Låt oss analysera två typer av lösningar på ekvationssystem:
1. Lösa systemet med hjälp av substitutionsmetoden.
2. Lösa systemet genom term-för-term addition (subtraktion) av systemekvationerna.
För att lösa ekvationssystemet genom substitutionsmetod du måste följa en enkel algoritm:
1. Express. Från vilken ekvation som helst uttrycker vi en variabel.
2. Ersättare. Vi ersätter det resulterande värdet i en annan ekvation istället för den uttryckta variabeln.
3. Lös den resulterande ekvationen med en variabel. Vi hittar en lösning på systemet.
Att lösa system genom term-för-term addition (subtraktion) metod behöver:
1. Välj en variabel som vi ska göra identiska koefficienter för.
2. Vi adderar eller subtraherar ekvationer, vilket resulterar i en ekvation med en variabel.
3. Lös den resulterande linjära ekvationen. Vi hittar en lösning på systemet.
Lösningen på systemet är skärningspunkterna för funktionsgraferna.
Låt oss i detalj överväga lösningen av system med hjälp av exempel.
Exempel #1:
Låt oss lösa genom substitutionsmetod
Lösa ett ekvationssystem med hjälp av substitutionsmetoden2x+5y=1 (1 ekvation)
x-10y=3 (andra ekvationen)
1. Express
Man kan se att i den andra ekvationen finns en variabel x med koefficienten 1, vilket betyder att det är lättast att uttrycka variabeln x från den andra ekvationen.
x=3+10y
2.När vi har uttryckt det, ersätter vi 3+10y i den första ekvationen istället för variabeln x.
2(3+10y)+5y=1
3. Lös den resulterande ekvationen med en variabel.
2(3+10y)+5y=1 (öppna parenteserna)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Lösningen till ekvationssystemet är skärningspunkterna för graferna, därför måste vi hitta x och y, eftersom skärningspunkten består av x och y. Låt oss hitta x, i den första punkten där vi uttryckte det ersätter vi y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Det är vanligt att skriva punkter i första hand skriver vi variabeln x, och i andra hand variabeln y.
Svar: (1; -0,2)
Exempel #2:
Låt oss lösa med hjälp av term-för-term addition (subtraktion) metoden.
Lösa ett ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden3x-2y=1 (1 ekvation)
2x-3y=-10 (andra ekvationen)
1. Vi väljer en variabel, låt oss säga att vi väljer x. I den första ekvationen har variabeln x koefficienten 3, i den andra - 2. Vi måste göra koefficienterna lika, för detta har vi rätt att multiplicera ekvationerna eller dividera med valfritt tal. Vi multiplicerar den första ekvationen med 2 och den andra med 3 och får en total koefficient på 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Subtrahera den andra från den första ekvationen för att bli av med variabeln x. Lös den linjära ekvationen.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Hitta x. Vi ersätter det hittade yet i någon av ekvationerna, låt oss säga i den första ekvationen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Skärningspunkten blir x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)
Vill du förbereda dig för prov gratis? Handledare online gratis. Ingen skojar.
Lösa exponentiella ekvationer. Exempel.
Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")
Vad har hänt exponentiell ekvation? Detta är en ekvation där de okända (x) och uttryck med dem finns med indikatorer några grader. Och bara där! Det är viktigt.
Där är du exempel på exponentiella ekvationer:
3 x 2 x = 8 x+3
Notera! I grunderna för grader (nedan) - bara siffror. I indikatorer grader (ovan) - en mängd olika uttryck med ett X. Om plötsligt ett X dyker upp i ekvationen någon annanstans än en indikator, till exempel:
detta kommer redan att vara en ekvation av blandad typ. Sådana ekvationer har inga tydliga regler för att lösa dem. Vi kommer inte att överväga dem för närvarande. Här kommer vi att ta itu med lösa exponentiella ekvationer i sin renaste form.
Faktum är att inte ens rena exponentiella ekvationer alltid löses tydligt. Men det finns vissa typer av exponentiella ekvationer som kan och bör lösas. Det är dessa typer vi kommer att överväga.
Lösa enkla exponentialekvationer.
Låt oss först lösa något väldigt grundläggande. Till exempel:
Även utan några teorier, genom ett enkelt urval är det tydligt att x = 2. Inget mer, eller hur!? Inget annat värde på X fungerar. Låt oss nu titta på lösningen på denna knepiga exponentiella ekvation:
Vad har vi gjort? Vi, faktiskt, helt enkelt kastade ut samma baser (trippel). Helt utkastad. Och de goda nyheterna är att vi slår huvudet på spiken!
Ja, om det finns vänster och höger i en exponentiell ekvation det samma tal i valfri potens kan dessa tal tas bort och exponenterna kan utjämnas. Matematik tillåter. Det återstår att lösa en mycket enklare ekvation. Bra, eller hur?)
