Alla typer av ekvationer och deras lösningar. Lösa enkla linjära ekvationer. Avkodning av ämnet för lektionen

I den här videon kommer vi att analysera hela uppsättningen linjära ekvationer, som löses med samma algoritm - det är därför de kallas de enklaste.

Låt oss först definiera: vad är en linjär ekvation och vilken kallas den enklaste?

En linjär ekvation är en där det bara finns en variabel, och endast till den första graden.

Den enklaste ekvationen betyder konstruktionen:

Alla andra linjära ekvationer reduceras till det enklaste med hjälp av algoritmen:

1. Expandera parenteser, om några;
2. Flytta termer som innehåller en variabel till ena sidan av likhetstecknet och termer utan variabel till den andra;
3. Ge liknande termer till vänster och höger om likhetstecknet;
4. Dividera den resulterande ekvationen med koefficienten för variabeln $x$.

Naturligtvis hjälper denna algoritm inte alltid. Faktum är att ibland efter alla dessa bearbetningar visar sig koefficienten för variabeln $x$ vara lika med noll. I det här fallet är två alternativ möjliga:

1. Ekvationen har inga lösningar alls. Till exempel, när något som $0\cdot x=8$ visar sig, dvs. till vänster är noll, och till höger är ett annat tal än noll. I videon nedan kommer vi att titta på flera anledningar till varför denna situation är möjlig.
2. Lösningen är alla siffror. Det enda fallet då detta är möjligt är när ekvationen har reducerats till konstruktionen $0\cdot x=0$. Det är ganska logiskt att oavsett vilka $x$ vi ersätter så kommer det fortfarande att visa sig "noll är lika med noll", dvs. korrekt numerisk likhet.

Låt oss nu se hur allt detta fungerar med hjälp av verkliga exempel.

Exempel på att lösa ekvationer

Idag har vi att göra med linjära ekvationer, och bara de enklaste. I allmänhet betyder en linjär ekvation varje likhet som innehåller exakt en variabel, och den går bara till första graden.

Sådana konstruktioner löses på ungefär samma sätt:

1. Först och främst måste du öppna parenteserna, om några (som i vår sista exemplet);
2. Kombinera sedan liknande
3. Slutligen isolera variabeln, dvs. flytta allt som är kopplat till variabeln – de termer som den finns i – till ena sidan och flytta allt som är kvar utan den till den andra sidan.

Sedan måste du som regel ge liknande på varje sida av den resulterande likheten, och efter det återstår bara att dividera med koefficienten "x", så får vi det slutliga svaret.

I teorin ser detta snyggt och enkelt ut, men i praktiken kan även erfarna gymnasieelever göra kränkande misstag i ganska enkla linjära ekvationer. Vanligtvis görs fel antingen när man öppnar parenteser eller när man beräknar "plus" och "minus".

Dessutom händer det att en linjär ekvation inte har några lösningar alls, eller att lösningen är hela tallinjen, d.v.s. vilket nummer som helst. Vi kommer att titta på dessa finesser i dagens lektion. Men vi börjar, som du redan förstått, med själva enkla uppgifter.

Schema för att lösa enkla linjära ekvationer

Låt mig först återigen skriva hela schemat för att lösa de enklaste linjära ekvationerna:

1. Utöka eventuella parenteser.
2. Vi isolerar variablerna, d.v.s. Vi flyttar allt som innehåller "X" till ena sidan och allt utan "X" till den andra.
3. Vi presenterar liknande termer.
4. Vi dividerar allt med koefficienten "x".

Naturligtvis fungerar det här schemat inte alltid; det finns vissa finesser och tricks i det, och nu kommer vi att lära känna dem.

Lösa verkliga exempel på enkla linjära ekvationer

Uppgift nr 1

Det första steget kräver att vi öppnar fästena. Men de finns inte i det här exemplet, så vi hoppar över det här steget. I det andra steget måste vi isolera variablerna. Observera: vi talar bara om enskilda termer. Låt oss skriva ner det:

Vi presenterar liknande termer till vänster och höger, men det har redan gjorts här. Därför går vi vidare till det fjärde steget: dividera med koefficienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fick svaret.

Uppgift nr 2

Vi kan se parenteserna i det här problemet, så låt oss utöka dem:

Både till vänster och till höger ser vi ungefär samma design, men låt oss agera enligt algoritmen, d.v.s. separera variablerna:

Här är några liknande:

Vid vilka rötter fungerar detta? Svar: för alla. Därför kan vi skriva att $x$ är vilket tal som helst.

Uppgift nr 3

Den tredje linjära ekvationen är mer intressant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det finns flera parenteser här, men de multipliceras inte med någonting, de föregås helt enkelt av olika tecken. Låt oss dela upp dem:

Vi utför det andra steget som vi redan känner till:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Låt oss räkna ut:

Vi utför det sista steget - dividera allt med koefficienten "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Saker att komma ihåg när du löser linjära ekvationer

Om vi ​​ignorerar alltför enkla uppgifter, skulle jag vilja säga följande:

• Som jag sa ovan har inte alla linjära ekvationer en lösning - ibland finns det helt enkelt inga rötter;
• Även om det finns rötter kan det finnas noll bland dem – det är inget fel med det.

