Вариативность
Термин вариативность указывает на то, что не все люди одинаковы. Предположим, что вы знаете человека, который «дымил, как паровоз» и прожил до ста лет. Означает ли это, что гипотеза об отрицательном влиянии курения на здоровье неверна? Отнюдь нет. Влияние курения на здоровье определялось многими независимыми исследователями, которые работали с большим количеством испытуемых. Люди демонстрируют различные реакции, придерживаются разных мнений и имеют разные способности. При осмыслении результатов важно помнить о роли вариативности.
Несколько лет назад поднялось много шума вокруг применения лаэтрила (laetrile), т.е. экстракта абрикосовых косточек, для лечения рака. Несмотря на то, что официальная медицина Соединенных Штатов признала его бесполезность в борьбе против рака, многие люди продолжали верить, что с помощью лаэтрила можно излечиться. Предположим, что вы прочитали о человеке с диагнозом «рак», который затем принимал лаэтрил. Впоследствии этот счастливчик излечился от рака. Какие выводы вы сделаете? Захочется ли вам заключить, что, по крайней мере, в некоторых случаях лаэтрил может вылечить или помочь вылечить рак? Такое заключение необоснованно. Некоторые люди вылечиваются от рака, а другие - нет. Так же как люди различны по своим убеждениям и установкам, они по-разному реагируют на болезнь. Если размер выборки равен единице, мы не можем заключить, что лаэтрил внес свой вклад в выздоровление больного. Чтобы решить, полезен ли лаэтрил при лечении рака, необходимы широкомасштабные сравнительные исследования уровней выживания групп больных раком, которые лечились лаэтрилом, и групп больных, которые лечились другими способами. Когда государственные организации провели такие тесты, оказалось, что лаэтрил бесполезен. Легко понять, что отчаявшиеся больные раком поддаются заблуждению и верят в результаты, полученные на очень маленьком количестве людей.
Готовность людей поверить, что результаты, полученные всего на нескольких испытуемых, можно обобщать на весь контингент, называется законом малых чисел (Tversky amp; Kahneman, 1971). На самом деле мы можем быть более уверены, когда работаем с большими выборками, а не с маленькими (Kunda amp; Nisbett, 1986). При экспериментальном исследовании этого явления (Quattrone amp; Jones, 1980) студенты колледжа продемонстрировали веру в то, что если один из членов группы принимает определенное решение, то другие члены этой группы примут такое же решение. Этот результат был особенно стойким, когда студенты одного колледжа наблюдали за решениями студентов других колледжей. Таким образом, мы видим, что вера в закон малых чисел способствует сохранению предрассудков и стереотипов. Мы склонны верить, что действия одного члена группы являются показателем действий всей группы. Слышали ли вы, как кто-нибудь говорит: «Все ___ (вставьте сюда название группы, к которой принадлежите) похожи друг на друга»? Одна знакомая как-то сказала мне, что все ямайцы - жулики и воры. Она пришла к такому заключению после одного неприятного инцидента, который произошел у нее с жителем Ямайки. Такого рода утверждения являются проявлением закона малых чисел. Теперь вы можете понять, как закон малых чисел может объяснить происхождение многих предрассудков, таких, например, как расизм? Единственное запомнившееся событие с участием члена группы, с которой мы редко вступаем в контакт, может повлиять на наши представления о всех остальных членах этой группы. Как правило, перед тем как прийти к какому-либо заключению, необходимо накопить большое количество наблюдений о людях и событиях.
Существует одно исключение из общего принципа, которое состоит в том, что для достоверных обобщений результатов на весь контингент необходимы большие выборки. Это исключение имеет место тогда, когда контингент совершенно однороден. Если, например, каждый человек из интересующего нас контингента совершенно одинаково отвечает на любой вопрос (например, «Одобряете ли вы смертную казнь?») или одинаково реагирует на любое лечение (например, не имеет «сердечных приступов» при лечении простым аспирином), то размер выборки больше не играет роли. Конечно, люди не бывают одинаковыми. Вы, вероятно, считаете, что об этом можно было бы и не говорить, поскольку все и так знают, что все люди разные. К сожалению, исследования показали, что большинство из нас склонно к недооценке изменчивости групп, которые нам не знакомы.
