V této lekci se podíváme na čtyři nádherné body trojúhelníku. Zastavme se podrobně u dvou z nich, připomeňme si důkazy důležitých vět a vyřešme problém. Připomeňme si a charakterizujme zbývající dva.
Předmět:Opakování kurzu geometrie pro 8. ročník
Lekce: Čtyři nádherné body trojúhelníku
Trojúhelník jsou především tři úsečky a tři úhly, proto jsou vlastnosti úseček a úhlů zásadní.
Je dán segment AB. Libovolný segment má střed a lze jím protáhnout kolmici – označme ji jako p. P je tedy odvěsna.
Věta (hlavní vlastnost odvěsny)
Jakýkoli bod ležící na kolmici je ve stejné vzdálenosti od konců úsečky.
Dokázat to
Důkaz:
Uvažujme trojúhelníky a (viz obr. 1). Jsou obdélníkové a rovné, protože. mají společnou nohu OM a nohy AO a OB jsou stejné podle podmínky, takže máme dva pravoúhlé trojúhelníky, stejné ve dvou nohách. Z toho vyplývá, že přepony trojúhelníků jsou také stejné, tedy to, co bylo třeba dokázat.
Rýže. 1
Opačná věta je pravdivá.
Teorém
Každý bod stejně vzdálený od konců segmentu leží na ose kolmice k tomuto segmentu.
Je dána úsečka AB, kolmice k ní p, bod M stejně vzdálený od konců úsečky (viz obr. 2).
Dokažte, že bod M leží na kolmici úsečky.
Rýže. 2
Důkaz:
Zvažte trojúhelník. Je rovnoramenný, podle stavu. Uvažujme medián trojúhelníku: bod O je středem základny AB, OM je medián. Podle vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku je medián k jeho základně jak nadmořská výška, tak osa. Z toho vyplývá, že . Ale přímka p je také kolmá k AB. Víme, že v bodě O je možné nakreslit jedinou kolmici k úsečce AB, což znamená, že přímky OM a p se shodují, z toho plyne, že bod M patří přímce p, což jsme potřebovali dokázat.
Pokud je nutné popsat kružnici kolem jednoho segmentu, lze to udělat a takových kruhů je nekonečně mnoho, ale střed každého z nich bude ležet na kolmici k segmentu.
Říká se, že kolmice je těžiště bodů stejně vzdálených od konců úsečky.
Trojúhelník se skládá ze tří segmentů. Nakreslime ke dvěma kolmicím půlicí a získáme bod O jejich průsečíku (viz obr. 3).
Bod O patří odvěsně ke straně BC trojúhelníku, což znamená, že je stejně vzdálený od svých vrcholů B a C, označme tuto vzdálenost jako R: .
Kromě toho je bod O umístěn na kolmici k segmentu AB, tzn. , zároveň odtud.
Tedy bod O průsečíku dvou středů
Rýže. 3
odvěsny trojúhelníku jsou stejně vzdálené od jeho vrcholů, což znamená, že také leží na odvěsně třetí osy.
Zopakovali jsme důkaz důležité věty.
Tři odvěsny trojúhelníku se protínají v jednom bodě – ve středu kružnice opsané.
Podívali jsme se tedy na první pozoruhodný bod trojúhelníku – průsečík jeho odvěsnic.
Přejděme k vlastnosti libovolného úhlu (viz obr. 4).
Úhel je dán, jeho osa je AL, bod M leží na ose.
Rýže. 4
Leží-li bod M na ose úhlu, pak je stejně vzdálený od stran úhlu, to znamená, že vzdálenosti od bodu M k AC ak BC jsou stejné.
Důkaz:
Zvažte trojúhelníky a . Jsou to pravoúhlé trojúhelníky a jsou si rovny, protože... mají společnou přeponu AM a úhly jsou stejné, protože AL je osou úhlu. Pravoúhlé trojúhelníky jsou tedy stejné v přeponě a ostrém úhlu, z toho vyplývá, že , což je to, co bylo potřeba dokázat. Bod na ose úhlu je tedy stejně vzdálený od stran tohoto úhlu.
Opačná věta je pravdivá.