Noll är samma nummer som de andra; du ska inte diskriminera det på något sätt eller anta att om du får noll så har du gjort något fel.

En annan funktion är relaterad till öppningen av konsoler. Observera: när det finns ett "minus" framför dem tar vi bort det, men inom parentes ändrar vi tecknen till motsatt. Och sedan kan vi öppna det med standardalgoritmer: vi får vad vi såg i beräkningarna ovan.

Att förstå detta enkla faktum hjälper dig att undvika att göra dumma och sårande misstag i gymnasiet, när det tas för givet att göra sådana saker.

Lösa komplexa linjära ekvationer

Låt oss gå vidare till mer komplexa ekvationer. Nu kommer konstruktionerna att bli mer komplexa och när man utför olika transformationer kommer en kvadratisk funktion att dyka upp. Vi bör dock inte vara rädda för detta, för om vi, enligt författarens plan, löser en linjär ekvation, kommer alla monomialer som innehåller en kvadratisk funktion säkert att avbrytas under transformationsprocessen.

Exempel nr 1

Självklart är det första steget att öppna fästena. Låt oss göra detta mycket noggrant:

Låt oss nu ta en titt på integritet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Här är några liknande:

Det är självklart att given ekvation Det finns inga lösningar, så vi skriver detta i svaret:

\[\varnothing\]

eller så finns det inga rötter.

Exempel nr 2

Vi utför samma åtgärder. Första steget:

Låt oss flytta allt med en variabel till vänster och utan den - till höger:

Här är några liknande:

Uppenbarligen har denna linjära ekvation ingen lösning, så vi skriver det så här:

\[\varnothing\],

eller så finns det inga rötter.

Nyanser av lösningen

Båda ekvationerna är helt lösta. Med dessa två uttryck som exempel blev vi återigen övertygade om att även i de enklaste linjära ekvationerna kanske allt inte är så enkelt: det kan finnas antingen en, eller ingen, eller oändligt många rötter. I vårt fall övervägde vi två ekvationer, båda har helt enkelt inga rötter.

Men jag skulle vilja uppmärksamma dig på ett annat faktum: hur man arbetar med parenteser och hur man öppnar dem om det finns ett minustecken framför dem. Tänk på detta uttryck:

Innan du öppnar måste du multiplicera allt med "X". Observera: multiplicerar varje enskild termin. Inuti finns två termer - respektive två termer och multiplicerat.

Och först efter att dessa till synes elementära, men mycket viktiga och farliga transformationer har slutförts, kan du öppna fästet utifrån det faktum att det finns ett minustecken efter det. Ja, ja: först nu, när omvandlingarna är klara, kommer vi ihåg att det står ett minustecken framför parentesen, vilket betyder att allt nedanför helt enkelt byter tecken. Samtidigt försvinner själva fästena och, viktigast av allt, det främre "minuset" försvinner också.

Vi gör samma sak med den andra ekvationen:

Det är inte av en slump som jag uppmärksammar dessa små, till synes obetydliga fakta. För att lösa ekvationer är alltid en sekvens av elementära transformationer, där oförmågan att tydligt och kompetent utföra enkla handlingar leder till att gymnasieelever kommer till mig och igen lär sig lösa sådana enkla ekvationer.

Naturligtvis kommer den dagen då du kommer att finslipa dessa färdigheter till den grad av automatik. Du kommer inte längre att behöva utföra så många transformationer varje gång, du kommer att skriva allt på en rad. Men medan du bara lär dig måste du skriva varje åtgärd separat.

Lösa ännu mer komplexa linjära ekvationer

Det vi ska lösa nu kan knappast kallas den enklaste uppgiften, men innebörden förblir densamma.

Uppgift nr 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Låt oss multiplicera alla element i den första delen:

Låt oss göra lite integritet:

Här är några liknande:

Låt oss slutföra det sista steget:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Här är vårt sista svar. Och trots att vi i processen att lösa hade koefficienter med en kvadratisk funktion, tog de bort varandra, vilket gör ekvationen linjär och inte kvadratisk.

Uppgift nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Låt oss noggrant utföra det första steget: multiplicera varje element från den första parentesen med varje element från den andra. Det bör finnas totalt fyra nya termer efter omvandlingarna:

Låt oss nu noggrant utföra multiplikationen i varje term:

Låt oss flytta termerna med "X" till vänster och de utan - till höger:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Här är liknande termer:

Återigen har vi fått det slutgiltiga svaret.

