면적 측정에서 평면은 주요 수치 중 하나이므로 평면을 명확하게 이해하는 것이 매우 중요합니다. 이 기사는 이 주제를 다루기 위해 작성되었습니다. 먼저 평면의 개념과 그래픽 표현이 제공되고 평면의 명칭이 표시됩니다. 다음으로 평면은 점, 직선 또는 다른 평면과 함께 고려되며 공간에서의 상대적 위치에서 옵션이 발생합니다. 기사의 두 번째, 세 번째, 네 번째 단락에서는 두 평면, 직선과 평면, 점과 평면의 상대 위치에 대한 모든 옵션이 분석되고 기본 공리와 그래픽 일러스트레이션이 제공됩니다. 결론적으로 공간에서 평면을 정의하는 주요 방법이 제공됩니다.

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평면 - 기본 개념, 기호 및 이미지.

가장 간단하고 기본적인 기하학적 모양 V 3차원 공간점, 선, 평면이다. 우리는 이미 평면 위의 점과 선에 대한 아이디어를 갖고 있습니다. 3차원 공간에 점과 선이 그려지는 평면을 놓으면 공간에 점과 선이 생깁니다. 공간에 평면이 있다는 아이디어를 통해 예를 들어 테이블이나 벽의 표면을 얻을 수 있습니다. 그러나 테이블이나 벽은 유한한 크기를 가지며 평면은 경계를 넘어 무한대로 확장됩니다.

공간의 점과 선은 평면에서와 동일한 방식으로 각각 크고 작은 라틴 문자로 지정됩니다. 예를 들어 점 A와 Q, 선 a와 d입니다. 선 위에 두 개의 점이 주어지면 선은 이 점에 해당하는 두 글자로 표시될 수 있습니다. 예를 들어 직선 AB 또는 BA는 점 A와 B를 통과합니다. 비행기는 일반적으로 비행기 또는와 같은 작은 그리스 문자로 표시됩니다.

문제를 해결하려면 도면에 평면을 묘사하는 것이 필요합니다. 평면은 일반적으로 평행사변형 또는 임의의 단순 폐쇄 영역으로 표시됩니다.

평면은 일반적으로 점, 직선 또는 기타 평면과 함께 고려되며 상대적 위치에 대한 다양한 옵션이 발생합니다. 설명으로 넘어 갑시다.

평면과 점의 상대적 위치입니다.

공리부터 시작해 보겠습니다. 모든 평면에는 점이 있습니다. 여기에서 평면과 점의 상대 위치에 대한 첫 번째 옵션이 이어집니다. 점은 평면에 속할 수 있습니다. 즉, 비행기는 한 점을 통과할 수 있습니다. 점이 평면에 속한다는 것을 나타내기 위해 기호 ""가 사용됩니다. 예를 들어 비행기가 A점을 통과한다면 간단히 이라고 쓸 수 있습니다.

공간의 주어진 평면에는 무한히 많은 점이 있다는 것을 이해해야 합니다.

다음 공리는 특정 평면을 정의하기 위해 공간에서 몇 개의 점을 표시해야 하는지 보여줍니다. 동일한 선에 있지 않은 세 점을 통해 평면은 통과하고 하나만 통과합니다. 평면에 있는 세 개의 점을 알고 있으면 이 점에 해당하는 세 개의 문자로 평면을 표시할 수 있습니다. 예를 들어, 비행기가 A, B, C 지점을 통과하면 ABC로 지정될 수 있습니다.

평면과 점의 상대적 위치에 대한 두 번째 버전을 제공하는 또 다른 공리를 공식화해 보겠습니다. 동일한 평면에 있지 않은 점이 4개 이상 있습니다. 따라서 공간의 한 점이 평면에 속하지 않을 수도 있습니다. 실제로, 이전 공리 덕분에 평면은 공간의 세 점을 통과하며 네 번째 점이 이 평면에 있을 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 간략하게 작성할 때는 "속하지 않는다"라는 문구와 동일한 ""기호를 사용합니다.

