V planimetrii je rovina jednou z hlavních postav, proto je velmi důležité jí jasně rozumět. Tento článek byl vytvořen, aby pokryl toto téma. Nejprve je uveden pojem roviny, její grafické znázornění a znázorněno označení rovin. Dále je rovina uvažována společně s bodem, přímkou ​​nebo jinou rovinou a možnosti vyplývají z jejich relativních poloh v prostoru. Ve druhém, třetím a čtvrtém odstavci článku jsou rozebrány všechny možnosti vzájemné polohy dvou rovin, přímky a roviny, dále bodů a rovin, uvedeny základní axiomy a grafická vyobrazení. Na závěr jsou uvedeny hlavní metody definování roviny v prostoru.

Navigace na stránce.

Rovina - základní pojmy, symboly a obrázky.

Nejjednodušší a nejzákladnější geometrické tvary PROTI trojrozměrný prostor jsou bod, přímka a rovina. Již máme představu o bodu a přímce v rovině. Umístíme-li rovinu, na které jsou v trojrozměrném prostoru znázorněny body a čáry, dostaneme body a čáry v prostoru. Myšlenka roviny v prostoru nám umožňuje získat například povrch stolu nebo stěny. Stůl nebo stěna má však konečné rozměry a rovina sahá za její hranice do nekonečna.

Body a čáry v prostoru jsou označeny stejně jako v rovině – velkými a malými latinskými písmeny. Například body A a Q, přímky a a d. Jsou-li dány dva body ležící na přímce, pak lze přímku označit dvěma písmeny odpovídajícími těmto bodům. Například přímka AB nebo BA prochází body A a B. Roviny se obvykle označují malými řeckými písmeny, například letadla, popř.

Při řešení problémů je nutné znázornit roviny ve výkresu. Rovina se obvykle zobrazuje jako rovnoběžník nebo libovolná jednoduchá uzavřená oblast.

Rovina je obvykle uvažována společně s body, přímkami nebo jinými rovinami a vznikají různé možnosti jejich vzájemné polohy. Přejděme k jejich popisu.

Vzájemná poloha roviny a bodu.

Začněme axiomem: v každé rovině jsou body. Z toho vyplývá první možnost pro vzájemnou polohu roviny a bodu - bod může patřit do roviny. Jinými slovy, rovina může procházet bodem. K označení, že bod patří do roviny, se používá symbol „“. Pokud například rovina prochází bodem A, můžete krátce napsat .

Je třeba si uvědomit, že na dané rovině v prostoru je nekonečně mnoho bodů.

Následující axiom ukazuje, kolik bodů v prostoru musí být označeno, aby definovaly konkrétní rovinu: třemi body, které neleží na stejné přímce, prochází rovina a pouze jedna. Jsou-li známy tři body ležící v rovině, pak lze rovinu označit třemi písmeny odpovídajícími těmto bodům. Pokud například rovina prochází body A, B a C, pak může být označena jako ABC.

Zformulujme další axiom, který udává druhou verzi vzájemné polohy roviny a bodu: existují alespoň čtyři body, které neleží ve stejné rovině. Bod v prostoru tedy nemusí patřit rovině. Na základě předchozího axiomu totiž rovina prochází třemi body v prostoru a čtvrtý bod může nebo nemusí ležet na této rovině. Při krátkém psaní používejte symbol „“, který je ekvivalentem fráze „nepatří“.

Pokud například bod A neleží v rovině, použijte krátký zápis.

Přímka a rovina v prostoru.

Za prvé, přímka může ležet v rovině. V tomto případě alespoň dva body této přímky leží v rovině. To je stanoveno axiomem: jestliže dva body přímky leží v rovině, pak všechny body této přímky leží v rovině. Pro stručné zaznamenání příslušnosti určitého vedení k dané rovině použijte symbol „“. Například zápis znamená, že přímka a leží v rovině.

Za druhé, přímka může protínat rovinu. V tomto případě mají přímka a rovina jeden společný bod, který se nazývá průsečík přímky a roviny. Při krátkém psaní označuji průsečík symbolem „“. Například zápis znamená, že přímka a protíná rovinu v bodě M. Když rovina protíná určitou přímku, vzniká pojem úhlu mezi přímkou ​​a rovinou.