Nyanser av lösningen

Den viktigaste anmärkningen om dessa två ekvationer är följande: så snart vi börjar multiplicera parenteser som innehåller mer än en term, görs detta enligt följande regel: vi tar den första termen från den första och multiplicerar med varje element från den andra; sedan tar vi det andra elementet från det första och multiplicerar på liknande sätt med varje element från det andra. Som ett resultat kommer vi att ha fyra mandatperioder.

Om den algebraiska summan

Med detta sista exempel skulle jag vilja påminna eleverna om vad en algebraisk summa är. I klassisk matematik menar vi med $1-7$ en enkel konstruktion: subtrahera sju från en. I algebra menar vi följande med detta: till siffran "ett" lägger vi till ytterligare ett tal, nämligen "minus sju". Det är så en algebraisk summa skiljer sig från en vanlig aritmetisk summa.

Så snart du, när du utför alla transformationer, varje addition och multiplikation, börjar se konstruktioner som liknar de som beskrivs ovan, kommer du helt enkelt inte att ha några problem i algebra när du arbetar med polynom och ekvationer.

Låt oss slutligen titta på ytterligare ett par exempel som kommer att vara ännu mer komplexa än de vi just tittade på, och för att lösa dem måste vi utöka vår standardalgoritm något.

Lösa ekvationer med bråk

För att lösa sådana uppgifter måste vi lägga till ytterligare ett steg till vår algoritm. Men först, låt mig påminna dig om vår algoritm:

1. Öppna fästena.
2. Separata variabler.
3. Ta med liknande.
4. Dividera med förhållandet.

Tyvärr, den här underbara algoritmen, trots all sin effektivitet, visar sig inte vara helt lämplig när vi har bråkdelar framför oss. Och i det vi kommer att se nedan har vi en bråkdel till både vänster och höger i båda ekvationerna.

Hur ska man jobba i det här fallet? Ja, det är väldigt enkelt! För att göra detta måste du lägga till ett steg till i algoritmen, vilket kan göras både före och efter den första åtgärden, nämligen att bli av med bråk. Så algoritmen blir som följer:

1. Bli av med bråk.
2. Öppna fästena.
3. Separata variabler.
4. Ta med liknande.
5. Dividera med förhållandet.

Vad innebär det att "bli av med bråkdelar"? Och varför kan detta göras både efter och före det första standardsteget? Faktum är att i vårt fall är alla bråk numeriska i sin nämnare, d.v.s. Överallt är nämnaren bara en siffra. Därför, om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med detta tal, kommer vi att bli av med bråk.

Exempel nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Låt oss bli av med bråken i denna ekvation:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Observera: allt multipliceras med "fyra" en gång, dvs. bara för att du har två parenteser betyder det inte att du måste multiplicera var och en med "fyra". Låt oss skriva ner:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Låt oss nu utöka:

Vi utesluter variabeln:

Vi utför reduktion av liknande termer:

\[-4x=-1\vänster| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har fått den slutliga lösningen, låt oss gå vidare till den andra ekvationen.

Exempel nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Här utför vi alla samma åtgärder:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet är löst.

Det var faktiskt allt jag ville berätta för dig idag.

Nyckelord

Nyckelfynd är:

• Känna till algoritmen för att lösa linjära ekvationer.
• Möjlighet att öppna konsoler.
• Oroa dig inte om du ser kvadratiska funktioner, troligen, i processen med ytterligare omvandlingar kommer de att minska.
• Det finns tre typer av rötter i linjära ekvationer, även de enklaste: en enda rot, hela tallinjen är en rot och inga rötter alls.

Jag hoppas att den här lektionen kommer att hjälpa dig att bemästra ett enkelt, men mycket viktigt ämne för ytterligare förståelse av all matematik. Om något inte är klart, gå till webbplatsen och lös exemplen som presenteras där. Håll utkik, många fler intressanta saker väntar dig!

Efter att ha fått en allmän uppfattning om jämlikheter och har blivit bekant med en av deras typer - numeriska likheter, kan du börja prata om en annan typ av jämlikheter som är mycket viktig ur praktisk synvinkel - ekvationer. I den här artikeln ska vi titta på vad är en ekvation, och det som kallas roten till ekvationen. Här kommer vi att ge motsvarande definitioner, samt ge olika exempel på ekvationer och deras rötter.

Sidnavigering.

Vad är en ekvation?

Riktad introduktion till ekvationer börjar vanligtvis på matematiklektionerna i årskurs 2. Vid denna tidpunkt ges följande ekvationsdefinition:

Definition.

Ekvationenär en likhet som innehåller ett okänt nummer som måste hittas.

Okända tal i ekvationer betecknas vanligtvis med små latinska bokstäver, till exempel p, t, u, etc., men bokstäverna x, y och z används oftast.

Således bestäms ekvationen utifrån skrivformens synvinkel. Jämställdhet är med andra ord en ekvation när den följer de angivna skrivreglerna - den innehåller en bokstav vars värde måste hittas.