Teorém
Je-li bod stejně vzdálený od stran nerozvinutého úhlu, pak leží na jeho ose (viz obr. 5).
Je dán nerozvinutý úhel, bod M, takový, že vzdálenost od něj ke stranám úhlu je stejná.
Dokažte, že bod M leží na ose úhlu.
Rýže. 5
Důkaz:
Vzdálenost od bodu k přímce je délka kolmice. Z bodu M vedeme kolmice MK na stranu AB a MR na stranu AC.
Zvažte trojúhelníky a . Jsou to pravoúhlé trojúhelníky a jsou si rovny, protože... mají společnou přeponu AM, nohy MK a MR jsou stejné podle stavu. Pravoúhlé trojúhelníky jsou tedy stejné v přeponě a větvi. Z rovnosti trojúhelníků vyplývá rovnost odpovídajících prvků leží na opačných stejných stranách, tedy, 
, tedy bod M leží na ose daného úhlu.
Pokud potřebujete vepsat kružnici do úhlu, lze to udělat a takových kružnic je nekonečně mnoho, ale jejich středy leží na sečnici daného úhlu.
Říká se, že osa je těžiště bodů stejně vzdálených od stran úhlu.
Trojúhelník se skládá ze tří úhlů. Sestrojme osy dvou z nich a získáme bod O jejich průsečíku (viz obr. 6).
Bod O leží na ose úhlu, což znamená, že je stejně vzdálený od svých stran AB a BC, vzdálenost označme jako r: . Bod O také leží na sečině úhlu, což znamená, že je stejně vzdálený od svých stran AC a BC: , , odtud.
Je snadné si všimnout, že průsečík os je stejně vzdálený od stran třetího úhlu, což znamená, že leží na
Rýže. 6
úsečka úhlu. Všechny tři osy trojúhelníku se tedy protínají v jednom bodě.
Vzpomněli jsme si tedy na důkaz další důležité věty.
Osy úhlů trojúhelníku se protínají v jednom bodě - středu vepsané kružnice.
Podívali jsme se tedy na druhý pozoruhodný bod trojúhelníku – průsečík os.
Podívali jsme se na osičku úhlu a označili ji důležité vlastnosti: body osy jsou stejně vzdálené od stran úhlu, navíc tečné segmenty nakreslené ke kružnici z jednoho bodu jsou stejné.
Zaveďme nějaký zápis (viz obr. 7).
Označme stejné tečné segmenty x, y a z. Strana BC ležící proti vrcholu A je označena jako a, podobně AC jako b, AB jako c.
Rýže. 7
Úloha 1: v trojúhelníku je znám půlobvod a délka strany a. Najděte délku tečny nakreslené z vrcholu A - AK, značenou x.
Je zřejmé, že trojúhelník není zcela definován a takových trojúhelníků je mnoho, ale ukázalo se, že mají některé prvky společné.
Pro problémy s vepsaným kruhem lze navrhnout následující způsob řešení:
1. Nakreslete osy a získejte střed vepsané kružnice.
2. Ze středu O nakreslete kolmice ke stranám a získejte body tečnosti.
3. Označte stejné tečny.
4. Vypište vztah mezi stranami trojúhelníku a tečnami.
Silčenkov Ilja
materiály na lekci, prezentace s animací
Stažení:
Náhled:
Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet Google a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com
Popisky snímků:
Středová čára trojúhelníku je úsečka spojující středy jeho dvou stran a rovná se polovině této strany. Také podle věty je prostřední čára trojúhelníku rovnoběžná s jednou z jeho stran a rovná se polovině této strany.
Je-li přímka kolmá k jedné ze dvou rovnoběžných přímek, pak je také kolmá k druhé
Pozoruhodné body trojúhelníku
Pozoruhodné body trojúhelníku Průsečík střednic (těžiště trojúhelníku); Průsečík os, střed vepsané kružnice; Průsečík odvěsných os; Průsečík výšek (orthocentrum); Eulerova přímka a devítibodová kružnice; Gergonne a Nagel body; Bod Fermat-Torricelli;
Střední průsečík
Medián trojúhelníku je úsečka spojující vrchol libovolného úhlu trojúhelníku se středem protější strany.
I. Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který dělí každý medián v poměru 2:1, počítáno od vrcholu.