예를 들어, 점 A가 평면에 있지 않으면 짧은 표기법을 사용합니다.

우주의 직선과 평면.

첫째, 직선은 평면 위에 놓일 수 있습니다. 이 경우 이 선의 최소 두 점이 평면에 있습니다. 이것은 공리에 의해 확립됩니다: 선의 두 점이 평면에 있으면 이 선의 모든 점이 평면에 있습니다. 특정 평면에 대한 특정 선의 소속을 간략하게 기록하려면 "" 기호를 사용하십시오. 예를 들어, 이 표기법은 직선 a가 평면 위에 있다는 것을 의미합니다.

둘째, 직선은 평면과 교차할 수 있습니다. 이 경우 직선과 평면은 하나의 공통점을 가지며, 이를 직선과 평면의 교점이라고 합니다. 간략하게 작성할 때에는 "" 기호로 교차점을 표시합니다. 예를 들어, 표기법은 직선 a가 점 M에서 평면과 교차한다는 것을 의미합니다. 평면이 특정 직선과 교차하면 직선과 평면 사이의 각도 개념이 발생합니다.

별도로, 평면과 교차하고 이 평면에 있는 직선에 수직인 직선에 초점을 맞추는 것이 좋습니다. 이러한 선을 평면에 수직이라고 합니다. 직각도를 간략하게 기록하려면 "" 기호를 사용하십시오. 재료에 대한 보다 심층적인 연구를 위해서는 직선과 평면의 수직성 기사를 참조할 수 있습니다.

평면과 관련된 문제를 해결할 때 특히 중요한 것은 소위 평면의 법선 벡터입니다. 평면의 법선 벡터는 이 평면에 수직인 선 위에 있는 0이 아닌 벡터입니다.

셋째, 직선은 평면과 평행할 수 있습니다. 즉, 공통점이 없을 수 있습니다. 동시성을 간략하게 작성할 때에는 “” 기호를 사용합니다. 예를 들어 선 a가 평면과 평행하면 이라고 쓸 수 있습니다. 선과 평면의 평행성 기사를 참조하여 이 사례를 더 자세히 연구하는 것이 좋습니다.

평면에 놓인 직선은 이 평면을 두 개의 반평면으로 나눈다고 해야 합니다. 이 경우의 직선을 반평면의 경계라고 합니다. 동일한 반평면의 두 점은 선의 같은 쪽에 있고, 서로 다른 반평면의 두 점은 경계선의 반대쪽에 있습니다.

비행기의 상호 배열.

우주의 두 평면은 일치할 수 있습니다. 이 경우에는 적어도 세 가지 공통점이 있습니다.

우주의 두 평면은 교차할 수 있습니다. 두 평면의 교차점은 공리에 의해 설정된 직선입니다. 두 평면에 공통점이 있으면 두 평면의 모든 공통점이 있는 공통 직선이 있습니다.

이 경우 교차 평면 사이의 각도 개념이 발생합니다. 특히 흥미로운 점은 평면 사이의 각도가 90도인 경우입니다. 이러한 평면을 수직이라고 합니다. 우리는 평면의 수직성 기사에서 이에 대해 이야기했습니다.

마지막으로, 공간의 두 평면은 평행할 수 있습니다. 즉, 공통점이 없습니다. 평면의 상대적 배열에 대한 이 옵션을 완전히 이해하려면 평면의 평행성 기사를 읽는 것이 좋습니다.

평면을 정의하는 방법.

이제 공간에서 특정 평면을 정의하는 주요 방법을 나열하겠습니다.

첫째, 동일한 직선 위에 있지 않은 공간의 세 점을 고정하여 평면을 정의할 수 있습니다. 이 방법은 동일한 선상에 있지 않은 세 점을 통과하면 단일 평면이 있다는 공리를 기반으로 합니다.

평면이 3차원 공간에 고정되어 있고 동일한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점의 좌표를 표시하면 주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 쓸 수 있습니다.