Члены всех групп меньшинств часто рассказывают, что лидеры или члены других групп обращаются к ним и спрашивают: «Что афроамериканцы (или женщины, или латиноамериканцы, или азиаты, или члены любой из групп меньшинств) думают по этому вопросу?» При этом как будто подразумевается, что несколько членов группы меньшинства могут говорить от имени всей группы. Это проявление нашей веры в то, что группы, к которым мы не принадлежим, гораздо более гомогенны (однородны), чем наша.
Способность к точному прогнозированию частично зависит от умения точно оценивать степень вариативности. Важно иметь это в виду всякий раз, когда вы проверяете гипотезу - в строго научной обстановке или при неформальных попытках определить причинные связи в своем повседневном окружении.
Пояснительная записка
Сделать серьёзные занятия
занимательными - вот задача
первоначального обучения.
К.Д.Ушинский.
Начальное общее образование призвано реализовать способности каждого ученика и создать условия для индивидуального развития младших школьников.
Чем разнообразнее образовательная среда, тем легче раскрыть индивидуальность личности ученика, а затем направить и скорректировать развитие младшего школьника с учетом выявленных интересов, опираясь на его природную активность.
Многочисленные исследования показали, что именно в начальной школе закладываются основы доказательного мышления и упущения в работе с учениками этого возраста практически невосполнимы. Вот почему необходимо разработать такой курс который обеспечивал бы формирование приёмов мыслительной деятельности.
Рабочая программа курса «Развитие вариативного мышления» составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования.
Цель – развитие математических способностей, формирование приёмов мыслительной деятельности.
Задачи:
способствовать пониманию способов решения нестандартных задач, что, в свою очередь, позволит осуществить новый подход к решению стандартных текстовых задач;
способствовать практическим овладением содержания логических понятий, формированием логических умений;
способствовать формированию интереса к предмету, стремлению использовать математические знания в повседневной жизни.
задачами и упражнениями; стандартными текстовыми задачами, имеющими несколько способов решения или нестандартный способ решения; заданиями, направленными на развитие логического мышления, углубление математических знаний, овладение такими мыслительными операциями, как анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение.
Текстовые задачи являются важным средством формирования системы основных математических понятий. Учащиеся привыкают решать типовые (однотипные) задачи и теряются при выборе решения нестандартных задач, трудность которых определяется не столько математическим содержанием, сколько новизной и необычностью математической ситуации. Решая задачу, учащиеся должны не жонглировать числами, а продумывать взаимосвязи между величинами и самостоятельно в обобщенном виде вы страивать и обосновывать ход её решения. Умение анализировать задачу не только развивает мышление и речь детей, но и формирует у них такие черты, как самостоятельность, умение продумывать план действий, доказательно рассуждать.
Логические упражнения позволяют ученикам глубже освоить математические отношения и их свойства, а овладение логическими умениями позволит им применять логические приёмы при решении задач.
Общая характеристика курса.
Реализация задачи воспитания любознательного, активно и заинтересованно познающего мир младшего школьника, обучение решению математических задач творческого и поискового характера будет проходить более успешно, если урочная деятельность дополнится внеурочной работой. Это может быть курс «Развитие вариативного мышления», расширяющий математический кругозор и эрудицию учащихся, способствующий формированию познавательных универсальных учебных действий. Предлагаемый курс предназначен для развития математических способностей учащихся, для формирования элементов логической и алгоритмической грамотности, коммуникативных умений младших школьников с применением коллективных форм организации занятий и использованием современных средств обучения. Создание на занятиях ситуаций активного поиска, предоставление возможности сделать собственное «открытие», знакомство с оригинальными путями рассуждений, овладение элементарными навыками исследовательской деятельности позволят обучающимся реализовать свои возможности, приобрести уверенность в своих силах. Содержание курса «Развитие вариативного мышления» направлено на воспитание интереса к предмету, развитию наблюдательности, геометрической зоркости, умения анализировать, догадываться, рассуждать, доказывать, умения решать учебную задачу творчески. Содержание может быть использовано для показа учащимся возможностей применения тех знаний и умений, которыми они овладевают на уроках математики. Программа предусматривает включение задач и заданий, трудность которых определяется не столько математическим содержанием, сколько новизной и необычностью математической ситуации. Это способствует появлению желания отказаться от образца, проявить самостоятельность, формированию умений работать в условиях поиска, развитию сообразительности, любознательности. В процессе выполнения заданий дети учатся видеть сходства и различия, замечать изменения, выявлять причины и характер этих изменений, на этой основе формулировать выводы. Совместное с учителем движение от вопроса к ответу – это возможность научить ученика рассуждать, сомневаться, задумываться, стараться и самому найти выход – ответ.
