarär exempel på tvådimensionella geometriska modeller, och modeller av byggnader, bilar, flygplan etc. – Det här är tredimensionella geometriska modeller.

3D-grafik arbetar med föremål i tredimensionellt rum. Vanligtvis blir resultatet en platt bild, en projektion. Tredimensionell datorgrafik används i stor utsträckning i film och datorspel.

I 3D-datorgrafik representeras vanligtvis alla objekt som en samling ytor eller partiklar. Den minimala ytan kallas en polygon. Trianglar väljs vanligtvis som polygoner.

Alla visuella transformationer i 3D-grafik styrs av matriser (se även: affin transformation i linjär algebra). Det finns tre typer av matriser som används i datorgrafik:

rotationsmatris

skiftmatris

skalningsmatris

Vilken polygon som helst kan representeras som en uppsättning koordinater för dess hörn. Så triangeln kommer att ha 3 hörn. Koordinaterna för varje vertex är en vektor (x, y, z). Genom att multiplicera vektorn med motsvarande matris får vi en ny vektor. Efter att ha gjort en sådan transformation med alla hörn i polygonen får vi en ny polygon, och efter att ha transformerat alla polygoner får vi ett nytt objekt, roterat/skiftat/skalerat i förhållande till det ursprungliga.

Skicka ditt goda arbete i kunskapsbasen är enkelt. Använd formuläret nedan

Studenter, doktorander, unga forskare som använder kunskapsbasen i sina studier och arbete kommer att vara er mycket tacksamma.

Postat på http://www.allbest.ru/

Geometriska modelleringssystem

Geometriska modelleringssystem låter dig arbeta med former i tredimensionellt utrymme. De skapades för att övervinna de problem som är förknippade med användningen av fysiska modeller i designprocessen, såsom svårigheten att få komplexa former med exakta dimensioner, såväl som svårigheten att extrahera nödvändig information från riktiga modeller för att exakt återge dem.

Dessa system skapar en miljö som liknar den där fysiska modeller skapas. Med andra ord, i ett geometriskt modelleringssystem ändrar designern formen på modellen, lägger till och tar bort delar av den, och specificerar formen på den visuella modellen. En visuell modell kan se likadan ut som en fysisk, men den är immateriell. Den tredimensionella visuella modellen lagras dock i datorn tillsammans med dess matematiska beskrivning, vilket eliminerar den största nackdelen med den fysiska modellen - behovet av att utföra mätningar för efterföljande prototypframställning eller massproduktion. Geometriska modelleringssystem är indelade i trådram, yta, solid och icke-strukturerad.

Wireframe-system

I wireframe-modelleringssystem representeras en form som en uppsättning linjer och ändpunkter som kännetecknar den. Linjer och punkter används för att representera tredimensionella objekt på skärmen, och förändringar i form åstadkoms genom att ändra positionen och storleken på linjer och punkter. Med andra ord är den visuella modellen en trådramsritning av en form, och den motsvarande matematiska beskrivningen är en uppsättning ekvationer av kurvor, koordinater för punkter och information om kopplingen mellan kurvor och punkter. Anslutningsinformation beskriver medlemskapet av punkter på specifika kurvor, såväl som korsningen av kurvor med varandra. Wireframe-modelleringssystem var populära vid den tidpunkt då GM precis började växa fram. Deras popularitet berodde på det faktum att i wireframe-modelleringssystem skapades formulär genom en sekvens av enkla steg, så att det var ganska lätt för användare att skapa formulär själva. En visuell modell som endast består av linjer kan dock vara tvetydig. Dessutom innehåller den motsvarande matematiska beskrivningen inte information om det modellerade objektets inre och yttre ytor. Utan denna information är det omöjligt att beräkna ett objekts massa, bestämma rörelsebanor eller skapa ett nät för finita elementanalys, även om objektet verkar vara tredimensionellt. Eftersom dessa operationer är en integrerad del av designprocessen har wireframe-modelleringssystem gradvis ersatts av yt- och solida modelleringssystem.