Låt oss ge exempel på de allra första och enklaste ekvationerna. Låt oss börja med ekvationer av formen x=8, y=3, etc. Ekvationer som innehåller aritmetiska tecken tillsammans med siffror och bokstäver ser lite mer komplicerade ut, till exempel x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Variationen av ekvationer växer efter att ha blivit bekant med - ekvationer med parenteser börjar dyka upp, till exempel 2·(x−1)=18 och x+3·(x+2·(x−2))=3. En okänd bokstav i en ekvation kan förekomma flera gånger, till exempel x+3+3·x−2−x=9, även bokstäver kan vara på vänster sida av ekvationen, på dess högra sida, eller på båda sidor av ekvationen. ekvationen, till exempel, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 eller 3·x−4=2·(x+12) .

Vidare efter att ha studerat naturliga tal bekantskap med heltal, rationella, reella tal uppstår, nya matematiska objekt studeras: potenser, rötter, logaritmer, etc., medan fler och fler nya typer av ekvationer som innehåller dessa saker dyker upp. Exempel på dem kan ses i artikeln grundläggande typer av ekvationer studerar i skolan.

I årskurs 7 börjar de, tillsammans med bokstäver, som betyder vissa specifika siffror, överväga bokstäver som kan få olika värden, de kallas variabler (se artikel). Samtidigt introduceras ordet "variabel" i definitionen av ekvationen, och det blir så här:

Definition.

Ekvation kallas en likhet som innehåller en variabel vars värde måste hittas.

Till exempel är ekvationen x+3=6·x+7 en ekvation med variabeln x, och 3·z−1+z=0 är en ekvation med variabeln z.

Under algebralektioner i samma 7:e klass möter vi ekvationer som innehåller inte en utan två olika okända variabler. De kallas ekvationer i två variabler. I framtiden tillåts närvaron av tre eller flera variabler i ekvationerna.

Definition.

Ekvationer med ett, två, tre osv. variabler– dessa är ekvationer som i sin skrift innehåller en, två, tre, ... okända variabler, respektive.

Till exempel är ekvationen 3,2 x+0,5=1 en ekvation med en variabel x, i sin tur är en ekvation av formen x−y=3 en ekvation med två variabler x och y. Och ytterligare ett exempel: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Det är tydligt att en sådan ekvation är en ekvation med tre okända variabler x, y och z.

Vad är roten till en ekvation?

Definitionen av en ekvation är direkt relaterad till definitionen av roten till denna ekvation. Låt oss föra några resonemang som hjälper oss att förstå vad roten till ekvationen är.

Låt oss säga att vi har en ekvation med en bokstav (variabel). Om istället för en bokstav som ingår i posten i denna ekvation, ett visst nummer ersätts, förvandlas ekvationen till en numerisk likhet. Dessutom kan den resulterande jämlikheten vara antingen sann eller falsk. Om du till exempel ersätter siffran 2 istället för bokstaven a i ekvationen a+1=5, får du den felaktiga numeriska likheten 2+1=5. Om vi ​​ersätter talet 4 istället för a i denna ekvation får vi den korrekta likheten 4+1=5.

I praktiken, i den överväldigande majoriteten av fallen, är intresset för de värden av variabeln vars substitution i ekvationen ger korrekt likhet; dessa värden kallas rötter eller lösningar av denna ekvation.

Definition.

Roten till ekvationen- detta är värdet på bokstaven (variabeln), vid substitution av vilken ekvationen förvandlas till en korrekt numerisk likhet.

Observera att roten till en ekvation i en variabel också kallas ekvationens lösning. Med andra ord, lösningen på en ekvation och roten till ekvationen är samma sak.

Låt oss förklara denna definition med ett exempel. För att göra detta, låt oss återgå till ekvationen skriven ovan a+1=5. Enligt den angivna definitionen av roten till en ekvation är talet 4 roten till denna ekvation, eftersom när vi ersätter detta tal istället för bokstaven a får vi den korrekta likheten 4+1=5, och talet 2 är inte dess rot, eftersom den motsvarar en felaktig likhet av formen 2+1= 5 .

Vid denna tidpunkt uppstår ett antal naturliga frågor: "Har någon ekvation en rot, och hur många rötter har en given ekvation?" Vi kommer att svara på dem.

Det finns både ekvationer som har rötter och ekvationer som inte har rötter. Till exempel har ekvationen x+1=5 rot 4, men ekvationen 0 x=5 har inga rötter, eftersom oavsett vilket tal vi ersätter i denna ekvation istället för variabeln x, så får vi den felaktiga likheten 0=5 .

När det gäller antalet rötter i en ekvation finns det både ekvationer som har ett visst ändligt antal rötter (en, två, tre, etc.) och ekvationer som har ett oändligt antal rötter. Till exempel har ekvationen x−2=4 en enda rot 6, rötterna till ekvationen x 2 =9 är två tal −3 och 3, ekvationen x·(x−1)·(x−2)=0 har tre rötter 0, 1 och 2, och lösningen till ekvationen x=x är vilket tal som helst, det vill säga det har ett oändligt antal rötter.