Samostatně stojí za to zaměřit se na přímku, která protíná rovinu a je kolmá na jakoukoli přímku ležící v této rovině. Taková přímka se nazývá kolmá k rovině. Pro krátký záznam kolmosti použijte symbol „“. Pro podrobnější studium materiálu se můžete podívat na článek Kolmost přímky a roviny.

Zvláštní význam při řešení úloh souvisejících s rovinou má tzv. normálový vektor roviny. Normální vektor roviny je jakýkoli nenulový vektor ležící na přímce kolmé k této rovině.

Za třetí, přímka může být rovnoběžná s rovinou, to znamená, že v ní nemusí mít společné body. Při krátkém zápisu souběžnosti použijte symbol „“. Pokud je například přímka a rovnoběžná s rovinou, pak můžeme psát . Doporučujeme, abyste si tento případ prostudovali podrobněji odkazem na článek rovnoběžnost přímky a roviny.

Je třeba říci, že přímka ležící v rovině rozděluje tuto rovinu na dvě poloroviny. Přímka se v tomto případě nazývá hranice polorovin. Libovolné dva body téže poloroviny leží na stejné straně úsečky a dva body různých polorovin leží na opačných stranách hraniční čáry.

Vzájemné uspořádání rovin.

Dvě roviny ve vesmíru se mohou shodovat. V tomto případě mají společné alespoň tři body.

Dvě roviny ve vesmíru se mohou protínat. Průsečík dvou rovin je přímka, která je stanovena axiomem: mají-li dvě roviny společný bod, pak mají společnou přímku, na které leží všechny společné body těchto rovin.

V tomto případě vzniká pojem úhlu mezi protínajícími se rovinami. Zvláště zajímavý je případ, kdy úhel mezi rovinami je devadesát stupňů. Takové roviny se nazývají kolmé. Mluvili jsme o nich v článku kolmost rovin.

Konečně dvě roviny v prostoru mohou být rovnoběžné, to znamená, že nemají žádné společné body. Doporučujeme vám přečíst si článek rovnoběžnost rovin, abyste zcela porozuměli této možnosti relativního uspořádání rovin.

Metody pro definování roviny.

Nyní si uvedeme hlavní způsoby, jak definovat konkrétní rovinu v prostoru.

Za prvé, rovinu lze definovat upevněním tří bodů v prostoru, které neleží na stejné přímce. Tato metoda je založena na axiomu: skrz libovolné tři body, které neleží na stejné přímce, existuje jedna rovina.

Pokud je rovina pevná a specifikovaná v trojrozměrném prostoru uvedením souřadnic jejích tří různých bodů, které neleží na stejné přímce, pak můžeme napsat rovnici roviny procházející třemi danými body.

Další dva způsoby definování roviny jsou důsledkem předchozího. Jsou založeny na důsledcích axiomu o rovině procházející třemi body:

• přímkou ​​prochází rovina a na ní neležící bod a pouze jedna (viz též článek rovnice roviny procházející přímkou ​​a bodem);
• Dvěma protínajícími se přímkami prochází pouze jedna rovina (doporučujeme si přečíst materiál v článku: rovnice roviny procházející dvěma protínajícími se přímkami).

Čtvrtý způsob, jak definovat rovinu v prostoru, je založen na definování rovnoběžných čar. Připomeňme, že dvě přímky v prostoru se nazývají rovnoběžné, pokud leží ve stejné rovině a neprotínají se. Naznačením dvou rovnoběžných přímek v prostoru tedy určíme jedinou rovinu, ve které tyto přímky leží.

Pokud je rovina dána naznačeným způsobem v trojrozměrném prostoru vzhledem k pravoúhlému souřadnému systému, pak můžeme vytvořit rovnici pro rovinu procházející dvěma rovnoběžnými přímkami.

vím střední škola V hodinách geometrie se dokazuje následující věta: pevným bodem v prostoru prochází jedna rovina kolmá k dané přímce. Můžeme tedy definovat rovinu, pokud zadáme bod, kterým prochází, a přímku na ni kolmou.

