Addering av vanliga bråkuppgift. Addera och subtrahera bråk. Subtrahera bråk med lika nämnare

Lektionens mål:

Främja utvecklingen av färdigheter i att jämföra bråk,
Addera och subtrahera bråk med olika nämnare,
Förstärk kunskapen om att hitta den minsta gemensamma multipeln av tal.

Idag på lektionen fortsätter vi att arbeta med ämnet "Att lägga till och subtrahera bråk med olika nämnare."

Detta är vår andra lektion i ämnet, du kommer att ställas inför mål:

Om vi i den första lektionen behandlade bråk vars nämnare är ömsesidigt primtal eller multipler av varandra, blir vår uppgift idag mer komplicerad; för vissa fall måste vi hitta en gemensam nämnare genom att dela upp nämnare i primtalsfaktorer enligt regeln för hitta LCM.

I slutet av lektionen bör du vara väl medveten om regeln:

hur man lägger till bråk med olika nämnare och kan tillämpa denna regel vid problemlösning.

Efter 3 lektioner blir det ett test, där det kommer att finnas uppgifter som kontrollerar hur du behärskar ämnet. På provarbete Det kommer att finnas två uppgifter om vårt ämne: den tredje uppgiften - att lägga till och subtrahera bråk med olika nämnare och den fjärde uppgiften: att lösa ett problem med att tillämpa regeln. Så idag arbetar vi med uppgifter för standarden.

1. a) Låt oss arbeta muntligt.

42	48	6
36	54	12
30	24	18

Titta noga på den här rektangeln och försök komma ihåg siffrornas placering, kanske kommer du att märka något slags mönster.

Försök nu att återställa dessa siffror i utkastet.

Vem kom ihåg vilka siffror?

Hur kunde du komma ihåg platsen för dessa nummer väl?

(Siffror som är multiplar av 6 är ordnade i stigande medurs ordning, med början från den övre högra rektangeln)

Låt oss upprepa jämförelsen av bråk med olika nämnare och med lika täljare.

Jämför följande fraktioner: ; .

Ordna dem i stigande ordning.

b) Titta noga på följande nummerserie:

16, 10, 8, , 2007, 1961.

Hur många siffror finns det totalt?

Hur många jämna tal? Namnge dem.

Namnge det tredje numret.

Andra siffran från slutet.

Tresiffrigt nummer.

Ett tal som är en multipel av 5.

Multipel av 10

Multipel av 3.

Multipel av 9. Varför är talet 1961 känt?

Vilket nummer skiljer sig från resten, det vill säga passar inte in i talserien?

Är denna bråkdel korrekt eller felaktig?

Reducerbar eller irreducerbar?

Minska denna fraktion.

2. Kontrollera läxor.

Hur jämför man två bråk med olika nämnare?

Hur adderar man bråk med olika nämnare?

Hur subtraherar man bråk med olika nämnare?

Har du frågor om läxor? Kontrollera för rad efter lärare.

3. Arbeta med regeln enligt läroboken efter felaktiga elevsvar.

I matematik kan man inte hoppa över ett enda ord i vissa regler. Den gemensamma nämnaren och den minsta gemensamma nämnaren är inte alltid lika.

Lyssna på liknelsen om en borgmästare.

När det ännu inte fanns någon elektricitet älskade borgmästaren i en stad att gå längs stadens gator på kvällen. En dag stötte han på en stadsman och en klump dök upp i hans panna. Nästa dag utfärdade han ett dekret: "I mörkret, gå ut på gatan med en lykta." Och på kvällen stötte samma stadsman på honom. Borgmästaren bad honom om en lykta.

"Här", sa den förbipasserande.

Var är ljuset? – frågade borgmästaren.

"Men dekretet säger inte att det ska finnas ett ljus i lyktan," svarade han.

Borgmästaren utfärdade ett andra dekret: "I mörkret, gå ut med en lykta och ett ljus."

På den tredje dagen upprepade sig historien.

Borgmästaren har redan tappat humöret.

Vad tror du att den förbipasserande svarade till borgmästaren?

Beställningen säger inte att lyktljuset ska tändas.

Borgmästaren var tvungen att utfärda dekretet en tredje gång, först efter det lämnade den förbipasserande honom ensam.

Vår uppgift är att känna till regeln väl och kunna tillämpa den. Jag upprepar ännu en gång, vi arbetar med en standard.

4. Göra övningar.

Lös följande exempel på tavlan efter önskemål.

Du löste exempel där nämnarna är ömsesidiga primtal och när den större nämnaren är en multipel av den mindre.

I den här lektionen kommer vi att lösa mer komplexa problem med att addera och subtrahera bråk med olika nämnare.

Skriv ner uppgiften:

Om en elev löser det som vi gjorde, betyder det att han vet hur man hittar LCM för två tal och vet hur man isolerar hela delen från ett oegentligt bråktal, och vet att nämnarna inte är coprimtal.

Och om en elev hittar en gemensam nämnare genom att multiplicera nämnarna visar han okunskap om att hitta LCM, det vill säga reglerna: hur bråk med olika nämnare adderas. Därför, först och främst, om nämnarna inte är coprimtal och inte är multipler av varandra, måste vi hitta nämnarnas LCM.

De tal som ska lösas i klassen skrivs på tavlan: 309 d – i, 328, 340 (upprepning)

d) ; uppträdde på styrelsen,

e) ; upprepade minskningen av fraktioner, denna uppgift är på testet, den kontrollerar assimileringen av standarden.

och) (på egen hand)

h) ; vi finner LCM(21.15) = 3*7*5 =105.

6. Lös problem nr 327 själv.

7. Upprepning av tidigare studerat material. nr 340.

Minska fraktioner:

Det finns också en minskning av fraktioner i testet, detta är en standarduppgift.

8. Lektionssammanfattning.

a) Hur adderar och subtraherar man bråk med olika nämnare?
b) Göra märken.
c) Hemuppgifter: punkt 11,

Lektionens innehåll

Addera bråk med lika nämnare

Det finns två typer av addition av fraktioner:

Addera bråk med liknande nämnare;
Addera bråk med olika nämnare.

Låt oss först studera additionen av bråk med lika nämnare. Allt är enkelt här. För att lägga till bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och lämna nämnaren oförändrad.

Låt oss till exempel lägga till bråken och . Lägg till täljare och lämna nämnaren oförändrad:

Detta exempel kan lätt förstås om vi minns pizzan, som är uppdelad i fyra delar. Om du lägger till pizza till pizza får du pizza:

Exempel 2. Lägg till bråk och .

Svaret visade sig vara en olämplig bråkdel. När slutet på uppgiften kommer är det vanligt att bli av med oegentliga fraktioner. För att bli av med en felaktig bråkdel måste du välja hela delen av den. I vårat fall hela delen sticker ut lätt - två dividerat med två är lika med en:

Detta exempel kan lätt förstås om vi minns om en pizza som är uppdelad i två delar. Lägger du till mer pizza till pizzan får du en hel pizza:

Exempel 3. Lägg till bråk och .

Återigen lägger vi ihop täljarna och lämnar nämnaren oförändrad:

Detta exempel kan lätt förstås om vi kommer ihåg pizzan, som är uppdelad i tre delar. Lägger du till mer pizza till pizzan får du pizza:

Exempel 4. Hitta värdet på ett uttryck

Detta exempel är löst på exakt samma sätt som de tidigare. Täljare måste läggas till och nämnaren lämnas oförändrad:

Låt oss försöka skildra vår lösning med hjälp av en ritning. Lägger du pizzor till en pizza och lägger till fler pizzor får du 1 hel pizza och fler pizzor.

