Definice. Vektorový součin vektoru a a vektoru b je vektor označený symbolem [α, b] (nebo l x b), takže 1) délka vektoru [a, b] je rovna (p, kde y je úhel mezi vektory a a b (obr. 31), 2) vektor [a, b) je kolmý na vektory a a b, tzn. kolmé k rovině těchto vektorů; 3) vektor [a, b] je nasměrován tak, že od konce tohoto vektoru je vidět nejkratší obrat z a do b proti směru hodinových ručiček (obr. 32). Rýže. 32 Obr.31 Jinými slovy, vektory a, b a [a, b) tvoří pravostranný triplet vektorů, tzn. uspořádány jako palec, ukazováček a prostředníček pravá ruka . Pokud jsou vektory a a b kolineární, budeme předpokládat, že [a, b] = 0. Podle definice je délka vektorového součinu číselně rovna ploše Sa rovnoběžníku (obr. 33), sestrojeného na vynásobeném vektory a a b jako strany: 6.1 . Vlastnosti vektorového součinu 1. Vektorový součin je roven nulovému vektoru právě tehdy, když je alespoň jeden z vynásobených vektorů nulový nebo když jsou tyto vektory kolineární (jsou-li vektory a a b kolineární, pak úhel mezi nimi je buď 0 nebo 7r). To lze snadno získat z toho, že považujeme-li nulový vektor za kolineární s libovolným vektorem, pak lze podmínku kolinearity vektorů a a b vyjádřit následovně: 2. Vektorový součin je antikomutativní, tj. vždy . Ve skutečnosti mají vektory (a, b) stejnou délku a jsou kolineární. Směry těchto vektorů jsou opačné, protože od konce vektoru [a, b] bude nejkratší obrat z a do b vidět proti směru hodinových ručiček a od konce vektoru [b, a] - ve směru hodinových ručiček (obr. 34). 3. Vektorový součin má distributivní vlastnost ve vztahu k sčítání 4. Číselný faktor A lze vyjmout ze znaménka vektorového součinu 6.2. Vektorový součin vektorů zadaných souřadnicemi Nechť vektory a a b jsou určeny svými souřadnicemi v bázi. Pomocí distribuční vlastnosti vektorového součinu najdeme vektorový součin vektorů daný souřadnicemi. Smíšená práce. Zapišme vektorové součiny souřadnicových jednotkových vektorů (obr. 35): Pro vektorový součin vektorů a a b tedy ze vzorce (3) získáme následující výraz Vzorec (4) lze zapsat symbolicky, snadno zapamatovatelný tvar, použijeme-li determinant 3. řádu: Rozšířením tohoto determinantu přes prvky 1. řady získáme (4). Příklady. 1. Najděte obsah rovnoběžníku sestrojeného na vektorech Požadovaná plocha Proto najdeme = odkud 2. Najděte obsah trojúhelníku (obr. 36). Je zřejmé, že plocha b"d trojúhelníku OAO je rovna polovině plochy S rovnoběžníku O AC B. Výpočtem vektorového součinu (a, b| vektorů a = OA a b = ob získáme Poznámka: Vektorový součin není asociativní, tj. rovnost ( (a, b),c) = [a, |b,c)) v obecném případě neplatí. Například pro a = ss j máme § 7. Smíšený součin vektorů Mějme tři vektory a, b a c. Vynásobíme vektory a a 1> vektorově. Výsledkem je vektor [a, 1>], který skalárně vynásobíme vektorem c: ( k b), c). Číslo ([a, b], e) se nazývá smíšený součin vektorů a, b. c a označuje se symbolem (a, 1), e). 7.1. Geometrický význam smíšeného součinu Ponechme stranou vektory a, b a c z izolovaného bodu O (obr. 37). Pokud všechny čtyři body O, A, B, C leží ve stejné rovině (vektory a, b a c se v tomto případě nazývají koplanární), pak smíšený součin ([a, b], c) = 0. Vyplývá to z skutečnost, že vektor [a, b| je kolmá k rovině, ve které leží vektory a a 1, a tedy k vektoru c. / Pokud body O, A, B, C neleží ve stejné rovině (vektory a, b a c jsou nekoplanární), sestrojíme na hranách OA, OB a OS rovnoběžnostěn (obr. 38 a). Podle definice vektorového součinu máme (a,b) = So c, kde So je plocha rovnoběžníku OADB a c je jednotkový vektor kolmý na vektory a a b a takový, že trojice a , b, c je pravotočivý, tzn. vektory a, b a c jsou umístěny jako palec, ukazováček a prostředníček pravé ruky (obr. 38 b). Vynásobením obou stran poslední rovnosti zprava skalárně vektorem c získáme vektorový součin vektorů daný souřadnicemi. Smíšená práce. Číslo pc c se rovná výšce h sestrojeného rovnoběžnostěnu