Budu stručný. Úhel mezi dvěma přímkami se rovná úhlu mezi jejich směrovými vektory. Pokud se vám tedy podaří najít souřadnice směrových vektorů a = (x 1 ; y 1 ; z 1) a b = (x 2 ; y 2 ; z 2), můžete najít úhel. Přesněji, kosinus úhlu podle vzorce:
Podívejme se, jak tento vzorec funguje na konkrétních příkladech:
Úkol. V krychli ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 jsou vyznačeny body E a F - středy hran A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Najděte úhel mezi přímkami AE a BF.
Protože hrana krychle není zadaná, nastavíme AB = 1. Zavedeme standardní souřadnicový systém: počátek je v bodě A, osy x, y, z směřují podél AB, AD a AA 1, resp. Jednotkový segment je roven AB = 1. Nyní najdeme souřadnice směrových vektorů pro naše úsečky.
Pojďme najít souřadnice vektoru AE. K tomu potřebujeme body A = (0; 0; 0) a E = (0,5; 0; 1). Protože bod E je středem segmentu A 1 B 1, jeho souřadnice se rovnají aritmetickému průměru souřadnic konců. Všimněte si, že počátek vektoru AE se shoduje s počátkem souřadnic, takže AE = (0,5; 0; 1).
Nyní se podíváme na BF vektor. Podobně analyzujeme body B = (1; 0; 0) a F = (1; 0,5; 1), protože F je střed segmentu B 1 C 1. My máme:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).
Takže směrové vektory jsou připraveny. Kosinus úhlu mezi přímkami je kosinus úhlu mezi směrovými vektory, takže máme:
Úkol. V pravidelném trojbokém hranolu ABCA 1 B 1 C 1, jehož všechny hrany jsou rovny 1, jsou vyznačeny body D a E - středy hran A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Najděte úhel mezi přímkami AD a BE.
Zavedeme standardní souřadnicový systém: počátek je v bodě A, osa x směřuje podél AB, z - podél AA 1. Nasměrujme osu y tak, aby se rovina OXY shodovala s rovinou ABC. Jednotková úsečka je rovna AB = 1. Nalezneme souřadnice směrových vektorů pro požadované úsečky.
Nejprve najdeme souřadnice vektoru AD. Uvažujme body: A = (0; 0; 0) a D = (0,5; 0; 1), protože D - střed segmentu A 1 B 1. Protože začátek vektoru AD se shoduje s počátkem souřadnic, dostáváme AD = (0,5; 0; 1).
Nyní najdeme souřadnice vektoru BE. Bod B = (1; 0; 0) lze snadno vypočítat. S bodem E - středem segmentu C 1 B 1 - je to trochu složitější. My máme:
Zbývá najít kosinus úhlu:
Úkol. V pravidelném šestibokém hranolu ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, jehož všechny hrany jsou rovny 1, jsou vyznačeny body K a L - středy hran A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. . Najděte úhel mezi přímkami AK a BL.
Zaveďme standardní souřadnicový systém pro hranol: počátek souřadnic umístíme do středu spodní základny, osa x směřuje podél FC, osa y směřuje přes středy segmentů AB a DE a osa z osa směřuje svisle nahoru. Jednotkový segment je opět roven AB = 1. Zapišme si souřadnice bodů našeho zájmu:
Body K a L jsou středy segmentů A 1 B 1 a B 1 C 1, takže jejich souřadnice se nalézají aritmetickým průměrem. Když známe body, zjistíme souřadnice směrových vektorů AK a BL:
Nyní najdeme kosinus úhlu:
Úkol. Vpravo čtyřboká pyramida SABCD, jehož všechny hrany jsou rovny 1, jsou označeny body E a F - středy stran SB a SC. Najděte úhel mezi přímkami AE a BF.
Zavedeme standardní souřadnicový systém: počátek je v bodě A, osy x a y směřují podél AB a AD a osa z směřuje svisle nahoru. Jednotkový segment je roven AB = 1.
Body E a F jsou středy segmentů SB a SC, takže jejich souřadnice se najdou jako aritmetický průměr konců. Zapišme si souřadnice bodů zájmu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Když známe body, zjistíme souřadnice směrových vektorů AE a BF:
Souřadnice vektoru AE se shodují se souřadnicemi bodu E, protože bod A je počátek. Zbývá najít kosinus úhlu:
Problém 1
Najděte kosinus úhlu mezi přímkami $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ a $\left\( \begin(pole )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(pole)\vpravo. $.