Som du kan se är det inget komplicerat med att lägga till bråk med samma nämnare. Det räcker för att förstå följande regler:

För att lägga till bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och lämna nämnaren oförändrad;

Addera bråk med olika nämnare

Låt oss nu lära oss hur man lägger till bråk med olika nämnare. Vid addering av bråk måste bråkens nämnare vara desamma. Men de är inte alltid lika.

Till exempel kan bråk läggas till eftersom de har samma nämnare.

Men bråk kan inte läggas till direkt, eftersom dessa bråk har olika nämnare. I sådana fall måste bråk reduceras till samma (gemensamma) nämnare.

Det finns flera sätt att reducera bråk till samma nämnare. Idag kommer vi bara att titta på en av dem, eftersom de andra metoderna kan verka komplicerade för en nybörjare.

Kärnan i denna metod är att först genomsöks LCM för nämnarna för båda fraktionerna. Sedan divideras LCM med nämnaren för den första bråkdelen och den första erhålls ytterligare multiplikator. De gör samma sak med den andra fraktionen - LCM divideras med nämnaren för den andra fraktionen och en andra ytterligare faktor erhålls.

Bråkens täljare och nämnare multipliceras sedan med deras ytterligare faktorer. Som ett resultat av dessa åtgärder förvandlas bråk som hade olika nämnare till bråk som har samma nämnare. Och vi vet redan hur man lägger till sådana fraktioner.

Exempel 1. Låt oss lägga till bråken och

Först och främst hittar vi den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för båda bråken. Nämnaren för det första bråket är talet 3, och nämnaren för det andra bråket är talet 2. Den minsta gemensamma multipeln av dessa tal är 6

LCM (2 och 3) = 6

Låt oss nu återgå till bråk och . Dela först LCM med nämnaren för det första bråket och få den första ytterligare faktorn. LCM är talet 6, och nämnaren för det första bråket är talet 3. Dividera 6 med 3, vi får 2.

Det resulterande talet 2 är den första ytterligare multiplikatorn. Vi skriver ner det till första bråket. För att göra detta, gör en liten sned linje över bråkdelen och skriv ner den ytterligare faktorn som finns ovanför den:

Vi gör samma sak med den andra bråkdelen. Vi dividerar LCM med nämnaren för den andra bråkdelen och får den andra tilläggsfaktorn. LCM är talet 6, och nämnaren för det andra bråket är talet 2. Dividera 6 med 2, vi får 3.

Det resulterande talet 3 är den andra ytterligare multiplikatorn. Vi skriver ner det till den andra bråkdelen. Återigen gör vi en liten sned linje över den andra bråkdelen och skriver ner den ytterligare faktorn som finns ovanför den:

Nu har vi allt klart för tillägg. Det återstår att multiplicera bråkens täljare och nämnare med deras ytterligare faktorer:

Titta noga på vad vi har kommit fram till. Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma nämnare. Och vi vet redan hur man lägger till sådana fraktioner. Låt oss ta det här exemplet till slutet:

Detta avslutar exemplet. Det visar sig att lägga till .

Låt oss försöka skildra vår lösning med hjälp av en ritning. Om du lägger till pizza till en pizza får du en hel pizza och ytterligare en sjättedel av en pizza:

Att reducera bråk till samma (gemensamma) nämnare kan också avbildas med hjälp av en bild. Minska bråken och till en gemensam nämnare, vi fick bråken och . Dessa två fraktioner kommer att representeras av samma pizzabitar. Den enda skillnaden blir att de denna gång delas upp i lika delar (reducerat till samma nämnare).

Den första ritningen representerar en bråkdel (fyra bitar av sex), och den andra ritningen representerar en bråkdel (tre bitar av sex). Lägger vi till dessa bitar får vi (sju bitar av sex). Denna bråkdel är felaktig, så vi lyfte fram hela delen av den. Som ett resultat fick vi (en hel pizza och en annan sjätte pizza).

Observera att vi har beskrivit det här exemplet för mycket detaljerat. I läroanstalter Det är inte vanligt att skriva så detaljerat. Du måste snabbt kunna hitta LCM för både nämnare och ytterligare faktorer till dem, samt snabbt multiplicera de hittade ytterligare faktorerna med dina täljare och nämnare. Om vi var i skolan skulle vi behöva skriva det här exemplet så här:

Men det finns också en annan sida av myntet. Om du inte gör detaljerade anteckningar i de första stadierna av att studera matematik, börjar sådana frågor att dyka upp. "Var kommer den siffran ifrån?", "Varför blir bråk plötsligt till helt andra bråk? «.

För att göra det enklare att lägga till bråk med olika nämnare kan du använda följande steg-för-steg-instruktioner:

Hitta LCM för bråkens nämnare;
Dela LCM med nämnaren för varje bråkdel och få en extra faktor för varje bråkdel;
Multiplicera täljare och nämnare för bråk med deras ytterligare faktorer;
Lägg till bråk som har samma nämnare;
Om svaret visar sig vara en felaktig bråkdel, välj sedan hela dess del;

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck .

Låt oss använda instruktionerna ovan.

Steg 1. Hitta LCM för bråkens nämnare

Hitta LCM för nämnarna för båda bråken. Bråkens nämnare är talen 2, 3 och 4

Steg 2. Dela LCM med nämnaren för varje bråkdel och få en extra faktor för varje bråkdel

Dividera LCM med nämnaren för den första bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det första bråket är talet 2. Dividera 12 med 2, vi får 6. Vi fick den första ytterligare faktorn 6. Vi skriver den ovanför det första bråket:

Nu dividerar vi LCM med nämnaren för den andra bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det andra bråket är talet 3. Dividera 12 med 3, vi får 4. Vi får den andra ytterligare faktorn 4. Vi skriver det ovanför det andra bråket:

Nu dividerar vi LCM med nämnaren för den tredje bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det tredje bråket är talet 4. Dividera 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje ytterligare faktorn 3. Vi skriver det ovanför det tredje bråket:

Steg 3. Multiplicera bråkens täljare och nämnare med deras ytterligare faktorer

Vi multiplicerar täljare och nämnare med deras ytterligare faktorer:

Steg 4. Lägg till bråk med samma nämnare

Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma (gemensamma) nämnare. Allt som återstår är att lägga till dessa fraktioner. Lägg till det:

Tillägget passade inte på en rad, så vi flyttade det återstående uttrycket till nästa rad. Detta är tillåtet i matematik. När ett uttryck inte passar på en rad flyttas det till nästa rad, och det är nödvändigt att sätta ett likhetstecken (=) i slutet av den första raden och i början av den nya raden. Likhetstecknet på den andra raden indikerar att detta är en fortsättning på uttrycket som fanns på den första raden.

Steg 5. Om svaret visar sig vara en felaktig bråkdel, välj sedan hela delen av det

Vårt svar visade sig vara en felaktig bråkdel. Vi måste lyfta fram en hel del av det. Vi lyfter fram:

Vi fick svar

Subtrahera bråk med lika nämnare

Det finns två typer av subtraktion av bråk:

Subtrahera bråk med lika nämnare
Subtrahera bråk med olika nämnare

Låt oss först lära oss hur man subtraherar bråk med lika nämnare. Allt är enkelt här. För att subtrahera en annan från ett bråk, måste du subtrahera täljaren för det andra bråket från täljaren för det första bråket, men lämna nämnaren densamma.

Låt oss till exempel hitta värdet på uttrycket . För att lösa det här exemplet måste du subtrahera täljaren för det andra bråket från täljaren för det första bråket och lämna nämnaren oförändrad. Nu gör vi det:

Detta exempel kan lätt förstås om vi minns pizzan, som är uppdelad i fyra delar. Om du skär pizzor från en pizza får du pizzor:

Exempel 2. Hitta värdet på uttrycket.