평면을 정의하는 다음 두 가지 방법은 이전 방법의 결과입니다. 이는 세 점을 통과하는 평면에 대한 공리의 결과에 기초합니다.

• 평면은 선과 그 위에 있지 않은 점을 통과하며 단 하나만 통과합니다(선과 점을 통과하는 평면의 기사 방정식 참조).
• 두 개의 교차 선을 통과하는 평면은 단 하나뿐입니다. 기사의 자료인 두 개의 교차 선을 통과하는 평면의 방정식을 읽는 것이 좋습니다.

공간에서 평면을 정의하는 네 번째 방법은 평행선을 정의하는 것입니다. 공간의 두 선이 동일한 평면에 있고 교차하지 않는 경우 평행이라고 함을 기억하세요. 따라서 공간에 두 개의 평행선을 표시함으로써 이 선이 있는 유일한 평면을 결정할 수 있습니다.

평면이 직사각형 좌표계를 기준으로 3차원 공간에 표시된 방식으로 주어지면 두 개의 평행선을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만들 수 있습니다.

알아요 고등학교기하학 수업에서는 다음 정리가 입증되었습니다. 공간의 고정점을 통해 주어진 선에 수직인 단일 평면이 통과합니다. 따라서 평면이 통과하는 점과 이에 수직인 선을 지정하면 평면을 정의할 수 있습니다.

직각 좌표계가 3차원 공간에 고정되어 있고 평면이 표시된 방식으로 지정되면 주어진 직선에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 구성하는 것이 가능합니다.

평면에 수직인 선 대신 이 평면의 법선 벡터 중 하나를 지정할 수 있습니다. 이 경우에는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

데프. 공간의 두 평면은 교차하지 않으면 평행하다고 하고, 그렇지 않으면 교차합니다.

정리1: 한 평면의 두 교차선이 다른 평면의 두 선과 각각 평행하면 두 평면은 평행합니다.

증거:

평면이 주어지면 a1과 a2는 점 A에서 교차하는 평면의 선이고 b1과 b2는 각각 평행한 선이라고 가정합니다.

비행기. 평면이 평행하지 않다고 가정해 보겠습니다. 직선을 따라 교차한다. c. 정리에 따르면 선 a1과 a2는 선 b1과 b2에 평행하므로 평면에 평행하지 않습니다.

이 평면에 있는 직선 c와 교차합니다. 따라서 평면에서 두 직선(a1과 a2)이 점 A를 통과하고 직선 c와 평행하게 지나갑니다. 그러나 이것은 평행공리(parallel axiom)에 따르면 불가능하다. 우리는 CTD의 모순에 도달했습니다.

수직 평면: 두 평면의 교차선에 수직인 세 번째 평면이 수직선을 따라 교차하는 경우 두 개의 교차 평면을 수직이라고 합니다.

정리2: 평면이 다른 평면에 수직인 선을 통과하면 이 평면은 수직입니다.

증거:

수직인 선을 갖는 평면, 선 b를 통과하는 평면, c를 평면과 교차하는 직선이라고 가정합니다. 평면과 가 수직임을 증명해 보겠습니다. 선 b와 평면의 교차점을 통해 평면에 선 a를 그리자.

직선에 수직 c. 직선 a를 통해 평면에 그려 봅시다. 직선 c에 수직이므로 선 c는 선 a 및 b에 수직입니다. 선 a와 b가 수직이므로 평면도 수직입니다. 등.

42. 법선평면방정식과 그 성질

정규(정규화된) 평면 방정식

벡터 형식:

여기서 단위 벡터는 원점으로부터 P.의 거리입니다. 방정식 (2)는 방정식 (1)에 정규화 인자를 곱하여 얻을 수 있습니다.

(기호와 반대입니다).

43. 공간의 직선 방정식: 일반 방정식, 표준 및 매개변수 방정식.