Men låt oss komma ihåg: Du kan bara ta bort baser när basnumren till vänster och höger är i utmärkt isolering! Utan några grannar och koefficienter. Låt oss säga i ekvationerna:
2 x +2 x+1 = 2 3, eller
tvåor kan inte tas bort!
Jo, vi har bemästrat det viktigaste. Hur man går från onda exponentiella uttryck till enklare ekvationer.
"Det är tiderna!" - du säger. "Vem skulle ge en så primitiv lektion om prov och tentor!?"
Jag måste hålla med. Ingen kommer att göra det. Men nu vet du vart du ska sikta när du löser knepiga exempel. Det måste föras till den form där samma basnummer finns till vänster och höger. Då blir allt lättare. Egentligen är detta en klassiker inom matematik. Vi tar det ursprungliga exemplet och omvandlar det till det önskade oss sinne. Enligt matematikens regler förstås.
Låt oss titta på exempel som kräver lite extra ansträngning för att reducera dem till det enklaste. Låt oss ringa dem enkel exponentiella ekvationer.
Lösa enkla exponentialekvationer. Exempel.
Vid lösning av exponentiella ekvationer är huvudreglerna åtgärder med grader. Utan kunskap om dessa handlingar kommer ingenting att fungera.
Till handlingar med grader måste man lägga personlig observation och uppfinningsrikedom. Behöver vi samma bastal? Så vi letar efter dem i exemplet i explicit eller krypterad form.
Låt oss se hur detta går till i praktiken?
Låt oss ge ett exempel:
2 2x - 8 x+1 = 0
Den första skarpa blicken är på grunder. De... De är olika! Två och åtta. Men det är för tidigt att bli avskräckt. Det är dags att komma ihåg det
Två och åtta är släkt i grad.) Det är fullt möjligt att skriva:
8 x+1 = (2 3) x+1
Om vi minns formeln från operationer med grader:
(a n) m = a nm ,
det här går jättebra:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Det ursprungliga exemplet började se ut så här:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Vi överför 2 3 (x+1) till höger (ingen har avbrutit matematikens elementära operationer!), får vi:
2 2x = 2 3(x+1)
Det är praktiskt taget allt. Ta bort baserna:
Vi löser detta monster och får
Detta är det korrekta svaret.
I det här exemplet hjälpte det oss att känna till tvås krafter. Vi identifieras i åtta finns en krypterad tvåa. Denna teknik (kodning av gemensamma baser under olika tal) är en mycket populär teknik i exponentiella ekvationer! Ja, och i logaritmer också. Du måste kunna känna igen potenser för andra tal i tal. Detta är extremt viktigt för att lösa exponentiella ekvationer.
Faktum är att det inte är ett problem att höja valfritt antal till valfri makt. Multiplicera, även på papper, och det är allt. Till exempel kan vem som helst höja 3 till femte potensen. 243 kommer att fungera om du känner till multiplikationstabellen.) Men i exponentialekvationer är det mycket oftare inte nödvändigt att höja till en potens, utan vice versa... Ta reda på det vilket antal i vilken gradär gömd bakom siffran 243, eller, säg, 343... Ingen miniräknare hjälper dig här.
Du måste känna till krafterna hos vissa siffror genom synen, eller hur... Låt oss öva?
Bestäm vilka potenser och vilka siffror talen är:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Svar (i en röra, förstås!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Om du tittar noga kan du se konstigt faktum. Det finns betydligt fler svar än uppgifter! Tja, det händer... Till exempel 2 6, 4 3, 8 2 - det är alla 64.
Låt oss anta att du har tagit del av informationen om förtrogenhet med siffror.) Låt mig också påminna dig om att för att lösa exponentialekvationer använder vi Allt lager av matematiska kunskaper. Inklusive de från junior- och medelklass. Du gick inte direkt till gymnasiet, eller hur?)
Till exempel, när man löser exponentiella ekvationer, hjälper det ofta att sätta den gemensamma faktorn utanför parentes (hej till 7:e klass!). Låt oss titta på ett exempel:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Och återigen, den första anblicken är på grunderna! Grunderna för graderna är olika... Tre och nio. Men vi vill att de ska vara likadana. Tja, i det här fallet är önskan helt uppfylld!) Eftersom:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Använd samma regler för att hantera examina:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Det är bra, du kan skriva ner det:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Vi gav ett exempel av samma skäl. Så, vad är nästa!? Du kan inte kasta ut treor... Återvändsgränd?
Inte alls. Kom ihåg den mest universella och kraftfulla beslutsregeln alla matematiska uppgifter:
Om du inte vet vad du behöver, gör vad du kan!
Titta, allt kommer att ordna sig).
Vad finns i den här exponentiella ekvationen Burk do? Ja, på vänster sida ber det bara att tas ur parentes! Den totala multiplikatorn på 3 2x tyder tydligt på detta. Låt oss försöka, så får vi se:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Exemplet blir bättre och bättre!