Återigen, från täljaren för det första bråket, subtrahera täljaren för det andra bråket och lämna nämnaren oförändrad:

Detta exempel kan lätt förstås om vi kommer ihåg pizzan, som är uppdelad i tre delar. Om du skär pizzor från en pizza får du pizzor:

Exempel 3. Hitta värdet på ett uttryck

Detta exempel är löst på exakt samma sätt som de tidigare. Från täljaren för det första bråket måste du subtrahera täljaren för de återstående bråken:

Som du kan se är det inget komplicerat med att subtrahera bråk med samma nämnare. Det räcker för att förstå följande regler:

För att subtrahera ett annat från ett bråk, måste du subtrahera täljaren för det andra bråket från täljaren för det första bråket och lämna nämnaren oförändrad;
Om svaret visar sig vara en felaktig bråkdel, måste du markera hela delen av det.

Subtrahera bråk med olika nämnare

Du kan till exempel subtrahera ett bråk från ett bråk eftersom bråken har samma nämnare. Men du kan inte subtrahera ett bråk från ett bråk, eftersom dessa bråk har olika nämnare. I sådana fall måste bråk reduceras till samma (gemensamma) nämnare.

Den gemensamma nämnaren hittas med samma princip som vi använde när vi adderade bråk med olika nämnare. Först och främst, hitta LCM för nämnarna för båda bråken. Därefter divideras LCM med nämnaren för det första bråket och den första ytterligare faktorn erhålls, som skrivs ovanför den första bråkdelen. På liknande sätt divideras LCM med nämnaren för den andra bråkdelen och en andra ytterligare faktor erhålls, som skrivs ovanför den andra bråkdelen.

Bråken multipliceras sedan med deras ytterligare faktorer. Som ett resultat av dessa operationer omvandlas bråk som hade olika nämnare till bråk som har samma nämnare. Och vi vet redan hur man subtraherar sådana bråk.

Exempel 1. Hitta innebörden av uttrycket:

Dessa bråk har olika nämnare, så du måste reducera dem till samma (gemensamma) nämnare.

Först hittar vi LCM för nämnarna för båda bråken. Nämnaren för det första bråket är talet 3, och nämnaren för det andra bråket är talet 4. Den minsta gemensamma multipeln av dessa tal är 12

LCM (3 och 4) = 12

Låt oss nu återgå till bråk och

Låt oss hitta en ytterligare faktor för den första bråkdelen. För att göra detta, dividera LCM med nämnaren för den första bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det första bråket är talet 3. Dividera 12 med 3, vi får 4. Skriv en fyra ovanför det första bråket:

Vi gör samma sak med den andra bråkdelen. Dividera LCM med nämnaren för den andra bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det andra bråket är talet 4. Dividera 12 med 4, vi får 3. Skriv en trea över det andra bråket:

Nu är vi redo för subtraktion. Det återstår att multiplicera bråken med deras ytterligare faktorer:

Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma nämnare. Och vi vet redan hur man subtraherar sådana bråk. Låt oss ta det här exemplet till slutet:

Vi fick svar

Låt oss försöka skildra vår lösning med hjälp av en ritning. Om du skär pizza från en pizza får du pizza

Detta är den detaljerade versionen av lösningen. Om vi var i skolan skulle vi behöva lösa det här exemplet kortare. En sådan lösning skulle se ut så här:

Att reducera bråk till en gemensam nämnare kan också avbildas med hjälp av en bild. Om vi reducerar dessa bråk till en gemensam nämnare, fick vi bråken och . Dessa fraktioner kommer att representeras av samma pizzaskivor, men den här gången kommer de att delas upp i lika delar (reducerat till samma nämnare):

Den första bilden visar en bråkdel (åtta stycken av tolv), och den andra bilden visar en bråkdel (tre stycken av tolv). Genom att skära tre bitar från åtta bitar får vi fem bitar av tolv. Bråket beskriver dessa fem stycken.

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck

Dessa bråk har olika nämnare, så först måste du reducera dem till samma (gemensamma) nämnare.

Låt oss hitta LCM för nämnarna för dessa bråk.

Bråkens nämnare är talen 10, 3 och 5. Den minsta gemensamma multipeln av dessa tal är 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nu hittar vi ytterligare faktorer för varje bråkdel. För att göra detta, dividera LCM med nämnaren för varje bråkdel.

Låt oss hitta en ytterligare faktor för den första bråkdelen. LCM är talet 30, och nämnaren för det första bråket är talet 10. Dividera 30 med 10, vi får den första ytterligare faktorn 3. Vi skriver det ovanför det första bråket:

Nu hittar vi ytterligare en faktor för den andra fraktionen. Dividera LCM med nämnaren för den andra bråkdelen. LCM är talet 30, och nämnaren för det andra bråket är talet 3. Dividera 30 med 3, vi får den andra ytterligare faktorn 10. Vi skriver det ovanför det andra bråket:

Nu hittar vi ytterligare en faktor för den tredje fraktionen. Dividera LCM med nämnaren för den tredje bråkdelen. LCM är talet 30, och nämnaren för det tredje bråket är talet 5. Dividera 30 med 5, vi får den tredje ytterligare faktorn 6. Vi skriver det ovanför det tredje bråket:

Nu är allt klart för subtraktion. Det återstår att multiplicera bråken med deras ytterligare faktorer:

Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma (gemensamma) nämnare. Och vi vet redan hur man subtraherar sådana bråk. Låt oss avsluta detta exempel.

Fortsättningen av exemplet får inte plats på en rad, så vi flyttar fortsättningen till nästa rad. Glöm inte likhetstecknet (=) på den nya raden:

Svaret visade sig vara en vanlig bråkdel, och allt verkar passa oss, men det är för krångligt och fult. Vi borde göra det enklare. Vad kan göras? Du kan förkorta denna bråkdel.

För att minska ett bråk, måste du dividera dess täljare och nämnare med (GCD) av talen 20 och 30.

Så vi hittar gcd för nummer 20 och 30:

Nu återgår vi till vårt exempel och dividerar täljaren och nämnaren för bråket med den hittade gcd, det vill säga med 10

Vi fick svar

Multiplicera ett bråk med ett tal

För att multiplicera ett bråktal med ett tal, måste du multiplicera bråkets täljare med det talet och lämna nämnaren oförändrad.

Exempel 1. Multiplicera ett bråk med talet 1.

Multiplicera täljaren för bråket med talet 1

Inspelningen kan förstås som att den tar halv 1 gång. Om du till exempel tar pizza en gång får du pizza

Från multiplikationens lagar vet vi att om multiplikaden och faktorn byts om kommer produkten inte att förändras. Om uttrycket skrivs som , kommer produkten fortfarande att vara lika med . Återigen fungerar regeln för att multiplicera ett heltal och en bråkdel:

Denna notation kan förstås som att den tar hälften av en. Till exempel, om det finns en hel pizza och vi tar hälften av den, kommer vi att ha pizza:

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck

Multiplicera täljaren för bråket med 4

Svaret var en oegentlig bråkdel. Låt oss lyfta fram hela delen av det:

Uttrycket kan förstås som att det tar två fjärdedelar 4 gånger. Om du till exempel tar 4 pizzor får du två hela pizzor

Och om vi byter ut multiplikatorn och multiplikatorn får vi uttrycket . Det kommer också att vara lika med 2. Detta uttryck kan förstås som att man tar två pizzor från fyra hela pizzor:

Talet som multipliceras med bråket och bråkets nämnare löses om de har gemensam divisor, större än en.

Till exempel kan ett uttryck utvärderas på två sätt.