Ценностными ориентирами содержания курса являются: формирование умения рассуждать как компонента логической грамотности; освоение эвристических приемов рассуждений; формирование интеллектуальных умений, связанных с выбором стратегии решения, анализом ситуации, сопоставлением данных; развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся; формирование способностей наблюдать, сравнивать, обобщать, находить простейшие закономерности, использовать догадку, строить и проверять простейшие гипотезы; формирование пространственных представлений и пространственного воображения; привлечение учащихся к обмену информацией в ходе свободного общения на занятиях.
Курс изучения программы рассчитан для учащихся 4 классов.
Занятия проводятся 1 раз в неделю по 2 часа. Всего 56 часов в год.
Ожидаемые результаты .
Учащиеся должны:
Знать последовательность чисел в пределах 100 000 и уметь их записывать;
Знать таблицу сложения и вычитания однозначных чисел; уметь правильно выполнять все четыре арифметических действия с числами в пределах 100.
Знать правила порядка выполнения действий в числовых выражениях и уметь применять их на практике;
Уметь решать текстовые задачи арифметическим способом; решать нестандартные задачи; решать задачи, связанные с бытовыми жизненными ситуациями (покупка, измерение, взвешивание и другие);
Уметь распознавать изученные геометрические фигуры и изображать их на бумаге;
Сравнивать величины по их числовым значениям, выражать данные величины в различных единицах;
Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для ориентировки в окружающем пространстве (планирование маршрута, выбор пути передвижения);
Уметь применять логические приёмы при решении задач.
Планируемые результаты изучения курса.
В результате освоения программы курса «Развитие вариативного мышления» формируются следующие универсальные учебные действия, соответствующие требованиям ФГОС НОО:
Развитие любознательности, сообразительности при выполнении разнообразных заданий проблемного и эвристического характера.
Развитие внимательности, настойчивости, целеустремленности, умения преодолевать трудности – качеств весьма важных в практической деятельности любого человека.
Воспитание чувства справедливости, ответственности.
Развитие самостоятельности суждений, независимости и нестандартности мышления.
Метапредметные результаты:
Сравнивать разные приемы действий, выбирать удобные способы для выполнения конкретного задания.
Моделировать в процессе совместного обсуждения алгоритм решения числового кроссворда; использовать его в ходе самостоятельной работы.
Применять изученные способы учебной работы и приёмы вычислений для работы с числовыми головоломками.
Анализировать правила игры. Действовать в соответствии с заданными правилами.
Включаться в групповую работу.
Участвовать в обсуждении проблемных вопросов, высказывать собственное мнение и аргументировать его.
Выполнять пробное учебное действие, фиксировать индивидуальное затруднение в пробном действии.
Аргументировать свою позицию в коммуникации, учитывать разные мнения, использовать критерии для обоснования своего суждения.
Сопоставлять полученный результат с заданным условием.
Контролировать свою деятельность: обнаруживать и исправлять ошибки.
Анализировать текст задачи: ориентироваться в тексте, выделять условие и вопрос, данные и искомые числа (величины).
Искать и выбирать необходимую информацию, содержащуюся в тексте задачи, на рисунке или в таблице, для ответа на заданные вопросы.