Pokud je pravoúhlý souřadnicový systém fixován v trojrozměrném prostoru a rovina je specifikována naznačeným způsobem, pak je možné sestavit rovnici pro rovinu procházející daným bodem kolmou k dané přímce.

Místo přímky kolmé k rovině můžete určit jeden z normálových vektorů této roviny. V tomto případě je možné psát

Def. Dvě roviny v prostoru se nazývají rovnoběžné, pokud se neprotínají, jinak se protínají.

Věta 1: Pokud jsou dvě protínající se přímky jedné roviny příslušně rovnoběžné se dvěma přímkami jiné roviny, pak jsou tyto roviny rovnoběžné.

Důkaz:

Nechť a dostaneme roviny, a1 a a2 jsou přímky v rovině protínající se v bodě A, nechť b1 a b2 jsou přímky s nimi rovnoběžné, resp.

letadlo. Předpokládejme, že roviny nejsou rovnoběžné, tzn. protínají se podél nějaké přímky c. Podle věty jsou přímky a1 a a2 rovnoběžné s přímkami b1 a b2 rovnoběžné s rovinou, a proto nejsou

protínají přímku c ležící v této rovině. V rovině tedy procházejí bodem A dvě přímky (a1 a a2), rovnoběžné s přímkou ​​c. Ale to je podle paralelního axiomu nemožné. Dospěli jsme k rozporu v CTD.

Kolmé roviny: Dvě protínající se roviny se nazývají kolmé, pokud je třetí rovina, kolmá k průsečíku těchto rovin, protíná podél kolmých čar.

Věta 2: Prochází-li rovina přímkou ​​kolmou k jiné rovině, pak jsou tyto roviny kolmé.

Důkaz:

Nechť je rovina s přímkou ​​k ní kolmou, nechť je rovina procházející přímkou ​​b a nechť c je přímka, podél které se roviny a protínají. Dokažme, že roviny a jsou kolmé. Narýsujme přímku a v rovině průsečíkem přímky b s rovinou,

kolmo k přímce c. Narýsujme přímky a a do roviny. Je kolmá k přímce c, protože přímka c je kolmá k přímkám a a b. Protože přímky a a b jsou kolmé, pak jsou roviny kolmé. atd.

42. Rovnice normální roviny a její vlastnosti

Rovnice normální (normalizované) roviny

ve vektorové podobě:

kde je jednotkový vektor, je vzdálenost P. od počátku. Rovnici (2) lze získat z rovnice (1) vynásobením normalizačním faktorem

(znaky a jsou opačné).

43. Rovnice přímky v prostoru: Obecné rovnice, kanonické a parametrické rovnice.

Kanonické rovnice:

Odvoďme rovnici procházející přímky tento bod a rovnoběžně s tímto směrovým vektorem. Všimněte si, že bod leží na této přímce právě tehdy, když jsou vektory kolineární. To znamená, že souřadnice těchto vektorů jsou úměrné:

Tyto rovnice se nazývají kanonické. Všimněte si, že jedna nebo dvě souřadnice směrového vektoru se mohou rovnat nule. Ale vnímáme to jako proporce: chápeme to jako rovnost.

Obecné rovnice:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Pokud koeficienty A1-C1 nejsou úměrné A2-C2, což je ekvivalentní určení jako průsečík rovin

Parametrické:

Odložením vektorů z bodu pro různé hodnoty, které jsou kolineární se směrovým vektorem, získáme na konci odložených vektorů různé body naší přímky. Z rovnosti vyplývá:

Proměnná veličina se nazývá parametr. Vzhledem k tomu, že pro jakýkoli bod na linii existuje odpovídající hodnota parametru a protože různé hodnoty parametru odpovídají různým bodům na linii, existuje vzájemná shoda mezi hodnotami parametrů a body na linii. . Když parametr prochází všemi reálnými čísly od do, odpovídající bod prochází celým řádkem.

44. Pojem lineárního prostoru. Axiomy. Příklady lineárních prostorů

Příkladem lineárního prostoru je množina všech geometrických vektorů.

Lineární nebo vektorprostor nad polem P- toto je neprázdná sada L, na kterém se zadávají operace

sčítání, to znamená, že každá dvojice prvků množiny je spojena s prvkem stejné množiny, označeno

násobení skalárem (tj. elementem pole P), to znamená, že jakýkoli prvek a jakýkoli prvek bude spojen s prvkem z, určený.