표준 방정식:

지나는 직선의 방정식을 유도해보자 이 점그리고 이 방향 벡터와 평행합니다. 벡터가 동일 선상에 있는 경우에만 점이 이 선 위에 놓이게 됩니다. 이는 이러한 벡터의 좌표가 비례한다는 것을 의미합니다.

이러한 방정식을 표준이라고 합니다. 방향 벡터의 하나 또는 두 개의 좌표는 0과 같을 수 있습니다. 그러나 우리는 그것을 비율로 인식합니다. 우리는 그것을 평등으로 이해합니다.

일반 방정식:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

계수 A1-C1이 A2-C2에 비례하지 않는 경우 이는 평면의 교차선으로 지정하는 것과 같습니다.

파라메트릭:

방향 벡터와 동일선상에 있는 다양한 값에 대해 한 점에서 벡터를 연기함으로써 우리는 연기된 벡터의 끝에서 선의 다양한 점을 얻을 수 있습니다. 평등으로부터 다음과 같습니다:

가변 수량을 매개변수라고 합니다. 선의 모든 점에 대해 해당 매개변수 값이 있고 매개변수의 서로 다른 값이 선의 서로 다른 점에 해당하므로 매개변수 값과 선의 점 사이에는 일대일 대응이 있습니다. . 매개변수가 에서 까지 모든 실수를 통과할 때 해당 점이 전체 라인을 통과합니다.

44. 선형 공간의 개념. 공리. 선형 공간의 예

선형 공간의 예는 모든 기하학적 벡터의 집합입니다.

선의, 또는 벡터공간들판 위에 피- 비어 있지 않은 세트입니다. 엘, 작업이 입력되는

즉, 집합의 각 요소 쌍은 동일한 집합의 요소와 연관되어 표시됩니다.

스칼라로 곱하기(즉, 필드 요소 피), 즉 모든 요소와 모든 요소는 지정된 요소와 연결됩니다.

이 경우 작업에는 다음 조건이 적용됩니다.

어떠한 것도 ( 덧셈의 ​​교환성);

어떠한 것도 ( 추가 연관성);

다음과 같은 요소가 있습니다. ( 추가와 관련하여 중립 요소의 존재) 특히 엘비어 있지 않음;

어떤 경우에도 다음과 같은 요소가 있습니다. (반대 요소의 존재).

(스칼라에 의한 곱셈의 연관성);

(중립(곱셈에 의한) 필드 요소에 의한 곱셈피벡터를 저장합니다).

(스칼라 추가에 대한 벡터 곱셈의 분포성);

(벡터 덧셈에 대한 스칼라 곱셈의 분포성).

세트의 요소 엘~라고 불리는 벡터및 필드 요소 피-스칼라. 속성 1-4는 Abelian 그룹의 공리와 일치합니다.

가장 간단한 속성

벡터 공간은 덧셈에 의한 아벨군입니다.

중립 요소는 그룹 속성을 따르는 유일한 요소입니다.

누구에게나 .

어떤 경우든 반대 요소는 그룹 속성에서 따르는 유일한 요소입니다.

누구에게나 .

모든 및.

누구에게나 .

선형 공간의 요소를 벡터라고 합니다. 벡터에 숫자를 곱하는 연산이 실수에 대해서만 정의된 경우 공간을 실수라고 하고, 이 연산이 복소수에 대해서만 정의된 경우 복소수라고 합니다.

45. 선형 공간의 기초와 차원, 그들 사이의 연결.

양식의 최종 합계

요소와 계수의 선형 조합이라고 합니다.

계수 중 하나 이상이 0과 다른 경우 선형 결합을 중요하지 않다고 합니다.

θ와 동일한 중요한 선형 조합이 있는 경우 요소를 선형 종속이라고 합니다. 그렇지 않으면 이러한 요소를 선형 독립이라고 합니다.

L의 벡터의 무한 부분 집합의 일부 유한 부분 집합이 선형 종속이면 선형 종속이라고 하고, 유한 부분 집합 중 하나라도 선형 독립이면 선형 독립이라고 합니다.