Моделировать ситуацию, описанную в тексте задачи.
Использовать соответствующие знаково-символические средства для моделирования ситуации.
Конструировать последовательность «шагов» (алгоритм) решения задачи.
Объяснять (обосновывать) выполняемые и выполненные действия.
Воспроизводить способ решения задачи.
Сопоставлять полученный результат с заданным условием.
Анализировать предложенные варианты решения задачи, выбирать из них верные.
Выбрать наиболее эффективный способ решения задачи.
Оценивать предъявленное готовое решение задачи (верно, неверно).
Участвовать в учебном диалоге, оценивать процесс поиска и результат решения задачи.
Конструировать несложные задачи.
Ориентироваться в понятиях «влево», «вправо», «вверх», «вниз».
Ориентироваться на точку начала движения, на числа и стрелки 1→ 1↓ и др., указывающие направление движения.
Проводить линии по заданному маршруту (алгоритму).
Выделять фигуру заданной формы на сложном чертеже. Анализировать расположение деталей (треугольников, уголков, спичек) в исходной конструкции.
Составлять фигуры из частей.
Определять место заданной детали в конструкции.
Выявлять закономерности в расположении деталей; составлять детали в соответствии с заданным контуром конструкции.
Сопоставлять полученный (промежуточный, итоговый) результат с заданным условием.
Объяснять выбор деталей или способа действия при заданном условии.
Анализировать предложенные возможные варианты верного решения.
Моделировать объёмные фигуры из различных материалов (проволока, пластилин и др.) и из развёрток.
Осуществлять развернутые действия контроля и самоконтроля: сравнивать построенную конструкцию с образцом.
Тематическое планирование курса
«Развитие вариативного мышления»
4 класс (56 часов)
№ п/п
Тема занятия
Кол-во час.
Задачи урока
Дата
проведения
Вводное занятие. Из истории математики. «Как люди научились считать».
Магия чисел. Наука нумерологии.
Способствовать активизации познавательного процесса.
Дерево возможностей.
Способствовать активизации познавательного процесса.
Дерево возможностей. решение комбинаторных задач.
Способствовать активизации познавательного процесса.
Решение задач на нахождение величин по их сумме и разности
Способствовать выработке навыка решения задач на нахождение величин по их сумме и разности
Выделение признаков. Сходство и различие в письменном умножении на однозначные, двузначные и трёхзначные числа.
Любителям математики. Турнир смекалистых.
Способствовать активизации познавательного процесса.
Волшебный круг. Правила сравнения. Сравнение дробей.
Закрепить сравнение дробей на примере круга.
Игры с числами. Решение задач на нахождение части числа, числа по его части.
Способствовать выработке навыка решения задач на нахождение части числа и числа по части.
Модель машины времени. Решение задач с именованными числами.
Решать задачи с именованными числами.
Закономерности в числах и фигурах. Многозначные числа.
Способствовать умению записывать многозначные числа.
Отважный путешественник. Решение задач на нахождение скорости, времени и расстояния.
Закрепить решение задач на движение.
Нахождение площади фигур.
Волшебный квадрат.
Нахождение объёма фигур.
Способствовать выработке навыка нахождения площади фигур и объёма фигур.
Игры на развитие наблюдательности. Прикидка суммы и разности при работе с многозначными числами.
Способствовать развитию наблюдательности, умению находить сумму и разность методом прикидки.
Решение задач на развитие смекалки и сообразительности.
Содействовать поиску альтернативных способов решения задач и примеров с многозначными числами.
Поиск альтернативных способов действий.
Арифметические действия с круглыми числами.
Содействовать поиску альтернативных способов решения примеров с многозначными и круглыми числами.
Закрепление способности комбинировать. Решение сложных уравнений.
Способствовать умению решать сложные уравнения.
Задачи – тесты.
Блиц - турнир.
Составление алгоритмов и применение их на практике при решении примеров.
Создать проблемную ситуацию для составления учащимися алгоритма решения примеров (умножение многозначного числа на однозначное и на двузначное число).