V tomto případě jsou na operace kladeny následující podmínky:

Pro jakékoli ( komutativnost sčítání);

Pro jakékoli ( sčítací asociativnost);

existuje takový prvek, že pro jakékoli ( existence neutrálního prvku s ohledem na sčítání), zejména L není prázdný;

pro všechny existuje prvek takový, že (existence opačného prvku).

(asociativita násobení skalárem);

(násobení neutrálním (násobením) elementem polePuloží vektor).

(distributivita násobení vektorem vůči sčítání skalárů);

(distributivita násobení skalárem vzhledem k vektorovému sčítání).

Prvky sady L volal vektory a prvky pole P-skaláry. Vlastnosti 1-4 se shodují s axiomy Abelovské grupy.

Nejjednodušší vlastnosti

Vektorový prostor je abelovská grupa sčítáním.

Neutrální prvek je jediný, který vyplývá z vlastností skupiny.

pro každého .

Pro každý je opačný prvek jediný, který vyplývá z vlastností skupiny.

pro každého .

pro jakékoli a.

pro každého .

Prvky lineárního prostoru se nazývají vektory. Prostor se nazývá reálný, pokud je v něm operace násobení vektorů číslem definována pouze pro reálná čísla, a komplexní, pokud je tato operace definována pouze pro komplexní čísla.

45. Podstata a dimenze lineárního prostoru, souvislost mezi nimi.

Konečný součet formuláře

se nazývá lineární kombinace prvků s koeficienty.

Lineární kombinace se nazývá netriviální, pokud se alespoň jeden z jejích koeficientů liší od nuly.

Prvky se nazývají lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace rovna θ. Jinak se tyto prvky nazývají lineárně nezávislé.

Nekonečná podmnožina vektorů z L se nazývá lineárně závislá, pokud je některá její konečná podmnožina lineárně závislá, a lineárně nezávislá, pokud je některá její konečná podmnožina lineárně nezávislá.

Počet prvků (kardinalita) maximální lineárně nezávislé podmnožiny prostoru nezávisí na volbě této podmnožiny a nazývá se hodnost neboli dimenze prostoru a tato podmnožina samotná se nazývá báze (Hamelova báze resp. lineární základ). Základní prvky se také nazývají základní vektory. Vlastnosti základny:

Libovolných n lineárně nezávislých prvků n-rozměrného prostoru tvoří základ tohoto prostoru.

Jakýkoli vektor může být reprezentován (jedinečně) jako konečná lineární kombinace základních prvků:

46. ​​Vektorové souřadnice v dané bázi. Lineární operace s vektory v souřadnicovém tvaru

klauzule 4. Lineární operace s vektory vkoordinovatformulářevidence.

Dovolit být základem prostoru a být jeho dva libovolné vektory. Nechť a být záznam těchto vektorů v souřadnicovém tvaru. Nechť je dále libovolné reálné číslo. Při použití tohoto zápisu platí následující věta.

Teorém. (O lineárních operacích s vektory v souřadnicovém tvaru.)

Nechť Ln je libovolný n-rozměrný prostor, B = (e1,....,en) v něm pevná báze. Potom každý vektor x patřící do Ln má v tomto základě vzájemnou shodu se sloupcem jeho souřadnic.

Dvě roviny v prostoru mohou být umístěny buď vzájemně rovnoběžné, nebo se mohou protínat.

Paralelní roviny. V průmětech s číselnými značkami je znakem rovnoběžnosti rovin na půdorysu rovnoběžnost jejich vodorovných čar, rovnost nárysů a shoda směrů dopadu rovin: čtverec. S || pl. L- h S || h L, l S= l L, podložka. I. (obr. 3.11).

V geologii se ploché, homogenní těleso složené z té či oné horniny nazývá vrstva. Vrstva je omezena dvěma povrchy, z nichž horní se nazývá střecha a spodní - podrážka. Pokud je vrstva uvažována v relativně malém rozsahu, pak se střecha a základna rovnají rovinám, čímž se získá prostor geometrický model dvě rovnoběžné nakloněné roviny.