Důkaz:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Označme písmenem O průsečík dvou střednic AA 1 a B B1 trojúhelníku ABC a narýsujeme prostřední čáru A 1 B 1 tohoto trojúhelníku. 2. Úsečka A 1 B 1 je rovnoběžná se stranou AB a 1/2 AB = A 1 B 1 tj. AB = 2A1B1 (podle věty o střednici trojúhelníku), proto 1 = 4 a 3 = 2 (jelikož mají vnitřní příčné úhly s rovnoběžkami AB a A 1 B 1 a sečnou BB 1 pro 1, 4 a AA 1 pro 3, 2 3. V důsledku toho jsou trojúhelníky AOB a A 1 OB 1 podobné ve dvou úhlech, a proto jsou jejich strany jsou proporcionální, tj. poměry stran AO a A 1 O, BO a B 1 O, AB a A 1 B 1 jsou stejné, ale AB = 2A 1 B 1, tedy AO = 2A 1 O a BO = 2B 1. O. Bod O průsečíku mediánů BB 1 a AA 1 tedy dělí každý z nich v poměru 2:1, počítáno od vrcholu Větu lze dokázat obdobně pro další dva mediány.
Těžiště se někdy nazývá těžiště. Proto se říká, že průsečíkem mediánů je těžiště trojúhelníku. Těžiště homogenní trojúhelníkové desky se nachází ve stejném bodě. Pokud je taková destička umístěna na čepu tak, že špička čepu zasáhne přesně těžiště trojúhelníku, pak bude deska v rovnováze. Také průsečík střednic je středem vepsané kružnice jejího středního trojúhelníku. Zajímavá nemovitost průsečík mediánů souvisí s fyzikální koncept těžiště Ukazuje se, že pokud umístíte stejné hmoty na vrcholy trojúhelníku, jejich střed spadne přesně do tohoto bodu.
Průsečík osy
Osa trojúhelníku je úsečka úhlu, která spojuje vrchol jednoho z úhlů trojúhelníku s bodem ležícím na opačné straně.
Osy trojúhelníku se protínají v jednom bodě stejně vzdáleném od jeho stran.
Důkaz:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Označme písmenem O průsečík os AA 1 a BB 1 trojúhelníku ABC. 3. Využijme toho, že každý bod osy nerozvinutého úhlu je stejně vzdálen od jeho stran a naopak: každý bod ležící uvnitř úhlu a ekvidistantní od stran úhlu leží na jeho ose. Potom OK=OL a OK=OM. To znamená OM=OL, to znamená, že bod O je stejně vzdálený od stran trojúhelníku ABC, a proto leží na osičce CC1 úhlu C. 4. V důsledku toho se všechny tři osy trojúhelníku ABC protínají v bodě O. K L M Věta je dokázána. 2.Nakreslete z tohoto bodu kolmice OK, OL a OM k přímkám AB, BC a CA.
Průsečík kolmých os
Kolmice je přímka procházející středem daného segmentu a kolmá k němu.
Odvěsny ke stranám trojúhelníku se protínají v jednom bodě stejně vzdáleném od vrcholů trojúhelníku.
Důkaz:
B C A m n 1. Označme písmenem O průsečík odvěsnic m a n na strany AB a BC trojúhelníku ABC. O 2. Pomocí věty, že každý bod odvěsny k úsečce je stejně vzdálený od konců této úsečky a naopak: každý bod stejně vzdálený od konců úsečky leží na kolmici k ní, získáme, že OB = OA a OB = OC. 3. Proto OA = OC, tj. bod O je stejně vzdálený od konců úsečky AC, a proto leží na ose kolmice k této úsečce. 4. V důsledku toho se všechny tři osy m, n a p stran trojúhelníku ABC protínají v bodě O. Věta je prokázána. R
Průsečík výšek (nebo jejich prodloužení)
Výška trojúhelníku je kolmice vedená z vrcholu libovolného úhlu trojúhelníku k přímce obsahující opačnou stranu.
Výšky trojúhelníku nebo jejich prodloužení se protínají v jednom bodě, který může ležet uvnitř trojúhelníku nebo může být mimo něj.