Vi kommer ihåg att för att eliminera grunder behöver vi en ren grad, utan några koefficienter. Siffran 70 stör oss. Så vi dividerar båda sidor av ekvationen med 70 får vi:
hoppsan! Allt blev bättre!
Detta är det slutliga svaret.
Det händer dock att taxning på samma grund uppnås, men att deras eliminering inte är möjlig. Detta händer i andra typer av exponentiella ekvationer. Låt oss bemästra den här typen.
Ersätta en variabel vid lösning av exponentialekvationer. Exempel.
Låt oss lösa ekvationen:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Först - som vanligt. Låt oss gå vidare till en bas. Till en tvåa.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Vi får ekvationen:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Och det är här vi umgås. De tidigare teknikerna kommer inte att fungera, hur man än ser på det. Vi måste ta fram en annan kraftfull och universell metod ur vår arsenal. Det heter variabel ersättning.
Kärnan i metoden är förvånansvärt enkel. Istället för en komplex ikon (i vårt fall - 2 x) skriver vi en annan, enklare (till exempel - t). En sådan till synes meningslös ersättning leder till fantastiska resultat!) Allt blir bara klart och begripligt!
Så låt
Sedan 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
I vår ekvation ersätter vi alla potenser med x med t:
Tja, går det upp för dig?) Kvadratisk ekvation Har du glömt ännu? Löser vi genom diskriminanten får vi:
Huvudsaken här är att inte sluta, som händer... Det här är inte svaret än, vi behöver x, inte t. Låt oss återgå till X:en, dvs. vi gör en omvänd ersättning. Först för t 1:
Det är,
En rot hittades. Vi letar efter den andra från t 2:
Hm... 2 x till vänster, 1 till höger... Problem? Inte alls! Det räcker med att komma ihåg (från operationer med befogenheter, ja...) att en enhet är några nummer till nollpotens. Några. Vad som än behövs kommer vi att installera det. Vi behöver en tvåa. Betyder att:
Det är det nu. Vi har 2 rötter:
Detta är svaret.
På lösa exponentiella ekvationer på slutet får man ibland någon form av besvärlig uttryck. Typ:
Sju kan inte omvandlas till två genom en enkel kraft. De är inte släktingar... Hur kan vi vara det? Någon kan vara förvirrad... Men personen som läste på denna sida ämnet "Vad är en logaritm?" , ler bara sparsamt och skriver ner med fast hand det absolut rätta svaret:
Det kan inte finnas ett sådant svar i uppgifter "B" på Unified State Examination. Där krävs ett specifikt nummer. Men i uppgifter "C" är det enkelt.
Den här lektionen ger exempel på att lösa de vanligaste exponentiella ekvationerna. Låt oss lyfta fram huvudpunkterna.
1. Först och främst tittar vi på grunder grader. Vi undrar om det går att göra dem identisk. Låt oss försöka göra detta genom att aktivt använda åtgärder med grader. Glöm inte att tal utan x också kan omvandlas till potenser!
2. Vi försöker få exponentialekvationen till formen när det till vänster och till höger finns det samma siffror i valfri potens. Vi använder åtgärder med grader Och faktorisering. Det som kan räknas i siffror, det räknar vi.
3. Om det andra tipset inte fungerar, försök att använda variabel ersättning. Resultatet kan bli en ekvation som lätt kan lösas. Oftast - fyrkantig. Eller bråk, som också reduceras till kvadrat.
4. För att framgångsrikt lösa exponentialekvationer måste du känna till potenserna för vissa tal genom synen.
Som vanligt, i slutet av lektionen uppmanas du att bestämma lite.) På egen hand. Från enkelt till komplext.
Lös exponentiella ekvationer:
Svårare:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0
Hitta produkten av rötter:
2 3:or + 2 x = 9
Hände?
Tja, då ett mycket komplext exempel (även om det kan lösas i sinnet...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Vad är mer intressant? Då är här ett dåligt exempel för dig. Ganska frestande för ökad svårighetsgrad. Låt mig antyda att i detta exempel är det som räddar dig uppfinningsrikedom och den mest universella regeln för att lösa alla matematiska problem.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Ett enklare exempel, för avkoppling):
9 2 x - 4 3 x = 0
Och till efterrätt. Hitta summan av rötterna till ekvationen:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Jaja! Detta är en ekvation av blandad typ! Vilket vi inte tog hänsyn till i den här lektionen. Varför överväga dem, de måste lösas!) Den här lektionen är tillräckligt för att lösa ekvationen. Nåväl, du behöver uppfinningsrikedom... Och må sjunde klass hjälpa dig (det här är ett tips!).
Svar (i oordning, separerade med semikolon):
1; 2; 3; 4; det finns inga lösningar; 2; -2; -5; 4; 0.
Är allt lyckat? Bra.
Det finns ett problem? Inga problem! Special Section 555 löser alla dessa exponentiella ekvationer med detaljerade förklaringar. Vad, varför och varför. Och, naturligtvis, det finns ytterligare värdefull information om att arbeta med alla typer av exponentiella ekvationer. Inte bara dessa.)