Första sättet. Multiplicera talet 4 med täljaren för bråket och lämna bråkets nämnare oförändrad:

Andra sättet. De fyra som multipliceras och de fyra i bråkets nämnare kan reduceras. Dessa fyror kan reduceras med 4, eftersom den största gemensamma delaren för två fyror är själva fyran:

Vi fick samma resultat 3. Efter att ha reducerat fyrorna bildas nya nummer i deras ställe: två ettor. Men att multiplicera ett med tre och sedan dividera med ett förändrar ingenting. Därför kan lösningen kortfattat skrivas:

Reduktionen kan utföras även när vi bestämde oss för att använda den första metoden, men när vi multiplicerade talet 4 och täljaren 3 bestämde vi oss för att använda reduktionen:

Men till exempel kan uttrycket bara beräknas på det första sättet - multiplicera 7 med nämnaren i bråket och lämna nämnaren oförändrad:

Detta beror på det faktum att talet 7 och bråkdelens nämnare inte har en gemensam divisor som är större än en och därför inte avbryter.

Vissa elever förkortar av misstag talet som multipliceras och täljaren för bråket. Du kan inte göra det här. Till exempel är följande post inte korrekt:

Att minska en bråkdel betyder det både täljare och nämnare kommer att delas med samma tal. I situationen med uttrycket utförs division endast i täljaren, eftersom att skriva detta är detsamma som att skriva . Vi ser att division endast utförs i täljaren, och ingen division sker i nämnaren.

Multiplicera bråk

För att multiplicera bråk, måste du multiplicera deras täljare och nämnare. Om svaret visar sig vara en felaktig bråkdel måste du markera hela delen av det.

Exempel 1. Hitta värdet på uttrycket.

Vi fick svar. Det är tillrådligt att minska denna fraktion. Fraktionen kan reduceras med 2. Sedan kommer den slutliga lösningen att ha följande form:

Uttrycket kan förstås som att man tar en pizza från en halv pizza. Låt oss säga att vi har en halv pizza:

Hur tar man två tredjedelar från denna halvlek? Först måste du dela upp denna halva i tre lika delar:

Och ta två av dessa tre delar:

Vi ska göra pizza. Kom ihåg hur pizza ser ut när den är uppdelad i tre delar:

En bit av denna pizza och de två bitarna vi tog kommer att ha samma mått:

Vi pratar med andra ord om samma storlek pizza. Därför är uttryckets värde

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck

Multiplicera täljaren för det första bråket med täljaren för det andra bråket och nämnaren för det första bråket med nämnaren för det andra bråket:

Svaret var en oegentlig bråkdel. Låt oss lyfta fram hela delen av det:

Exempel 3. Hitta värdet på ett uttryck

Multiplicera täljaren för det första bråket med täljaren för det andra bråket och nämnaren för det första bråket med nämnaren för det andra bråket:

Svaret visade sig vara en vanlig bråkdel, men det vore bra om det förkortades. För att minska denna bråkdel måste du dividera täljaren och nämnaren för bråket med den största gemensamma divisorn (GCD) av talen 105 och 450.

Så låt oss hitta gcd för nummer 105 och 450:

Nu dividerar vi täljaren och nämnaren för vårt svar med den gcd som vi nu har hittat, det vill säga med 15

Representerar ett heltal som en bråkdel

Vilket heltal som helst kan representeras som ett bråktal. Till exempel kan siffran 5 representeras som . Detta kommer inte att ändra innebörden av fem, eftersom uttrycket betyder "talet fem dividerat med ett", och detta, som vi vet, är lika med fem:

Ömsesidiga siffror

Nu ska vi bekanta oss med mycket intressant ämne i matematik. Det kallas "omvända siffror".

Definition. Vänd till nummera är ett tal som, när det multipliceras meda ger en.

Låt oss ersätta i denna definition istället för variabeln a nummer 5 och försök att läsa definitionen:

Vänd till nummer 5 är ett tal som, när det multipliceras med 5 ger en.

Är det möjligt att hitta ett tal som, multiplicerat med 5, ger ett? Det visar sig att det är möjligt. Låt oss föreställa oss fem som en bråkdel:

Multiplicera sedan denna bråkdel med sig själv, byt bara ut täljaren och nämnaren. Med andra ord, låt oss multiplicera bråket med sig självt, bara upp och ner:

Vad kommer att hända som ett resultat av detta? Om vi fortsätter att lösa detta exempel får vi ett:

Det betyder att inversen av talet 5 är talet , eftersom när du multiplicerar 5 med får du en.

Den reciproka av ett tal kan också hittas för vilket annat heltal som helst.

Du kan också hitta ömsesidigheten för vilken annan fraktion som helst. För att göra detta, vänd bara på det.

Att dividera ett bråk med ett tal

Låt oss säga att vi har en halv pizza:

Låt oss dela det lika mellan två. Hur mycket pizza får varje person?

Det kan ses att efter att ha delat hälften av pizzan erhölls två lika stora bitar som var och en utgör en pizza. Så alla får en pizza.

Att lösa problem från problemboken Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd för årskurs 5 om ämnet:

§ 5. Vanliga bråk:
26. Addera och subtrahera bråk med lika nämnare

1005 En sallad gjordes av tomater som vägde 5/16 kg och gurkor som vägde 9/16 kg. Vad är massan på salladen?
LÖSNING

1006 Maskinens massa är 73/100 t, och massan på dess förpackning är 23/100 t. Hitta maskinens massa inklusive förpackningen.
LÖSNING

1007 Den första dagen sattes potatis på 2/7 av tomten och den andra dagen på 3/7 av tomten. Vilken del av tomten planterades med potatis under dessa två dagar?
LÖSNING

1008 En brigad fick 7/10 ton spik, och den andra 3/10 ton mindre. Hur många spikar fick andra brigaden?
LÖSNING

1009 På två dagar såddes 10/11 åker. Första dagen såddes 4/11 åker. Vilken del av åkern såddes den andra dagen?
LÖSNING

1010 Tanken är 3/5 fylld med bensin, 1/5 av tanken har hällts i en tunna. Vilken del av tanken är fortfarande fylld med bensin?
LÖSNING

1012 Hitta värdet på uttrycket
LÖSNING

1013 Av grönsaksgårdens 11 växthus är 4 planterade med tomater och 2 med gurka. Vilken del av växthusen är upptagen av gurkor och tomater? Lös problemet på två sätt.
LÖSNING

1014 En yta på 300 hektar avsattes för skogsplantering. Gran planterades på 3/10 av tomten och tall på 4/10 av tomten. Hur många hektar upptas av gran och tall tillsammans?
LÖSNING

1015 Teamet beslutade att producera 175 artiklar över planen. Den första dagen producerade hon 9/25 av denna kvantitet, den andra dagen 13/25 av denna kvantitet. Hur många produkter producerade teamet under dessa två dagar? Hur många saker har hon kvar att göra?
LÖSNING

1016 11/17 fält av grönsaksgården planterades med potatis. 1/17 fler åkrar sås med gurka än morötter och 8/17 åker mindre än potatis. Vilken del av åkern är sådd med gurkor och vilken del med morötter? Vilken del av fältet upptas av potatis, gurka och morötter tillsammans?
LÖSNING

1019 Det fanns 2 kvintals 70 kg frukt i tältet. Äpplen utgjorde 5/9 av alla frukter och päron utgjorde 1/9 av alla frukter. Hur mycket är massan av äpplen större än massan av päron? Lös problemet på två sätt.
LÖSNING

1020 Den första dagen gick turisten 5/14 av hela sträckan och den andra dagen 14/7. Det är känt att turisten under dessa två dagar gick 36 km. Hur många kilometer är hela turistvägen?
LÖSNING

1021 Den första berättelsen tog upp 5/13 av boken, och den andra berättelsen tog upp 2/13 av boken. Det är känt att den första historien tog 12 sidor mer än den andra. Hur många sidor finns det i hela boken?
LÖSNING