Nechť jsou v prostoru uvedeny dva řádky: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1) )(p_(1) ) $ a $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Vyberme si libovolný bod v prostoru a nakreslete přes něj dvě pomocné čáry rovnoběžné s daty. Úhel mezi těmito čarami je libovolný ze dvou sousedních úhlů tvořených pomocnými čarami. Kosinus jednoho z úhlů mezi přímkami lze nalézt pomocí známého vzorce $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_(2)^(2) +p_(2)^(2))) $. Pokud je hodnota $\cos \phi >0$, pak se získá ostrý úhel mezi čarami, pokud $\cos \phi
Kanonické rovnice prvního řádku: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Kanonické rovnice druhého řádku lze získat z parametrických:
\ \ \
Kanonické rovnice tohoto řádku jsou tedy: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Vypočítáme:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ left(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \cca 0,9449.\]
Problém 2
První linie prochází danými body $A\left(2,-4,-1\right)$ a $B\left(-3,5,6\right)$, druhá linie prochází danými body $ C\left (1,-2,8\right)$ a $D\left(6,7,-2\right)$. Najděte vzdálenost mezi těmito čarami.
Nechť je určitá přímka kolmá k přímkám $AB$ a $CD$ a protíná je v bodech $M$ a $N$. Za těchto podmínek je délka segmentu $MN$ rovna vzdálenosti mezi čarami $AB$ a $CD$.
Sestrojíme vektor $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]
Nechme úsečku znázorňující vzdálenost mezi úsečkami procházet bodem $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ na přímce $AB$.
Sestrojíme vektor $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]
Vektory $\overline(AB)$ a $\overline(AM)$ jsou stejné, proto jsou kolineární.
Je známo, že pokud vektory $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ a $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ jsou kolineární, pak jejich souřadnice jsou úměrné, pak existuje $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, kde $m $ je výsledek dělení.
Odtud dostaneme: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Nakonec získáme výrazy pro souřadnice bodu $M$:
Sestrojíme vektor $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ left(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Nechme úsečku představující vzdálenost mezi přímkami procházet bodem $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ na přímce $CD$.
Sestrojíme vektor $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]
Vektory $\overline(CD)$ a $\overline(CN)$ se shodují, proto jsou kolineární. Aplikujeme podmínku kolinearity vektorů:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, kde $n $ je výsledek dělení.
Odtud dostaneme: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Nakonec získáme výrazy pro souřadnice bodu $N$:
Sestrojíme vektor $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]
Souřadnice bodů $M$ a $N$ dosadíme výrazy:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot m\vpravo)\vpravo)\cdot \bar(k).\]
Po dokončení kroků dostaneme:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
Protože čáry $AB$ a $MN$ jsou kolmé, je skalární součin odpovídajících vektorů roven nule, to znamená $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
Po dokončení kroků získáme první rovnici pro určení $m$ a $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Protože čáry $CD$ a $MN$ jsou kolmé, je skalární součin odpovídajících vektorů roven nule, to znamená $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
Po dokončení kroků získáme druhou rovnici pro určení $m$ a $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
$m$ a $n$ najdeme řešením soustavy rovnic $\left\(\begin(pole)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206 \cdot n =77)\end(pole)\vpravo.$.
Aplikujeme Cramerovu metodu:
\[\Delta =\left|\begin(pole)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(pole)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(pole)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(pole)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(pole)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(pole)\right|=10731;\ ]\
Najděte souřadnice bodů $M$ a $N$:
\ \
Konečně:
Nakonec napíšeme vektor $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4,618-2,6701\vpravo)\cdot \bar(k)$ nebo $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar(j)+1,9479\cdot \bar(k)$ .
Vzdálenost mezi řádky $AB$ a $CD$ je délka vektoru $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \ přibližně 3,8565 $ lin. Jednotky
Nechť jsou dvě přímky l a m na rovině v kartézském souřadném systému dány obecnými rovnicemi: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
Normálové vektory k těmto přímkám: = (A 1 , B 1) – k přímce l,
= (A 2 , B 2) – k přímce m.
Nechť j je úhel mezi přímkami l a m.
Protože úhly se vzájemně kolmými stranami jsou buď stejné, nebo se sčítají k p, pak 
, tedy cos j = .