En sista rolig fråga att fundera över. I den här lektionen arbetade vi med exponentiella ekvationer. Varför sa jag inte ett ord om ODZ här? I ekvationer är detta en väldigt viktig sak, förresten...
Om du gillar den här sidan...
Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)
Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)
Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.
Med den här videon börjar jag en serie lektioner dedikerade till ekvationssystem. Idag ska vi prata om att lösa linjära ekvationssystem tilläggsmetod– det här är en av de mest enkla sätt, men samtidigt en av de mest effektiva.
Tilläggsmetoden består av tre enkla steg:
- Titta på systemet och välj en variabel som har identiska (eller motsatta) koefficienter i varje ekvation;
- Utför algebraisk subtraktion (för motsatta tal - addition) av ekvationer från varandra och ta sedan med liknande termer;
- Lös den nya ekvationen som erhålls efter det andra steget.
Om allt görs korrekt kommer vi vid utgången att få en enda ekvation med en variabel– Det blir inte svårt att lösa det. Sedan återstår bara att ersätta den hittade roten i det ursprungliga systemet och få det slutliga svaret.
Men i praktiken är allt inte så enkelt. Det finns flera anledningar till detta:
- Att lösa ekvationer med additionsmetoden innebär att alla linjer måste innehålla variabler med lika/motsatta koefficienter. Vad ska man göra om detta krav inte uppfylls?
- Inte alltid, efter att ha adderat/subtraherat ekvationer på angivet sätt, får vi en vacker konstruktion som lätt kan lösas. Är det möjligt att på något sätt förenkla beräkningarna och påskynda beräkningarna?
För att få svar på dessa frågor, och samtidigt förstå några ytterligare finesser som många elever misslyckas med, titta på min videolektion:
Med den här lektionen börjar vi en serie föreläsningar som ägnas åt ekvationssystem. Och vi kommer att utgå från den enklaste av dem, nämligen de som innehåller två ekvationer och två variabler. Var och en av dem kommer att vara linjär.
System är 7:e klass material, men den här lektionen kommer också att vara användbar för gymnasieelever som vill fräscha upp sina kunskaper om detta ämne.
I allmänhet finns det två metoder för att lösa sådana system:
- Tilläggsmetod;
- En metod för att uttrycka en variabel i termer av en annan.
Idag kommer vi att ta itu med den första metoden - vi kommer att använda metoden för subtraktion och addition. Men för att göra detta måste du förstå följande faktum: när du har två eller flera ekvationer kan du ta vilka två som helst och lägga till dem till varandra. De läggs till medlem för medlem, d.v.s. "X" läggs till "X" och liknande anges, "Y" med "Y" är lika igen, och det som är till höger om likhetstecknet läggs också till varandra, och liknande anges också där .
Resultaten av sådana bearbetningar kommer att bli en ny ekvation, som, om den har rötter, säkert kommer att vara bland rötterna till den ursprungliga ekvationen. Därför är vår uppgift att göra subtraktionen eller additionen på ett sådant sätt att antingen $x$ eller $y$ försvinner.
Hur man uppnår detta och vilket verktyg man ska använda för detta - vi ska prata om detta nu.
Lös enkla problem med addition
Så vi lär oss att använda additionsmetoden med exemplet med två enkla uttryck.
Uppgift nr 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
Observera att $y$ har en koefficient på $-4$ i den första ekvationen och $+4$ i den andra. De är ömsesidigt motsatta, så det är logiskt att anta att om vi lägger ihop dem, så kommer "spelen" att förstöras ömsesidigt i den resulterande summan. Lägg ihop det och få:
Låt oss lösa den enklaste konstruktionen:
Bra, vi hittade "x". Vad ska vi göra med det nu? Vi har rätt att ersätta det i någon av ekvationerna. Låt oss ersätta i den första:
\[-4y=12\vänster| :\left(-4 \right) \right.\]
Svar: $\left(2;-3 \right)$.
Problem nr 2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Situationen här är helt liknande, bara med "X". Låt oss lägga ihop dem:
Vi har den enklaste linjära ekvationen, låt oss lösa den:
Låt oss nu hitta $x$:
Svar: $\left(-3;3 \right)$.
Viktiga punkter
Så vi har precis löst två enkla system av linjära ekvationer med hjälp av additionsmetoden. Nyckelpunkter igen:
- Om det finns motsatta koefficienter för en av variablerna är det nödvändigt att lägga till alla variabler i ekvationen. I det här fallet kommer en av dem att förstöras.
- Vi ersätter den hittade variabeln i någon av systemekvationerna för att hitta den andra.
- Den slutliga svarsposten kan presenteras på olika sätt. Till exempel, så här - $x=...,y=...$, eller i form av koordinater för punkter - $\left(...;... \right)$. Det andra alternativet är att föredra. Det viktigaste att komma ihåg är att den första koordinaten är $x$ och den andra är $y$.