Rovina S je střecha a rovina L je spodní část vrstvy (obr. 3.12, A). V geologii se nejkratší vzdálenost mezi střechou a základnou nazývá skutečnou moc (na obr. 3.12, A skutečný výkon je označen písmenem H). Kromě skutečné tloušťky se v geologii používají další parametry horninové vrstvy: vertikální tloušťka - H in, horizontální tloušťka - L, viditelná tloušťka - H pohled. Vertikální výkon v geologii nazývají vzdálenost od střechy ke spodní části vrstvy, měřenou svisle. Horizontální výkon vrstva je nejkratší vzdálenost mezi střechou a podkladem, měřeno ve vodorovném směru. Zdánlivá síla – nejkratší vzdálenost mezi viditelným pádem střechy a podešví (viditelný pád je přímočarý směr na konstrukční rovině, tedy přímka patřící rovině). Zdánlivá síla je tedy vždy větší než skutečná síla. Je třeba poznamenat, že u vodorovně se vyskytujících vrstev se skutečná, svislá a viditelná tloušťka shodují.

Uvažujme techniku ​​konstrukce rovnoběžných rovin S a L, vzdálených od sebe v dané vzdálenosti (obr. 3.12, b).

Na plánu protínáním čar m A n je dána rovina S. Je třeba sestrojit rovinu L rovnoběžnou s rovinou S a vzdálenou od ní ve vzdálenosti 12 m (t.j. skutečná tloušťka je H = 12 m). Rovina L se nachází pod rovinou S (rovina S je střecha vrstvy, rovina L je dno).

1) Rovina S je na plánu definována průměty vrstevnic.

2) Na stupnici nánosů sestrojte přímku dopadu roviny S - u S. Kolmo k čáře u S vyčleňte danou vzdálenost 12 m (skutečná tloušťka vrstvy H). Pod linií dopadu roviny S a rovnoběžně s ní nakreslete linii dopadu roviny L - u L. Určete vzdálenost mezi přímkami dopadu obou rovin ve vodorovném směru, tedy vodorovnou tloušťku vrstvy L.

3) Oddělte horizontální sílu od horizontály na plánu h S rovnoběžně s ní nakreslete vodorovnou čáru roviny L se stejnou číselnou značkou h L. Je třeba poznamenat, že pokud je rovina L umístěna pod rovinou S, pak by horizontální síla měla být položena ve směru stoupání roviny S.

4) Na základě podmínky rovnoběžnosti dvou rovin se na půdorysu zakreslí vodorovné roviny roviny L.

Protínající se roviny. Znakem průsečíku dvou rovin je obvykle rovnoběžnost průmětů jejich vodorovných čar na půdorysu. Průsečík dvou rovin je v tomto případě určen průsečíky dvou stejnojmenných dvojic (se stejnými číselnými značkami) vrstevnic (obr. 3.13): ; . Spojením výsledných bodů N a M přímkou m, určete průmět požadované čáry průsečíku. Pokud jsou roviny S (A, B, C) a L(mn) v plánu specifikovány jako nevodorovné, pak pro sestrojení jejich průsečíku t je nutné sestrojit dvě dvojice vodorovných přímek se shodnými číselnými značkami, které v průsečíku určí průměty bodů R a F požadované přímky. t(obr. 3.14). Obrázek 3.15 ukazuje případ, kdy se dva protínají

Vodorovné roviny S a L jsou rovnoběžné. Průsečíkem takových rovin bude vodorovná přímka h. Chcete-li najít bod A patřící této přímce, nakreslete libovolnou pomocnou rovinu T, která protíná roviny S a L. Rovina T protíná rovinu S podél přímky A(C 1 D 2), a rovina L je v přímce b(K 1 L 2).

Průsečík A A b, náležející příslušně rovinám S a L, budou společné těmto rovinám: =A. Nadmořskou výšku bodu A lze určit interpolací přímek A A b. Zbývá nakreslit vodorovnou čáru přes A h 2.9, což je průsečík rovin S a L.