Takže jsme dokázali následující větu.
Teorém. Nechť j je úhel mezi dvěma přímkami v rovině a nechť jsou tyto přímky specifikovány v kartézském souřadnicovém systému obecnými rovnicemi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom cos j = 
.
Cvičení.
1) Odvoďte vzorec pro výpočet úhlu mezi přímkami, pokud:
(1) obě linky jsou specifikovány parametricky; (2) obě přímky jsou dány kanonickými rovnicemi; (3) jeden řádek je specifikován parametricky, druhý řádek je specifikován obecnou rovnicí; (4) obě přímky jsou dány rovnicí s úhlovým koeficientem.
2) Nechť j je úhel mezi dvěma přímkami v rovině a nechť jsou tyto přímky definovány v kartézském souřadnicovém systému rovnicemi y = k 1 x + b 1 a y = k 2 x + b 2 .
Pak tan j =.
3) Prozkoumejte vzájemnou polohu dvou přímek danou obecnými rovnicemi v kartézském souřadnicovém systému a vyplňte tabulku:
Vzdálenost od bodu k přímce v rovině.
Nechť je přímka l na rovině v kartézském souřadném systému dána obecnou rovnicí Ax + By + C = 0. Zjistime vzdálenost bodu M(x 0 , y 0) k přímce l.
Vzdálenost od bodu M k přímce l je délka kolmice HM (H О l, HM ^ l).
Vektor a normálový vektor k přímce l jsou kolineární, takže | | = | | | | a | | = .
Nechť souřadnice bodu H jsou (x,y).
Protože bod H patří přímce l, pak Ax + By + C = 0 (*).
Souřadnice vektorů a: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Axe - By, viz (*))
Teorém. Nechť je přímka l v kartézském souřadnicovém systému specifikována obecnou rovnicí Ax + By + C = 0. Pak vzdálenost od bodu M(x 0 , y 0) k této přímce vypočítáme podle vzorce: r ( M; l) = .
Cvičení.
1) Odvoďte vzorec pro výpočet vzdálenosti od bodu k přímce, pokud: (1) přímka je dána parametricky; (2) přímka je dána kanonickým rovnicím; (3) přímka je dána rovnicí s úhlovým koeficientem.
2) Napište rovnici kružnice tečné k přímce 3x – y = 0 se středem v bodě Q(-2,4).
3) Napište rovnice přímek rozdělujících úhly, které svírají průsečík přímek 2x + y - 1 = 0 a x + y + 1 = 0, na polovinu.
§ 27. Analytická definice roviny v prostoru
Definice. Normální vektor k rovině budeme nazývat nenulový vektor, jehož libovolný zástupce je kolmý k dané rovině.
Komentář. Je jasné, že pokud je alespoň jeden zástupce vektoru kolmý k rovině, pak všichni ostatní zástupci vektoru jsou kolmí k této rovině.
Nechat být dán v prostoru karteziánský systém souřadnice
Nechť je dána rovina, = (A, B, C) – normálový vektor k této rovině, rovině a náleží bod M (x 0 , y 0 , z 0).
Pro libovolný bod N(x, y, z) roviny a jsou vektory a ortogonální, to znamená, že jejich skalární součin je roven nule: = 0. Poslední rovnost zapišme v souřadnicích: A(x - x 0 ) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0.
Nechť -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, pak Ax + By + Cz + D = 0.
Vezměme bod K (x, y) takový, že Ax + By + Cz + D = 0. Protože D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, pak A(x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0. Protože souřadnice orientovaného segmentu = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), poslední rovnost znamená, že ^, a tedy K Оa.
Takže jsme dokázali následující teorém:
Teorém. Jakákoli rovina v prostoru v kartézském souřadnicovém systému může být specifikována rovnicí ve tvaru Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), kde (A, B, C) jsou souřadnice normálového vektoru k této rovině.
Platí to i naopak.
Teorém. Jakákoli rovnice ve tvaru Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) v kartézském souřadnicovém systému určuje určitou rovinu a (A, B, C) jsou souřadnice normály vektor do této roviny.
Důkaz.
Vezměte bod M (x 0 , y 0 , z 0) takový, že Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 a vektor = (A, B, C) ( ≠ q).
Bodem M kolmým k vektoru prochází rovina (a pouze jedna). Podle předchozí věty je tato rovina dána rovnicí Ax + By + Cz + D = 0.