- Regeln att skriva svaret i form av punktkoordinater är inte alltid tillämplig. Den kan till exempel inte användas när variablerna inte är $x$ och $y$, utan till exempel $a$ och $b$.
I följande problem kommer vi att överväga subtraktionstekniken när koefficienterna inte är motsatta.
Lös enkla problem med hjälp av subtraktionsmetoden
Uppgift nr 1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Observera att det inte finns några motsatta koefficienter här, utan det finns identiska. Därför subtraherar vi den andra från den första ekvationen:
Nu ersätter vi värdet $x$ i någon av systemekvationerna. Låt oss gå först:
Svar: $\left(2;5\right)$.
Problem nr 2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Vi ser återigen samma koefficient på $5$ för $x$ i den första och andra ekvationen. Därför är det logiskt att anta att du måste subtrahera den andra från den första ekvationen:
Vi har beräknat en variabel. Låt oss nu hitta den andra, till exempel genom att ersätta värdet $y$ i den andra konstruktionen:
Svar: $\left(-3;-2 \right)$.
Nyanser av lösningen
Så vad ser vi? I huvudsak skiljer sig schemat inte från lösningen av tidigare system. Den enda skillnaden är att vi inte adderar ekvationer, utan subtraherar dem. Vi gör algebraisk subtraktion.
Med andra ord, så snart du ser ett system som består av två ekvationer i två okända, är det första du behöver titta på koefficienterna. Om de är lika någonstans, subtraheras ekvationerna, och om de är motsatta används additionsmetoden. Detta görs alltid så att en av dem försvinner, och i den slutliga ekvationen, som finns kvar efter subtraktion, återstår bara en variabel.
Det är naturligtvis inte allt. Nu ska vi överväga system där ekvationerna i allmänhet är inkonsekventa. De där. Det finns inga variabler i dem som är vare sig desamma eller motsatta. I det här fallet, för att lösa sådana system, används en ytterligare teknik, nämligen att multiplicera var och en av ekvationerna med en speciell koefficient. Hur man hittar det och hur man löser sådana system i allmänhet, vi ska prata om detta nu.
Lösa problem genom att multiplicera med en koefficient
Exempel #1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Vi ser att varken för $x$ eller för $y$ är koefficienterna inte bara inbördes motsatta, utan inte heller på något sätt korrelerade med den andra ekvationen. Dessa koefficienter kommer inte att försvinna på något sätt, även om vi adderar eller subtraherar ekvationerna från varandra. Därför är det nödvändigt att tillämpa multiplikation. Låt oss försöka bli av med variabeln $y$. För att göra detta multiplicerar vi den första ekvationen med koefficienten $y$ från den andra ekvationen, och den andra ekvationen med koefficienten $y$ från den första ekvationen, utan att röra vid tecknet. Vi multiplicerar och får ett nytt system:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Låt oss titta på det: vid $y$ är koefficienterna motsatta. I en sådan situation är det nödvändigt att använda additionsmetoden. Låt oss lägga till:
Nu måste vi hitta $y$. För att göra detta, ersätt $x$ i det första uttrycket:
\[-9y=18\vänster| :\left(-9 \right) \right.\]
Svar: $\left(4;-2 \right)$.
Exempel nr 2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Återigen är koefficienterna för ingen av variablerna konsekventa. Låt oss multiplicera med koefficienterna för $y$:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\vänster\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Vårt nya system är ekvivalent med det tidigare, men koefficienterna för $y$ är ömsesidigt motsatta, och därför är det lätt att tillämpa additionsmetoden här:
Låt oss nu hitta $y$ genom att ersätta $x$ i den första ekvationen:
Svar: $\left(-2;1 \right)$.
Nyanser av lösningen
Nyckelregeln här är följande: vi multiplicerar alltid endast med positiva tal - detta kommer att rädda dig från dumma och stötande misstag i samband med att byta tecken. I allmänhet är lösningsschemat ganska enkelt:
- Vi tittar på systemet och analyserar varje ekvation.
- Om vi ser att varken $y$ eller $x$ är koefficienterna konsekventa, dvs. de är varken lika eller motsatta, då gör vi följande: vi väljer variabeln som vi behöver bli av med, och sedan tittar vi på koefficienterna för dessa ekvationer. Om vi multiplicerar den första ekvationen med koefficienten från den andra, och den andra, på motsvarande sätt, multiplicerar med koefficienten från den första, så får vi i slutändan ett system som är helt ekvivalent med den föregående, och koefficienterna $ y$ kommer att vara konsekvent. Alla våra handlingar eller transformationer syftar endast till att få en variabel i en ekvation.
- Vi hittar en variabel.
- Vi ersätter den hittade variabeln i en av systemets två ekvationer och hittar den andra.
- Vi skriver svaret i form av punktkoordinater om vi har variablerna $x$ och $y$.