공간의 최대 선형 독립 부분 집합의 요소 수(카디널리티)는 이 부분 집합의 선택에 의존하지 않으며 공간의 순위 또는 차원이라고 하며 이 부분 집합 자체를 기저(하멜 기저 또는 하멜 기저 또는 차원)라고 합니다. 선형 기준). 기본 요소는 기본 벡터라고도 합니다. 기초 속성:

n차원 공간의 모든 n개의 선형 독립 요소는 이 공간의 기초를 형성합니다.

모든 벡터는 기본 요소의 유한 선형 조합으로 (고유하게) 표현될 수 있습니다.

46. ​​​​주어진 기준에 따른 벡터 좌표. 좌표 형식의 벡터를 사용한 선형 연산

4항. 벡터를 사용한 선형 연산동등 어구형태기록.

공간의 기초가 되고 두 개의 임의의 벡터가 됩니다. 이들 벡터를 좌표 형태로 기록하도록 합시다. 더 나아가 임의의 실수라고 하자. 이 표기법을 사용하면 다음 정리가 성립됩니다.

정리. (좌표 형태의 벡터를 사용한 선형 연산에 대해)

Ln을 임의의 n차원 공간으로 두고, B = (e1,....,en)은 고정된 기저입니다. 그러면 Ln에 속하는 모든 벡터 x는 이 기준에서 좌표 열과 일대일 대응을 갖습니다.

공간의 두 평면은 서로 평행하거나 교차할 수 있습니다.

평행면. 숫자 표시가 있는 투영에서 평면의 평행도 표시는 수평선의 평행도, 고도의 동일성, 평면 입사 방향의 일치(정사각형)입니다. 에스 || pl. 엘- 시간에스 || 시간엘, 엘에스= 엘엘, 패드. I. (그림 3.11).

지질학에서는 하나 또는 다른 암석으로 구성된 편평하고 균질한 몸체를 층이라고 합니다. 레이어는 두 개의 표면으로 제한됩니다. 그 중 위쪽은 지붕이라고 부르고 아래쪽은 밑창이라고 합니다. 레이어가 상대적으로 작은 범위로 고려되면 지붕과 바닥은 평면과 동일하며 공간에서 얻습니다. 기하학적 모델두 개의 평행한 경사면.

평면 S는 지붕이고 평면 L은 레이어의 바닥입니다(그림 3.12, ㅏ). 지질학에서는 지붕과 기초 사이의 가장 짧은 거리를 다음과 같이 부릅니다. 진정한 힘 (그림 3.12에서, ㅏ실제 전력은 문자 H로 표시됩니다. 실제 두께 외에도 암석층의 다른 매개변수(수직 두께 - H in, 수평 두께 - L, 가시 두께 - H 보기)가 지질학에 사용됩니다. 수직 전력 지질학에서는 수직으로 측정하여 지붕에서 지층 바닥까지의 거리를 말합니다. 수평 전력 층은 수평 방향으로 측정된 지붕과 베이스 사이의 최단 거리입니다. 피상전력 – 지붕의 눈에 보이는 낙하와 밑창 사이의 최단 거리(눈에 보이는 낙하는 구조 평면의 직선 방향, 즉 평면에 속하는 직선입니다). 따라서 피상 전력은 항상 실제 전력보다 큽니다. 수평으로 발생하는 레이어의 경우 실제 두께, 수직 두께, 가시 두께가 일치한다는 점에 유의해야 합니다.

주어진 거리에서 서로 이격된 평행 평면 S와 L을 구성하는 기술을 고려해 봅시다(그림 3.12, 비).

선을 교차하여 계획에 중그리고 N평면 S가 주어지면 평면 S와 평행하고 12m 거리에 평면 L을 구성해야 합니다(즉, 실제 두께는 H = 12m입니다). L 평면은 S 평면 아래에 위치합니다(S 평면은 레이어의 지붕, L 평면은 바닥).

