Ať je dáno rovnice se dvěma proměnnými F(x; y). Již jste se seznámili se způsoby, jak takové rovnice analyticky řešit. Mnoho řešení takových rovnic může být reprezentováno ve formě grafu.
Graf rovnice F(x; y) je množina bodů na souřadnicové rovině xOy, jejichž souřadnice splňují rovnici.
Chcete-li zobrazit rovnice ve dvou proměnných, nejprve vyjádřete proměnnou y v rovnici pomocí proměnné x.
Určitě už víte, jak sestavit různé grafy rovnic se dvěma proměnnými: ax + b = c – přímka, yx = k – hyperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – kružnice, jejíž poloměr se rovná R a střed je v bodě O(a; b).
Příklad 1
Nakreslete graf rovnice x 2 – 9y 2 = 0.
Řešení.
Rozložme levou stranu rovnice na faktor.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, tj. y = x/3 nebo y = -x/3.
Odpověď: Obrázek 1.
Zvláštní místo zaujímá definování obrazců v rovině s rovnicemi obsahujícími znaménko absolutní hodnoty, u kterých se podrobně zastavíme. Uvažujme fáze sestavování grafů rovnic tvaru |y| = f(x) a |y| = |f(x)|.
První rovnice je ekvivalentní soustavě
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) nebo y = -f(x).
To znamená, že jeho graf se skládá z grafů dvou funkcí: y = f(x) a y = -f(x), kde f(x) ≥ 0.
Chcete-li vykreslit druhou rovnici, vykreslete dvě funkce: y = f(x) a y = -f(x).
Příklad 2
Nakreslete graf rovnice |y| = 2 + x.
Řešení.
Daná rovnice je ekvivalentní soustavě
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 nebo y = -x – 2.
Stavíme mnoho bodů.
Odpověď: Obrázek 2.
Příklad 3
Nakreslete rovnici |y – x| = 1.
Řešení.
Pokud y ≥ x, pak y = x + 1, pokud y ≤ x, pak y = x – 1.
Odpověď: Obrázek 3.
Při konstrukci grafů rovnic obsahujících proměnnou pod znaménkem modulu je vhodné a racionální používat plošná metoda, založené na rozdělení souřadnicové roviny na části, ve kterých si každý submodulární výraz zachovává své znaménko.
Příklad 4.
Nakreslete graf rovnice x + |x| + y + |y| = 2.
Řešení.
V tomto příkladu závisí znaménko každého submodulárního výrazu na souřadnicovém kvadrantu.
1) V první čtvrtině souřadnic x ≥ 0 a y ≥ 0. Po rozbalení modulu bude daná rovnice vypadat takto:
2x + 2y = 2 a po zjednodušení x + y = 1.
2) Ve druhém čtvrtletí, kde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) Ve třetím čtvrtletí x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) Ve čtvrté čtvrtině, když x ≥ 0 a y< 0 получим, что x = 1.
Plán daná rovnice Budeme stavět po čtvrtích.
Odpověď: Obrázek 4.
Příklad 5.
Nakreslete množinu bodů, jejichž souřadnice splňují rovnost |x – 1| + |y – 1| = 1.
Řešení.
Nuly submodulárních výrazů x = 1 a y = 1 rozdělují rovinu souřadnic na čtyři oblasti. Rozdělme si moduly podle regionů. Uspořádejme to ve formě tabulky.
| Kraj |
Submodulární výraz znamení |
Výsledná rovnice po rozšíření modulu |
| já | x ≥ 1 a y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | X< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | X< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 a y< 1 | x – y = 1 |
Odpověď: Obrázek 5.
Na souřadnicové rovině lze zadávat obrázky a nerovnosti.
Graf nerovností se dvěma proměnnými je množina všech bodů souřadnicové roviny, jejichž souřadnice jsou řešením této nerovnosti.
Uvažujme algoritmus pro konstrukci modelu pro řešení nerovnic se dvěma proměnnými:
- Zapište rovnici odpovídající nerovnici.
- Nakreslete graf rovnice z kroku 1.
