이번 글에서는 주요 내용을 살펴보겠습니다. 뿌리의 성질. 산술 제곱근의 속성부터 시작하여 공식을 제시하고 증명을 제시해 보겠습니다. 그 다음에는 n차 산술근의 성질을 다루겠습니다.
페이지 탐색.
제곱근의 성질
이 단락에서는 다음과 같은 기본 사항을 다루겠습니다. 산술 제곱근의 성질:
작성된 각 등식에서 왼쪽과 오른쪽은 서로 바뀔 수 있습니다. 예를 들어 등식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. 
. 이 "역" 형식에서는 산술 제곱근의 속성이 적용됩니다. 표현식 단순화"직접" 형태만큼이나 자주.
처음 두 속성의 증명은 산술 제곱근의 정의와 에 기초합니다. 그리고 산술 제곱근의 마지막 속성을 정당화하려면 기억해야 할 것입니다.
그럼 시작해보자 음수가 아닌 두 숫자의 곱의 산술 제곱근 속성에 대한 증명: . 이를 위해서는 산술 제곱근의 정의에 따라 제곱이 a·b와 동일한 음수가 아닌 숫자임을 보여주는 것으로 충분합니다. 해보자. 표현식의 값은 음수가 아닌 숫자의 곱으로서 음수가 아닙니다. 두 숫자의 곱의 거듭제곱의 속성을 통해 우리는 평등을 쓸 수 있습니다. 
, 그리고 산술 제곱근의 정의에 따라 그리고 이후 , 그러면 .
음이 아닌 인수 a 1 , a 2 , ..., a k 의 곱의 산술 제곱근이 산술 곱과 같다는 것도 유사하게 입증되었습니다. 제곱근이러한 요인으로부터. 정말, . 이 평등으로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다.
예를 들어 보겠습니다.
이제 증명해보자 몫의 산술 제곱근의 속성: . 자연적인 정도에 대한 몫의 속성을 통해 우리는 다음과 같은 평등을 쓸 수 있습니다. 
, ㅏ 
, 음수가 아닌 숫자가 있습니다. 이것이 증거입니다.
예를 들어, 
.
이제 정리할 시간이다 숫자의 제곱의 산술 제곱근의 속성, 평등의 형태로 다음과 같이 작성됩니다. 이를 증명하려면 a≥0과 a의 두 가지 경우를 고려하십시오.<0 .
분명히, a≥0의 경우 평등은 사실입니다. 또한 그것을 쉽게 볼 수 있습니다.<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 및 (-a) 2 =a 2 . 따라서, 
, 이는 입증이 필요한 것이었습니다.
여기 몇 가지 예가 있어요. 
그리고 
.
방금 입증된 제곱근의 속성을 통해 다음 결과를 정당화할 수 있습니다. 여기서 a는 임의의 실수이고 m은 임의의 입니다. 실제로, 거듭제곱을 1제곱으로 높이는 속성을 사용하면 a 2m의 거듭제곱을 (am) 2라는 표현으로 대체할 수 있습니다. 
.
예: 
그리고 
.
n번째 루트의 속성
먼저 주요 내용을 나열하자면 n번째 근의 속성:
모든 서면 평등은 왼쪽과 오른쪽이 바뀌어도 유효합니다. 주로 표현을 단순화하고 변형할 때 이 형식으로도 자주 사용됩니다.
발표된 근의 모든 속성에 대한 증명은 n차 산술근의 정의, 차수의 속성 및 숫자의 모듈러스 정의에 기반합니다. 우선순위에 따라 증명하겠습니다.
증명부터 시작해보자 제품의 n번째 루트의 속성 . 음수가 아닌 a와 b의 경우 표현식의 값도 음수가 아닌 숫자의 곱과 같이 음수가 아닙니다. 자연력에 대한 제품의 속성을 통해 우리는 평등을 쓸 수 있습니다. 
. n차 산술근의 정의에 따르면, 
. 이는 고려중인 뿌리의 속성을 증명합니다.
이 속성은 k 인수의 곱에 대해 유사하게 입증되었습니다. 음수가 아닌 숫자의 경우 a 1, a 2, …, an n, 
그리고 .
다음은 제품의 n번째 루트 속성을 사용하는 예입니다. 
그리고 .
증명해보자 몫의 근의 속성. a≥0이고 b>0이면 조건이 충족되고, 
.
예를 보여드리겠습니다: 
그리고 
.