Действия противоположные по значению. Использование обратной операции при решении задач, уравнений, примеров.
Содействовать привитию интереса к предмету математика, активизировать познавательный процесс.
Выделение признаков. Сходство и различие в письменном умножении на однозначное и двузначное число.
Содействовать привитию интереса к предмету математика, активизировать познавательный процесс.
Математические головоломки.
Содействовать привитию интереса к предмету математика, активизировать познавательный процесс.
Блиц – турнир.
Задачи – тесты.
Активизировать познавательный процесс учащихся, подбирая задачи от простого к сложному.
Придумывание по аналогии. Решение задач и составление обратных задач к данным.
Способствовать умению составлять задачи по данным схемам, математическим выражениям; составлять задачи обратные данной задаче.
Из истории чисел. Применение различных цифр и чисел в современной жизни.
Способствовать расширению интереса учащихся, умению опираться на жизненный опыт.
Развиваем воображение. Составление задач на нахождение среднего арифметического числа
Способствовать развитию воображения учащихся, умению отстаивать свою точку зрения.
Волшебный круг. Составление круговых диаграмм. Решение задач с использованием круговых диаграмм.
Способствовать умению составлять задачи по данной диаграмме.
Путешествие по числовому лучу. Координаты на числовом луче.
Расширить знания о круговых диаграммах, числовом луче, координатах на числовом луче.
Игра «морской бой». Координаты точек на плоскости.
Расширить знания о координатах на плоскости, содействовать в умении играть в игру «Морской бой».
Подведение итогов обучения.
Смотр знаний.
Обобщить знания учащихся, полученные на курсе дополнительного образования.
Развитие вариативного мышления у младших школьников на уроках математики
Под вариативностью мышления в психологии понимают способность человека находить разнообразные решения. Показателями развития вариативности мышления являются его продуктивность, самостоятельность, оригинальность и разработанность. Вариативность мышления определяет возможности личности творчески мыслить, помогает лучше ориентироваться в реальной жизни. Окружающая нас действительность многообразна и изменчива. Современный человек постоянно оказывается в ситуации выбора варианта решения проблемы, который является оптимальным в данной ситуации. Успешнее это будет делать тот, кто умеет искать разнообразные варианты и выбирать среди большого числа решений.
Развитие вариативности мышления особенно актуально для обучения. Так, проявление этого качества мышления требуется, например, при решении задач с помощью подбора, когда ученик рассматривает все возможные ситуации, анализирует их и исключает несоответствующие условию.
Задания, способствующие развитию вариативности мышления учащихся, можно разделить на несколько групп. Это задания:
1) имеющие единственный правильный ответ, нахождение которого осуществляется разными способами;
2) имеющие несколько вариантов ответа, причем их нахождение осуществляется одним и тем же способом;
3) имеющие несколько вариантов ответа, которые находятся отличающимися способами.
Приведу примеры заданий к каждой группе.
З а д а н и е 1 (группа 1). Найди выражения, значения которых можно вычислить разными способами:
(7+20):9
(30+8)+20
(28+21):7
(10+4)*1
(60+30)-80
100:(20+5)
О т в е т:
(30+8)+20
(28+21):7
(10+4)*1
100:(20+5)
З а д а н и е 2 (группа2). Петя живет в квартире 200. на его этаже есть еще 3 квартиры. Запиши, какие номера могут быть у этих квартир.
О т в е т: Это задание с многовариантным ответом. В нем не указано, как расположена на этаже квартира Пети, поэтому находятся все возможные варианты одним способом:
а) 200,201,202,203;
б) 199,200,201,202;
в) 198,199,200,201;
г) 197,198,199,200.
З а д а н и е 3 (группа 3). Какое одно изменение нужно внести в запись, чтобы неравенство
465 456 стало верным? Рассмотри все варианты.