Ytmodelleringssystem

I ytmodelleringssystem innehåller den matematiska beskrivningen av den visuella modellen inte bara information om de karakteristiska linjerna och deras ändpunkter, utan även data om ytorna. När du arbetar med en modell som visas på skärmen ändras ytekvationerna, kurvekvationerna och punktkoordinaterna. Den matematiska beskrivningen kan innehålla information om ytornas anslutningsmöjligheter – hur ytor ansluter till varandra och längs vilka kurvor. I vissa applikationer kan denna information vara mycket användbar.

Det finns tre standardmetoder för att skapa ytor i ytmodelleringssystem:

1) Interpolation av ingångspunkter.

2) Interpolation av krökta punkter.

3) Translation eller rotation av en given kurva.

Ytmodelleringssystem används för att skapa modeller med komplexa ytor, eftersom den visuella modellen låter dig utvärdera projektets estetik, och den matematiska beskrivningen låter dig bygga program med exakta beräkningar av rörelsebanor.

Solida modelleringssystem

Designad för att arbeta med föremål som består av en sluten volym eller monolit. I solida modelleringssystem, till skillnad från wireframe och ytmodelleringssystem, är skapandet av en uppsättning ytor eller karakteristiska linjer inte tillåtet om de inte bildar en sluten volym. En matematisk beskrivning av ett objekt som skapats i ett solid modelleringssystem innehåller information genom vilken systemet kan bestämma var en linje eller punkt är belägen: inuti volymen, utanför den eller på dess gräns. I det här fallet kan du få all information om kroppens volym, vilket innebär att applikationer kan användas som arbetar med föremålet på volymnivå, och inte på ytor.

Fasta modelleringssystem kräver dock mer indata jämfört med mängden data som ger en matematisk beskrivning. Om systemet krävde att användaren skulle ange all data för en fullständig matematisk beskrivning, skulle det bli för komplext för användarna och de skulle överge det. Därför försöker utvecklare av sådana system presentera enkla och naturliga funktioner så att användare kan arbeta med tredimensionella former utan att gå in på detaljerna i en matematisk beskrivning.

Modelleringsfunktionerna som stöds av de flesta solida modelleringssystem kan delas in i fem huvudgrupper:

1) Funktioner för att skapa primitiver, samt funktioner för att addera och subtrahera volym - booleska operatorer. Dessa funktioner gör att designern snabbt kan skapa en form som är nära den slutliga formen på delen.

2) Funktioner för att skapa volymetriska kroppar genom att flytta ytan. Den svepande funktionen låter dig skapa en tredimensionell kropp genom att förflytta eller rotera ett område definierat på ett plan.

3) Funktioner utformade främst för att modifiera en befintlig form. Typiska exempelär funktionerna av rundning eller smidig parning och lyft.

4) Funktioner som låter dig direkt manipulera komponenterna i volymetriska kroppar, det vill säga längs hörn, kanter och ytor.

5) Funktioner med vilka designern kan modellera fast använda fria formulär.

Olika modelleringssystem

Solida modelleringssystem tillåter användaren att skapa fasta ämnen med en sluten volym, det vill säga i matematiska termer, fasta ämnen som representerar grenrör. Med andra ord, sådana system förbjuder skapandet av strukturer som inte är olika. Brott mot mångfaldens villkor är till exempel tangensen av två ytor i en punkt, tangensen av två ytor längs en öppen eller stängd kurva, två slutna volymer med en gemensam yta, kant eller vertex, samt ytor som bildar bikake. -typ strukturer.

Förbudet mot att skapa små modeller ansågs vara en av fördelarna med solida modelleringssystem, eftersom tack vare detta kunde vilken modell som helst som skapats i ett sådant system tillverkas. Om användaren vill arbeta med det geometriska modelleringssystemet genom hela utvecklingsprocessen visar sig denna fördel vara den andra sidan.