계속 진행합시다. 증명해보자 숫자의 n제곱근의 속성. 즉, 우리는 다음을 증명할 것입니다 
실제 a와 자연 m에 대해. a≥0에 대해 우리는 평등을 증명하는 및 를 가지며, 평등을 증명합니다. 확실히. 언제<0
имеем и 
(마지막 전이는 지수가 짝수인 차수의 속성으로 인해 유효합니다.) 이는 동등성을 증명합니다. 홀수차수의 근에 관해 이야기할 때 우리가 받아들인 사실 때문에 이는 사실입니다. 
음수가 아닌 숫자의 경우 c.
다음은 구문 분석된 루트 속성을 사용하는 예입니다. 
.
우리는 뿌리의 속성에 대한 증명을 진행합니다. 오른쪽과 왼쪽을 바꾸자, 즉 평등의 타당성을 증명하게 되며 이는 원래의 평등의 타당성을 의미하게 됩니다. 음수가 아닌 숫자 a의 경우 형식의 루트는 음수가 아닌 숫자입니다. 도를 거듭제곱하는 속성을 상기하고 근의 정의를 사용하여 다음 형식의 등식 체인을 작성할 수 있습니다. 
. 이는 고려중인 뿌리의 속성을 증명합니다.
뿌리의 뿌리의 성질 등도 비슷한 방법으로 증명된다. 정말, 
.
예를 들어, 
그리고 .
다음을 증명해보자 근지수 수축 속성. 이를 위해서는 근의 정의 덕분에 n·m의 거듭제곱이 m과 같은 음수가 아닌 숫자가 있다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다. 해보자. 숫자 a가 음수가 아닌 경우 숫자 a의 n번째 루트는 음수가 아닌 숫자임이 분명합니다. 여기서 
, 증명이 완료됩니다.
다음은 구문 분석된 루트 속성을 사용하는 예입니다.
다음 속성을 증명해 보겠습니다. 형식의 근의 속성입니다. 
. 분명히, a≥0일 때 정도는 음수가 아닌 숫자입니다. 더욱이, 그것의 n제곱은 m과 같습니다. 실제로, . 이는 고려중인 학위의 속성을 증명합니다.
예를 들어, 
.
계속 진행합시다. 조건 a가 만족되는 임의의 양수 a와 b에 대해 다음을 증명해 보겠습니다. 즉, a≥b이다. 그리고 이는 조건 a와 모순됩니다.
예를 들어 올바른 부등식을 제시해 보겠습니다. 
.
마지막으로 n번째 루트의 마지막 속성을 증명하는 일이 남았습니다. 먼저 이 속성의 첫 번째 부분을 증명해 보겠습니다. 즉, m>n 및 0에 대해 증명하겠습니다. 마찬가지로, 모순에 의해 m>n이고 a>1인 경우 조건이 충족된다는 것이 증명됩니다. 특정 숫자로 입증된 루트 속성을 적용한 예를 들어 보겠습니다. 예를 들어, 불평등과 true입니다.
즉, a n ≤a m 입니다. 그리고 m>n 및 0에 대한 결과 부등식은 다음과 같습니다.
서지.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 8학년 교과서. 교육 기관.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).
숫자의 제곱근은 제곱이 a와 같은 숫자입니다. 예를 들어, 숫자 -5와 5는 숫자 25의 제곱근입니다. 즉, 방정식 x^2=25의 근은 숫자 25의 제곱근입니다. 이제 제곱을 사용하는 방법을 배워야 합니다. 루트 작업: 기본 속성을 연구합니다.
곱의 제곱근
√(a*b) =√a*√b
제곱근음수가 아닌 두 숫자의 곱은 이 숫자의 제곱근의 곱과 같습니다. 예를 들어 √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;
이 속성은 급진적 표현이 3, 4 등의 곱인 경우에도 적용된다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 음수가 아닌 요인.
때로는 이 속성에 대한 또 다른 공식이 있습니다. a와 b가 음수가 아닌 숫자인 경우 √(a*b) =√a*√b가 동일합니다. 둘 사이에는 전혀 차이가 없습니다. 하나 또는 다른 공식을 사용할 수 있습니다(기억하기가 더 편리함).
분수의 제곱근
a>=0이고 b>0이면 다음 동등성이 참입니다.
√(a/b) =√a/√b.
예를 들어 √(9/25) = √9/√25 =3/5;
이 속성은 또한 다른 공식을 가지고 있는데 제 생각에는 암기에 더 편리합니다.