Definice. Rovnice ve tvaru Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) se nazývá obecná rovinná rovnice.
Příklad.
Napišme rovnici roviny procházející body M (0,2,4), N (1,-1,0) a K (-1,0,5).
1. Najděte souřadnice normálového vektoru k rovině (MNK). Protože vektorový součin ´ je ortogonální k nekolineárním vektorům a , je vektor kolineární ´ .
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
' = (-11, 3, -5).
Takže jako normální vektor vezmeme vektor = (-11, 3, -5).
2. Použijme nyní výsledky první věty:
rovnice této roviny A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, kde (A, B, C) jsou souřadnice normálového vektoru, (x 0 , y 0 , z 0) – souřadnice bodu ležícího v rovině (například bod M).
11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) = 0
11x + 3y – 5z + 14 = 0
Odpověď: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Cvičení.
1) Napište rovnici roviny if
(1) rovina prochází bodem M (-2,3,0) rovnoběžně s rovinou 3x + y + z = 0;
(2) rovina obsahuje osu (Ox) a je kolmá k rovině x + 2y – 5z + 7 = 0.
2) Napište rovnici roviny procházející třemi danými body.
§ 28. Analytická definice poloprostoru*
Komentář*. Nechte nějaké letadlo opravit. Pod poloprostor budeme chápat množinu bodů ležících na jedné straně dané roviny, to znamená, že dva body leží ve stejném poloprostoru, jestliže úsečka je spojující neprotíná danou rovinu. Tato rovina se nazývá hranici tohoto poloprostoru. Spojení této roviny a poloprostoru bude nazýváno uzavřený poloprostor.
Nechť je kartézský souřadnicový systém fixován v prostoru.
Teorém. Nechť je rovina a dána obecnou rovnicí Ax + By + Cz + D = 0. Pak jeden ze dvou poloprostorů, na které rovina a prostor rozděluje, je dán nerovností Ax + By + Cz + D > 0 , a druhý půlprostor je dán nerovností Ax + By + Cz + D< 0.
Důkaz.
Vynesme normálový vektor = (A, B, C) do roviny a z bodu M (x 0 , y 0 , z 0) ležícího v této rovině: = , M О a, MN ^ a. Rovina rozděluje prostor na dva poloprostory: b 1 a b 2. Je jasné, že bod N patří do jednoho z těchto poloprostorů. Bez ztráty obecnosti budeme předpokládat, že N О b 1 .
Dokažme, že poloprostor b 1 je definován nerovností Ax + By + Cz + D > 0.
1) Vezměte bod K(x,y,z) v poloprostoru b 1 . Úhel Ð NMK je úhel mezi vektory a - akutní, proto je skalární součin těchto vektorů kladný: > 0. Zapišme tuto nerovnost v souřadnicích: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, tedy Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.
Protože M О b 1, pak Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, tedy -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Poslední nerovnost lze tedy zapsat takto: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Vezměte bod L(x,y) takový, že Ax + By + Cz + D > 0.
Přepišme nerovnost tak, že D nahradíme (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (protože M О b 1, pak Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.
Vektor se souřadnicemi (x - x 0,y - y 0, z - z 0) je vektor, takže výraz A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) lze chápat jako skalární součin vektorů a . Protože skalární součin vektorů a je kladný, úhel mezi nimi je ostrý a bod L О b 1 .
Podobně můžeme dokázat, že poloprostor b 2 je dán nerovností Ax + By + Cz + D< 0.
Poznámky.
1) Je zřejmé, že výše uvedený důkaz nezávisí na volbě bodu M v rovině a.
2) Je jasné, že stejný poloprostor lze definovat různými nerovnostmi.
Platí to i naopak.
Teorém. Libovolná lineární nerovnost tvaru Ax + By + Cz + D > 0 (nebo Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Důkaz.
Rovnice Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) v prostoru definuje určitou rovinu a (viz § ...). Jak bylo prokázáno v předchozí větě, jeden ze dvou poloprostorů, na které rovina rozděluje prostor, je dán nerovností Ax Ax + By + Cz + D > 0.
Poznámky.
1) Je jasné, že uzavřený poloprostor lze definovat nepřísnou lineární nerovností a jakákoli nepřísná lineární nerovnost v kartézském souřadnicovém systému definuje uzavřený poloprostor.