1022 Använd likheten 4/25 + 12/25= 16/25, hitta värdena för uttrycket och lös ekvationerna
LÖSNING

1024 260 personer åker på utflykt. Hur många bussar ska beställas om varje buss inte ska ta fler än 30 passagerare?
LÖSNING

1025 Rita ett linjesegment. Rita sedan ett linjesegment vars längd är lika med
LÖSNING

1026 Hitta koordinaterna för punkterna A, B, C, D, E, M, K (bild 128) och jämför dessa koordinater med 1.
LÖSNING

1027 Beräkna omkretsen och arean av triangeln ABC (bild 129)
LÖSNING

1030 Hitta alla värden på x där bråket x/15 är ett vanligt bråktal och bråket 8/x är ett oegentligt bråktal.
LÖSNING

1031 Nämn 3 egenbråk vars täljare är större än 100. Nämn 3 oegentliga bråk vars nämnare är större än 200.
LÖSNING

1033 Längd rektangulär parallellepiped 8 m, bredd 6 m och höjd 12 m. Hitta summan av ytorna av de största och minsta ytorna på denna parallellepiped.
LÖSNING

1034 För att tillverka 750 m viskosväv krävs 10 kg cellulosa. Från 1 m3 trä kan du få 200 kg cellulosa. Hur många meter viskostyg kan man få från 20 m3 trä?
LÖSNING

1035 Kombilåset har sex knappar. För att öppna den måste du trycka på knapparna i en viss sekvens och ange en kod. Hur många kodalternativ finns det för detta lås?
LÖSNING

1036 Lös ekvationen: a) (x - 111) · 59 = 11 918; b) 975 (x - 615) = 12 675; c) (30 901 - a): 605 = 51; d) 39 765: (b - 893) = 1205.
LÖSNING

1037 Lös problemet: 1) Av 30 planterade frön grodde 23. Vilken del av de planterade fröna grodde? 2) 40 svanar simmade på dammen. Av dessa var 30 vita. Hur stor andel av alla svanar var vita svanar?
LÖSNING

1038 Hitta värdet på uttrycket: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24.078 + 30.785); 2) (43 512-43 006) 805 - (48 987 + 297 305)
LÖSNING

1039 Den första timmen var 5/17 av hela vägen snöröjd och den andra timmen 9/17 av hela vägen. Hur mycket av vägen snöröjdes under dessa två timmar? Vilken del av vägen röjdes mindre under den första timmen än under den andra?
LÖSNING

1040 6/25 m tyg användes till klänningen till den första dockan och 9/25 m tyg till klänningen till den andra dockan. Hur mycket tyg använde du till båda klänningarna? Hur mycket mer tyg användes på den andra dockklänningen än på den första dockklänningen?

För att uttrycka en del som en bråkdel av helheten måste du dela upp delen i helheten.

Uppgift 1. Det är 30 elever i klassen, fyra är frånvarande. Hur stor andel av eleverna är frånvarande?

Lösning:

Svar: Det finns inga elever i klassen.

Hitta en bråkdel från ett tal

För att lösa problem där du behöver hitta en del av en helhet, gäller följande regel:

Om en del av en helhet uttrycks som ett bråktal, kan du för att hitta denna del dividera hela med bråktalets nämnare och multiplicera resultatet med dess täljare.

Uppgift 1. Det fanns 600 rubel, detta belopp användes. Hur mycket pengar spenderade du?

Lösning: för att hitta 600 rubel eller mer måste vi dela upp detta belopp i 4 delar, därigenom kommer vi att ta reda på hur mycket pengar en fjärdedel är:

600: 4 = 150 (r.)

Svar: spenderade 150 rubel.

Uppgift 2. Det fanns 1000 rubel, detta belopp användes. Hur mycket pengar spenderades?

Lösning: från problemformuleringen vet vi att 1000 rubel består av fem lika delar. Låt oss först ta reda på hur många rubel som är en femtedel av 1000, och sedan får vi reda på hur många rubel som är två femtedelar:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - en femtedel.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - två femtedelar.

Dessa två åtgärder kan kombineras: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Svar: 400 rubel spenderades.

Det andra sättet att hitta en del av en helhet:

För att hitta en del av en helhet kan du multiplicera helheten med bråket som uttrycker den delen av helheten.

Uppgift 3. För att rapporteringsmötet ska vara giltigt krävs enligt kooperativets stadgar minst medlemmar i organisationen närvarande. Kooperativet har 120 medlemmar. Vilken sammansättning kan ett rapporteringsmöte ske?

Lösning:

Svar: rapporteringsmötet kan äga rum om det finns 80 medlemmar i organisationen.

Hitta ett tal genom dess bråktal

För att lösa problem där du behöver hitta en helhet från sin del, gäller följande regel:

Om en del av den önskade helheten uttrycks som ett bråktal, kan du för att hitta denna helhet dividera denna del med bråktalets täljare och multiplicera resultatet med dess nämnare.

Uppgift 1. Vi spenderade 50 rubel, vilket var mindre än det ursprungliga beloppet. Hitta den ursprungliga summan pengar.

Lösning: från beskrivningen av problemet ser vi att 50 rubel är 6 gånger mindre än det ursprungliga beloppet, dvs det ursprungliga beloppet är 6 gånger mer än 50 rubel. För att hitta detta belopp måste du multiplicera 50 med 6:

50 · 6 = 300 (r.)

Svar: det ursprungliga beloppet är 300 rubel.

Uppgift 2. Vi spenderade 600 rubel, vilket var mindre än den ursprungliga summan pengar. Hitta det ursprungliga beloppet.

Lösning: vi kommer att anta att det erforderliga antalet består av tre tredjedelar aktier Enligt villkoret motsvarar två tredjedelar av antalet 600 rubel. Låt oss först hitta en tredjedel av det ursprungliga beloppet, och sedan hur många rubel är tre tredjedelar (det ursprungliga beloppet):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Svar: det ursprungliga beloppet är 900 rubel.

Det andra sättet att hitta en helhet från sin del:

För att hitta en helhet med värdet som uttrycker dess del, kan du dividera detta värde med bråket som uttrycker denna del.

Uppgift 3. Linjesegmentet AB, lika med 42 cm, är segmentets längd CD. Hitta längden på segmentet CD.

Lösning:

Svar: segmentets längd CD 70 cm.

Uppgift 4. Vattenmeloner fördes till affären. Före lunch sålde butiken de med sig vattenmeloner och efter lunch fanns det 80 vattenmeloner kvar att sälja. Hur många vattenmeloner tog du med till affären?

Lösning: Låt oss först ta reda på vilken del av de medförda vattenmelonerna som är siffran 80. För att göra detta, låt oss ta det totala antalet medbringade vattenmeloner som en och subtrahera antalet vattenmeloner som såldes (sålda):

Och så fick vi veta att 80 vattenmeloner utgör det totala antalet vattenmeloner som tas med. Nu tar vi reda på hur många vattenmeloner som utgörs av den totala mängden, och sedan hur många vattenmeloner som utgör (antalet vattenmeloner som tas med):

2) 80: 4 15 = 300 (vattenmeloner)

Svar: Totalt togs 300 vattenmeloner till butiken.

Lektionens innehåll

Bråkproblem

Uppgift 1. Klassen skolbarn består av utmärkta elever. Vilken del är resten? Gör en grafisk beskrivning av uppgiften. Teckningen kan vara vad som helst.

Lösning

Om de utmärkta eleverna utgör resten, så gör resten upp

Problem 2. I en klass med skolbarn finns det utmärkta elever, några bra elever och några C-elever. Gör en grafisk beskrivning av uppgiften. Teckningen kan vara vad som helst.