몫의 제곱근은 근의 몫과 같습니다.
이 공식은 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 작동한다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 즉, 필요하다면 근의 곱을 곱의 근으로 나타낼 수 있다. 두 번째 속성에도 동일하게 적용됩니다.
눈치채셨겠지만, 이러한 속성은 매우 편리하며, 덧셈과 뺄셈에도 동일한 속성을 갖고 싶습니다.
√(a+b) =√a+√b;
√(a-b) =√a-√b;
그러나 불행하게도 그러한 속성은 정사각형입니다. 뿌리가 없다, 그게 바로 그 이유야 계산으로는 할 수 없다.
간판을 다시 보니... 그리고, 가자!
간단한 것부터 시작해 보겠습니다.
잠시만요. 이는 다음과 같이 작성할 수 있음을 의미합니다.
알았어요? 다음은 다음과 같습니다.
결과 숫자의 근이 정확하게 추출되지 않았습니까? 문제 없습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.
두 개가 아니라 더 많은 승수가 있다면 어떨까요? 똑같다! 근을 곱하는 공식은 다양한 요인에 적용됩니다.
이제 완전히 스스로:
답변:잘하셨어요! 동의하세요, 모든 것이 매우 쉽습니다. 가장 중요한 것은 구구단을 아는 것입니다!
뿌리분할
근의 곱셈을 정리했으니 이제 나눗셈의 속성으로 넘어가겠습니다.
일반 공식은 다음과 같습니다.
의미하는 것은 몫의 근은 근의 몫과 같습니다.
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
그것이 과학의 전부입니다. 예는 다음과 같습니다.
첫 번째 예만큼 모든 것이 순조롭지는 않지만 보시다시피 복잡한 것은 없습니다.
이런 표현을 접하게 된다면 어떨까요?
공식을 반대 방향으로 적용하면 됩니다.
예를 들면 다음과 같습니다.
다음과 같은 표현도 접할 수 있습니다.
모든 것이 동일합니다. 여기서만 분수를 번역하는 방법을 기억하면 됩니다(기억이 나지 않으면 주제를 보고 다시 돌아오세요!). 기억 나니? 이제 결정하자!
나는 당신이 모든 것에 대처했다고 확신합니다. 이제 뿌리를 어느 정도 높이려고 노력합시다.
지수화
제곱근을 제곱하면 어떻게 되나요? 간단합니다. 숫자의 제곱근의 의미를 기억하세요. 이것은 제곱근이 다음과 같은 숫자입니다.
그렇다면 제곱근이 같은 숫자를 제곱하면 무엇을 얻게 될까요?
물론이죠!
예를 살펴보겠습니다:
간단하죠? 뿌리의 정도가 다르다면 어떨까요? 괜찮아요!
동일한 논리를 따르고 속성과 가능한 동작을 각도별로 기억하세요.
""주제에 대한 이론을 읽으면 모든 것이 매우 명확해질 것입니다.
예를 들어 다음과 같은 표현식이 있습니다.
이 예에서는 차수는 짝수이지만 홀수이면 어떨까요? 다시, 거듭제곱의 속성을 적용하고 모든 것을 인수분해합니다.
이것으로 모든 것이 명확해 보이지만 숫자의 근을 거듭제곱으로 추출하는 방법은 무엇입니까? 예를 들면 다음과 같습니다.
아주 간단하죠? 학위가 2개 이상이면 어떻게 되나요? 각도의 속성을 사용하여 동일한 논리를 따릅니다.
글쎄, 모든 것이 명확합니까? 그런 다음 예제를 직접 풀어보세요.
답변은 다음과 같습니다.
루트 기호 아래에 입력
우리는 뿌리를 다루는 법을 아직 배우지 못했습니다! 남은 것은 루트 기호 아래에 숫자를 입력하는 연습을 하는 것뿐입니다!
정말 쉽습니다!
숫자를 적어 놓았다고 가정해 봅시다.
우리는 그것으로 무엇을 할 수 있나요? 물론, 3이 의 제곱근이라는 것을 기억하면서 루트 아래에 3을 숨기세요!
이것이 왜 필요한가요? 예, 예제를 풀 때 우리의 능력을 확장하기 위해서입니다:
이 뿌리 속성이 마음에 드시나요? 삶이 훨씬 쉬워지나요? 저에게는 그게 딱 맞습니다! 오직 제곱근 기호 아래에는 양수만 입력할 수 있다는 점을 기억해야 합니다.