Några ord bör sägas om den accepterade notationen för ekvationens rötter. Om en ekvation inte har några rötter, så skriver de vanligtvis "ekvationen har inga rötter", eller använder det tomma settecknet ∅. Om ekvationen har rötter skrivs de åtskilda med kommatecken, eller skrivs som delar av uppsättningen inom lockiga parenteser. Till exempel, om rötterna till ekvationen är talen −1, 2 och 4, skriv −1, 2, 4 eller (−1, 2, 4). Det är också tillåtet att skriva ner ekvationens rötter i form av enkla likheter. Till exempel, om ekvationen innehåller bokstaven x och rötterna till denna ekvation är siffrorna 3 och 5, så kan du skriva x=3, x=5 och sänkta x 1 =3, x 2 =5 läggs ofta till till variabeln, som om den anger ekvationens talrötter. En oändlig uppsättning rötter i en ekvation skrivs vanligtvis i formen, om möjligt används också notationen för uppsättningar av naturliga tal N, heltal Z och reella tal R. Till exempel, om roten av en ekvation med variabel x är vilket heltal som helst, skriv , och om rötterna till en ekvation med variabel y är valfritt reellt tal från 1 till 9 inklusive, skriv .

För ekvationer med två, tre eller fler variabler används som regel inte termen "roten av ekvationen" utan i dessa fall säger man "ekvationens lösning". Vad kallas att lösa ekvationer med flera variabler? Låt oss ge motsvarande definition.

Definition.

Lösa en ekvation med två, tre osv. variabler kallas ett par, tre osv. variablernas värden, vilket gör denna ekvation till en korrekt numerisk likhet.

Låt oss visa förklarande exempel. Betrakta en ekvation med två variabler x+y=7. Låt oss ersätta talet 1 istället för x och talet 2 istället för y, och vi har likheten 1+2=7. Uppenbarligen är det felaktigt, därför är värdeparet x=1, y=2 inte en lösning på den skrivna ekvationen. Om vi ​​tar ett värdepar x=4, y=3, kommer vi efter substitution i ekvationen att komma fram till den korrekta likheten 4+3=7, därför är detta par av variabelvärden, per definition, en lösning till ekvationen x+y=7.

Ekvationer med flera variabler, som ekvationer med en variabel, kan ha inga rötter, kan ha ett ändligt antal rötter eller kan ha ett oändligt antal rötter.

Par, trillingar, fyrdubblar osv. Variablernas värden skrivs ofta kort och listar deras värden separerade med kommatecken inom parentes. I det här fallet motsvarar de skrivna siffrorna inom parentes variablerna i alfabetisk ordning. Låt oss förtydliga denna punkt genom att återgå till föregående ekvation x+y=7. Lösningen till denna ekvation x=4, y=3 kan kort skrivas som (4, 3).

Den största uppmärksamheten i skolans kurs i matematik, algebra och början av analys ägnas åt att hitta rötterna till ekvationer med en variabel. Vi kommer att diskutera reglerna för denna process i detalj i artikeln. lösa ekvationer.

Bibliografi.

• Matematik. 2 klasser Lärobok för allmänbildning institutioner med adj. per elektron bärare. Klockan 14.00 Del 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3:e uppl. - M.: Utbildning, 2012. - 96 s.: ill. - (Rysslands skola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: lärobok för 7:e klass Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 17:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 240 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9:e klass: pedagogiskt. för allmänbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e uppl. - M.: Utbildning, 2009. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Efter att vi har studerat begreppet likheter, nämligen en av deras typer - numeriska likheter, kan vi gå vidare till en annan viktig typ - ekvationer. Inom ramen för detta material kommer vi att förklara vad en ekvation och dess rot är, formulera grundläggande definitioner och ge olika exempel på ekvationer och hitta deras rötter.

Begreppet ekvation

Vanligtvis lärs begreppet ekvation ut i början av en skolalgebrakurs. Då definieras det så här:

Definition 1

Ekvation kallas en likhet med ett okänt nummer som behöver hittas.

Det är vanligt att beteckna okända med små latinska bokstäver, till exempel t, r, m, etc., men x, y, z används oftast. Med andra ord, ekvationen bestäms av formen för dess registrering, det vill säga, likhet kommer att vara en ekvation endast när den reduceras till en viss form - den måste innehålla en bokstav, värdet som måste hittas.