2) Jakýkoli konvexní mnohostěn lze definovat jako průsečík uzavřených poloprostorů (jejichž hranicemi jsou roviny obsahující plochy mnohostěnu), tedy analyticky - systémem lineárních nepřísných nerovností.
Cvičení.
1) Dokažte dvě uvedené věty pro libovolný afinní souřadnicový systém.
2) Je naopak pravdou, že definuje jakýkoli systém nepřísných lineárních nerovností konvexní mnohoúhelník?
Cvičení.1) Prozkoumejte vzájemné polohy dvou rovin definovaných obecnými rovnicemi v kartézském souřadnicovém systému a vyplňte tabulku.
A. Uveďme dvě přímky, které, jak je naznačeno v kapitole 1, svírají různé kladné a záporné úhly, které mohou být ostré nebo tupé. Když známe jeden z těchto úhlů, můžeme snadno najít jakýkoli jiný.
Mimochodem, pro všechny tyto úhly je číselná hodnota tečny stejná, rozdíl může být pouze ve znaménku
Rovnice přímek. Čísla jsou průměty směrových vektorů první a druhé přímky Úhel mezi těmito vektory je roven jednomu z úhlů tvořených přímkami. Problém tedy spočívá v určení úhlu mezi vektory
Pro jednoduchost se můžeme dohodnout, že úhel mezi dvěma přímkami je ostrý kladný úhel (jako např. na obr. 53).
Pak bude tangens tohoto úhlu vždy kladný. Je-li tedy na pravé straně vzorce (1) znaménko mínus, musíme ho zahodit, tedy uložit pouze absolutní hodnotu.
Příklad. Určete úhel mezi přímkami
Podle vzorce (1) máme
S. Pokud je naznačeno, která ze stran úhlu je jeho začátkem a která je jeho koncem, pak, počítáme-li vždy směr úhlu proti směru hodinových ručiček, můžeme ze vzorce (1) vytěžit něco navíc. Jak je snadno vidět z obr. 53, znaménko získané na pravé straně vzorce (1) udává, jaký druh úhlu - ostrý nebo tupý - svírá druhá přímka s první.
(Z obr. 53 vidíme, že úhel mezi prvním a druhým směrovým vektorem je buď roven požadovanému úhlu mezi přímkami, nebo se od něj liší o ±180°.)
d. Jsou-li přímky rovnoběžné, pak jsou jejich směrové vektory rovnoběžné.Aplikací podmínky rovnoběžnosti dvou vektorů dostaneme!
To je nutná a postačující podmínka pro rovnoběžnost dvou čar.
Příklad. Přímo
jsou paralelní, protože
E. Jsou-li přímky kolmé, pak jsou kolmé i jejich směrové vektory. Aplikací podmínky kolmosti dvou vektorů získáme podmínku kolmosti dvou přímek, a to
Příklad. Přímo
jsou kolmé vzhledem k tomu, že
V souvislosti s podmínkami rovnoběžnosti a kolmosti vyřešíme následující dva problémy.
F. Nakreslete čáru bodem rovnoběžným s danou čárou
Řešení se provádí takto. Protože je požadovaná přímka s touto přímkou rovnoběžná, můžeme pro její směrový vektor vzít stejný, jako má daná přímka, tj. vektor s průměty A a B. A rovnice požadované přímky bude zapsána v formulář (§ 1)
Příklad. Rovnice přímky procházející bodem (1; 3) rovnoběžně s přímkou
bude další!
G. Nakreslete čáru bodem kolmým k dané přímce
Zde již není vhodné brát vektor s průměty A a jako vodící vektor, ale je nutné brát vektor kolmo na něj. Průměty tohoto vektoru je tedy nutné volit podle podmínky kolmosti obou vektorů, tedy podle podmínky
Tato podmínka může být splněna nesčetnými způsoby, protože zde je jedna rovnice se dvěma neznámými, ale nejjednodušší je vzít nebo Potom rovnici požadované přímky zapíšeme ve tvaru
Příklad. Rovnice přímky procházející bodem (-7; 2) v kolmé přímce
bude následující (podle druhého vzorce)!
h. V případě, kdy jsou přímky dány rovnicemi tvaru
přepsat tyto rovnice jinak, máme
Tento materiál je věnován takovému konceptu, jako je úhel mezi dvěma protínajícími se čarami. V prvním odstavci vysvětlíme, co to je, a ukážeme to na ilustracích. Poté se podíváme na způsoby, jak můžete najít sinus, kosinus tohoto úhlu a samotný úhel (samostatně zvážíme případy s rovinou a trojrozměrným prostorem), uvedeme potřebné vzorce a ukážeme na příkladech přesně jak se používají v praxi.