- Vyberte libovolný bod v jedné z polorovin. Zkontrolujte, zda souřadnice vybraného bodu vyhovují této nerovnosti.
- Nakreslete graficky množinu všech řešení nerovnice.
Uvažujme nejprve nerovnost ax + bx + c > 0. Rovnice ax + bx + c = 0 definuje přímku rozdělující rovinu na dvě poloroviny. V každém z nich si funkce f(x) = ax + bx + c zachovává své znaménko. K určení tohoto znaménka stačí vzít libovolný bod patřící do poloroviny a vypočítat hodnotu funkce v tomto bodě. Pokud se znaménko funkce shoduje se znaménkem nerovnice, pak tato polorovina bude řešením nerovnice.
Podívejme se na příklady grafického řešení nejčastějších nerovnic se dvěma proměnnými.
1) ax + bx + c ≥ 0. Obrázek 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Obrázek 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Postavení 8.
4) y ≥ x 2. Obrázek 9.
5)
xy ≤ 1. Obrázek 10. 
Pokud máte dotazy nebo si chcete procvičit kreslení na rovinném modelu množin všech řešení nerovnic ve dvou proměnných pomocí matematického modelování, můžete provést bezplatná 25minutová lekce s online lektorem po . Pro další práci s učitelem budete mít možnost vybrat si toho, který vám vyhovuje
Máte ještě otázky? Nevíte, jak nakreslit obrazec v souřadnicové rovině?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!
blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
- Dvě vzájemně kolmé souřadnicové čáry protínající se v bodě O - počátek reference, forma pravoúhlý souřadnicový systém, nazývaný také kartézský souřadnicový systém.
- Rovina, na které je zvolen souřadnicový systém, se nazývá souřadnicová rovina. Souřadnicové čáry se nazývají souřadnicové osy. Vodorovná osa je osa úsečky (Ox), svislá osa je osa pořadnice (Oy).
- Souřadnicové osy rozdělují souřadnicovou rovinu na čtyři části - čtvrtiny. Pořadová čísla čtvrtí se obvykle počítají proti směru hodinových ručiček.
- Jakýkoli bod v souřadnicové rovině je určen svými souřadnicemi - úsečka a pořadnice. Například, A(3; 4). Přečtěte si: bod A se souřadnicemi 3 a 4. Zde 3 je úsečka, 4 je pořadnice.
I. Konstrukce bodu A(3; 4).
Úsečka 3 ukazuje, že od začátku odpočítávání - body O je třeba posunout doprava 3 segment jednotky a poté jej postavte 4 jednotka segment a dát bod.
To je podstata A(3; 4).
Konstrukce bodu B(-2; 5).
Od nuly se posuneme doleva 2 jeden segment a pak nahoru 5 jednotlivé segmenty.
Udělejme tomu konec V.
Obvykle se bere jednotkový segment 1 buňka.
II. Sestrojte body v rovině souřadnic xOy:
A (-3; 1);B(-1;-2);
C(-2:4);D (2; 3);
F(6:4);K(4; 0)
III. Určete souřadnice sestrojených bodů: A, B, C, D, F, K.
A(-4; 3);IN 20);
C(3; 4);D (6; 5);
F (0; -3);K (5; -2).
Matematika je poměrně složitá věda. Při jejím studiu musíte nejen řešit příklady a problémy, ale také pracovat s různými tvary a dokonce i rovinami. Jedním z nejpoužívanějších v matematice je souřadnicový systém v rovině. Jak s ním správně pracovat, se děti učí více než jeden rok. Proto je důležité vědět, co to je a jak s tím správně pracovat.
Pojďme zjistit, co to je tento systém, jaké akce lze s jeho pomocí provádět a také se naučit jeho hlavní vlastnosti a vlastnosti.
Definice pojmu
Souřadnicová rovina je rovina, na které je specifikován specifický souřadnicový systém. Taková rovina je definována dvěma přímkami protínajícími se v pravém úhlu. V průsečíku těchto čar je počátek souřadnic. Každý bod na souřadnicové rovině je určen dvojicí čísel nazývaných souřadnice.