Выполнить данное задание можно разными способами, получив при этом разные ответы. Во-первых, можно исправить знак неравенства (467 456). Во-вторых, можно исправить первое число: убрать цифру в разряде сотен (67 456); изменить цифру в разряде сотен (447 456, 437 456, 427 456, 417 456, 407 456). В-третьих, можно исправить второе число: приписать цифру, обозначающую единицы тысяч (467 1456, 467 2456 и т.д.); изменить цифру в разряде сотен (467 556, 467 656, 467 756, 467 856, 467 956); изменить цифру в разряде десятков (467 476, 467 486, 467 496).
К заданиям третьей группы можно отнести комбинаторные задачи. При их решении способом перебора составляют различные варианты и рассуждения, проводимые учащимися, могут быть разные.
Ученикам можно предлагаются многовариантные задания (у которых есть несколько ответов), специально направленные на формирование определенного показателя развития вариативности мышления: продуктивности, оригинальности и самостоятельности.
Задания, способствующие развитию продуктивности, должны содержать указание на поиск различных вариантов решения. При их выполнении главным будет количество найденных учеником вариантов. Начинать нужно с заданий, предполагающих небольшое число вариантов (от 2 до 4), а затем можно переходить к большему числу вариантов решения, но их количество должно ограничиваться, чтобы у учащихся не пропал интерес к выполнению заданий.
З а д а н и е 1. Запиши все возможные трехзначные числа, сумма цифр которых равна четырем.
О т в е т: 400, 310, 301, 130, 103, 220, 202, 112, 121, 211.
З а д а н и е 2. Вставь знаки действий, чтобы равенства стали верными. Приведи все возможные варианты выполнения задания.
а) 12…1=12;
б) 12…0=12;
в) 17…28=28…17;
г) (9…4)…2=9…(4…2);
О т в е т:
а) 12*1=12, 12:1=12;
б) 12+0=12, 12-0=12;
в) 17+28=28+17, 17*28=28*17;
г) (9+4)+2=9+(4+2), (9*4)*2=9*(4*2), (9+4)-2=9+(4-2), (9-4)-2=9-(4+2).
При выполнении данного задания ученики опираются на теоретические знания об арифметических действиях. Можно подвести учащихся к обобщениям, например, что от перестановки двух чисел только при сложении и умножении результат не изменится.
З а д а н и е 3. Вспомни единицы различных величин. Вставь вместо точек наименования, рассмотри разные варианты:
а) 1…=10…;
б) 1…=100…;
в) 1…=1000…
О т в е т:
а) 1см=10мм, 1дм=10см, 1м=10дм; 1т=10ц;
б) 1дм=100мм; 1ц=100кг; 1см =100мм; 1м=100см, 1дм =100см, 1м =100дм;
в) 1км=1000м, 1м=1000мм; 1кг=1000г, 1т=1000кг;
Можно добавить:
1р.=100коп.; 1век=1000лет.
Показатель продуктивности не дает полного представления о развитии вариативности мышления у школьников. Один ученик может привести много вариантов, но они будут аналогичными. Другой ученик приведет только два варианта, но они будут принципиально различаться. Поэтому необходимо учитывать и показатель оригинальности.
Задания, способствующие развитию оригинальности, должны содержать вариант (или аналогичные варианты) решения, а также указание на поиск вариантов, отличных от данного. При их выполнении учитывается степень отличия найденных вариантов от представленных в условии.
З а д а н е 1. Вставь пропущенные единицы длины, чтобы записи стали верными:
3…5…=35см;
3…5…=305см;
3…5…=350см.
Чем похожи все числа, которые стоят после знака «=»? Какие числа, отличающиеся от них, могут стоять после знака «=»? Найди их.
3…5…=…;
3…5…=…;
3…5…=… .
О т в е т:
3дм 5см=35см;
3м 5см=305см;
3м 5дм=350см.
3мин.5с.=185с;
3сут.5ч.=77ч.;
3г.5мес.=41мес.
З а д а н и е 2. Вставь пропущенные единицы величины, чтобы записи стали верными:
4…-2…=38…;
4…-2…=398…;
4…-2…=3998…;
Подбери такие единицы величин, чтобы результат не заканчивался цифрой 8.