Uppgift 3. Det är 24 elever i klassen. skolbarn består av utmärkta elever, består av duktiga elever och består av elever i klass C. Hur många utmärkta elever, duktiga elever och C-elever finns det i klassen?

Lösning

24: 6 × 1 = 4 × 1 = 4 (utmärkta elever)

24: 6 × 3 = 4 × 3 = 12 (bra spelare)

24: 6 × 2 = 4 × 2 = 8 (C-betyg)

Undersökning

4 + 12 + 8 = 24 (skolebarn)

24 = 24

Uppgift 4. I en klass med skolbarn finns det utmärkta elever och bra elever. Vilken del är C-studenter?

Lösning

Skolbarn är indelade i 6 delar. En av delarna har utmärkta elever, tre delar har bra elever. Det är inte svårt att gissa att de återstående två delarna är fyllda med C-elever. Så skolbarnen består av C-elever

Utan att ge bilder kan du lägga till bråken och , och subtrahera resultatet från bråket , som uttrycker hela delen av skolbarnen. Med andra ord, addera de utmärkta och duktiga eleverna, subtrahera sedan dessa utmärkta och duktiga elever från det totala antalet skolbarn

Problem 5. Det är 16 elever i klassen. Vissa av dem är utmärkta och andra är bra. Hur många utmärkta och bra elever finns det i klassen? Gör en grafisk beskrivning av uppgiften. Teckningen kan vara vad som helst.

Lösning

16: 4 × 1 = 4 × 1 = 4 (utmärkta elever)

16: 16 × 12 = 1 × 12 = 12 (bra)

Problem 6. Det är 16 elever i klassen. Av dessa finns det utmärkta elever, några bra elever och några C-elever. Hur många utmärkta, bra och C-elever finns det i klassen? Gör en grafisk beskrivning av uppgiften. Teckningen kan vara vad som helst.

Lösning

16: 8 × 1 = 2 × 1 = 2 (utmärkta elever)

16: 16 × 10 = 1 × 10 = 10 (bra)

16: 4 = 4 (C-betyg)

Uppgift 7. Poltavakorn framställs av vetekorn, vars massa är massan av vetekorn, och resten är foderavfall. Hur mycket Poltava spannmål och foderavfall kan erhållas från 500 centners vete

Lösning

Låt oss hitta från 500 centners:

Låt oss nu hitta mycket foderavfall. För att göra detta, subtrahera massan av Poltava spannmål från 500 c:

Det betyder att man från 500 centner vetekorn kan få 320 centners Poltava-spannmål och 180 centners foderavfall.

Uppgift 8. Ett kilo socker kostar 88 rubel. Hur mycket kostar ett kg socker? kg? kg? kg?

Lösning

1) kg är hälften av ett kilo. Om ett kilo kostar 88 rubel, kommer ett halvt kilo att kosta hälften av 88, det vill säga 44 rubel. Om vi hittar hälften av 88 rubel får vi 44 rubel

88: 2 = 44

44 × 1 = 44 rubel

2) kg är en kvarts kilogram. Om ett kilo kostar 88 rubel, kommer en fjärdedel av ett kilo att kosta en fjärdedel av 88 rubel, det vill säga 22 rubel. Om vi hittar från 88 rubel får vi 22 rubel

88: 4 = 22

22 × 1 = 22 rubel

3) En bråkdel betyder att ett kilogram delas upp i åtta delar, och tre delar tas därifrån. Om ett kilo kostar 88 rubel, kommer kostnaden för tre åtta kilo att kosta från 88 rubel. Om vi hittar från 88 rubel får vi 33 rubel.

4) En bråkdel betyder att ett kilogram delas upp i åtta delar, och elva delar tas därifrån. Men det är omöjligt att ta elva delar om det bara är åtta. Vi har att göra med en oegentlig bråkdel. Låt oss först lyfta fram hela delen av det:

Elva åttondelar är ett helt kilogram och ett kilogram. Nu kan vi separat hitta kostnaden för ett helt kilogram och kostnaden för tre åttondelar av ett kilo. Ett kilo, som nämnts ovan, kostar 88 rubel. Vi hittade också kostnaden för kg och fick 33 rubel. Detta innebär att ett kg socker kommer att kosta 88+33 rubel, det vill säga 121 rubel.

Kostnaden kan hittas utan att isolera hela delen. För att göra detta, hitta bara från 88.

88: 8 = 11

11 × 11 = 121

Men genom att lyfta fram hela delen kan man tydligt förstå hur priset per kg socker bildades.

Uppgift 9. Dadlar innehåller socker och mineralsalter. Hur många gram av varje ämne finns i 4 kg dadlar?

Lösning

Låt oss ta reda på hur många gram socker som finns i ett kilo dadlar. Ett kilo är tusen gram. Låt oss hitta från 1000 gram:

1000: 25 = 40

40 × 18 = 720 g

Ett kilo dadlar innehåller 720 gram socker. För att ta reda på hur många gram socker som finns i fyra kilo, måste du multiplicera 720 med 4

720 × 4 = 2880 g

Nu ska vi ta reda på hur många mineralsalter som finns i 4 kilo dadlar. Men först, låt oss ta reda på hur många mineralsalter som finns i ett kilo. Ett kilo är tusen gram. Låt oss hitta från 1000 gram:

1000: 200 = 5

5 × 3 = 15 g

Ett kilo dadlar innehåller 15 gram mineralsalter. För att ta reda på hur många gram mineralsalter som finns i fyra kilogram måste du multiplicera 15 med 4

15 × 4 = 60 g

Det betyder att 4 kg dadlar innehåller 2880 gram socker och 60 gram mineralsalter.

Lösningen på detta problem kan skrivas mycket mer kortfattat, i två uttryck:

Poängen är att de hittade 4 kg och omvandlade de resulterande 2,88 till gram, multiplicerade med 1000. Samma sak gjordes för mineralsalter - de hittade 4 kg och omvandlade de resulterande kilona till gram, multiplicerade med 1000. Observera också att bråkdel av ett tal hittades på ett förenklat sätt - genom att direkt multiplicera talet med bråket.

Problem 10. Tåget reste 840 km, vilket är dess resa. Hur långt måste han gå? Hur långt är hela resan?

Lösning

Problemet säger att 840 km är från hans väg. Bråkens nämnare indikerar att hela stigen är uppdelad i sju lika delar, och täljaren indikerar att fyra delar av denna stig redan är färdigställda och uppgår till 840 km. Därför, genom att dividera 840 km med 4, får vi reda på hur många kilometer som finns i en del:

840: 4 = 210 km.

Och eftersom hela banan består av sju delar, kan avståndet för hela banan hittas genom att multiplicera 210 med 7:

210 × 7 = 1470 km.

Låt oss nu svara på den andra frågan om problemet - hur lång sträcka har tåget kvar att resa? Om banans längd är 1470 km och 840 har täckts, är den återstående banan 1470−840, det vill säga 630

1470 − 840 = 630

Problem 11. En av grupperna som erövrade Mount Everest bestod av idrottare, guider och bärare. Det fanns 25 idrottare i gruppen, antalet guider var antalet idrottare, och antalet idrottare och guider tillsammans var bara 9/140 av antalet bärare. Hur många bärare var det på den här expeditionen?

Lösning

Det finns 25 idrottare i gruppen.Guidningarna utgör antalet idrottare. Låt oss hitta från 25 och ta reda på hur många dirigenter som finns i gruppen:

25: 5 × 4 = 20

Det är 45 idrottare och guider tillsammans. Detta antal baseras på antalet bärare. Genom att veta att antalet bärare är 45 personer kan vi hitta det totala antalet bärare. För att göra detta, hitta talet med bråkdel:

45: 9 × 140 = 5 × 140 = 700

Problem 12. 900 nya läroböcker kom till skolan, varav alla böcker var matematikläroböcker, ryska läroböcker var alla böcker och resten var litteraturböcker. Hur många böcker om litteratur kom med?