Uvažujme další příklad (obr. 3.16) sestrojení přímky průsečíku nakloněné roviny S se svislou rovinou T. Požadovaná přímka m určeno body A a B, ve kterých jsou vodorovné čáry h 3 a h 4 roviny S protínají svislou rovinu T. Z výkresu je vidět, že průmět průsečíku se shoduje s průmětem svislé roviny: mº T. Při řešení úloh geologického průzkumu se řez jedné nebo skupiny rovin (povrchů) se svislou rovinou nazývá řez. Dodatečný vertikální průmět čáry vytvořené v uvažovaném příkladu m nazýváme profil řezu provedeného rovinou T v daném směru.

Přednáška č. 5. Vzájemné uspořádání přímek a rovin

1. Vzájemná poloha dvou rovin

Pro dvě roviny jsou možné následující možnosti vzájemného uspořádání: jsou rovnoběžné nebo se protínají v přímce.

Ze stereometrie je známo, že dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže dvě protínající se přímky jedné roviny jsou odpovídajícím způsobem rovnoběžné se dvěma protínajícími se přímkami jiné roviny. Tento stav se nazývá znak rovnoběžnosti rovin.

Pokud jsou dvě roviny rovnoběžné, pak protínají nějakou třetí rovinu podél rovnoběžných čar. Na základě toho rovnoběžné roviny R A Q jejich stopy jsou rovnoběžné přímky (obr. 50).

V případě dvou rovin R A Q rovnoběžně s osou X, jejich vodorovné a čelní stopy při libovolné relativní pozice roviny budou rovnoběžné s osou x, tedy vzájemně rovnoběžné. V důsledku toho je za takových podmínek rovnoběžnost stop dostatečným znakem charakterizujícím rovnoběžnost samotných rovin. Aby byly takové roviny rovnoběžné, musíte se ujistit, že jejich profilové stopy jsou také rovnoběžné. P w a Q w. Letadla R A Q na obrázku 51 jsou rovnoběžné, ale na obrázku 52 nejsou rovnoběžné, přestože P v || Q v, a P h y || Q h.

V případě, že jsou roviny rovnoběžné, jsou horizontály jedné roviny rovnoběžné s horizontálami druhé. Čela jedné roviny musí být rovnoběžná s předními plochami druhé, protože tyto roviny mají rovnoběžné dráhy stejného jména.

Abychom sestrojili dvě vzájemně se protínající roviny, je nutné najít přímku, podél které se obě roviny protínají. K sestrojení této přímky stačí najít dva body k ní patřící.

Někdy, když je rovina dána stopami, je snadné najít tyto body pomocí diagramu a bez dalších konstrukcí. Zde je znám směr určované čáry a její konstrukce je založena na použití jednoho bodu na diagramu.

Může existovat několik poloh přímky vzhledem k určité rovině.

Uvažujme znaménko rovnoběžnosti mezi přímkou ​​a rovinou. Přímá čára je rovnoběžně s rovinou, když je rovnoběžná s libovolnou přímkou ​​ležící v této rovině. Na obrázku 53 je přímka AB rovnoběžně s rovinou R, protože je rovnoběžná s přímkou MN, která leží v této rovině.

Když je přímka rovnoběžná s rovinou R, v této rovině přes kterýkoli její bod lze vést přímku rovnoběžnou s danou přímkou. Například na obrázku 53 přímka AB rovnoběžně s rovinou R. Pokud přes bod M, patřící k letadlu R, nakreslete rovnou čáru N.M., paralelní AB, pak bude ležet v letadle R. Na stejném obrázku přímka CD není rovnoběžná s rovinou R, protože rovnou KL, která je paralelní CD a prochází bodem NA na povrchu R, neleží v této rovině.

Pro nalezení průsečíku přímky a roviny je nutné sestrojit průsečíky dvou rovin. Uvažujme přímku I a rovinu P (obr. 54).

Uvažujme konstrukci průsečíku rovin.

Přes nějakou přímku I je třeba nakreslit pomocnou rovinu Q(promítání). Přímka II je definována jako průsečík rovin R A Q. Bod K, který je potřeba postavit, se nachází v průsečíku čar I. a II. V tomto bodě rovinu protíná přímka I R.