se znaménkem „+“, pokud je úhel mezi vektory c a c ostrý (trojité a, b, c – vpravo), a se znaménkem „-“ znaménko, pokud je úhel tupý (trojitý a, b, c - vlevo), takže smíšený součin vektorů a, b a c je roven objemu V kvádru postaveného na těchto vektorech jako na hranách, pokud trojité a, b, c je vpravo a -V, pokud trojité a , b, c - vlevo. Na základě geometrický význam smíšeného součinu můžeme dojít k závěru, že vynásobením stejných vektorů a, b a c v libovolném jiném pořadí vždy dostaneme buď +7 nebo -K. Značka výrobce Obr. 38 reference bude záviset pouze na tom, jakou trojici tvoří vynásobené vektory - vpravo nebo vlevo. Pokud vektory a, b, c tvoří pravotočivou trojici, pak trojice b, c, a a c, a, b budou také pravotočivé. Přitom všechny tři trojice b, a, c; a, c, b a c, b, a - vlevo. Tedy (a,b, c) = (b,c, a) = (c,a,b) = -(b,a,c) = -(a,c,b) = -(c,b, A). Znovu zdůrazňujeme, že smíšený součin vektorů je roven nule pouze tehdy, jsou-li vynásobené vektory a, b, c koplanární: (a, b, c jsou koplanární) 7.2. Smíšený součin v souřadnicích Nechť jsou vektory a, b, c dány jejich souřadnicemi v bázi i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Najdeme výraz pro jejich smíšený součin (a, b, c). Máme smíšený součin vektorů specifikovaných jejich souřadnicemi v bázi i, J, k, rovný determinantu třetího řádu, jehož čáry jsou složeny příslušně ze souřadnic prvního, druhého a třetího vynásobeného vektoru. Nezbytnou a postačující podmínku pro koplanaritu vektorů a y\, Z|), b = (хъ У2.22), с = (жз, з, 23) zapíšeme ve tvaru У| z, ag2 y2-2 =0. Příklad Uz. Zkontrolujte, zda jsou vektory „ = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) koplanární. Uvažované vektory budou koplanární nebo nekoplanární v závislosti na tom, zda je determinant roven nule nebo ne. Rozšířením na prvky prvního řádku dostaneme D = 7-6-4-15 + 6-3 = 0^ - vektory n, b, c jsou koplanární. 7.3. Dvojitý křížový součin Dvojitý křížový součin [a, [b, c]] je vektor kolmý k vektorům a a [b, c]. Leží tedy v rovině vektorů b a c a lze do těchto vektorů expandovat. Lze ukázat, že platí vzorec [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b). Cvičení 1. Tři vektory AB = c, Ж? = o a CA = b slouží jako strany trojúhelníku. Vyjádřete pomocí a, b a c vektory, které se shodují s mediány AM, DN, CP trojúhelníku. 2. Za jaké podmínky musí být spojeny vektory p a q, aby vektor p + q dělil úhel mezi nimi na polovinu? Předpokládá se, že všechny tři vektory souvisí se společným původem. 3. Vypočítejte délku úhlopříček rovnoběžníku sestrojeného na vektorech a = 5p + 2q a b = p - 3q, je-li známo, že |p| = 2v/2, |q| = 3H-(p7ci) = f. 4. Označením aab strany kosočtverce, které vybíhají ze společného vrcholu, dokažte, že úhlopříčky kosočtverce jsou vzájemně kolmé. 5. Vypočítejte skalární součin vektorů a = 4i + 7j + 3k ab = 31 - 5j + k. 6. Najděte jednotkový vektor a0 rovnoběžný s vektorem a = (6, 7, -6). 7. Najděte průmět vektoru a = l+ j- kHa vektor b = 21 - j - 3k. 8. Najděte kosinus úhlu mezi vektory IS “w, jestliže A(-4,0,4), B(-1,6,7), C(1,10,9). 9. Najděte současně jednotkový vektor р° kolmo k vektoru a = (3, 6, 8) a osa Ox. 10. Vypočítejte sinus úhlu mezi úhlopříčkami rovnoběžníku sestrojeného na vektorech a = 2i+J-k, b=i-3j + k jako na stranách. Vypočítejte výšku h rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech a = 31 + 2j - 5k, b = i- j + 4knc = i-3j + k, jestliže za základ vezmeme rovnoběžník postavený na vektorech a a I. Odpovědi
Definice. Vektorový součin vektoru a (multiplikand) a nekolineárního vektoru (multiplikand) je třetí vektor c (součin), který je konstruován následovně:
1) jeho modul se číselně rovná ploše rovnoběžníku na obr. 155), postavený na vektorech, tj. je roven směru kolmému k rovině zmíněného rovnoběžníku;
3) v tomto případě se volí směr vektoru c (ze dvou možných) tak, aby vektory c tvořily pravotočivou soustavu (§ 110).