Ve školním matematickém kurzu musí školáci poměrně úzce spolupracovat se souřadnicovým systémem – konstruovat na něm obrazce a body, určovat, do které roviny konkrétní souřadnice patří, stejně jako určit souřadnice bodu a napsat nebo pojmenovat je. Proto si promluvme podrobněji o všech vlastnostech souřadnic. Nejprve se však dotkneme historie stvoření a pak si povíme, jak pracovat na souřadnicové rovině.
Historický odkaz
Myšlenky na vytvoření souřadnicového systému existovaly již v době Ptolemaia. Už tehdy astronomové a matematici přemýšleli, jak se naučit nastavit polohu bodu v rovině. Bohužel v té době neexistoval žádný nám známý souřadnicový systém a vědci museli používat jiné systémy.
Zpočátku určovali body pomocí zeměpisné šířky a délky. Na dlouhou dobu to byla jedna z nejpoužívanějších metod vkládání té či oné informace na mapu. Ale v roce 1637 vytvořil René Descartes svůj vlastní souřadnicový systém, později pojmenovaný po „karteziánském“.
Již v konec XVII PROTI. Pojem „souřadnicová rovina“ se ve světě matematiky široce používá. Navzdory skutečnosti, že od vytvoření tohoto systému uplynulo několik století, je stále široce používán v matematice a dokonce i v životě.
Příklady souřadnicové roviny
Než budeme mluvit o teorii, uvedeme několik názorných příkladů souřadnicové roviny, abyste si ji mohli představit. Souřadnicový systém se primárně používá v šachu. Na desce má každý čtverec své souřadnice – jedna souřadnice je abecední, druhá je digitální. S jeho pomocí můžete určit pozici konkrétní figurky na šachovnici.
Druhý nejvíce zářný příklad Milovaná hra „Battleship“ může sloužit jako řešení. Pamatujte si, jak při hraní pojmenujete souřadnice, například B3, čímž přesně označíte, kam míříte. Zároveň při umísťování lodí určujete body na souřadnicové rovině.
Tento souřadnicový systém je široce používán nejen v matematice a logických hrách, ale také ve vojenských záležitostech, astronomii, fyzice a mnoha dalších vědách.
Souřadnicové osy
Jak již bylo zmíněno, v souřadnicovém systému jsou dvě osy. Pojďme si o nich něco říct, protože mají značný význam.
První osa je úsečka - vodorovná. Označuje se jako ( Vůl). Druhá osa je pořadnice, která prochází svisle referenčním bodem a je označena jako ( Oj). Právě tyto dvě osy tvoří souřadnicový systém, rozdělující rovinu na čtyři čtvrtiny. Počátek se nachází v průsečíku těchto dvou os a nabývá hodnoty 0 . Pouze pokud je rovina tvořena dvěma osami, které se kolmo protínají a mají vztažný bod, jde o rovinu souřadnic.
Všimněte si také, že každá z os má svůj vlastní směr. Obvykle je při konstrukci souřadnicového systému zvykem označovat směr osy ve formě šipky. Při konstrukci souřadnicové roviny je navíc každá z os podepsána.
Čtvrtletí
Nyní si řekněme pár slov o takovém konceptu, jako jsou čtvrtiny souřadnicové roviny. Rovina je rozdělena na čtyři čtvrtiny dvěma osami. Každá z nich má své vlastní číslo a letadla jsou číslována proti směru hodinových ručiček.
Každá ze čtvrtí má své vlastní charakteristiky. Takže v první čtvrtině jsou úsečka i osa kladné, ve druhé čtvrtině záporná úsečka, kladná osa, ve třetí záporná úsečka i osa, ve čtvrté je kladná úsečka a záporná .
Když si tyto vlastnosti zapamatujete, snadno určíte, do které čtvrti konkrétní bod patří. Kromě toho vám tyto informace mohou být užitečné, pokud musíte provádět výpočty pomocí kartézského systému.
Práce se souřadnicovou rovinou
Když jsme pochopili pojem letadla a mluvili o jeho čtvrtích, můžeme přejít k takovému problému, jako je práce s tímto systémem, a také mluvit o tom, jak na něj umístit body a souřadnice obrazců. V souřadnicové rovině to není tak těžké, jak by se na první pohled mohlo zdát.