Men även en sådan enkel algoritm har sina egna subtiliteter, till exempel kan koefficienterna för $x$ eller $y$ vara bråk och andra "fula" tal. Vi kommer nu att överväga dessa fall separat, eftersom du i dem kan agera något annorlunda än enligt standardalgoritmen.
Lösa problem med bråk
Exempel #1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Lägg först märke till att den andra ekvationen innehåller bråk. Men observera att du kan dividera $4$ med $0,8$. Vi kommer att få $5$. Låt oss multiplicera den andra ekvationen med $5$:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Vi subtraherar ekvationerna från varandra:
Vi hittade $n$, nu ska vi räkna $m$:
Svar: $n=-4;m=5$
Exempel nr 2
\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ höger.\]
Här, liksom i det tidigare systemet, finns bråkkoefficienter, men för ingen av variablerna passar koefficienterna in i varandra ett helt antal gånger. Därför använder vi standardalgoritmen. Bli av med $p$:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]
Vi använder subtraktionsmetoden:
Låt oss hitta $p$ genom att ersätta $k$ i den andra konstruktionen:
Svar: $p=-4;k=-2$.
Nyanser av lösningen
Det är bara optimering. I den första ekvationen multiplicerade vi inte med någonting alls, utan multiplicerade den andra ekvationen med $5$. Som ett resultat fick vi en konsekvent och till och med identisk ekvation för den första variabeln. I det andra systemet följde vi en standardalgoritm.
Men hur hittar man talen som man multiplicerar ekvationer med? När allt kommer omkring, om vi multiplicerar med bråk får vi nya bråk. Därför måste bråken multipliceras med ett tal som skulle ge ett nytt heltal, och därefter måste variablerna multipliceras med koefficienter, enligt standardalgoritmen.
Avslutningsvis vill jag uppmärksamma er på formatet för inspelning av svaret. Som jag redan sa, eftersom vi här inte har $x$ och $y$, utan andra värden, använder vi en icke-standardiserad notation av formen:
Lösa komplexa ekvationssystem
Som en sista anteckning till dagens videohandledning, låt oss titta på ett par riktigt komplexa system. Deras komplexitet kommer att bestå i det faktum att de kommer att ha variabler till både vänster och höger. Därför måste vi tillämpa förbearbetning för att lösa dem.
System nr 1
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
Varje ekvation har en viss komplexitet. Låt oss därför behandla varje uttryck som med en vanlig linjär konstruktion.
Totalt får vi det slutliga systemet, som motsvarar det ursprungliga:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Låt oss titta på koefficienterna för $y$: $3$ passar in i $6$ två gånger, så låt oss multiplicera den första ekvationen med $2$:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Koefficienterna för $y$ är nu lika, så vi subtraherar den andra från den första ekvationen: $$
Låt oss nu hitta $y$:
Svar: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
System nr 2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
Låt oss omvandla det första uttrycket:
Låt oss ta itu med den andra:
\[-3\vänster(b-2a \höger)-12=2\vänster(a-5 \höger)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Totalt kommer vårt initiala system att ha följande form:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
När vi tittar på koefficienterna för $a$ ser vi att den första ekvationen måste multipliceras med $2$:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Subtrahera den andra från den första konstruktionen:
Låt oss nu hitta $a$:
Svar: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Det är allt. Jag hoppas att denna videohandledning hjälper dig att förstå detta svåra ämne, nämligen att lösa system med enkla linjära ekvationer. Det kommer att finnas många fler lektioner om detta ämne i framtiden: vi kommer att titta på mer komplexa exempel, där det kommer att finnas fler variabler och själva ekvationerna kommer att vara olinjära. Vi ses!
En ekvation med en okänd, som, efter att ha öppnat parenteserna och fört liknande termer, tar formen
ax + b = 0, där a och b är godtyckliga tal, anropas linjär ekvation med en okänd. Idag ska vi ta reda på hur dessa linjära ekvationer besluta.
Till exempel, alla ekvationer:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linjär.
Värdet av det okända som förvandlar ekvationen till en sann likhet kallas beslut eller roten till ekvationen .
Till exempel, om vi i ekvationen 3x + 7 = 13 istället för det okända x ersätter talet 2, får vi den korrekta likheten 3 2 +7 = 13. Det betyder att värdet x = 2 är lösningen eller roten av ekvationen.
Och värdet x = 3 förvandlar inte ekvationen 3x + 7 = 13 till en sann likhet, eftersom 3 2 +7 ≠ 13. Det betyder att värdet x = 3 inte är en lösning eller roten till ekvationen.
Att lösa alla linjära ekvationer reduceras till att lösa formens ekvationer
ax + b = 0.
Låt oss flytta den fria termen från vänster sida av ekvationen till höger, ändra tecknet framför b till det motsatta, vi får
Om a ≠ 0 så är x = ‒ b/a .
Exempel 1. Lös ekvationen 3x + 2 =11.
Låt oss flytta 2 från vänster sida av ekvationen till höger, ändra tecknet framför 2 till det motsatta, vi får
3x = 11 – 2.