Důkaz:
Dokažme, že přímky AA 1, BB 1 a CC 1 se protínají v jednom bodě. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Protáhněte každým vrcholem trojúhelníku ABC přímku rovnoběžnou s protější stranou. Dostaneme trojúhelník A 2 B 2 C 2. 2. Body A, B a C jsou středy stran tohoto trojúhelníku. Ve skutečnosti jsou AB=A2C a AB=CB2 jako opačné strany rovnoběžníků ABA2C a ABCB2, tedy A2C=CB2. Podobně C2A=AB2 a C2B=BA2. Navíc, jak vyplývá z konstrukce, CC 1 je kolmá k A 2 B 2, AA 1 je kolmá k B 2 C 2 a BB 1 je kolmá k A 2 C 2 (z důsledků k větě o rovnoběžkách a sečnách ). Úsečky AA 1, BB 1 a CC 1 jsou tedy odvěsny ke stranám trojúhelníku A 2 B 2 C 2. Proto se protínají v jednom bodě. Věta byla prokázána.
Obsah
Úvod……………………………………………………………………………………………… 3
Kapitola 1.
1.1 Trojúhelník………………………………………………………………………………………..4
1.2. Mediány trojúhelníku
1.4. Výšky v trojúhelníku
Závěr
Seznam použité literatury
Brožur
Úvod
Geometrie je obor matematiky, který se zabývá různými útvary a jejich vlastnostmi. Geometrie začíná trojúhelníkem. Po dvě a půl tisíciletí byl trojúhelník symbolem geometrie; ale není to jen symbol, trojúhelník je atom geometrie.
Ve své práci se budu zabývat vlastnostmi průsečíků os, mediánů a výšek trojúhelníku a budu mluvit o jejich pozoruhodných vlastnostech a přímkách trojúhelníku.
Mezi takové body studované ve školním kurzu geometrie patří:
a) průsečík os (střed vepsané kružnice);
b) průsečík odvěsnic osy (střed kružnice opsané);
c) průsečík výšek (orthocentrum);
d) průsečík mediánů (těžiště).
Relevantnost: rozšířit své znalosti o trojúhelníku,jeho vlastnostiúžasné body.
Cílová: průzkum trojúhelníku k jeho pozoruhodným bodům,studovat jeklasifikace a vlastnosti.
úkoly:
1. Prostudujte si potřebnou literaturu
2. Prostudujte si klasifikaci pozoruhodných bodů trojúhelníku
3. Umět sestrojit pozoruhodné trojúhelníkové body.
4. Shrňte nastudovaný materiál pro návrh brožury.
Hypotéza projektu:
schopnost najít pozoruhodné body v jakémkoli trojúhelníku umožňuje řešit geometrické konstrukční problémy.
Kapitola 1. Historické informace o pozoruhodných bodech trojúhelníku
Ve čtvrté knize Živlů Euklides řeší problém: „Vepsat kruh daný trojúhelník". Z řešení vyplývá, že tři osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jednom bodě - středu vepsané kružnice. Z řešení další euklidovské úlohy vyplývá, že kolmice obnovené ke stranám trojúhelníku v bodě jejich středy se také protínají v jednom bodě – střed vepsané kružnice In The Elements neříká, že se tři výšky trojúhelníku protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum (řecké slovo „orthos“ znamená „rovný“, „správný“. “) Tato věta však byla známa Archimédovi, Pappusovi a Proklovi.
Čtvrtý singulární bod trojúhelníku je průsečík střednic. Archimédes dokázal, že je to těžiště (barycentrum) trojúhelníku. Výše uvedeným čtyřem bodům byla věnována zvláštní pozornost a od 18. století se jim říkalo „pozoruhodné“ nebo „zvláštní“ body trojúhelníku.
Studium vlastností trojúhelníku spojených s těmito a dalšími body posloužilo jako počátek pro vytvoření nového odvětví elementární matematiky - „geometrie trojúhelníku“ nebo „nové geometrie trojúhelníku“, jehož jedním ze zakladatelů byl Leonhard Euler. V roce 1765 Euler dokázal, že v každém trojúhelníku leží orthocenter, barycenter a circumcenter na stejné přímce, později nazývané „Eulerova přímka“.
