För att förstå hur man lägger till bråk med olika nämnare, låt oss först lära oss regeln och sedan titta på specifika exempel.
Så här lägger du till eller subtraherar bråk med olika nämnare:
1) Hitta (NOZ) de givna bråken.
2) Hitta en extra faktor för varje bråkdel. För att göra detta måste den nya nämnaren delas med den gamla.
3) Multiplicera täljaren och nämnaren för varje bråk med ytterligare en faktor och addera eller subtrahera bråk med samma nämnare.
4) Kontrollera om den resulterande fraktionen är korrekt och irreducerbar.
I följande exempel måste du lägga till eller subtrahera bråk med olika nämnare:
1) För att subtrahera bråk med olika nämnare, leta först efter den lägsta gemensamma nämnaren av de givna bråken. Vi väljer det största talet och kontrollerar om det är delbart med det mindre. 25 är inte delbart med 20. Vi multiplicerar 25 med 2. 50 är inte delbart med 20. Vi multiplicerar 25 med 3. 75 är inte delbart med 20. Multiplicera 25 med 4. 100 delas med 20. Så den minsta gemensamma nämnaren är 100.
2) För att hitta ytterligare en faktor för varje bråk, måste du dividera den nya nämnaren med den gamla. 100:25=4, 100:20=5. Följaktligen har den första fraktionen en extra faktor på 4, och den andra har en extra faktor på 5.
3) Multiplicera täljaren och nämnaren för varje bråk med ytterligare en faktor och subtrahera bråken enligt regeln för att subtrahera bråk med samma nämnare.
4) Den resulterande fraktionen är korrekt och irreducerbar. Så det här är svaret.
1) För att lägga till bråk med olika nämnare, leta först efter den minsta gemensamma nämnaren. 16 är inte delbart med 12. 16∙2=32 är inte delbart med 12. 16∙3=48 är delbart med 12. Så, 48 är NOZ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Dessa är ytterligare faktorer för varje fraktion.
3) multiplicera täljaren och nämnaren för varje bråk med ytterligare en faktor och lägg till nya bråk.
4) Den resulterande fraktionen är korrekt och irreducerbar.
1) 30 är inte delbart med 20. 30∙2=60 är delbart med 20. Så 60 är den minsta gemensamma nämnaren för dessa bråk.
2) för att hitta ytterligare en faktor för varje bråk, måste du dividera den nya nämnaren med den gamla: 60:20=3, 60:30=2.
3) multiplicera täljaren och nämnaren för varje bråk med ytterligare en faktor och subtrahera nya bråk.
4) den resulterande bråkdelen 5.
1) 8 är inte delbart med 6. 8∙2=16 är inte delbart med 6. 8∙3=24 är delbart med både 4 och 6. Det betyder att 24 är NOZ.
2) för att hitta en ytterligare faktor för varje bråk, måste du dividera den nya nämnaren med den gamla. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Detta betyder att 3, 6 och 4 är ytterligare faktorer till den första, andra och tredje fraktionen.
3) multiplicera täljaren och nämnaren för varje bråkdel med ytterligare en faktor. Addera och subtrahera. Den resulterande fraktionen är felaktig, så det är nödvändigt att välja hela delen.
Hur man konverterar algebraiska (rationella) bråk till gemensam nämnare?
1) Om bråkens nämnare innehåller polynom måste du prova att använda någon av de kända metoderna.
2) Den minsta gemensamma nämnaren (LCD) består av alla multiplikatorer tas in störst grader.
Vi letar verbalt efter den minsta gemensamma nämnaren för tal som det minsta tal som är delbart med de återstående talen.
3) För att hitta ytterligare en faktor för varje bråk, måste du dividera den nya nämnaren med den gamla.
4) Multiplicera täljaren och nämnaren för det ursprungliga bråket med ytterligare en faktor.
Låt oss titta på exempel på att reducera algebraiska bråk till en gemensam nämnare.
För att hitta en gemensam nämnare för tal väljer vi det större talet och kontrollerar om det är delbart med det mindre. 15 är inte delbart med 9. Vi multiplicerar 15 med 2 och kontrollerar om det resulterande talet är delbart med 9. 30 är inte delbart med 9. Vi multiplicerar 15 med 3 och kontrollerar om det resulterande talet är delbart med 9. 45 är delbart med 9, vilket betyder att den gemensamma nämnaren för talen är 45.
Den minsta gemensamma nämnaren består av alla faktorer som tagits till sin största makt. Den gemensamma nämnaren för dessa bråk är alltså 45 bc (bokstäver skrivs vanligtvis i alfabetisk ordning).
För att hitta ytterligare en faktor för varje bråk, måste du dividera den nya nämnaren med den gamla. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Vi multiplicerar täljaren och nämnaren för varje bråkdel med ytterligare en faktor:
Först letar vi efter en gemensam nämnare för talen: 8 är inte delbart med 6, 8∙2=16 är inte delbart med 6, 8∙3=24 är delbart med 6. Varje variabel måste inkluderas i den gemensamma nämnaren en gång. Från graderna tar vi graden med stor exponent.