Låt oss ge några exempel på de enklaste ekvationerna. Dessa kan vara likheter av formen x = 5, y = 6, etc., såväl som de som inkluderar aritmetiska operationer, till exempel x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Efter att begreppet parentes har lärt sig, dyker begreppet ekvationer med parenteser upp. Dessa inkluderar 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, etc. Bokstaven som behöver hittas kan förekomma mer än en gång, men flera gånger, som t.ex. , till exempel i ekvationen x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Okända kan också lokaliseras inte bara till vänster utan också till höger eller i båda delarna samtidigt, till exempel x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 eller 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Vidare, efter att eleverna blivit bekanta med begreppen heltal, reella, rationaler, naturliga tal, såväl som logaritmer, rötter och potenser, dyker det upp nya ekvationer som inkluderar alla dessa objekt. Vi har ägnat en separat artikel åt exempel på sådana uttryck.

I 7:ans läroplan dyker begreppet variabler upp för första gången. Det här är bokstäver som kan ta olika betydelser(För mer information, se artikeln om numeriska, bokstavliga och variabla uttryck). Baserat på detta koncept kan vi omdefiniera ekvationen:

Definition 2

Ekvationenär en likhet som involverar en variabel vars värde måste beräknas.

Det vill säga att uttrycket x + 3 = 6 x + 7 till exempel är en ekvation med variabeln x, och 3 y − 1 + y = 0 är en ekvation med variabeln y.

En ekvation kan ha mer än en variabel, men två eller flera. De kallas respektive ekvationer med två, tre variabler etc. Låt oss skriva ner definitionen:

Definition 3

Ekvationer med två (tre, fyra eller fler) variabler är ekvationer som inkluderar ett motsvarande antal okända.

Till exempel är en likhet av formen 3, 7 · x + 0, 6 = 1 en ekvation med en variabel x, och x − z = 5 är en ekvation med två variabler x och z. Ett exempel på en ekvation med tre variabler skulle vara x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Roten till ekvationen

När vi talar om en ekvation uppstår omedelbart behovet av att definiera begreppet dess rot. Låt oss försöka förklara vad det betyder.

Exempel 1

Vi får en viss ekvation som innehåller en variabel. Om vi ​​ersätter en siffra med den okända bokstaven blir ekvationen en numerisk likhet - sant eller falskt. Så om vi i ekvationen a + 1 = 5 ersätter bokstaven med siffran 2, blir likheten falsk, och om 4 blir den korrekta likheten 4 + 1 = 5.

Vi är mer intresserade av just de värden med vilka variabeln kommer att förvandlas till en sann jämlikhet. De kallas rötter eller lösningar. Låt oss skriva ner definitionen.

Definition 4

Roten till ekvationen De kallar värdet på en variabel som förvandlar en given ekvation till en sann likhet.

Roten kan också kallas en lösning, eller vice versa - båda dessa begrepp betyder samma sak.

Exempel 2

Låt oss ta ett exempel för att förtydliga denna definition. Ovan gav vi ekvationen a + 1 = 5. Enligt definitionen kommer roten i detta fall att vara 4, för när den ersätts istället för en bokstav ger den korrekt numerisk likhet, och två kommer inte att vara en lösning, eftersom den motsvarar den felaktiga likheten 2 + 1 = 5.

Hur många rötter kan en ekvation ha? Har varje ekvation en rot? Låt oss svara på dessa frågor.

Ekvationer som inte har en enda rot finns också. Ett exempel skulle vara 0 x = 5. Vi kan ersätta ett oändligt antal olika tal i det, men inget av dem kommer att göra det till en sann likhet, eftersom multiplicering med 0 alltid ger 0.

Det finns också ekvationer som har flera rötter. De kan ha antingen ett ändligt eller ett oändligt antal rötter.

Exempel 3

Så i ekvationen x − 2 = 4 finns det bara en rot - sex, i x 2 = 9 två rötter - tre och minus tre, i x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tre rötter - noll, ett och två, det finns oändligt många rötter i ekvationen x=x.

Låt oss nu förklara hur man korrekt skriver rötterna till ekvationen. Om det inte finns några, så skriver vi: "ekvationen har inga rötter." I det här fallet kan du också ange tecknet för den tomma uppsättningen ∅. Om det finns rötter, skriver vi dem åtskilda med kommatecken eller indikerar dem som delar av en uppsättning och omsluter dem i lockiga hängslen. Så om någon ekvation har tre rötter - 2, 1 och 5, så skriver vi - 2, 1, 5 eller (- 2, 1, 5).

Det är tillåtet att skriva rötter i form av enkla likheter. Så om det okända i ekvationen betecknas med bokstaven y, och rötterna är 2 och 7, så skriver vi y = 2 och y = 7. Ibland läggs prenumerationer till bokstäver, till exempel x 1 = 3, x 2 = 5. På så sätt pekar vi på rötternas nummer. Om ekvationen har ett oändligt antal lösningar, skriver vi svaret som ett numeriskt intervall eller använder allmänt accepterad notation: uppsättningen naturliga tal betecknas N, heltal - Z, reella tal - R. Låt oss säga att om vi behöver skriva att lösningen till ekvationen kommer att vara vilket heltal som helst, så skriver vi att x ∈ Z, och om något reellt tal från ett till nio, då y ∈ 1, 9.