Abychom pochopili, jaký je úhel sevřený, když se dvě přímky protnou, musíme si zapamatovat samotnou definici úhlu, kolmosti a průsečíku.
Definice 1
Dvě přímky nazýváme protínající se, pokud mají jeden společný bod. Tento bod se nazývá průsečík dvou přímek.
Každá přímka je rozdělena průsečíkem na paprsky. Obě přímky svírají 4 úhly, z nichž dva jsou svislé a dva sousedí. Pokud známe míru jednoho z nich, pak můžeme určit zbývající.
Řekněme, že víme, že jeden z úhlů je roven α. V tomto případě bude úhel, který je svislý vzhledem k ní, také roven α. Abychom našli zbývající úhly, musíme vypočítat rozdíl 180 ° - α. Pokud se α rovná 90 stupňům, pak všechny úhly budou pravé. Přímky protínající se v pravých úhlech se nazývají kolmé (pojmu kolmosti je věnován samostatný článek).
Podívejte se na obrázek:
Pojďme k formulaci hlavní definice.
Definice 2
Úhel tvořený dvěma protínajícími se čarami je mírou menšího ze 4 úhlů, které tvoří tyto dvě čáry.
Z definice je třeba vyvodit důležitý závěr: velikost úhlu v tomto případě bude vyjádřena libovolným reálným číslem v intervalu (0, 90]. Pokud jsou přímky kolmé, pak úhel mezi nimi bude v každém případě rovných 90 stupňů.
Schopnost najít míru úhlu mezi dvěma protínajícími se čarami je užitečná pro řešení mnoha praktické problémy. Způsob řešení lze zvolit z několika možností.
Pro začátek můžeme vzít geometrické metody. Pokud víme něco o doplňkových úhlech, můžeme je vztáhnout k úhlu, který potřebujeme, pomocí vlastností stejných nebo podobných obrazců. Známe-li například strany trojúhelníku a potřebujeme vypočítat úhel mezi úsečkami, na kterých se tyto strany nacházejí, pak je pro jeho řešení vhodná kosinová věta. Pokud máme podmínku pravoúhlý trojuhelník, pak pro výpočty budeme potřebovat i znalost sinu, kosinu a tangens úhlu.
Souřadnicová metoda je také velmi vhodná pro řešení problémů tohoto typu. Pojďme si vysvětlit, jak jej správně používat.
Máme pravoúhlý (kartézský) souřadnicový systém O x y, ve kterém jsou dány dvě přímky. Označme je písmeny a a b. Přímky lze popsat pomocí některých rovnic. Původní čáry mají průsečík M. Jak určit požadovaný úhel (označme ho α) mezi těmito přímkami?
Začněme formulováním základního principu hledání úhlu za daných podmínek.
Víme, že pojem přímky úzce souvisí s pojmy jako směrový vektor a normálový vektor. Pokud máme rovnici určité přímky, můžeme z ní vzít souřadnice těchto vektorů. Můžeme to udělat pro dvě protínající se čáry najednou.
Úhel sevřený dvěma protínajícími se čarami lze najít pomocí:
- úhel mezi směrovými vektory;
- úhel mezi normálovými vektory;
- úhel mezi normálovým vektorem jedné přímky a směrovým vektorem druhé.
Nyní se podívejme na každou metodu zvlášť.
1. Předpokládejme, že máme přímku a se směrovým vektorem a → = (a x, a y) a přímku b se směrovým vektorem b → (b x, b y). Nyní nakreslíme dva vektory a → a b → z průsečíku. Poté uvidíme, že každý bude umístěn na své vlastní přímce. Pak pro ně máme čtyři možnosti relativní pozice. Viz ilustrace:
Pokud úhel mezi dvěma vektory není tupý, pak to bude úhel, který potřebujeme mezi protínajícími se přímkami a a b. Pokud je tupý, pak se požadovaný úhel bude rovnat úhlu sousedícímu s úhlem a →, b → ^. Tedy α = a → , b → ^ pokud a → , b → ^ ≤ 90 ° a α = 180 ° - a → , b → ^ pokud a → , b → ^ > 90 ° .