이 예를 직접 풀어보세요 -
당신은 관리 했습니까? 당신이 무엇을 얻어야하는지 보자 :
잘하셨어요! 루트 기호 아래에 숫자를 입력했습니다! 똑같이 중요한 것으로 넘어가겠습니다. 제곱근이 포함된 숫자를 비교하는 방법을 살펴보겠습니다!
뿌리의 비교
제곱근이 포함된 숫자를 비교하는 방법을 배워야 하는 이유는 무엇입니까?
매우 간단합니다. 시험장에서 마주치게 되는 크고 긴 표현에서 우리는 종종 비합리적인 대답을 듣게 됩니다. (이것이 무엇인지 기억하시나요? 오늘 이미 이에 대해 이야기했습니다!)
예를 들어 방정식을 푸는 데 적합한 간격을 결정하려면 수신된 답변을 좌표선에 배치해야 합니다. 그리고 여기서 문제가 발생합니다. 시험에는 계산기가 없으며 계산기 없이는 어떤 숫자가 더 크고 어떤 숫자가 더 작은지 어떻게 상상할 수 있습니까? 그게 다야!
예를 들어, 어느 것이 더 큰지 결정하십시오: 또는?
당장 알 수는 없습니다. 그럼 루트 기호 아래에 숫자를 입력하는 디스어셈블된 속성을 사용해 볼까요?
그런 다음 계속하십시오.
음, 분명히 루트 기호 아래의 숫자가 클수록 루트 자체도 커집니다!
저것들. 그렇다면, .
이것으로부터 우리는 다음과 같이 확고히 결론을 내렸습니다. 그렇지 않으면 아무도 우리를 설득하지 못할 것입니다!
많은 수에서 근 추출하기
그 전에는 루트 기호 아래에 승수를 입력했는데 이를 제거하는 방법은 무엇입니까? 요인별로 고려하여 추출한 내용만 추출하면 됩니다!
다른 경로를 선택하고 다른 요소로 확장하는 것이 가능했습니다.
나쁘지 않죠? 이러한 접근 방식은 모두 정확합니다. 원하는 대로 결정하세요.
인수분해는 다음과 같은 비표준 문제를 해결할 때 매우 유용합니다.
두려워하지 말고 행동합시다! 루트 아래의 각 요소를 별도의 요소로 분해해 보겠습니다.
이제 직접 시도해 보세요(계산기 없이! 시험에 나오지 않습니다):
여기가 끝인가요? 중간에 멈추지 말자!
그게 다야 그다지 무섭지 않죠?
일어난? 잘했어요, 그렇죠!
이제 다음 예를 시도해 보세요.
하지만 이 예는 깨기 어려운 문제이므로 어떻게 접근해야 할지 즉시 알 수 없습니다. 하지만 물론 우리는 그것을 처리할 수 있습니다.
자, 인수분해를 시작해볼까요? 숫자를 다음과 같이 나눌 수 있다는 점을 즉시 알아두겠습니다(나누기의 기호를 기억하세요).
이제 직접 시도해 보세요(계산기 없이 다시 한번!).
글쎄요, 성공했어요? 잘했어요, 그렇죠!
요약하자면
- 음수가 아닌 숫자의 제곱근(산술 제곱근)은 제곱이 동일한 음수가 아닌 숫자입니다.
. - 단순히 어떤 것의 제곱근을 취하면 항상 음수가 아닌 하나의 결과를 얻습니다.
- 산술근의 속성:
- 제곱근을 비교할 때, 근 기호 아래의 숫자가 클수록 근 자체도 커진다는 것을 기억할 필요가 있습니다.
제곱근은 어때요? 공습 경보 신호?
우리는 제곱근에 관해 시험에서 알아야 할 모든 것을 소란없이 설명하려고 노력했습니다.
네 차례 야. 이 주제가 당신에게 어려운지 여부를 알려주십시오.
새로운 것을 배웠나요, 아니면 모든 것이 이미 명확해졌나요?
댓글을 작성하고 시험에 행운을 빕니다!