1) 평면 S는 등고선 투영에 의해 평면상에 정의됩니다.

2) 퇴적물의 규모에 따라 평면 S -의 입사선을 그리십시오. 유에스. 선에 수직 유 S는 12m(층 H의 실제 두께)의 주어진 거리를 따로 설정합니다. 평면 S의 입사선 아래에 평행하게 평면 L의 입사선을 그립니다. 유엘. 두 평면의 수평 방향 입사선 사이의 거리, 즉 층 L의 수평 두께를 결정합니다.

3) 수평적인 힘을 평면에서 따로 떼어놓는다 시간 S, 평행하게 동일한 숫자 표시를 사용하여 평면 L의 수평선을 그립니다. 시간엘. L 평면이 S 평면 아래에 위치하는 경우 수평 전원은 S 평면이 올라가는 방향으로 배치되어야 합니다.

4) 두 평면의 평행도 조건에 따라 L 평면의 수평면을 평면상에 그린다.

교차 평면. 두 평면의 교차점의 표시는 일반적으로 평면상의 수평선 투영의 평행성입니다. 이 경우 두 평면의 교차선은 동일한 이름(동일한 숫자 표시가 있음) 윤곽의 두 쌍의 교차점에 의해 결정됩니다(그림 3.13). . 결과 점 N과 M을 직선으로 연결하여 중, 원하는 교차선의 투영을 결정합니다. 평면 S(A, B, C) 및 L(mn)이 계획에서 수평이 아닌 것으로 지정된 경우 교차선을 구성하려면 티동일한 숫자 표시가 있는 두 쌍의 수평선을 구성해야 하며, 교차점에서 원하는 선의 점 R과 F의 투영을 결정합니다. 티(그림 3.14). 그림 3.15는 두 개가 교차하는 경우를 보여줍니다.

수평면 S와 L은 평행합니다. 이러한 평면의 교차선은 수평 직선이 됩니다. 시간. 이 선에 속하는 점 A를 찾으려면 평면 S와 L과 교차하는 임의의 보조 평면 T를 그립니다. T 평면은 직선을 따라 S 평면과 교차합니다. ㅏ(C 1 D 2), 평면 L은 직선입니다 비(K1L2).

교차점 ㅏ그리고 비는 각각 평면 S와 L에 속하며 다음 평면에 공통됩니다. =A. 점 A의 고도는 직선을 보간하여 결정할 수 있습니다. ㅏ그리고 비. A를 통해 수평선을 그리는 것이 남아 있습니다. 시간 2.9는 평면 S와 L의 교차선입니다.

경사면 S와 수직면 T의 교차선을 구성하는 또 다른 예 (그림 3.16)를 고려해 보겠습니다. 원하는 직선 중수평선이 만나는 점 A와 B에 의해 결정됩니다. 시간 3 및 시간 4개의 평면 S가 수직 평면 T와 교차합니다. 도면에서 교차선의 투영이 수직 평면의 투영과 일치하는 것을 볼 수 있습니다. 중º T. 지질 탐사 문제를 해결할 때 수직면이 있는 하나 또는 평면(표면) 그룹의 섹션을 섹션이라고 합니다. 고려중인 예에서 구성된 선의 추가 수직 투영 중주어진 방향으로 평면 T에 의해 만들어진 절단의 프로파일이라고 합니다.

제5강. 선과 면의 상호 배치

1. 두 평면의 상대적인 위치

두 평면의 경우 상호 배열을 위해 다음과 같은 옵션이 가능합니다. 평행하거나 직선으로 교차합니다.

스테레오메트리로부터 한 평면의 두 교차선이 다른 평면의 두 교차선과 상응하게 평행하면 두 평면이 평행하다는 것이 알려져 있습니다. 이 조건을 평면의 평행성의 표시.

두 평면이 평행하면 평행선을 따라 세 번째 평면과 교차합니다. 이를 바탕으로 평행면 아르 자형그리고 큐그 흔적은 평행한 직선이다(그림 50).