Låt oss ta reda på hur mycket matematikläroböcker består av:

900: 25 × 8 = 288 (matteböcker)

Låt oss ta reda på hur många läroböcker på ryska språket:

900: 100 × 33 = 297 (böcker om det ryska språket)

Låt oss ta reda på hur många litteraturläroböcker det finns. För att göra detta subtraherar vi läroböcker i matematik och ryska från det totala antalet böcker:

900 – (288+297) = 900 – 585 = 315

Undersökning

288 + 297 + 315 = 900

900 = 900

Problem 13. Den första dagen sålde de, och den andra dagen druvorna som kom till affären. Hur många druvor såldes på två dagar?

Lösning

De sålde druvorna på två dagar. Denna del erhålls genom att addera fraktioner och

Du kan föreställa dig druvorna som anländer till butiken i form av sex klasar. Sedan är druvorna två klasar, druvorna är tre klasar, och druvorna är fem klasar av sex, sålda på två dagar. Tja, det är inte svårt att se att det bara finns ett gäng kvar, en uttryckt bråkdel (ett gäng av sex)

Problem 14. Vera läste böcker den första dagen och mindre den andra dagen. Vilken del av boken läste Vera den andra dagen? Lyckades hon läsa boken på två dagar?

Lösning

Låt oss bestämma vilken del av boken som ska läsas den andra dagen. Det sägs att den andra dagen lästes mindre än den första dagen. Därför måste vi dra ifrån

Den andra dagen läste Vera böcker. Låt oss nu svara på den andra frågan om problemet - lyckades Vera läsa boken på två dagar? Låt oss lägga ihop vad Vera läste den första och andra dagen:

På två dagar läste Vera böckerna, men det fanns fortfarande böcker kvar. Det betyder att Vera inte hann läsa hela boken på två dagar.

Låt oss göra en kontroll. Låt oss anta att boken Vera läste hade 180 sidor. Första dagen läste hon böcker. Vi hittar från 180 sidor

180: 9 × 5 = 100 (sidor)

Den andra dagen läste Vera mindre än den första. Låt oss hitta 180 sidor eller mer och subtrahera resultatet från 100 ark lästa den första dagen

180: 6 × 1 = 30 × 1 = 30 (sidor)

100 − 30 = 70 (sidor på den andra dagen)

Låt oss kolla om 70 sidor är en del av boken:

180: 18 × 7 = 10 × 7 = 70 (sidor)

Låt oss nu svara på den andra frågan om problemet - lyckades Vera läsa alla 180 sidorna på två dagar? Svaret är att hon inte hade tid, för på två dagar läste hon bara 170 sidor

100 + 70 = 170 (sidor)

Det finns fortfarande 10 sidor kvar att läsa. I problemet hade vi en bråkdel som resten. Låt oss kolla om 10 sidor är en del av boken?

180: 18 × 1 = 10 × 1 = 10 (sidor)

Problem 15. En förpackning innehåller kg och den andra innehåller kg mindre. Hur många kilo godis är det i två påsar tillsammans?

Lösning

Låt oss bestämma massan på det andra paketet. Det är kg mindre än vikten av den första förpackningen. Subtrahera därför massan av det andra paketet från massan av det första paketet:

Andra förpackningens vikt kg. Låt oss bestämma massan på båda paketen. Låt oss lägga till massan av den första och massan av den andra:

Vikt av båda förpackningarna kg. Ett kilogram är 800 gram. Du kan lösa detta problem genom att arbeta med bråk, addera och subtrahera dem. Du kan också först hitta talet med hjälp av bråken som anges i problemet och börja lösa det. Så ett kilo är 500 gram och ett kg är 200 gram

1000: 2 × 1 = 500 × 1 = 500 g

1000: 5 × 1 = 200 × 1 = 200 g

Den andra påsen innehåller 200 gram mindre, så för att bestämma massan på den andra påsen måste du subtrahera 200 g från 500 g

500 − 200 = 300 g

Och slutligen, lägg ihop massorna av båda paketen:

500 + 300 = 800 g

Problem 16. Turister gick från campingen till sjön på 4 dagar. Den första dagen gick de hela sträckan, den andra den återstående sträckan och den tredje och fjärde dagen gick de 12 km vardera. Hur lång är hela stigen från campingen till sjön?

Lösning

Problemet säger att den andra dagen gick turisterna resten av vägen . Bråket innebär att den återstående stigen är uppdelad i 7 lika delar, varav turister har genomfört tre delar, men resten återstår att färdigställa. Dessa står för sträckan som turister gick den tredje och fjärde dagen, det vill säga 24 km (12 km varje dag). Låt oss rita ett visuellt diagram som illustrerar den andra, tredje och fjärde dagen:

Den tredje och fjärde dagen gick turister 24 km och det är lika med den sträcka som tillryggalagts den andra, tredje och fjärde dagen. När vi vet vad 24 km är, kan vi hitta hela sträckan tillryggalagd den andra, tredje och fjärde dagen:

24: 4 × 7 = 6 × 7 = 42 km

Den andra, tredje och fjärde dagen gick turisterna 42 km. Låt oss nu hitta en väg från detta. Så här får vi reda på hur många kilometer turisterna gick den andra dagen:

42: 7 × 3 = 6 × 3 = 18 km

Låt oss nu återgå till början av uppgiften. Det sägs att den första dagen gick turisterna hela sträckan. Hela stigen är uppdelad i fyra delar, och den första delen står för stigen som gick den första dagen. Och vi har redan hittat stigen som faller på de andra tre delarna - den är 42 kilometer tillbaka den andra, tredje och fjärde dagen. Låt oss rita ett visuellt diagram som illustrerar de första och återstående tre dagarna:

Genom att veta att stigarna är 42 kilometer långa kan vi hitta längden på hela stigen:

42: 3 × 4 = 56 km

Det betyder att stigen från campingen till sjön är 56 kilometer. Låt oss göra en kontroll. För att göra detta lägger vi ihop alla stigar som turister tagit var och en av de fyra dagarna.

Låt oss först hitta vägen som togs den första dagen:

56: 4 × 1 = 14 (första dagen)

14 + 18 + 12 + 12 = 56

56 = 56

Ett problem från aritmetiken av den berömda centralasiatiska matematikern Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (900-talet e.Kr.)

"Hitta ett tal och veta att om du subtraherar en tredjedel och en fjärdedel från det får du 10."

Låt oss avbilda talet vi vill hitta som ett segment uppdelat i tre delar. I den första delen av segmentet kommer vi att markera en tredjedel, i den andra - en fjärdedel kommer den återstående tredje delen att representera siffran 10.

Låt oss lägga till en tredjedel och en fjärdedel:

Låt oss nu rita ett segment uppdelat i 12 delar. Låt oss markera bråket på det, de återstående fem delarna kommer att gå till siffran 10:

Genom att veta att fem tolftedelar av ett tal utgör talet 10, kan vi hitta hela talet:

10: 5 × 12 = 2 × 12 = 24

Vi hittade hela numret - det är 24.

Detta problem kan lösas utan att tillhandahålla ritningar. För att göra detta måste du först vika en tredjedel och en fjärdedel. Sedan från enheten, som spelar rollen som ett okänt tal, subtrahera resultatet av att lägga till en tredjedel och en fjärdedel. Bestäm sedan hela talet med hjälp av den resulterande bråkdelen:

Problem 17. En familj på fyra tjänar 80 tusen rubel i månaden. Budgeten är planerad enligt följande: för mat, för allmännyttiga tjänster, för internet och tv, för behandling och läkarbesök, för en donation till ett barnhem, för att bo i en hyreslägenhet, för en spargris. Hur mycket pengar anslås för mat, verktyg, internet och TV, för behandling och läkarbesök, en donation till ett barnhem, för att bo i en hyrd lägenhet och för en spargris?