О т в е т:
4т-2ц=38ц;
4ц-2кг=398кг;
4кг-2г=3998г;
4кг-2кг=2кг;
4г.-2мес.=46мес.;
4сут.-2ч.=94ч.;
З а д а н и е 3. Неверное равенство 3м-20см=10см исправили, изменив результат:
3м-20см=280см.
Как по-другому можно исправить неверное равенство, сделав только одно изменение? Рассмотри разные варианты.
О т в е т:
3дм-20см=10см;
3м-20см 10см.
Во всех предыдущих заданиях ученик был нацелен на поиск различных вариантов. Но важно, чтобы он сам стремился выяснить при выполнении заданий, нет ли других решений. Необходимо строить работу над показателем самостоятельности вариативности мышления.
Задания, способствующие развитию самостоятельности в проявлении вариативности, не должны содержать специальное указание на поиск различных вариантов. При их выполнении не является принципиальным, сколько вариантов приведено учеником, главное, что он сам, без посторонней подсказки стал искать разные варианты.
Сначала формулировки заданий могут содержать некоторый намек на наличие многовариантного ответа, например, как это сделано в задании 1:
З а д а н и е 1: Какие числа можно вставить, чтобы равенства были верными?
а) 700:10= __ + __ ;
б) 5*__ = __ -400;
в) __ +8= __ :50;
г) 630: __ =70- __ .
О т в е т:
а) 700:10= 1+69, 700:10=2+68 и т.д.;
б) 5*1=405-400, 5*2=410-400 и т.д.;
в) 0+8=400:50, 1+8=450:50 и т.д.;
г) 630:9=70-7, 630:10=70-7 и т.д.
При выполнении такого задания ученики замечают возможность нахождения разных вариантов и могут задать вопрос: «Сколько вариантов нужно записать?» Можно ограничить время выполнения задания, и тогда каждый ученик запишет столько вариантов, сколько успеет.
З а д а н и е 2: Из трехзначного числа вычитают двузначное число. Сколько цифр будет в записи их разности? Приведи пример, подтверждающий твой ответ.
О т в е т: 3 цифры: 634 – 12=621;
2 цифры: 104 – 14=90;
1 цифра: 100 – 99-1.
В этом задании формулировка уже не наталкивает на поиск различных вариантов, ученики должны проявить самостоятельность.
З а д а н и е 3: Составь примеры по схемам, где это возможно. Вычисли. Где невозможно составить пример? Объясни, почему.
а) __ __ + __ = __ __ __ ;
б) __ __ - __ = __ __ __ ;
в) __ __ - __ = __ __ ;
г) __ __ __ - __ __ = __ __ ;
д) __ + __ + __ = __ __ __ ;
е) __ __ __ - __ - __ = __ .
О т в е т:
а) 99+1=100, 99+2=101, 99+3=102 и т.д.; 98+2=100, 98+3=101 и т.д.;
б) нельзя;
в) 11-1=10, 12-2=10 и т.д.;
г) 100-10=90, 100-11=89 и т.д.; 101-10=91, 101-11=99 и т.д.;
д) нельзя;
е) нельзя.
В задании 3 создана более сложная ситуация в проявлении самостоятельности мышления, так как для одной части равенств дается однозначный ответ, а для другой многовариантный ответ.
Названные виды заданий должны включаться в обучение последовательно.
При работе по развитию вариативного мышления наблюдается и развитие таких качеств как:
Логическое мышление;
Умение выбирать удобный способ решения;
Зрительное восприятие;
Навыки анализа, синтеза, сравнения, классификации;
Дифференцированный и индивидуальный подход;
Самостоятельность мышления (умение делать выбор и принимать решение).
В качестве одного из важнейших средств формирования осознанных и прочных знаний по математике можно использовать метод варьирования текстовых задач как способ конструирования учебного материала и как метод организации учебной деятельности учащихся.
Приведу некоторые приемы работы по развитию вариативного мышления у учащихся начальных классов:
- В готовое условие вставляется одно, а затем и два пропущенных числовых данных.
- К готовому условию ставятся вопросы.