비행기가 2개인 경우 아르 자형그리고 큐축에 평행 엑스, 임의의 수평 및 정면 흔적 상대 위치평면은 x축과 평행합니다. 즉, 서로 평행합니다. 결과적으로 이러한 조건에서 트레이스의 평행성은 평면 자체의 평행성을 특징짓는 충분한 신호입니다. 이러한 평면이 평행하도록 하려면 해당 평면 추적도 평행한지 확인해야 합니다. 피승과 큐 w. 비행기 아르 자형그리고 큐그림 51에서는 평행하지만 그림 52에서는 평행하지 않습니다. 피 v || 큐 v 및 피안녕 || 큐시간.

평면이 평행한 경우 한 평면의 수평은 다른 평면의 수평과 평행합니다. 한 평면의 앞면은 다른 평면의 앞면과 평행해야 합니다. 왜냐하면 이 평면에는 동일한 이름의 평행 트랙이 있기 때문입니다.

서로 교차하는 두 평면을 구성하려면 두 평면이 교차하는 직선을 찾아야 합니다. 이 선을 구성하려면 해당 선에 속하는 두 점을 찾는 것으로 충분합니다.

때로는 평면이 트레이스로 제공될 때 추가 구성 없이 다이어그램을 사용하여 이러한 점을 쉽게 찾을 수 있습니다. 여기에서는 결정되는 선의 방향이 알려져 있으며 그 구성은 다이어그램의 한 점을 사용하는 것을 기반으로 합니다.

특정 평면을 기준으로 직선의 위치가 여러 개 있을 수 있습니다.

선과 평면 사이의 평행성의 부호를 생각해 봅시다. 직선은 평면과 평행, 이 평면에 있는 임의의 선과 평행할 때. 그림 53에는 직선이 있습니다. AB평면과 평행 아르 자형, 선과 평행하기 때문에 미네소타, 이 평면에 있습니다.

선이 평면과 평행할 때 아르 자형, 이 평면에서 임의의 점을 통과하여 주어진 선에 평행한 선을 그릴 수 있습니다. 예를 들어, 그림 53에서 직선 AB평면과 평행 아르 자형. 포인트를 통해서라면 중, 비행기에 속함 아르 자형, 직선을 그어라 N.M., 평행한 AB, 그러면 비행기 안에 있을 거예요 아르 자형. 같은 그림에서 직선 CD평면과 평행하지 않음 아르 자형, 왜냐면 직선이니까 KL, 이는 평행하다 CD그리고 그 지점을 지나 에게표면에 아르 자형, 이 평면에 있지 않습니다.

선과 평면의 교점을 찾으려면 두 평면의 교점을 구성해야 합니다. 직선 I와 평면 P를 고려하십시오(그림 54).

평면의 교차점 구성을 고려해 봅시다.

직선 I를 통해 보조 평면을 그리는 것이 필요합니다 큐(투영). 라인 II는 평면의 교차점으로 정의됩니다. 아르 자형그리고 큐. 건설해야 할 점 K는 선 I과 II의 교차점에 위치합니다. 이 시점에서 직선은 평면과 교차합니다 아르 자형.

이번 구성에서 해결방안의 핵심은 보조평면을 그리는 것이다. 큐이 노선을 통과합니다. 일반 위치에 보조 평면을 그릴 수 있습니다. 그러나 이 직선을 사용하여 다이어그램에 투영 평면을 표시하는 것은 일반적인 위치 평면을 그리는 것보다 쉽습니다. 이 경우 투영 평면은 모든 직선을 통해 그릴 수 있습니다. 이를 기반으로 보조 평면이 투영 평면으로 선택됩니다.

원래 선에 수직인 평면에서 교차하는 두 선을 찾을 수 있으면 선과 평면이 수직입니다. 한 쌍의 제어선으로 평면 트레이스를 고려하는 것이 가장 쉽습니다. 피손 피 v (그림 55). 이는 평면에 대한 수직선과 추적 사이의 직각이 피 h는 왜곡 없이 수평면에 투영을 제공하고 수직선과 트레이스 사이의 각도를 제공합니다. 아르 자형 v는 정면 평면에 투영됩니다. V.