Nejprve je postaven samotný systém, jsou na něj aplikována všechna důležitá označení. Poté pracujeme přímo s body nebo tvary. Navíc i při konstrukci obrazců se body nejprve kreslí do roviny a poté se kreslí obrazce.
Pravidla pro stavbu letadla
Pokud se rozhodnete začít označovat tvary a body na papíře, budete potřebovat souřadnicovou rovinu. Jsou na něm vyneseny souřadnice bodů. Ke konstrukci souřadnicové roviny potřebujete pouze pravítko a pero nebo tužku. Nejprve se nakreslí vodorovná osa x, poté se nakreslí svislá osa. Je důležité si uvědomit, že osy se protínají v pravém úhlu.
Další povinnou položkou je použití značek. Na každé z os v obou směrech jsou označeny a označeny segmenty jednotek. Děje se tak proto, abyste pak mohli s letadlem pracovat maximálně pohodlně.
Označte bod
Nyní si povíme, jak vykreslit souřadnice bodů v souřadnicové rovině. Toto jsou základy, které potřebujete znát, abyste mohli úspěšně umístit různé tvary do roviny a dokonce označit rovnice.
Při konstrukci bodů byste si měli pamatovat, jak jsou správně zapsány jejich souřadnice. Obvykle se tedy při určování bodu píší dvě čísla v závorkách. První číslice označuje souřadnici bodu podél osy x, druhá - podél osy pořadnice.
Bod by měl být postaven tímto způsobem. První značka na ose Vůl zadaný bod, pak označte bod na ose Oj. Dále nakreslete pomyslné čáry z těchto označení a najděte místo, kde se protínají - to bude daný bod.
Stačí jej označit a podepsat. Jak vidíte, vše je docela jednoduché a nevyžaduje žádné speciální dovednosti.
Umístěte figurku
Nyní přejděme k problematice konstrukce obrazců v souřadnicové rovině. Abyste mohli sestrojit jakýkoli obrazec v souřadnicové rovině, měli byste vědět, jak na něj umístit body. Pokud víte, jak na to, není umístění figurky do letadla tak obtížné.
Nejprve budete potřebovat souřadnice bodů obrázku. Právě podle nich aplikujeme do našeho souřadnicového systému ty, které jste si vybrali.Uvažujme aplikaci obdélníku, trojúhelníku a kružnice.
Začněme obdélníkem. Aplikuje se celkem snadno. Nejprve jsou na rovině vyznačeny čtyři body označující rohy obdélníku. Poté jsou všechny body postupně vzájemně spojeny.
Kreslení trojúhelníku není jiné. Jediná věc je, že má tři úhly, což znamená, že na rovině jsou vyznačeny tři body označující její vrcholy.
Pokud jde o kružnici, měli byste znát souřadnice dvou bodů. První bod je střed kružnice, druhý je bod udávající její poloměr. Tyto dva body jsou vyneseny do roviny. Pak vezměte kompas a změřte vzdálenost mezi dvěma body. Bod kompasu je umístěn v bodě označujícím střed a je popsána kružnice.
Jak vidíte, ani zde není nic složitého, hlavní je, abyste měli vždy po ruce pravítko a kružítko.
Nyní víte, jak vykreslit souřadnice obrazců. Udělat to na souřadnicové rovině není tak těžké, jak by se mohlo na první pohled zdát.
závěry
Podívali jsme se tedy na jeden z nejzajímavějších a nejzákladnějších pojmů pro matematiku, se kterým se musí každý školák potýkat.
Zjistili jsme, že souřadnicová rovina je rovina tvořená průsečíkem dvou os. S jeho pomocí můžete nastavovat souřadnice bodů a kreslit na něj obrazce. Letadlo je rozděleno na čtvrtiny, z nichž každá má své vlastní charakteristiky.
Hlavní dovedností, kterou je třeba při práci se souřadnicovou rovinou rozvíjet, je schopnost na ni správně vykreslovat dané body. Chcete-li to provést, měli byste znát správné umístění os, vlastnosti čtvrtí a také pravidla, podle kterých jsou souřadnice bodů specifikovány.