Na základě skutečnosti, že kosiny stejných úhlů jsou stejné, můžeme výsledné rovnosti přepsat takto: cos α = cos a →, b → ^, jestliže a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, pokud a →, b → ^ > 90 °.
Ve druhém případě byly použity redukční vzorce. Tím pádem,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Napišme poslední vzorec slovy:
Definice 3
Kosinus úhlu tvořeného dvěma protínajícími se přímkami bude roven modulu kosinu úhlu mezi jeho směrovými vektory.
Obecný tvar vzorce pro kosinus úhlu mezi dvěma vektory a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) vypadá takto:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Z toho můžeme odvodit vzorec pro kosinus úhlu mezi dvěma danými přímkami:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Samotný úhel pak lze najít pomocí následujícího vzorce:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Zde a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) jsou směrové vektory daných čar.
Uveďme příklad řešení problému.
Příklad 1
V pravoúhlém souřadnicovém systému v rovině jsou dány dvě protínající se přímky a a b. Lze je popsat parametrickými rovnicemi x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R a x 5 = y - 6 - 3. Vypočítejte úhel mezi těmito čarami.
Řešení
V podmínce máme parametrickou rovnici, což znamená, že pro tuto přímku si můžeme rovnou zapsat souřadnice jejího směrového vektoru. K tomu musíme vzít hodnoty koeficientů pro parametr, tj. přímka x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R bude mít směrový vektor a → = (4, 1).
Druhá přímka je popsána pomocí kanonická rovnice x 5 = y-6-3. Zde můžeme vzít souřadnice ze jmenovatelů. Tato přímka má tedy směrový vektor b → = (5 , - 3) .
Dále se přesuneme přímo k nalezení úhlu. Chcete-li to provést, jednoduše dosaďte stávající souřadnice dvou vektorů do výše uvedeného vzorce α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Získáme následující:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45 °
Odpovědět: Tyto přímky svírají úhel 45 stupňů.
Podobný problém můžeme vyřešit nalezením úhlu mezi normálovými vektory. Máme-li přímku a s normálovým vektorem n a → = (n a x , n a y) a přímku b s normálovým vektorem n b → = (n b x , n b y), pak bude úhel mezi nimi roven úhlu mezi n a → a n b → nebo úhel, který bude sousedit s n a →, n b → ^. Tato metoda je znázorněna na obrázku:
Vzorce pro výpočet kosinusu úhlu mezi protínajícími se čarami a tímto úhlem samotným pomocí souřadnic normálních vektorů vypadají takto:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a 2 + n b y + n a 2 + n b y 2
Zde n a → an b → označují normálové vektory dvou daných čar.
Příklad 2
V pravoúhlém souřadnicovém systému jsou dány dvě přímky pomocí rovnic 3 x + 5 y - 30 = 0 a x + 4 y - 17 = 0. Najděte sinus a kosinus úhlu mezi nimi a velikost tohoto úhlu samotného.
Řešení
Původní čáry jsou specifikovány pomocí normálních přímkových rovnic ve tvaru A x + B y + C = 0. Normální vektor označíme jako n → = (A, B). Najdeme souřadnice prvního normálového vektoru pro jeden řádek a zapíšeme je: n a → = (3, 5) . Pro druhou přímku x + 4 y - 17 = 0 bude mít normálový vektor souřadnice n b → = (1, 4). Nyní přidejte získané hodnoty do vzorce a vypočítejte součet:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Pokud známe kosinus úhlu, pak můžeme jeho sinus vypočítat pomocí zákl trigonometrická identita. Protože úhel α sevřený přímkami není tupý, pak sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
V tomto případě α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34.
Odpověď: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34
Rozeberme si poslední případ – zjištění úhlu mezi přímkami, známe-li souřadnice směrového vektoru jedné přímky a normálového vektoru druhé.
Předpokládejme, že přímka a má směrový vektor a → = (a x , a y) a přímka b má normálový vektor n b → = (n b x , n b y) . Musíme tyto vektory oddělit od průsečíku a zvážit všechny možnosti jejich relativní polohy. Viz na obrázku:
Pokud úhel mezi danými vektory není větší než 90 stupňů, ukáže se, že doplní úhel mezi a a b do pravého úhlu.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , pokud a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Pokud je méně než 90 stupňů, dostaneme následující:
a → , n b → ^ > 90 ° , pak a → , n b → ^ = 90 ° + α
Pomocí pravidla rovnosti kosinů o stejných úhlech píšeme:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pro a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pro a → , n b → ^ > 90 ° .