Trojúhelník
Trojúhelník - geometrický obrazec, skládající se ze tří bodů, které neleží na stejné přímce, a tří segmentů spojujících tyto body ve dvojicích. Body -vrcholy trojúhelník, segmenty -strany trojúhelník.
V A, B, C - vrcholy
AB, BC, SA - strany
A C
Ke každému trojúhelníku jsou přiřazeny čtyři body:
Průsečík střednic;
Průsečík průsečíků;
Průsečík výšek.
Průsečík odvěsných os;
1.2. Mediány trojúhelníku
Medina trojúhelníku - , spojující vrchol ze středu protější strany (obrázek 1). Bod, kde střed protíná stranu trojúhelníku, se nazývá základna mediánu.
Obrázek 1. Mediány trojúhelníku
Vytvořme středy stran trojúhelníku a nakreslete segmenty spojující každý z vrcholů se středem protější strany. Takové segmenty se nazývají mediány.
A opět pozorujeme, že se tyto segmenty protínají v jednom bodě. Pokud měříme délky výsledných středních segmentů, můžeme zkontrolovat ještě jednu vlastnost: průsečík mediánů rozděluje všechny mediány v poměru 2:1, počítáno od vrcholů. A přesto je trojúhelník, který spočívá na špičce jehly v průsečíku mediánů, v rovnováze! Bod s touto vlastností se nazývá těžiště (barycenter). Střed o stejné hmotnosti se někdy nazývá těžiště. Vlastnosti mediánů trojúhelníku lze tedy formulovat následovně: mediány trojúhelníku se protínají v těžišti a jsou děleny průsečíkem v poměru 2:1, počítáno od vrcholu.
1.3. Osy trojúhelníku
Bisector volal osa úhlu vedeného od vrcholu úhlu k jeho průsečíku s protější stranou. Trojúhelník má tři osy odpovídající jeho třem vrcholům (obrázek 2).
Obrázek 2. Osa trojúhelníku
V libovolném trojúhelníku ABC nakreslíme osy jeho úhlů. A opět, při přesné konstrukci se všechny tři osy protnou v jednom bodě D. Bod D je také neobvyklý: je stejně vzdálený od všech tří stran trojúhelníku. To lze ověřit sklopením kolmiček DA 1, DB 1 a DC1 ke stranám trojúhelníku. Všechny jsou si navzájem rovny: DA1=DB1=DC1.
Pokud nakreslíte kružnici se středem v bodě D a poloměrem DA 1, pak se bude dotýkat všech tří stran trojúhelníku (to znamená, že s každou z nich bude mít pouze jeden společný bod). Takový kruh se nazývá vepsaný do trojúhelníku. Osy úhlů trojúhelníku se tedy protínají ve středu vepsané kružnice.
1.4. Výšky v trojúhelníku
Výška trojúhelníku - , spadl z vrcholu na opačnou stranu nebo přímku shodující se s opačná strana. V závislosti na typu trojúhelníku může být výška obsažena v trojúhelníku (např trojúhelník), shodují se s jeho stranou (být trojúhelník) nebo procházet mimo trojúhelník v tupoúhlém trojúhelníku (obrázek 3).
Obrázek 3. Výšky v trojúhelnících
Pokud sestrojíte tři výšky v trojúhelníku, pak se všechny protnou v jednom bodě H. Tento bod se nazývá ortocentrum. (Obrázek 4).
Pomocí konstrukcí můžete zkontrolovat, že v závislosti na typu trojúhelníku je ortocentrum umístěno odlišně:
pro ostrý trojúhelník - uvnitř;
pro obdélníkový - na přeponu;
pro tupý úhel je na vnější straně.
Obrázek 4. Ortocentrum trojúhelníku
Tak jsme se seznámili s dalším pozoruhodným bodem trojúhelníku a můžeme říci, že: výšky trojúhelníku se protínají v ortocentru.
1.5. Kolmice osy ke stranám trojúhelníku
Kolmice úsečky je úsečka kolmá k dané úsečce a procházející jejím středem.