Doufáme, že informace, které jsme předložili, byly dostupné a srozumitelné a byly pro vás užitečné a pomohly vám lépe porozumět tomuto tématu.
Pravoúhlý souřadnicový systém v rovině je definován dvěma navzájem kolmými přímkami. Přímky se nazývají souřadnicové osy (nebo souřadnicové osy). Průsečík těchto čar se nazývá počátek a je označen písmenem O.
Obvykle je jedna z čar vodorovná, druhá svislá. Vodorovná čára je označena jako osa x (nebo Ox) a nazývá se osa úsečky, svislá osa je osa y (Oy), nazývaná osa pořadnice. Celý souřadnicový systém je označen xOy.
Bod O rozděluje každou z os na dvě poloosy, z nichž jedna je považována za pozitivní (označená šipkou), druhá - negativní.
Každému bodu F roviny je přiřazena dvojice čísel (x;y) - jeho souřadnice.
Souřadnice x se nazývá úsečka. Rovná se Oxovi s příslušným znaménkem.
Souřadnice y se nazývá pořadnice a je rovna vzdálenosti od bodu F k ose Oy (s příslušným znaménkem).
Vzdálenosti náprav se obvykle (ale ne vždy) měří ve stejné jednotce délky.
Body umístěné napravo od osy y mají kladné úsečky. Body, které leží nalevo od svislé osy, mají záporné úsečky. Pro jakýkoli bod ležící na ose Oy je jeho souřadnice x nulová.
Body s kladnou souřadnicí leží nad osou x a body se zápornou souřadnicí níže. Pokud bod leží na ose Ox, jeho souřadnice y je nulová.
Souřadnicové osy rozdělují rovinu na čtyři části, které se nazývají souřadnicové čtvrtiny (neboli souřadnicové úhly či kvadranty).
1 souřadnicová čtvrtina umístěný v pravém horním rohu souřadnicové roviny xOy. Obě souřadnice bodů nacházející se v první čtvrtině jsou kladné.
Přechod z jedné čtvrtiny do druhé se provádí proti směru hodinových ručiček.
2 souřadnicová čtvrtina se nachází v levém horním rohu. Body ležící ve druhé čtvrtině mají zápornou úsečku a kladnou osu.
3 souřadnicová čtvrtina leží v levém dolním kvadrantu roviny xOy. Obě souřadnice bodů patřících do III souřadnicového úhlu jsou záporné.
4 souřadnicová čtvrtina je pravý dolní roh souřadnicové roviny. Jakýkoli bod z IV čtvrtletí má kladnou první souřadnici a zápornou druhou.
Příklad umístění bodů v pravoúhlém souřadnicovém systému:
Uspořádaný systém dvou nebo tří na sebe kolmých protínajících se os se společným počátkem (počátkem souřadnic) a společnou jednotkou délky se nazývá pravoúhlý kartézský souřadnicový systém .
Obecný kartézský souřadnicový systém (afinní souřadnicový systém) nemusí nutně zahrnovat kolmé osy. Na počest francouzského matematika Reného Descarta (1596-1662) je pojmenován právě takový souřadnicový systém, ve kterém se na všech osách měří společná jednotka délky a osy jsou přímé.
Pravoúhlý kartézský souřadnicový systém v rovině má dvě osy a pravoúhlý kartézský souřadnicový systém v prostoru - tři osy. Každý bod v rovině nebo v prostoru je definován uspořádanou sadou souřadnic - čísel odpovídajících jednotce délky souřadnicového systému.
Všimněte si, že jak vyplývá z definice, existuje kartézský souřadnicový systém na přímce, tedy v jednom rozměru. Zavedení kartézských souřadnic na přímce je jedním ze způsobů, jak je jakýkoli bod na přímce spojen s dobře definovaným reálným číslem, tedy souřadnicí.