V této konstrukci je hlavním bodem řešení nakreslení pomocné roviny Q procházející touto linií. Pomocnou rovinu můžete nakreslit v obecné poloze. Zobrazení promítací roviny na diagramu pomocí této přímky je však jednodušší než kreslení obecné polohové roviny. V tomto případě lze promítací rovinu nakreslit libovolnou přímkou. Na základě toho se jako promítací rovina vybere pomocná rovina.

Přímka a rovina jsou kolmé, pokud lze v rovině nalézt dvě protínající se přímky, kolmé k původní přímce. Za takovou dvojici řídících čar je nejjednodušší považovat rovinné stopy P ruka P v (obr. 55). To je způsobeno tím, že pravý úhel mezi kolmicí k rovině a stopou P h poskytuje projekci na vodorovnou rovinu bez zkreslení a úhel mezi kolmicí a stopou R v se promítá do frontální roviny PROTI.

Takže znaménko kolmosti lze nastavit pomocí přímky a roviny na diagramu.

Přímka je kolmá k rovině, když průměty přímky jsou kolmé ke stejnojmenným stopám v rovině.

Otázka 7.

Dvě roviny v prostoru mohou být buď vzájemně rovnoběžné a v konkrétním případě se vzájemně shodovat, nebo se mohou protínat. Vzájemně kolmé roviny jsou speciálním případem protínajících se rovin a bude o nich pojednáno níže.

Paralelní roviny. Roviny jsou rovnoběžné, pokud jsou dvě protínající se přímky jedné roviny rovnoběžné se dvěma protínajícími se přímkami jiné roviny. Při řešení různých úloh je často nutné protáhnout daným bodem A rovinu β, rovnoběžnou s danou rovinou α.

Na Obr. 81 rovina α je definována dvěma protínajícími se přímkami a a b. Požadovaná rovina β je definována přímkami a1 a b1 rovnoběžnými s a a b a procházejícími daným bodem A1.

Protínající se roviny. Průsečík dvou rovin je přímka, k jejímuž sestrojení stačí určit dva body společné oběma rovinám, nebo jeden bod a směr průsečíku rovin.

Než budeme uvažovat o konstrukci průsečíku dvou rovin, rozebereme si důležitý a pomocný problém: najdeme bod K průsečíku obecné přímky s promítací rovinou.

Mějme např. přímku a a vodorovně promítající rovinu α (obr. 82). Potom musí vodorovný průmět K1 požadovaného bodu současně ležet na vodorovném průmětu α1 roviny α a na vodorovném průmětu al přímky a, tzn. v průsečíku a1 s α1 (obr. 83). Náčelní průmět K2 bodu K leží na přímce průmětny a na průmětu a2 přímky a.

Nyní se podívejme na jeden ze speciálních případů protínajících se rovin, kdy se jedna z nich promítá.

Na Obr. 84 ukazuje obecnou polohovou rovinu definovanou trojúhelníkem ABC a vodorovně promítající rovinou a. Pojďme najít dva společné body pro tyto dvě roviny. Je zřejmé, že tyto společné body pro roviny ∆ABC a α budou průsečíky stran AB a BC trojúhelníku ABC s promítající rovinou α. Konstrukce takových bodů D a E jak na prostorovém výkresu (obr. 84), tak na diagramu (obr. 85) nečiní po výše uvedeném příkladu potíže.

Spojením stejných průmětů bodů D a E získáme průměty průsečíku roviny ∆ ABC a roviny α.

Vodorovný průmět D1E1 průsečíku daných rovin se tedy shoduje s vodorovným průmětem průmětny průmětny α - s jejími vodorovnými stopami α1.

Podívejme se nyní obecný případ. Nechť jsou v prostoru dány dvě obecné roviny α a β (obr. 86). Pro sestrojení přímky jejich průsečíku je nutné, jak bylo uvedeno výše, najít dva body společné oběma rovinám.

Pro určení těchto bodů se dané roviny protínají dvěma pomocnými rovinami. Je účelnější brát jako takové roviny vyčnívající roviny a zejména roviny roviny. Na Obr. 86, první pomocná rovina hladiny γ protíná každou z těchto rovin podél horizontál h a h1, které definují bod 1, společný rovinám α a β. Tento bod je určen průsečíkem vodorovných přímek h2 a h3, podél kterých pomocná rovina δ protíná každou z těchto rovin.