합리적 지표를 사용한 학위,
전력 함수 IV
§ 79. 제품 및 몫에서 근 추출
정리 1.뿌리 피 양수의 곱의 거듭제곱은 근의 곱과 같습니다. 피 요인의 차수, 즉 ㅏ > 0, 비 > 0 및 자연 피
N √ab = N √ㅏ N √비 . (1)
증거.루트라는 것을 기억하세요. 피 -양수의 거듭제곱 ab 양수가 있습니다 피 -차수는 다음과 같습니다. ab . 따라서 평등(1)을 증명하는 것은 평등을 증명하는 것과 같습니다.
(N √ㅏ N √비 ) N = ab .
상품 정도의 성질에 따라
(N √ㅏ N √비 ) N = (N √ㅏ ) N (N √비 ) N =.
그러나 루트의 정의에 따르면 피 학위 ( N √ㅏ ) N = ㅏ , (N √비 ) N = 비 .
그렇기 때문에 ( N √ㅏ N √비 ) N = ab . 정리가 입증되었습니다.
요구 사항 ㅏ > 0, 비 > 0은 짝수인 경우에만 중요합니다. 피 , 왜냐하면 부정적이기 때문입니다 ㅏ 그리고 비 그리고 심지어 피 뿌리 N √ㅏ 그리고 N √비 정의되지 않았습니다. 만약에 피 홀수이면 공식 (1)은 모든 경우에 유효합니다. ㅏ 그리고 비 (양수와 음수 모두).
예: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.
3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15
공식 (1)은 근을 계산할 때, 근호 표현이 정확한 제곱의 곱으로 표현될 때 사용하는 데 유용합니다. 예를 들어,
√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.
우리는 식 (1)의 좌변에 있는 근호가 두 양수의 곱인 경우에 대해 정리 1을 증명했습니다. 사실, 이 정리는 모든 긍정적인 요인, 즉 모든 자연 요인에 대해 적용됩니다. 케이 > 2:
결과.이 항등식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 동일한 지수로 근을 곱하는 다음 규칙을 얻습니다.
동일한 지표로 근을 곱하려면 근수 표현을 곱하고 근 지표를 동일하게 유지하는 것으로 충분합니다.
예를 들어 √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12입니다.
정리 2. 뿌리 피분자와 분모가 양수인 분수의 제곱은 분자의 동일한 거듭제곱근을 분모의 동일한 거듭제곱근으로 나눈 몫과 같습니다., 즉, 언제 ㅏ > 0 및 비 > 0
(2)
평등함을 증명한다는 것은 (2) 다음을 증명한다는 뜻이다.
분수를 거듭제곱하고 근을 결정하는 규칙에 따르면 N - 우리가 가지고 있는 학위:
따라서 정리가 입증되었습니다.
요구 사항 ㅏ > 0 및 비 > 0은 짝수인 경우에만 중요합니다. 피 . 만약에 피 홀수이면 공식 (2)도 마찬가지입니다. 음수 값 ㅏ 그리고 비 .
결과.정체성 읽기 오른쪽에서 왼쪽으로, 동일한 지수로 근을 나누는 데 다음과 같은 규칙을 얻습니다.
동일한 지표로 근을 분리하려면 근수 표현을 분리하고 근 지표를 동일하게 유지하는 것으로 충분합니다.
예를 들어,
수업 과정
554. 정리 1의 증명 중 어느 시점에서 우리는 다음 사실을 사용했습니까? ㅏ 그리고 비 긍정적인가요?
왜 이상한가요? 피 공식 (1)은 음수에도 적용됩니다. ㅏ 그리고 비 ?
어떤 가치에서 엑스 평등 데이터가 정확합니다(No. 555-560):
555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .
556. 4 √ (엑스 - 2) (8 - 엑스 ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - 엑스
557. 3 √ (엑스 + 1) (엑스 - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .
558. √ 엑스 (엑스 + 1) (엑스 + 2) = √ 엑스 √ (엑스 + 1) √ (엑스 + 2)
559. √ (x-a ) 3 = (√ x-a ) 3 .
560. 3 √ (엑스 - 5) 2 = (3 √ 엑스 - 5 ) 2 .
561. 계산하다:
ㅏ) √ 173 2 - 52 2; V) √ 200 2 - 56 2 ;
비) √ 373 2 - 252 2; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .
562.V 정삼각형빗변은 205cm이고, 다리 중 하나는 84cm입니다.
563. 몇 번이나:
555. 엑스 > 3. 556. 2 < 엑스 < 8. 557. 엑스 - 임의의 숫자. 558. 엑스 > 0. 559. 엑스 > ㅏ . 560. 엑스 - 임의의 숫자. 563. a) 세 번.