Souřadnicová metoda, která vznikla v dílech René Descarta, znamenala revoluční restrukturalizaci celé matematiky. Bylo možné interpretovat algebraické rovnice(nebo nerovnic) ve formě geometrických obrazů (grafů) a naopak hledat řešení geometrických úloh pomocí analytických vzorců a soustav rovnic. Ano, nerovnost z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy a nachází se nad touto rovinou o 3 jednotky.
Při použití kartézského souřadnicového systému odpovídá příslušnost bodu na dané křivce skutečnosti, že čísla X A y splnit nějakou rovnici. Tedy souřadnice bodu na kružnici se středem v daném bodě ( A; b) splnit rovnici (X - A)² + ( y - b)² = R² .
Pravoúhlý kartézský souřadnicový systém v rovině
Dvě kolmé osy na rovině se společným počátkem a stejnou jednotkou měřítka Kartézský pravoúhlý souřadnicový systém v rovině . Jedna z těchto os se nazývá osa Vůl nebo osa x , druhý - osa Oj nebo osa y . Tyto osy se také nazývají souřadnicové osy. Označme podle MX A My respektive průmět libovolného bodu M na ose Vůl A Oj. Jak získat projekce? Pojďme si projít pointu M Vůl. Tato přímka protíná osu Vůl na místě MX. Pojďme si projít pointu M přímka kolmá k ose Oj. Tato přímka protíná osu Oj na místě My. To je znázorněno na obrázku níže.
X A y body M budeme podle toho nazývat hodnoty směrovaných segmentů OMX A OMy. Hodnoty těchto směrovaných segmentů se vypočítají podle toho, jak X = X0 - 0 A y = y0 - 0 . Kartézské souřadnice X A y body M úsečka A ordinovat . Skutečnost, že bod M má souřadnice X A y, se označuje takto: M(X, y) .
Souřadnicové osy rozdělují rovinu na čtyři kvadrant , jehož číslování je uvedeno na obrázku níže. Ukazuje také uspořádání značek pro souřadnice bodů v závislosti na jejich umístění v konkrétním kvadrantu.
Kromě kartézských pravoúhlých souřadnic v rovině se často uvažuje také o polárním souřadnicovém systému. O způsobu přechodu z jednoho souřadnicového systému do druhého - v lekci polární souřadnicový systém .
Pravoúhlý kartézský souřadnicový systém v prostoru
Kartézské souřadnice v prostoru jsou zavedeny zcela analogicky s kartézskými souřadnicemi v rovině.
Tři vzájemně kolmé osy v prostoru (souřadnicové osy) se společným počátkem Ó a se stejnou jednotkou měřítka, kterou tvoří Kartézský pravoúhlý souřadnicový systém v prostoru .
Jedna z těchto os se nazývá osa Vůl nebo osa x , druhý - osa Oj nebo osa y , třetí - osa Oz nebo osová aplikace . Nechat MX, My Mz- průměty libovolného bodu M prostor na ose Vůl , Oj A Oz respektive.
Pojďme si projít pointu M VůlVůl na místě MX. Pojďme si projít pointu M rovina kolmá k ose Oj. Tato rovina protíná osu Oj na místě My. Pojďme si projít pointu M rovina kolmá k ose Oz. Tato rovina protíná osu Oz na místě Mz.
Kartézské pravoúhlé souřadnice X , y A z body M budeme podle toho nazývat hodnoty směrovaných segmentů OMX, OMy A OMz. Hodnoty těchto směrovaných segmentů se vypočítají podle toho, jak X = X0 - 0 , y = y0 - 0 A z = z0 - 0 .
Kartézské souřadnice X , y A z body M se podle toho nazývají úsečka , ordinovat A aplikovat .
Souřadnicové osy brané ve dvojicích jsou umístěny v souřadnicových rovinách xOy , yOz A zOx .
Problémy o bodech v kartézském souřadnicovém systému
Příklad 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Najděte souřadnice průmětů těchto bodů na osu úsečky.