Den gemensamma nämnaren för dessa bråk är alltså 24a³bc.
För att hitta ytterligare en faktor för varje bråk, måste du dividera den nya nämnaren med den gamla: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Vi multiplicerar tilläggsfaktorn med täljaren och nämnaren:
Polynomen i nämnarna för dessa bråk behövs. Nämnaren för det första bråket är hela kvadraten på skillnaden: x²-18x+81=(x-9)²; i den andra nämnaren - skillnaden mellan kvadrater: x²-81=(x-9)(x+9):
Den gemensamma nämnaren består av alla faktorer tagna i högsta grad, det vill säga lika med (x-9)²(x+9). Vi hittar ytterligare faktorer och multiplicerar dem med täljaren och nämnaren för varje bråkdel:
Reduktionsschema till en gemensam nämnare
- Du måste bestämma vad den minsta gemensamma multipeln av bråkens nämnare kommer att vara. Om du har att göra med ett blandat tal eller heltal måste du först omvandla det till ett bråk och först därefter bestämma den minsta gemensamma multipeln. För att omvandla ett heltal till ett bråk måste du skriva själva talet i täljaren och ett i nämnaren. Till exempel skulle siffran 5 som bråk se ut så här: 5/1. För att förvandla ett blandat tal till ett bråk, måste du multiplicera hela talet med nämnaren och lägga till täljaren till det. Exempel: 8 heltal och 3/5 som bråk = 8x5+3/5 = 43/5.
- Efter detta är det nödvändigt att hitta en ytterligare faktor, som bestäms genom att dividera NZ med nämnaren för varje bråkdel.
- Det sista steget är att multiplicera bråket med ytterligare en faktor.
Det är viktigt att komma ihåg att reduktion till en gemensam nämnare behövs inte bara för addition eller subtraktion. För att jämföra flera bråk med olika nämnare måste du också först reducera var och en av dem till en gemensam nämnare.
Att reducera bråk till en gemensam nämnare
För att förstå hur man reducerar ett bråk till en gemensam nämnare måste du förstå vissa egenskaper hos bråk. Så, viktig egendom, som används för att reducera till NOS, är jämlikheten av bråk. Med andra ord, om täljaren och nämnaren för ett bråk multipliceras med ett tal, blir resultatet ett bråk lika med det föregående. Låt oss ta följande exempel som ett exempel. För att reducera bråken 5/9 och 5/6 till deras minsta gemensamma nämnare, följ dessa steg:
- Först hittar vi den minsta gemensamma multipeln av nämnarna. I det här fallet kommer LCM för siffrorna 9 och 6 att vara 18.
- Vi bestämmer ytterligare faktorer för var och en av fraktionerna. Detta görs enligt följande. Vi dividerar LCM med nämnaren för varje bråk, som ett resultat får vi 18: 9 = 2 och 18: 6 = 3. Dessa siffror kommer att vara ytterligare faktorer.
- Vi tar två bråk till NOS. När du multiplicerar ett bråk med ett tal måste du multiplicera både täljaren och nämnaren. Bråket 5/9 kan multipliceras med ytterligare en faktor 2, vilket resulterar i en bråkdel lika med den givna - 10/18. Vi gör samma sak med det andra bråket: multiplicera 5/6 med 3, vilket resulterar i 15/18.
Som vi kan se från exemplet ovan har båda bråken reducerats till sin minsta gemensamma nämnare. För att äntligen förstå hur man hittar en gemensam nämnare måste du behärska ytterligare en egenskap hos bråk. Det ligger i det faktum att täljaren och nämnaren för ett bråk kan reduceras med samma tal, vilket kallas en gemensam divisor. Till exempel kan bråket 12/30 reduceras till 2/5 om det divideras med sin gemensamma divisor - talet 6.
Jag ville ursprungligen inkludera gemensamma nämnartekniker i avsnittet Addera och subtrahera bråk. Men det visade sig vara så mycket information, och dess betydelse är så stor (trots allt, inte bara numeriska bråk har gemensamma nämnare), att det är bättre att studera denna fråga separat.
Så låt oss säga att vi har två bråk med olika nämnare. Och vi vill se till att nämnarna blir desamma. Den grundläggande egenskapen för en bråkdel kommer till undsättning, som, låt mig påminna dig, låter så här:
Ett bråk ändras inte om dess täljare och nämnare multipliceras med samma tal förutom noll.
Om du väljer faktorerna på rätt sätt blir bråkens nämnare alltså lika - denna process kallas reduktion till en gemensam nämnare. Och de nödvändiga siffrorna, "utjämna" nämnarna, kallas ytterligare faktorer.
Varför behöver vi reducera bråk till en gemensam nämnare? Här är bara några anledningar:
- Addera och subtrahera bråk med olika nämnare. Det finns inget annat sätt att utföra denna operation;
- Jämför bråk. Ibland förenklar reduktionen till en gemensam nämnare denna uppgift avsevärt;
- Lösa problem som involverar bråk och procent. Procentsatser är i huvudsak vanliga uttryck som innehåller bråk.