Lösning

80: 40 × 7 = 14 (tusen för mat)

80: 20 × 1 = 4 × 1 = 4 tusen (för verktyg)

80: 20 × 1 = 4 × 1 = 4 tusen (på internet och TV)

80: 20 × 3 = 4 × 3 = 12 tusen (för behandling och läkarbesök)

80: 10 × 1 = 8 × 1 = 8 tusen (för en donation till ett barnhem)

80: 20 × 3 = 4 × 3 = 12 tusen (för att bo i en hyrd lägenhet)

80: 40 × 13 = 2 × 13 = 26 tusen (till spargrisen)

Undersökning

14 + 4 + 4 + 12 + 8 + 12 + 26 = 80

80 = 80

Problem 18. Under vandringen gick turisterna en kilometer under den första timmen och en kilometer mer under den andra. Hur många kilometer gick turisterna på två timmar?

Lösning

Låt oss hitta tal med hjälp av bråk. detta är tre hela kilometer och sju tiondelar av en kilometer, och sju tiondels kilometer är 700 meter:

Detta är en hel kilometer och en femtedel av en kilometer, och en femtedel av en kilometer är 200 meter

Låt oss bestämma längden på den väg som turister reste under den andra timmen. För att göra detta måste du lägga till 1 km 200 m till 3 km 700 m

3 km 700 m + 1 km 200 m = 3700 m + 1200 m = 4900 m = 4 km 900 m

Låt oss bestämma längden på den väg som turister rest på två timmar:

3 km 700 m + 4 km 900 = 3700 m + 4900 m = 8600 m = 8 km 600 m

Det betyder att turisterna på två timmar gick 8 kilometer och ytterligare 600 meter. Låt oss lösa detta problem med hjälp av bråk. Så det kan förkortas avsevärt

Vi fick svar på en kilometer. Detta är åtta hela kilometer och sex tiondels kilometer, och sex tiondels kilometer är sex hundra meter

Problem 19. Geologer passerade dalen, som ligger mellan bergen, på tre dagar. Den första dagen gick de, den andra hela resan och den tredje de återstående 28 km. Beräkna längden på stigen som går genom dalen.

Lösning

Låt oss skildra vägen som ett segment uppdelat i tre delar. I den första delen markerar vi stigarna, i den andra delen av stigen, i den tredje delen de återstående 28 kilometerna:

Låt oss lägga ihop de delar av vägen som täcktes den första och andra dagen:

Under den första och andra dagen täckte geologer hela sträckan. De återstående rutterna står för 28 kilometer som tillryggaläggs av geologer den tredje dagen. Genom att veta att 28 kilometer är hela stigen kan vi hitta längden på stigen som går genom dalen:

28: 4 × 9 = 7 × 9 = 63 km

Undersökning

63: 9 × 5 = 7 × 5 = 35

63: 9 × 4 = 7 × 4 = 28

35 + 28 = 63

63 = 63

Problem 20. Grädde, gräddfil och strösocker användes för att förbereda grädden. Gräddfil och grädde väger 844,76 kg och strösocker och grädde väger 739,1 kg. Hur mycket individuell grädde, gräddfil och strösocker finns i 1020,85 kg grädde?

Lösning

gräddfil och grädde - 844,76 kg
strösocker och grädde - 739,1 kg

Låt oss ta ut gräddfil och grädde från 1020,85 kg grädde (844,76 kg). Så här hittar vi massan av strösocker:

1020,85 kg - 844,76 kg = 176,09 (kg strösocker)

Ta ut strösocker och grädde (176,09 kg). Så vi kommer att hitta mycket grädde:

739,1 kg - 176,09 kg = 563,01 (kg grädde)

Ta bort grädden från gräddfilen och grädden. Så här hittar vi massan av gräddfil:

844,76 kg - 563,01 kg = 281,75 (kg gräddfil)

176,09 (kg strösocker)

563,01 (kg grädde)

281,75 (kg gräddfil)

Undersökning

176,09 kg + 563,01 kg + 281,75 kg = 1020,85 kg

1020,85 kg = 1020,85 kg

Problem 21. Massan av en burk fylld med mjölk är 34 kg. Massan av en halvfylld burk är 17,75 kg. Vad är massan på den tomma burken?

Lösning

Låt oss subtrahera från massan av burken fylld med mjölk massan av burken som är halvfylld. Så vi får massan av innehållet i en halvfylld burk, men utan att ta hänsyn till burkens massa:

34 kg − 17,75 kg = 16,25 kg

16.25 är massan av innehållet i burken som är halvfylld. Låt oss multiplicera denna massa med 2, vi får massan av en helt fylld burk:

16,25 kg × 2 = 32,5 kg

32,5 kg är massan av innehållet i burken. För att beräkna massan av en tom burk måste du subtrahera massan av dess innehåll från 34 kg, det vill säga 32,5 kg

34 kg − 32,5 kg = 1,5 kg

Svar: Den tomma burkens massa är 1,5 kg.

Problem 22. Grädde utgör 0,1 vikt av mjölk och smör utgör 0,3 vikt grädde. Hur mycket smör kan man få från en kos dagliga mjölkavkastning på 15 kg mjölk?

Lösning

Låt oss bestämma hur många kilo grädde som kan erhållas från 15 kg mjölk. För att göra detta, hitta 0,1 del av 15 kg.

15 × 0,1 = 1,5 (kg grädde)

Låt oss nu bestämma hur mycket smör som kan erhållas från 1,5 kg grädde. För att göra detta, hitta 0,3 del av 1,5 kg

1,5 kg × 0,3 = 0,45 (kg smör)

Svar: från 15 kg mjölk kan du få 0,45 kg smör.

Problem 23. 100 kg linoleumlim innehåller 55 kg asfalt, 15 kg kolofonium, 5 kg torkande olja och 25 kg bensin. Vilken del av detta lim utgör var och en av dess beståndsdelar?

Lösning

Låt oss föreställa oss att 100 kg lim är 100 delar. Sedan är 55 delar asfalt, 15 delar är kolofonium, 5 delar är torkande olja och 25 delar är bensin. Låt oss skriva dessa delar som bråk, och, om möjligt, minska de resulterande bråken:

Svar: lim utgör asfalt, utgör kolofonium, utgör torkande olja, utgör bensin.

Problem att lösa självständigt

Uppgift 3. Under den första timmen tillryggalade skidåkaren hela sträckan som han var tvungen att tillryggalägga, i den andra hela sträckan och under den tredje resten av banan. Vilken del av den totala sträckan tillryggalade skidåkaren under den tredje timmen?

Lösning

Låt oss bestämma vilken del av stigen som åkaren täcker under två timmars rörelse. För att göra detta lägger vi till fraktionerna som uttrycker de vägar som färdats under den första och andra timmen:

Låt oss bestämma den del av stigen som skidåkaren täcker under den tredje timmen. För att göra detta subtraherar vi från alla delar en del av vägen som färdats under de första och andra timmarna av rörelse:

Svar: i den tredje timmen tillryggalade skidåkaren hela sträckan.

Uppgift 4. Alla pojkar i klassen deltog i skoltävlingar: några var med i fotbollslaget, några i basketlaget, några tävlade i längdhopp och resten av klassen tävlade i löpning. Hur stor andel av löparna var fler (eller färre) än fotbollsspelare? basketspelare?