När en ekvation har två, tre rötter eller fler, då talar vi i regel inte om rötter, utan om lösningar till ekvationen. Låt oss formulera definitionen av en lösning till en ekvation med flera variabler.

Definition 5

Lösningen på en ekvation med två, tre eller fler variabler är två, tre eller fler värden av variablerna som gör den givna ekvationen till en korrekt numerisk likhet.

Låt oss förklara definitionen med exempel.

Exempel 4

Låt oss säga att vi har uttrycket x + y = 7, som är en ekvation med två variabler. Låt oss byta ut en istället för den första och två istället för den andra. Vi kommer att få en felaktig likhet, vilket innebär att detta värdepar inte kommer att vara en lösning på denna ekvation. Om vi ​​tar paret 3 och 4, så blir likheten sann, vilket betyder att vi har hittat en lösning.

Sådana ekvationer kan också ha inga rötter eller ett oändligt antal av dem. Om vi ​​behöver skriva ner två, tre, fyra eller fler värden, så skriver vi dem separerade med kommatecken inom parentes. Det vill säga, i exemplet ovan kommer svaret att se ut som (3, 4).

I praktiken har man oftast att göra med ekvationer som innehåller en variabel. Vi kommer att överväga algoritmen för att lösa dem i detalj i artikeln som ägnas åt att lösa ekvationer.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Generalministeriet och yrkesutbildning RF

Kommunal läroanstalt

Gymnastiksal nr 12

sammansättning

på ämnet: Ekvationer och metoder för att lösa dem

Slutförd av: elev i klass 10 "A"

Krutko Evgeniy

Kontrolleras av: matematiklärare Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Planen................................................. ................................................................ ...................................... 1

Introduktion................................................. ...................................................................... ............................................ 2

Huvudsak................................................ ................................................................ ............... 3

Slutsats................................................. ................................................................ ............... 25

Ansökan................................................. ................................................................ ...................... 26

Lista över begagnad litteratur................................................... ........................................... 29

Planen.

Introduktion.

Historisk referens.

Ekvationer. Algebraiska ekvationer.

a) Grundläggande definitioner.

b) Linjär ekvation och metod för att lösa den.

V) Kvadratisk ekvation och sätt att lösa det.

d) Binomekvationer och hur man löser dem.

e) Kubikekvationer och metoder för att lösa dem.

f) Biquadratisk ekvation och metod för att lösa den.

g) Ekvationer av fjärde graden och metoder för att lösa dem.

g) Ekvationer av höga grader och metoder för att lösa dem.

h) Rationell algebraisk ekvation och hur det är

i) Irrationella ekvationer och metoder för att lösa dem.

j) Ekvationer som innehåller en okänd under ett tecken.

absolut värde och metod för att lösa det.

Transcendentala ekvationer.

A) Exponentiella ekvationer och ett sätt att lösa dem.

b) Logaritmiska ekvationer och metoder för att lösa dem.

Introduktion

Matematikundervisning erhölls i gymnasieskola, är den viktigaste komponenten Allmän utbildning och allmän kultur modern man. Nästan allt som omger den moderna människan är på något sätt kopplat till matematik. A senaste prestationerna i fysik, teknik och informationsteknologi lämna inga tvivel om att läget i framtiden kommer att förbli detsamma. Därför beslutet av många praktiska problem kommer till ett beslut olika typer ekvationer som du behöver lära dig att lösa.

detta jobbär ett försök att sammanfatta och systematisera det studerade materialet om ovanstående ämne. Jag har ordnat materialet i svårighetsordning, börjat med det enklaste. Den inkluderar både de typer av ekvationer som vi känner till från skolalgebrakursen, och ytterligare material. Samtidigt försökte jag visa vilka typer av ekvationer som inte studeras i skolkursen, men som kan behövas kunskap om när man kommer in på högre utbildning läroanstalt. I mitt arbete, när jag löste ekvationer, begränsade jag mig inte bara till den verkliga lösningen, utan angav också den komplexa, eftersom jag tror att annars är ekvationen helt enkelt olöst. När allt kommer omkring, om en ekvation inte har några riktiga rötter, betyder det inte att den inte har några lösningar. Tyvärr har jag på grund av tidsbrist inte kunnat presentera allt material jag har, men även med det material som presenteras här kan många frågor dyka upp. Jag hoppas att min kunskap räcker för att svara på de flesta frågor. Så jag börjar presentera materialet.

Matematik... avslöjar ordning,

symmetri och säkerhet,

och dessa är de viktigaste typerna av skönhet.

Aristoteles.