Det finns många sätt att hitta tal som, när de multipliceras med dem, kommer att göra bråkens nämnare lika. Vi kommer bara att överväga tre av dem - i ordningsföljd av ökande komplexitet och, i viss mening, effektivitet.
Cross-cross multiplikation
Den enklaste och mest pålitliga metoden, som garanterat utjämnar nämnarna. Vi kommer att agera "på ett huvudlöst sätt": vi multiplicerar den första bråkdelen med nämnaren i den andra bråkdelen och den andra med nämnaren i den första. Som ett resultat kommer nämnarna för båda bråken att bli lika med produkten av de ursprungliga nämnarna. Ta en titt:
Som ytterligare faktorer, överväga nämnare av angränsande fraktioner. Vi får:
Ja, så enkelt är det. Om du precis har börjat studera bråk är det bättre att arbeta med denna metod - på så sätt försäkrar du dig mot många misstag och kommer garanterat att få resultatet.
Den enda nackdelen den här metoden- du måste räkna mycket, eftersom nämnarna multipliceras "genom", och resultatet kan bli mycket stora siffror. Detta är priset att betala för tillförlitlighet.
Gemensam delningsmetod
Denna teknik hjälper till att avsevärt minska beräkningar, men tyvärr används den ganska sällan. Metoden är som följer:
- Innan du går rakt fram (dvs genom att använda kors och tvärs-metoden), ta en titt på nämnare. Kanske är en av dem (den som är större) uppdelad i den andra.
- Antalet som blir resultatet av denna division kommer att vara en ytterligare faktor för bråket med en mindre nämnare.
- I det här fallet behöver inte ett bråk med en stor nämnare multipliceras med någonting alls – det är här besparingen ligger. Samtidigt minskar sannolikheten för fel kraftigt.
Uppgift. Hitta betydelsen av uttrycken:
Observera att 84:21 = 4; 72:12 = 6. Eftersom den ena nämnaren i båda fallen delas utan en rest med den andra använder vi metoden för gemensamma faktorer. Vi har:
Observera att den andra bråkdelen inte multiplicerades med någonting alls. Faktum är att vi halverade mängden beräkningar!
Förresten, jag tog inte bråken i det här exemplet av en slump. Om du är intresserad, försök att räkna dem med hjälp av kors och tvärs-metoden. Efter reduktion blir svaren desamma, men det blir mycket mer arbete.
Detta är metodens styrka gemensamma delare, men jag upprepar, det kan bara användas i det fall då en av nämnarna delas med den andra utan rest. Vilket händer ganska sällan.
Minst vanliga multipelmetod
När vi reducerar bråk till en gemensam nämnare försöker vi i huvudsak hitta ett tal som är delbart med varje nämnare. Sedan tar vi båda bråkens nämnare till detta tal.
Det finns många sådana siffror, och det minsta av dem kommer inte nödvändigtvis att vara lika med den direkta produkten av de ursprungliga bråkens nämnare, som antas i "kors-kors"-metoden.
Till exempel, för nämnare 8 och 12, är talet 24 ganska lämpligt, eftersom 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Detta antal är mycket mindre produkt 8 12 = 96.
Det minsta talet som är delbart med var och en av nämnarna kallas deras minsta gemensamma multipel (LCM).
Notation: Den minsta gemensamma multipeln av a och b betecknas med LCM(a ; b) . Till exempel, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Om du lyckas hitta ett sådant nummer blir den totala mängden beräkningar minimal. Titta på exemplen:
Uppgift. Hitta betydelsen av uttrycken:
Observera att 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktorer 2 och 3 är coprime (har inga gemensamma faktorer förutom 1), och faktor 117 är vanlig. Därför LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Likaså 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorer 3 och 4 är coprime, och faktor 5 är vanligt. Därför LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Låt oss nu ta bråken till gemensamma nämnare:
Lägg märke till hur användbart det var att faktorisera de ursprungliga nämnarna:
- Efter att ha upptäckt identiska faktorer kom vi genast fram till den minsta gemensamma multipeln, vilket generellt sett är ett icke-trivialt problem;
- Från den resulterande expansionen kan du ta reda på vilka faktorer som "saknas" i varje bråkdel. Till exempel, 234 · 3 = 702, därför är tilläggsfaktorn 3 för den första bråkdelen.
För att förstå hur stor skillnad den minst gemensamma multipelmetoden gör, försök att beräkna samma exempel med hjälp av kors och tvärs-metoden. Självklart utan miniräknare. Jag tror att kommentarer kommer att vara onödiga efter detta.
Tro inte att det inte kommer att finnas så komplexa bråk i de verkliga exemplen. De träffas hela tiden, och ovanstående uppgifter är inte gränsen!
Det enda problemet är hur man hittar just denna NOC. Ibland kan allt hittas på några sekunder, bokstavligen "med ögat", men i allmänhet är detta en komplex beräkningsuppgift som kräver separat övervägande. Vi kommer inte att beröra det här.