Nakreslíme libovolný trojúhelník ABC a na jeho strany nakreslíme odvěsny. Pokud je konstrukce provedena přesně, pak se všechny kolmice protnou v jednom bodě - bodě O. Tento bod je stejně vzdálený od všech vrcholů trojúhelníku. Jinými slovy, nakreslíte-li kružnici se středem v bodě O, procházející jedním z vrcholů trojúhelníku, pak bude procházet i jeho dalšími dvěma vrcholy.
Kruh procházející všemi vrcholy trojúhelníku se nazývá opsaný kolem něj. Stanovenou vlastnost trojúhelníku lze tedy formulovat následovně: odvěsny ke stranám trojúhelníku se protínají ve středu kružnice opsané (obrázek 5).
Obrázek 5. Trojúhelník vepsaný do kruhu
Kapitola 2. Studium pozoruhodných bodů trojúhelníku.
Studium výšky v trojúhelníku
Všechny tři výšky trojúhelníku se protínají v jednom bodě. Tento bod se nazývá ortocentrum trojúhelníku.
Nadmořské výšky ostrého trojúhelníku jsou umístěny přesně uvnitř trojúhelníku.
V souladu s tím je průsečík výšek také uvnitř trojúhelníku.
V pravoúhlém trojúhelníku se dvě výšky shodují se stranami. (Jsou to výšky nakreslené od vrcholů ostrých úhlů k nohám).
Výška nakreslená k přeponě leží uvnitř trojúhelníku.
AC je výška nakreslená od vrcholu C ke straně AB.
AB je výška nakreslená od vrcholu B ke straně AC.
AK - výška vytažená z vrcholu pravý úhel A do přepony BC.
Výšky pravoúhlého trojúhelníku se protínají ve vrcholu pravého úhlu (A je ortocentrum).
V tupoúhlém trojúhelníku je uvnitř trojúhelníku pouze jedna nadmořská výška – ta nakreslená z vrcholu tupého úhlu.
Další dvě výšky leží mimo trojúhelník a jsou sníženy na pokračování stran trojúhelníku.
AK je výška nakreslená na stranu BC.
BF - výška nakreslená na pokračování strany AC.
CD je výška nakreslená k pokračování strany AB.
Průsečík výšek tupého trojúhelníku je také mimo trojúhelník:
H je ortocentrum trojúhelníku ABC.
Studium os v trojúhelníku
Osa trojúhelníku je část osy úhlu trojúhelníku (paprsku), která je uvnitř trojúhelníku.
Všechny tři osy trojúhelníku se protínají v jednom bodě.
Průsečík os v ostrém, tupém a pravoúhlé trojúhelníky, je střed kružnice vepsané do trojúhelníku a nachází se uvnitř.
Studium mediánů v trojúhelníku
Protože trojúhelník má tři vrcholy a tři strany, existují také tři segmenty spojující vrchol a střed protilehlé strany.
Po prozkoumání těchto trojúhelníků jsem si uvědomil, že v jakémkoli trojúhelníku se mediány protínají v jednom bodě. Tento bod se nazývá těžiště trojúhelníku.
Studium odvěsnic ke straně trojúhelníku
Kolmice trojúhelníku je kolmice nakreslená ke středu strany trojúhelníku.
Tři kolmé osy trojúhelníku se protínají v jednom bodě a jsou středem kružnice opsané.
Průsečík odvěsných os v ostroúhlém trojúhelníku leží uvnitř trojúhelníku; v tupém úhlu - mimo trojúhelník; v pravoúhlém - uprostřed přepony.
Závěr
V průběhu práce dojdeme k následujícím závěrům:
Dosažený cíl:prozkoumal trojúhelník a našel jeho pozoruhodné body.
Zadané úkoly byly vyřešeny:
1). Prostudovali jsme potřebnou literaturu;
2). Studovali jsme klasifikaci pozoruhodných bodů trojúhelníku;
3). Naučili jsme se, jak sestrojit nádherné trojúhelníkové body;
4). Shrnuli jsme prostudovaný materiál pro návrh brožury.
Potvrdila se hypotéza, že schopnost najít pozoruhodné body trojúhelníku pomáhá při řešení konstrukčních problémů.
Práce důsledně nastiňuje techniky konstrukce pozoruhodných bodů trojúhelníku a poskytuje historické informace o geometrických konstrukcích.