Řešení. Jak vyplývá z teoretické části této lekce, průmět bodu na osu úsečky se nachází na ose úsečka, tedy na ose. Vůl, a proto má úsečku rovnou úsečce samotného bodu a pořadnici (souřadnici na ose Oj, kterou osa x protíná v bodě 0), který je roven nule. Dostaneme tedy následující souřadnice těchto bodů na ose x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Příklad 2 V kartézském souřadnicovém systému jsou body dány v rovině
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Najděte souřadnice průmětů těchto bodů na ordinátní osu.
Řešení. Jak vyplývá z teoretické části této lekce, průmět bodu na souřadnici je umístěn na vlastní souřadnici, tedy na ose. Oj, a proto má pořadnici rovnou souřadnici samotného bodu a úsečku (souřadnici na ose Vůl, který osa pořadnice protíná v bodě 0), který je roven nule. Dostaneme tedy následující souřadnice těchto bodů na souřadnicové ose:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Příklad 3 V kartézském souřadnicovém systému jsou body dány v rovině
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Vůl .
Vůl Vůl Vůl, bude mít stejnou úsečku jako daný bod a pořadnici rovnou v absolutní hodnotě s pořadnicí daného bodu a opačnou ve znaménku. Dostaneme tedy následující souřadnice bodů symetrických k těmto bodům vzhledem k ose Vůl :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Vyřešte problémy pomocí kartézského souřadnicového systému sami a poté se podívejte na řešení
Příklad 4. Určete, ve kterých kvadrantech (čtvrtiny, kresba s kvadranty - na konci odstavce „Pravoúhlý kartézský souřadnicový systém v rovině“) může být bod umístěn M(X; y) , Pokud
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) X − y = 0 ;
4) X + y = 0 ;
5) X + y > 0 ;
6) X + y < 0 ;
7) X − y > 0 ;
8) X − y < 0 .
Příklad 5. V kartézském souřadnicovém systému jsou body dány v rovině
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(A; b) .
Najděte souřadnice bodů symetrických k těmto bodům vzhledem k ose Oj .
Pokračujme v řešení problémů společně
Příklad 6. V kartézském souřadnicovém systému jsou body dány v rovině
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Najděte souřadnice bodů symetrických k těmto bodům vzhledem k ose Oj .
Řešení. Otočte o 180 stupňů kolem osy Oj směrový segment od osy Oj až do tohoto bodu. Na obrázku, kde jsou naznačeny kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému vzhledem k ose Oj, bude mít stejnou ordinátu jako daný bod a úsečka se v absolutní hodnotě rovná úsečce daného bodu a má opačné znaménko. Dostaneme tedy následující souřadnice bodů symetrických k těmto bodům vzhledem k ose Oj :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Příklad 7. V kartézském souřadnicovém systému jsou body dány v rovině
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Najděte souřadnice bodů symetrických k těmto bodům vzhledem k počátku.
Řešení. Nasměrovaný segment jdoucí z počátku do daného bodu otočíme o 180 stupňů kolem počátku. Na obrázku, kde jsou naznačeny kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhledem k počátku souřadnic bude mít úsečku a pořadnici rovnou v absolutní hodnotě úsečce a pořadnici daného bodu, ale naproti ve znamení. Dostaneme tedy následující souřadnice bodů symetrických k těmto bodům vzhledem k počátku:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Příklad 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Najděte souřadnice průmětů těchto bodů:
1) v letadle Oxy ;
2) v letadle Oxz ;
3) v letadle Oyz ;
4) na ose x;
5) na svislé ose;
6) na ose aplikace.