Låt oss göra subtraktionen då
3x = 9.
För att hitta x måste du dividera produkten med en känd faktor, det vill säga
x = 9:3.
Det betyder att värdet x = 3 är lösningen eller roten till ekvationen.
Svar: x = 3.
Om a = 0 och b = 0, då får vi ekvationen 0x = 0. Denna ekvation har oändligt många lösningar, eftersom när vi multiplicerar valfritt tal med 0 får vi 0, men b är också lika med 0. Lösningen till denna ekvation är vilket tal som helst.
Exempel 2. Lös ekvationen 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Låt oss utöka parenteserna:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Här är några liknande termer:
0x = 0.
Svar: x - valfritt tal.
Om a = 0 och b ≠ 0, då får vi ekvationen 0x = - b. Denna ekvation har inga lösningar, eftersom när vi multiplicerar ett tal med 0 får vi 0, men b ≠ 0.
Exempel 3. Lös ekvationen x + 8 = x + 5.
Låt oss gruppera termer som innehåller okända på vänster sida och fria termer på höger sida:
x – x = 5 – 8.
Här är några liknande termer:
0х = ‒ 3.
Svar: inga lösningar.
På Figur 1 visar ett diagram för att lösa en linjär ekvation
Låt oss göra upp ett allmänt schema för att lösa ekvationer med en variabel. Låt oss överväga lösningen till exempel 4.
Exempel 4. Anta att vi måste lösa ekvationen
1) Multiplicera alla termer i ekvationen med den minsta gemensamma multipeln av nämnarna, lika med 12.
2) Efter reducering får vi
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) För att separera termer som innehåller okända och fria termer, öppna parenteserna:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Låt oss gruppera i en del termerna som innehåller okända, och i den andra - fria termer:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Låt oss presentera liknande termer:
- 22х = - 154.
6) Dividera med – 22, vi får
x = 7.
Som du kan se är roten till ekvationen sju.
Generellt sådant ekvationer kan lösas med hjälp av följande schema:
a) bringa ekvationen till sin heltalsform;
b) öppna fästena;
c) gruppera termerna som innehåller det okända i en del av ekvationen och de fria termerna i den andra;
d) ta med liknande medlemmar;
e) lös en ekvation av formen aх = b, som erhölls efter att ha tagit fram liknande termer.
Detta schema är dock inte nödvändigt för varje ekvation. När man löser många fler enkla ekvationer du måste börja inte från den första, utan från den andra ( Exempel. 2), tredje ( Exempel. 13) och även från det femte steget, som i exempel 5.
Exempel 5. Lös ekvationen 2x = 1/4.
Hitta det okända x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Låt oss titta på att lösa några linjära ekvationer som finns i huvudprovet.
Exempel 6. Lös ekvationen 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Svar: - 0,125
Exempel 7. Lös ekvationen – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Svar: 2.3
Exempel 8. Lös ekvationen
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Exempel 9. Hitta f(6) om f (x + 2) = 3 7:or
Lösning
Eftersom vi behöver hitta f(6), och vi vet f (x + 2),
sedan x + 2 = 6.
Vi löser den linjära ekvationen x + 2 = 6,
vi får x = 6 – 2, x = 4.
Om x = 4 då
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Svar: 27.
Om du fortfarande har frågor eller vill förstå att lösa ekvationer mer grundligt, anmäl dig till mina lektioner i SCHEMA. Jag hjälper dig gärna!
TutorOnline rekommenderar också att du tittar på en ny videolektion från vår handledare Olga Alexandrovna, som hjälper dig att förstå både linjära ekvationer och andra.
webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.
Ekvationer
Hur löser man ekvationer?
I det här avsnittet kommer vi att återkalla (eller studera, beroende på vem du väljer) de mest elementära ekvationerna. Så vad är ekvationen? På mänskligt språk är detta något slags matematiskt uttryck där det finns ett likhetstecken och ett okänt. Vilket brukar betecknas med bokstaven "X". Lös ekvationen- det här är att hitta sådana värden på x som, när de ersätts med original uttryck kommer att ge oss den korrekta identiteten. Låt mig påminna dig om att identitet är ett uttryck som är utom tvivel även för en person som absolut inte är belastad med matematisk kunskap. Som 2=2, 0=0, ab=ab osv. Så hur löser man ekvationer? Låt oss ta reda på det.
Det finns alla möjliga ekvationer (jag är förvånad, eller hur?). Men all deras oändliga variation kan delas in i bara fyra typer.
4. Övrig.)
Alla de andra, naturligtvis, mest av allt, ja...) Detta inkluderar kubisk, exponentiell, logaritmisk, trigonometrisk och alla möjliga andra. Vi kommer att arbeta nära dem i lämpliga avsnitt.
Jag ska genast säga att ibland är ekvationerna för de tre första typerna så skruvade att du inte ens känner igen dem... Ingenting. Vi kommer att lära oss att varva ner dem.