Označení: nebo
Dodatek k definici. Jsou-li vektory kolineární, pak vzhledem k tomu, že obrazec je (podmíněně) rovnoběžník, je přirozené přiřadit nulovou plochu. Proto je vektorový součin kolineárních vektorů považován za rovný nulovému vektoru.
Protože nulovému vektoru lze přiřadit libovolný směr, není tato dohoda v rozporu s odstavci 2 a 3 definice.
Poznámka 1. V termínu „vektorový součin“ první slovo označuje, že výsledkem působení je vektor (na rozdíl od skalárního součinu; srov. § 104, poznámka 1).
Příklad 1. Najděte vektorový součin, kde jsou hlavní vektory pravého souřadnicového systému (obr. 156).
1. Protože se délky hlavních vektorů rovnají jedné jednotce měřítka, je plocha rovnoběžníku (čtverec) číselně rovna jedné. To znamená, že modul vektorového součinu je roven jedné.
2. Protože kolmice k rovině je osa, požadovaný vektorový součin je vektor kolineární k vektoru k; a protože oba mají modul 1, požadovaný vektorový součin je roven buď k nebo -k.
3. Z těchto dvou možných vektorů je třeba zvolit první, protože vektory k tvoří pravotočivý systém (a vektory levotočivý).
Příklad 2. Najděte křížový součin
Řešení. Stejně jako v příkladu 1 docházíme k závěru, že vektor je roven buď k nebo -k. Nyní však musíme zvolit -k, protože vektory tvoří pravotočivý systém (a vektory tvoří levotočivý). Tak,
Příklad 3. Vektory mají délky rovné 80 a 50 cm a svírají úhel 30°. Vezmeme-li metr jako jednotku délky, najdeme délku vektorového součinu a
Řešení. Plocha rovnoběžníku postaveného na vektorech je rovna Délka požadovaného vektorového produktu je rovna
Příklad 4. Najděte délku vektorového součinu stejných vektorů, přičemž jako jednotku délky vezměte centimetry.
Řešení. Protože plocha rovnoběžníku konstruovaného na vektorech je stejná, délka vektorového součinu je rovna 2000 cm, tj.
Z porovnání příkladů 3 a 4 je zřejmé, že délka vektoru závisí nejen na délkách faktorů, ale také na volbě délkové jednotky.
Fyzikální význam vektorového produktu. Z mnoha fyzikální veličiny, reprezentovaný vektorovým součinem, uvažujeme pouze moment síly.
Nechť A je bod působení síly. Moment síly vzhledem k bodu O se nazývá vektorový součin. Protože modul tohoto vektorového součinu je číselně roven ploše rovnoběžníku (obr. 157), pak modul momentu se rovná součinu základny a výšky, tj. síly vynásobené vzdáleností od bodu O k přímce, podél které síla působí.
V mechanice je dokázáno, že pro rovnováhu pevný Je nutné, aby se nule rovnal nejen součet vektorů reprezentujících síly působící na těleso, ale i součet momentů sil. V případě, že jsou všechny síly rovnoběžné s jednou rovinou, lze sčítání vektorů reprezentujících momenty nahradit sčítáním a odečítáním jejich velikostí. Ale při libovolném směru sil je taková náhrada nemožná. V souladu s tím je vektorový součin přesně definován jako vektor, nikoli jako číslo.