1) Průmět bodu do roviny Oxy se nachází v této rovině samotné, a proto má úsečku a pořadnici rovnou úsečce a pořadnici daného bodu a aplikaci rovnou nule. Dostaneme tedy následující souřadnice průmětů těchto bodů na Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Průmět bodu do roviny Oxz se nachází v této rovině samotné, a proto má úsečku a aplikaci rovnou úsečce a aplikaci daného bodu a pořadnici rovnou nule. Dostaneme tedy následující souřadnice průmětů těchto bodů na Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Průmět bodu do roviny Oyz se nachází v této rovině samotné, a proto má pořadnici a aplikaci rovnou souřadnici a aplikaci daného bodu a úsečku rovnou nule. Dostaneme tedy následující souřadnice průmětů těchto bodů na Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Jak vyplývá z teoretické části této lekce, průmět bodu na osu úsečky se nachází na samotné úsečce, tedy na ose. Vůl, a proto má úsečku rovnou úsečce samotného bodu a pořadnice a aplikace průmětu se rovnají nule (protože osy pořadnice a aplikace protínají úsečku v bodě 0). Získáme následující souřadnice průmětů těchto bodů na osu úsečky:
Ax(4;0;0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Průmět bodu na souřadnici se nachází na vlastní souřadnicové ose, tedy na ose. Oj, a proto má pořadnici rovnou souřadnici samotného bodu a úsečka a aplikace projekce jsou rovny nule (protože osy úsečky a aplikace protínají osu pořadnice v bodě 0). Získáme následující souřadnice průmětů těchto bodů na osu pořadnic:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Průmět bodu na osu aplikace se nachází na samotné ose aplikace, tedy ose. Oz, a proto má aplikaci rovnou aplikaci samotného bodu a úsečka a pořadnice průmětu jsou rovné nule (protože osy úsečky a pořadnice protínají osu aplikace v bodě 0). Získáme následující souřadnice průmětů těchto bodů na osu aplikace:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Příklad 9. V kartézském souřadnicovém systému jsou body dány v prostoru
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Najděte souřadnice bodů symetrických k těmto bodům vzhledem k:
1) letadlo Oxy ;
2) letadla Oxz ;
3) letadla Oyz ;
4) osy úseček;
5) pořadnicové osy;
6) aplikujte osy;
7) počátek souřadnic.
1) „Přesuňte“ bod na druhé straně osy Oxy Oxy, bude mít úsečku a pořadnici rovnou úsečce a pořadnici daného bodu a aplikaci stejnou velikostí jako aplikát daného bodu, ale opačné znaménko. Dostaneme tedy následující souřadnice bodů symetrických k datům vzhledem k rovině Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Přesuňte“ bod na druhé straně osy Oxz na stejnou vzdálenost. Z obrázku zobrazujícího souřadnicový prostor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhledem k ose Oxz, bude mít úsečku a aplikaci rovnou úsečce a aplikaci daného bodu a pořadnici stejnou velikostí jako osa daného bodu, ale opačné znaménko. Dostaneme tedy následující souřadnice bodů symetrických k datům vzhledem k rovině Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Přesuňte“ bod na druhé straně osy Oyz na stejnou vzdálenost. Z obrázku zobrazujícího souřadnicový prostor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhledem k ose Oyz, bude mít souřadnici a aplikát rovné souřadnici a aplikátu daného bodu a úsečku stejnou hodnotou jako úsečka daného bodu, ale opačné znaménko. Dostaneme tedy následující souřadnice bodů symetrických k datům vzhledem k rovině Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analogicky se symetrickými body v rovině a body v prostoru, které jsou symetrické k datům vzhledem k rovinám, si všimneme, že v případě symetrie vzhledem k nějaké ose kartézského souřadnicového systému v prostoru je souřadnice na ose vzhledem k kterému je dána symetrie, si zachová své znaménko a souřadnice na dalších dvou osách budou stejné v absolutní hodnotě jako souřadnice daného bodu, ale opačné ve znaménku.
4) Úsečka si zachová své znaménko, ale ordináta a aplikace změní znaménka. Získáme tedy následující souřadnice bodů symetrických k datům vzhledem k ose x:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Svislá osa si zachová své znaménko, ale úsečka a aplikace změní znaménka. Získáme tedy následující souřadnice bodů symetrických k datům vzhledem k ose pořadnice:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikace si zachová své znaménko, ale úsečka a pořadnice změní znaménka. Získáme tedy následující souřadnice bodů symetrických k datům vzhledem k ose aplikace:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogicky k symetrii v případě bodů v rovině, v případě symetrie o počátku souřadnic budou všechny souřadnice bodu symetrického k dané v absolutní hodnotě rovné souřadnicím daného bodu, ale naproti nim ve znamení. Získáme tedy následující souřadnice bodů symetrických k datům vzhledem k počátku.