따라서 직각도의 부호는 다이어그램의 직선과 평면을 사용하여 설정할 수 있습니다.

직선의 투영이 평면 위의 같은 이름의 흔적에 수직일 때 직선은 평면에 수직입니다.

질문 7.

공간의 두 평면은 서로 평행할 수 있으며, 특별한 경우에는 서로 일치하거나 교차할 수 있습니다. 상호 직교하는 평면은 교차하는 평면의 특별한 경우이며 아래에서 설명합니다.

평행 평면.한 평면의 두 교차선이 다른 평면의 두 교차선과 각각 평행하면 평면이 평행합니다. 다양한 문제를 풀 때 주어진 점 A를 지나서 주어진 평면 α에 평행한 평면 β를 그려야 하는 경우가 종종 있습니다.

그림에서. 81 평면 α는 두 개의 교차 선 a와 b로 정의됩니다. 필요한 평면 β는 각각 a와 b에 평행하고 주어진 점 A1을 통과하는 직선 a1과 b1으로 정의됩니다.

교차 평면.두 평면의 교차선은 두 평면에 공통된 두 점 또는 한 점과 평면의 교차선 방향을 결정하는 데 충분한 직선입니다.

두 평면의 교차선 구성을 고려하기 전에 중요하고 보조적인 문제를 분석하겠습니다. 투영 평면과 일반 선의 교차점 K를 찾습니다.

예를 들어 직선 a와 수평으로 투영하는 평면 α(그림 82)가 있다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 원하는 점의 수평 투영 K1은 평면 α의 수평 투영 α1과 직선 a의 수평 투영 a1에 동시에 있어야 합니다. a1과 α1의 교차점에서(그림 83) 점 K의 정면 투영 K2는 투영 연결선과 직선 a의 정면 투영 a2에 위치합니다.

이제 평면 중 하나가 투영되는 교차 평면의 특별한 경우 중 하나를 살펴보겠습니다.

그림에서. 도 84는 삼각형 ABC와 수평 투영 평면 α에 의해 정의된 일반적인 위치 평면을 도시한다. 이 두 평면의 두 가지 공통점을 찾아보겠습니다. 분명히 평면 ΔABC와 α에 대한 이러한 공통점은 투영 평면 α와 삼각형 ABC의 변 AB와 BC의 교차점이 될 것입니다. 공간 도면(그림 84)과 다이어그램(그림 85) 모두에서 이러한 점 D와 E를 구성하는 것은 위에서 설명한 예 이후에는 어려움을 일으키지 않습니다.

점 D와 E의 동일한 투영을 연결함으로써 평면 Δ ABC와 평면 α의 교차선 투영을 얻습니다.

따라서 주어진 평면의 교차선의 수평 투영 D1E1은 수평 추적 α1을 사용하여 투영 평면 α의 수평 투영과 일치합니다.

이제 고려해 봅시다 일반적인 경우. 두 개의 일반 평면 α와 β가 공간에 주어져 있다고 가정합니다(그림 86). 교차선을 구성하려면 위에서 언급한 것처럼 두 평면에 공통된 두 점을 찾아야 합니다.

이러한 점을 결정하기 위해 주어진 평면은 두 개의 보조 평면과 교차됩니다. 투영 평면, 특히 수평 평면을 그러한 평면으로 사용하는 것이 더 편리합니다. 그림에서. 도 86에서, 레벨 γ의 첫 번째 보조 평면은 평면 α 및 β에 공통인 점 1을 정의하는 수평 h 및 h1을 따라 이들 평면 각각과 교차합니다. 이 점은 보조 평면 δ가 이들 평면 각각과 교차하는 수평선 h2와 h3의 교차점에 의해 결정됩니다.