En abstrakt modell med en blandning av dimensioner är bekväm eftersom den inte begränsar designerns kreativa tanke. En modell med blandade dimensioner kan innehålla fria kanter, skiktade ytor och volymer. En abstrakt modell är också användbar eftersom den kan fungera som underlag för analys. Varje steg i designprocessen kan ha sina egna analytiska verktyg. Till exempel genom att använda finita elementmetoden, direkt på den initiala representationen av modellen, vilket gör att du kan automatisera återkopplingen mellan design- och analysstadierna, som för närvarande implementeras av designern oberoende. Små modeller är oumbärliga som ett steg i utvecklingen av ett projekt från en ofullständig beskrivning på låga nivåer till en färdig tredimensionell kropp. Multimodelleringssystem tillåter trådrams-, yt-, solid- och cellulära modeller att användas samtidigt i samma modelleringsmiljö, vilket utökar utbudet av tillgängliga modeller.

Beskrivning av ytor

Viktig integrerad del geometriska modeller är beskrivningen av ytor. Om delens ytor är plana ytor, kan modellen uttryckas helt enkelt genom viss information om delens ytor, kanter och hörn. I det här fallet används vanligtvis metoden för konstruktiv geometri. Representation med platta ytor förekommer också i fallet med mer komplexa ytor, om dessa ytor approximeras av uppsättningar av plana ytor - polygonala maskor. Då kan ytmodellen specificeras i någon av följande former:

1) modellen är en lista över ansikten, varje ansikte representeras av en ordnad lista med hörn (en cykel av hörn); denna form kännetecknas av betydande redundans, eftersom varje vertex upprepas i flera listor;

2) modellen är en lista över kanter, för varje kant anges infallande hörn och ytor. Dock approximering genom polygonala maskor med stora storlekar rutnätsceller producerar märkbara formförvrängningar, och med små cellstorlekar visar det sig vara ineffektivt när det gäller beräkningskostnader. Därför är beskrivningar av icke-plana ytor med kubiska ekvationer i form av Bezier eller 5-splines mer populära.

Det är bekvämt att bekanta sig med dessa former genom att visa deras användning för att beskriva geometriska objekt på den första nivån - rumsliga kurvor.

Notera. Geometriska objekt på noll-, första- och andranivån kallas punkter, kurvor respektive ytor.

MG&GM-delsystem använder parametriskt definierade kubiska kurvor

geometrisk konstruktiv modelleringsyta

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;

y(t) = ayt3 +X med t2 + cyt + dy;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

där 1 > t > 0. Sådana kurvor beskriver segment av den approximerade kurvan, d.v.s. den approximerade kurvan är uppdelad i segment och varje segment approximeras med ekvationer (3.48).

Användningen av kubiska kurvor säkerställer (genom lämpligt val av fyra koefficienter i var och en av de tre ekvationerna) uppfyllelsen av fyra villkor för konjugering av segment. I fallet med Bezier-kurvor är dessa förhållanden segmentkurvans passage genom två givna ändpunkter och likheten mellan tangentvektorerna för intilliggande segment vid dessa punkter. I fallet med 5-splines är villkoren för kontinuitet för tangentvektorn och krökningen (dvs första och andra derivatan) vid de två ändpunkterna uppfyllda, vilket säkerställer en hög grad av jämnhet i kurvan, även om passagen av den approximativa kurvan genom de givna punkterna är inte säkerställd. Användning av polynom högre än den tredje graden rekommenderas inte, eftersom det finns en hög sannolikhet för vågighet.

I fallet med Bezier-formen bestäms koefficienterna i (3.48) först genom att ersätta värdena (=0k(=1i) för koordinaterna för de givna slutpunkterna P och P4 i (3.48) , och för det andra genom att ersätta derivaten i uttrycken

dx/dt = För t2 + 2b + s, X X x"

dy/dt = For, G2 + 2byt + s,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + c.

samma värden / = 0 och / = 1 och koordinaterna för punkterna P2 och P3, som anger riktningarna för tangentvektorerna (Fig. 3.27). Som ett resultat får vi för Bezier-formen

Bezier-kurva. (3,27)

för vilken matrisen M har en annan form och presenteras i tabell. 3.12, och vektorerna Gx, Gy, G innehåller motsvarande koordinater för punkterna P, 1; R, R, + 1, R, + 2.