Historisk referens

I de avlägsna tider, när de vise först började tänka på jämlikheter som innehöll okända kvantiteter, fanns det förmodligen inga mynt eller plånböcker. Men det fanns högar, såväl som krukor och korgar, som var perfekta för rollen som förvaringscacher som kunde rymma ett okänt antal föremål. "Vi letar efter en hög som tillsammans med två tredjedelar, en halv och en sjundedel av den gör 37...", lärde vi ut under det andra årtusendet f.Kr. ny era egyptisk skriftlärare Ahmes. I de uråldriga matematiska problemen i Mesopotamien, Indien, Kina, Grekland uttryckte okända kvantiteter antalet påfåglar i trädgården, antalet tjurar i besättningen och helheten av saker som tas med i beräkningen när man delar egendom. Skriftskrivare, tjänstemän och präster invigda i hemlig kunskap, välutbildade i vetenskapen om konton, klarade sådana uppgifter ganska framgångsrikt.

Källor som har nått oss tyder på att forntida vetenskapsmän ägde några allmänna tekniker lösa problem med okända kvantiteter. Men inte en enda papyrus- eller lertablett innehåller en beskrivning av dessa tekniker. Författarna försåg bara ibland sina numeriska beräkningar med snåla kommentarer som: "Titta!", "Gör så här!", "Du hittade rätt." I denna mening är undantaget "Aritmetiken" av den grekiske matematikern Diophantus från Alexandria (III-talet) - en samling problem för att komponera ekvationer med en systematisk presentation av deras lösningar.

Men den första manualen för att lösa problem som blev allmänt känd var arbetet av Bagdad-forskaren på 900-talet. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Ordet "al-jabr" från det arabiska namnet på denna avhandling - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Boken om restaurering och opposition") - förvandlades med tiden till det välkända ordet "algebra", och al- Khwarizmis verk tjänade själva utgångspunkten i utvecklingen av vetenskapen om att lösa ekvationer.

ekvationer Algebraiska ekvationer

Grundläggande definitioner

I algebra betraktas två typer av likheter - identiteter och ekvationer.

Identitetär en likhet som gäller för alla (tillåtna) värden av bokstäverna som ingår i den). Att spela in en identitet tillsammans med en skylt

skylten används också.

Ekvationenär en likhet som bara gäller för vissa värden av bokstäverna som ingår i den. Bokstäverna som ingår i ekvationen, enligt villkoren för problemet, kan vara ojämlika: vissa kan ta alla sina tillåtna värden (de kallas parametrar eller koefficienter ekvationer och betecknas vanligtvis med de första bokstäverna i det latinska alfabetet:

, , ... - eller samma bokstäver försedda med index: , , ... eller , , ...); andra vars värderingar behöver hittas kallas okänd(de är vanligtvis utsedda sista bokstäverna Latinska alfabetet: , , , ... - eller samma bokstäver försedda med index: , , ... eller , , ...).

I allmänhet kan ekvationen skrivas så här:

( , , ..., ) .

Beroende på antalet okänd ekvation kallas en ekvation med ett, två, etc. okända.

Värdet av de okända som gör ekvationen till en identitet, kallas lösningar ekvationer

Att lösa en ekvation innebär att hitta många av dess lösningar eller bevisa att det inte finns några lösningar. Beroende på typen av ekvation kan uppsättningen av lösningar till ekvationen vara oändlig, ändlig eller tom.

Om alla lösningar av ekvationen

är lösningar på ekvationen

Linjär ekvationär en algebraisk ekvation. I denna ekvation är den totala graden av dess ingående polynom lika med ett.

Linjära ekvationer presenteras enligt följande:

I allmän form: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

I kanonisk form: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Linjär ekvation med en variabel.

En linjär ekvation med 1 variabel reduceras till formen:

yxa+ b=0.

Till exempel:

2x + 7 = 0. Var a=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0. Var a=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0. Var a=12, b=1/2.

Antalet rötter beror på a Och b:

När a= b=0 , vilket innebär att ekvationen har ett obegränsat antal lösningar, eftersom .

När a=0 , b≠ 0 , vilket betyder att ekvationen inte har några rötter, eftersom .

När a ≠ 0 , vilket betyder att ekvationen bara har en rot.

Linjär ekvation med två variabler.

Ekvation med variabel xär en jämlikhet A(x)=B(x), Var Yxa) Och B(x)- uttryck från x. När du byter ut setet T värden x in i ekvationen får vi en sann numerisk likhet, som kallas sanningsuppsättning denna ekvation heller lösning av en given ekvation, och alla sådana värden av variabeln är rötter till ekvationen.

Linjära ekvationer av 2 variabler presenteras i följande form:

I allmän form: ax + by + c = 0,

I kanonisk form: axe + by = -c,

I form av linjär funktion: y = kx + m, Var .

Lösningen eller rötterna till denna ekvation är följande par av variabelvärden (x;y), vilket gör det till en identitet. En linjär ekvation med 2 variabler har ett obegränsat antal av dessa lösningar (rötter). Geometrisk modell(graf) av denna ekvation är en rät linje y=kx+m.

Om en ekvation innehåller x i kvadrat, anropas ekvationen