Och varför behöver vi dessa fyra typer? Och sen då linjära ekvationer löst på ett sätt fyrkant andra, bråkrationaler - tredje, A resten De vågar inte alls! Tja, det är inte så att de inte kan bestämma sig alls, det är att jag hade fel med matematik.) Det är bara det att de har sina egna speciella tekniker och metoder.
Men för alla (jag upprepar - för några!)-ekvationer ger en tillförlitlig och felsäker grund för lösning. Fungerar överallt och alltid. Denna foundation - Låter läskigt, men det är väldigt enkelt. Och väldigt (Mycket!) Viktig.
Egentligen består lösningen av ekvationen av just dessa transformationer. 99 % Svar på frågan: " Hur löser man ekvationer?" ligger just i dessa transformationer. Är antydan tydlig?)
Identiska transformationer av ekvationer.
I några ekvationer För att hitta det okända måste du transformera och förenkla det ursprungliga exemplet. Och så det när man byter utseende essensen av ekvationen har inte förändrats. Sådana transformationer kallas identisk eller likvärdig.
Observera att dessa omvandlingar gäller specifikt till ekvationerna. Det finns också identitetsförändringar i matematik uttryck. Det här är ett annat ämne.
Nu ska vi upprepa allt, allt, allt grundläggande identiska transformationer av ekvationer.
Grundläggande eftersom de kan appliceras på några ekvationer - linjära, kvadratiska, bråkdelar, trigonometriska, exponentiella, logaritmiska, etc. och så vidare.
Första identitetsförvandlingen: du kan addera (subtrahera) till båda sidor av vilken ekvation som helst några(men ett och samma!) nummer eller uttryck (inklusive ett uttryck med ett okänt!). Detta ändrar inte essensen av ekvationen.
Förresten, du använde hela tiden denna transformation, du trodde bara att du överförde några termer från en del av ekvationen till en annan med ett teckenbyte. Typ:
Fallet är bekant, vi flyttar de två till höger och vi får:
Egentligen du borttagen från båda sidor av ekvationen är två. Resultatet är detsamma:
x+2 - 2 = 3 - 2
Att flytta termer åt vänster och höger med byte av tecken är helt enkelt en förkortad version av den första identitetstransformationen. Och varför behöver vi så djup kunskap? - du frågar. Inget i ekvationerna. För guds skull, stå ut med det. Glöm bara inte att byta skylt. Men i ojämlikheter kan vanan att överföra leda till en återvändsgränd...
Andra identitetsförvandlingen: båda sidor av ekvationen kan multipliceras (divideras) med samma sak icke-noll tal eller uttryck. Här dyker redan en förståelig begränsning upp: att multiplicera med noll är dumt, och att dividera är helt omöjligt. Det här är förvandlingen du använder när du löser något coolt som
Kusten är klar X= 2. Hur hittade du det? Genom urval? Eller gick det bara upp för dig? För att inte välja och inte vänta på insikt måste du förstå att du är rättvis delat på båda sidor av ekvationen med 5. När den vänstra sidan dividerades (5x), reducerades de fem, vilket lämnade rent X. Vilket är precis vad vi behövde. Och när man dividerar höger sida av (10) med fem blir resultatet naturligtvis två.
Det är allt.
Det är roligt, men dessa två (endast två!) identiska transformationer är grunden för lösningen alla matematikens ekvationer. Wow! Det är vettigt att titta på exempel på vad och hur, eller hur?)
Exempel på identiska transformationer av ekvationer. Huvudproblem.
Låt oss börja med först identitetsförvandling. Överför vänster-höger.
Ett exempel för de yngre.)
Låt oss säga att vi måste lösa följande ekvation:
3-2x=5-3x
Låt oss komma ihåg besvärjelsen: "med X - till vänster, utan X - till höger!" Denna besvärjelse är instruktioner för att använda den första identitetstransformationen.) Vilket uttryck med ett X är till höger? 3x? Svaret är felaktigt! På vår högra sida - 3x! Minus tre x! Därför, när du flyttar till vänster, kommer tecknet att ändras till plus. Det kommer att visa sig:
3-2x+3x=5
Så X:en samlades i en hög. Låt oss gå in på siffrorna. Det finns en trea till vänster. Med vilket tecken? Svaret "med ingen" accepteras inte!) Framför de tre ritas faktiskt ingenting. Och detta betyder att före de tre finns det plus. Så matematikerna höll med. Inget är skrivet, vilket betyder plus. Därför kommer trippeln att överföras till höger sida med ett minus. Vi får:
-2x+3x=5-3
Det finns bara småsaker kvar. Till vänster - ta med liknande, till höger - räkna. Svaret kommer direkt:
I det här exemplet räckte en identitetsförvandling. Den andra behövdes inte. Tja, okej.)
Ett exempel för äldre barn.)
Om du gillar den här sidan...
Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)
Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)
Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.