Låt oss visa att vid konjugationspunkterna för första och andra derivatan av det approximerande uttrycket är kontinuitetsvillkoren uppfyllda, vilket krävs av definitionen av en B-spline. Låt oss beteckna sektionen av den approximativa B-spline som motsvarar sektionen [P, P +1] av den ursprungliga kurvan med . Sedan för denna sektion och koordinater x vid konjugationspunkten Q/+, har vi t = 1 och

För ett avsnitt vid samma punkt Qi+| vi har t = 0 och

det vill säga likheten mellan derivator vid konjugationspunkten i angränsande sektioner bekräftar kontinuiteten hos tangentvektorn och krökningen. Naturligtvis är x-värdet för x-koordinaten för punkten Qi+1 för den approximativa kurvan i området .

lika med x-värdet beräknat för samma punkt på sektionen, men koordinatvärdena för nodpunkterna x och x+] för de approximerande och approximerande kurvorna sammanfaller inte.

På liknande sätt kan man få uttryck för Bezier-former och 5-splines som applicerade på ytor, med hänsyn till det faktum att istället för (3.48) används kubiska beroenden av två variabler.

Postat på Allbest.ru

Liknande dokument

Statiska och dynamiska modeller. Analys av simuleringssystem. Modelleringssystem "AnyLogic". Huvudtyper av simuleringsmodellering. Kontinuerliga, diskreta och hybridmodeller. Konstruktion av en kreditbanksmodell och dess analys.

avhandling, tillagd 2015-06-24

Problem med optimering av komplexa system och tillvägagångssätt för deras lösning. Programvaruimplementering av analysen av den jämförande effektiviteten av metoden för att ändra sannolikheter och en genetisk algoritm med en binär representation av lösningar. En metod för att lösa ett symboliskt regressionsproblem.

avhandling, tillagd 2011-02-06

Egenskaper för de grundläggande principerna för skapelsen matematiska modeller hydrologiska processer. Beskrivning av processerna för divergens, transformation och konvergens. Bekantskap med de grundläggande komponenterna i en hydrologisk modell. Kärnan i simuleringsmodellering.

presentation, tillagd 2014-10-16

Huvuduppsatsen om formalisering. Modellering av dynamiska processer och simulering av komplexa biologiska, tekniska, sociala system. Analys av objektmodellering och identifiering av alla dess kända egenskaper. Välja modellpresentationsform.

abstrakt, tillagt 2010-09-09

Effektiviteten av makroekonomiska prognoser. Historien om framväxten av ekonomisk modellering i Ukraina. Funktioner för modellering av komplexa system, riktningar och svårigheter med ekonomisk modellering. Utveckling och problem med den moderna ekonomin i Ukraina.

abstrakt, tillagt 2011-10-01

Huvudproblem med ekonometrisk modellering. Användning av dummyvariabler och harmoniska trender. Metod minst kvadrater och provvarians. Betydelsen av bestämningskoefficienten. Beräkning av elasticitetsfunktionen. Egenskaper för den linjära modellen.

test, tillagt 2009-11-06

Teoretiska och metodologiska grunder för att modellera utvecklingen av företag med hyresorienterad förvaltning. Ekonomiska och matematiska grunder för modellering av dynamiskt komplexa system. Lånefunktion: koncept, väsen, egenskaper, analytisk syn.

avhandling, tillagd 2011-04-02

Skapande av kombinerade modeller och metoder som en modern metod för prognoser. ARIMA-baserad modell för att beskriva stationära och icke-stationära tidsserier vid lösning av klustringsproblem. Autoregressiva AR-modeller och tillämpningar av korrelogram.

presentation, tillagd 2015-01-05

Metodik för att erhålla uppskattningar som används i rutiner för att utforma ledningsbeslut. Tillämpad användning av multivariat linjär regressionsmodell. Skapande av en kovariansmatris av data och beslutsdesignmönster härledda från den.

artikel, tillagd 2016-03-09

Analys av komplexa system. Utföra ekonomisk forskning med hjälp av datormodelleringsteknik. Konstruktion av blockdiagram och meddelandeflödesvägar. Utveckling av en driftsmodell för busslinjer. Multivariata modellberäkningar.