Tím pádem,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Pojďme formulovat závěr.
Definice 4
Chcete-li najít sinus úhlu mezi dvěma přímkami protínajícími se v rovině, musíte vypočítat modul kosinus úhlu mezi směrovým vektorem první čáry a normálovým vektorem druhé.
Zapišme si potřebné vzorce. Nalezení sinusu úhlu:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Nalezení samotného úhlu:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Zde a → je směrový vektor prvního řádku a n b → je normálový vektor druhého.
Příklad 3
Dvě protínající se přímky jsou dány rovnicemi x - 5 = y - 6 3 a x + 4 y - 17 = 0. Najděte úhel průsečíku.
Řešení
Z uvedených rovnic vezmeme souřadnice vodícího a normálového vektoru. Ukazuje se a → = (- 5, 3) a n → b = (1, 4). Vezmeme vzorec α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 a vypočítáme:
α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34
Vezměte prosím na vědomí, že jsme převzali rovnice z předchozí úlohy a získali jsme přesně stejný výsledek, ale jiným způsobem.
Odpovědět:α = a rc sin 7 2 34
Ukažme si jiný způsob, jak najít požadovaný úhel pomocí úhlových koeficientů daných přímek.
Máme přímku a, která je definována v pravoúhlém souřadnicovém systému pomocí rovnice y = k 1 x + b 1, a přímku b, definovanou jako y = k 2 x + b 2. Jedná se o rovnice přímek se sklony. K nalezení úhlu průsečíku použijeme vzorec:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kde k 1 a k 2 jsou sklony daných čar. K získání tohoto záznamu byly použity vzorce pro určení úhlu přes souřadnice normálových vektorů.
Příklad 4
V rovině se protínají dvě přímky dané rovnicí y = - 3 5 x + 6 a y = - 1 4 x + 17 4. Vypočítejte hodnotu úhlu průsečíku.
Řešení
Úhlové koeficienty našich čar se rovnají k 1 = - 3 5 ak 2 = - 1 4. Sečteme je do vzorce α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 a vypočítejme:
α = ar c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Odpovědět:α = a rc cos 23 2 34
V závěrech tohoto odstavce je třeba poznamenat, že zde uvedené vzorce pro zjištění úhlu se nemusí učit nazpaměť. K tomu stačí znát souřadnice vodítek a/nebo normálových vektorů daných čar a umět je určit pomocí různých typů rovnic. Ale je lepší si zapamatovat nebo zapsat vzorce pro výpočet kosinusu úhlu.
Jak vypočítat úhel mezi protínajícími se čarami v prostoru
Výpočet takového úhlu lze zredukovat na výpočet souřadnic směrových vektorů a určení velikosti úhlu, který tyto vektory svírají. Pro takové příklady se používá stejná úvaha, jakou jsme uvedli dříve.
Předpokládejme, že máme pravoúhlý souřadnicový systém umístěný na trojrozměrný prostor. Obsahuje dvě přímky a a b s průsečíkem M. Pro výpočet souřadnic směrových vektorů potřebujeme znát rovnice těchto přímek. Označme směrové vektory a → = (a x , a y , a z) a b → = (b x , b y, b z) . Pro výpočet kosinusu úhlu mezi nimi použijeme vzorec:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
K nalezení samotného úhlu potřebujeme tento vzorec:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Příklad 5
Máme přímku definovanou v trojrozměrném prostoru pomocí rovnice x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Je známo, že se protíná s osou O z. Vypočítejte úhel průsečíku a kosinus tohoto úhlu.
Řešení
Označme úhel, který je potřeba vypočítat, písmenem α. Zapišme si souřadnice směrového vektoru pro první přímku – a → = (1, - 3, - 2) . Pro osu aplikace můžeme jako vodítko použít souřadnicový vektor k → = (0, 0, 1). Obdrželi jsme potřebné údaje a můžeme je přidat do požadovaného vzorce:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Ve výsledku jsme zjistili, že úhel, který potřebujeme, se bude rovnat a r c cos 1 2 = 45 °.
Odpovědět: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