Informace z této práce mohou být užitečné v hodinách geometrie v 7. ročníku. Brožura se může stát referenční knihou o geometrii na prezentované téma.
Bibliografie
Učebnice. L.S. Atanasyan „Geometrie třídy 7-9Mnemosyne, 2015.
Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Portal Scarlet Sails
Vedoucí vzdělávací portál Rusko http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
V trojúhelníku jsou takzvané čtyři pozoruhodné body: průsečík střednic. Průsečík os, průsečík výšek a průsečík kolmých os. Podívejme se na každou z nich.
Průsečík střednic trojúhelníku
Věta 1
Na průsečíku mediánů trojúhelníku: Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě a jsou děleny průsečíkem v poměru $2:1$ počínaje vrcholem.
Důkaz.
Uvažujme trojúhelník $ABC$, kde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ jsou jeho mediány. Protože mediány rozdělují strany na polovinu. Uvažujme střední čáru $A_1B_1$ (obr. 1).
Obrázek 1. Mediány trojúhelníku
Podle věty 1 $AB||A_1B_1$ a $AB=2A_1B_1$ tedy $\úhel ABB_1=\úhel BB_1A_1,\ \úhel BAA_1=\úhel AA_1B_1$. To znamená, že trojúhelníky $ABM$ a $A_1B_1M$ jsou podobné podle prvního kritéria podobnosti trojúhelníků. Pak
Podobně je dokázáno, že
Věta byla prokázána.
Průsečík os trojúhelníku
Věta 2
Na průsečíku os trojúhelníku: Osy trojúhelníku se protínají v jednom bodě.
Důkaz.
Uvažujme trojúhelník $ABC$, kde $AM,\BP,\CK$ jsou jeho osy. Nechť bod $O$ je průsečíkem os $AM\ a\BP$. Z tohoto bodu vedeme kolmice ke stranám trojúhelníku (obr. 2).
Obrázek 2. Osy trojúhelníku
Věta 3
Každý bod osy nerozvinutého úhlu je stejně vzdálený od jeho stran.
Podle věty 3 máme: $OX=OZ,\ OX=OY$. Proto $OY=OZ$. To znamená, že bod $O$ je stejně vzdálený od stran úhlu $ACB$, a tedy leží na jeho osě $CK$.
Věta byla prokázána.
Průsečík odvěsných os trojúhelníku
Věta 4
Odvěsny ke stranám trojúhelníku se protínají v jednom bodě.
Důkaz.
Nechť je dán trojúhelník $ABC$, $n,\ m,\ p$ jeho odvěsny. Nechť bod $O$ je průsečíkem odvěsnic $n\ a\ m$ (obr. 3).
Obrázek 3. Odvěsny trojúhelníku
Abychom to dokázali, potřebujeme následující větu.
Věta 5
Každý bod kolmice k úsečce je stejně vzdálený od konců úsečky.
Podle věty 3 máme: $OB=OC,\ OB=OA$. Proto $OA=OC$. To znamená, že bod $O$ je stejně vzdálen od konců úsečky $AC$, a tedy leží na její odvěsně $p$.
Věta byla prokázána.
Průsečík výšek trojúhelníku
Věta 6
Výšky trojúhelníku nebo jejich prodloužení se protínají v jednom bodě.
Důkaz.
Uvažujme trojúhelník $ABC$, kde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ je jeho nadmořská výška. Proveďte přímku skrz každý vrchol trojúhelníku rovnoběžnou se stranou protilehlou k vrcholu. Dostaneme nový trojúhelník $A_2B_2C_2$ (obr. 4).
Obrázek 4. Výšky trojúhelníků
Protože $AC_2BC$ a $B_2ABC$ jsou rovnoběžníky se společnou stranou, pak $AC_2=AB_2$, tj. bod $A$ je středem strany $C_2B_2$. Podobně zjistíme, že bod $B$ je středem strany $C_2A_2$ a bod $C$ je středem strany $A_2B_2$. Z konstrukce máme, že $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Proto $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ jsou odvěsny trojúhelníku $A_2B_2C_2$. Pak podle věty 4 máme, že výšky $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se protínají v jednom bodě.