- К вопросу подбирается условие задачи.
- Составление задач:
По инсценировке.
По иллюстрациям (картинке, плакату, чертежу и т.д.)
По числовым данным.
По готовому решению.
По готовому плану.
Составление аналогичных задач.
5. Изменение отношений между данными условия задачи и выяснение, как это изменение отразится на решении задачи
6. Изменение вопроса задачи.
7. Изменение условия задачи, привнесение в него дополнительного данного или изъятие какого-либо данного.
Очень важно, если для составления задач учащиеся используют материал, «добываемый» ими во время экскурсий, из справочников, газет, журналов и др., т.е. – из своего жизненного опыта.
Приведу пример работы над задачей:
Расстояние между двумя автобусными остановками 1 км. От этих остановок отошли два автобуса. Один из них прошел 140 м, а другой – 160 м. Каким стало расстояние между автобусами? (Задача содержит новый для ребенка сюжет: движение двух тел). Такое движение может быть трех видов:
1) навстречу друг другу;
2) в противоположные стороны;
3) вдогонку один другому.
При выполнении таких заданий школьники не только демонстрируют знания, умения, навыки, но и показывают, насколько развито их логическое мышление, сформулировано умение анализировать, сравнивать, классифицировать, преобразовывать по следующим показателям:
а) способность выполнять любое задание по самостоятельно выбранному пути (что позволяет судить о сформированности отдельных операций и умений комплексно использовать их);
б) использование вариативности при выполнении задания;
в) способность к переключению с одного основания поиска на другое.
Использование вариативности характеризует глубину ума, так как в этой способности проявляется умение выделять и использовать в работе основную идею, позволяющую системно выявлять все возможные варианты и находить из них самый оптимальный
Общеизвестно, что наряду с формированием основных математических понятий, изучением свойств чисел, арифметических действий в начальном обучении важнейшее место всегда занимало формирование у школьников вычислительных навыков. Сегодня значимость названных навыков уменьшилась в связи с широким внедрением во все сферы человеческой деятельности электронной вычислительной техники, использование которой, несомненно, облегчает процесс вычислений.
Из исследований прошлых лет наибольшим авторитетом пользуются работы М.А. Бантовой, опубликованные дважды в методическом журнале «Начальная школа» [№10, 1975 и №11, 1983].
Вычислительный навык М.А. Бантова определила как «высокую степень овладения вычислительными приемами» и выделила следующие его характеристики - правильность, осознанность , рациональность, обобщенность, автоматизм, прочность.
Вычислительное умение - это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется. Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством.
Опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, связи и зависимости между результатами и компонентами действий, а также десятичный состав чисел, раскрываются приемы устных и письменных вычислений. Такой подход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной стороны, формирование осознанных умений и навыков, т.к. учащиеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а с другой стороны, при такой системе лучше усваиваются свойства действий, их законы и т.д.
Одновременно с изучением свойств арифметических действий и соответствующих приемов вычислений раскрываются на основе операций над множествами или над числами связи между компонентами и результатами арифметических действий, ведутся наблюдения за изменением результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов.
Остановимся более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность, которая напрямую связана с вариативностью.
Вариативность мышления связана с умением «видеть» несколько возможных ситуаций, в которых сохраняются существенные свойства объекта, но изменяются несущественные.
Рациональность вычислений - это выбор тех вычислительных операций из возможных, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия »..
Усиление внимания к рационализации вычислений связано с практической направленностью математического образования, которая означает развитие умений школьников применять полученные знания, действовать не только по образцу, но и в нестандартных ситуациях, комбинируя известные способы решения учебной задачи. Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Применение свойств арифметических действий позволяет учителю воспитывать интерес к математике, вызвать у детей желание научиться вычислять наиболее быстрыми, лёгкими и удобными способами. Такой подход позволит поддерживать стремление к использованию математических знаний в повседневной жизни.
Умение рационально выполнять вычисления опирается на осознанное использование законов арифметических действий, применение этих законов в нестандартных условиях, использование искусственных (универсальных) приемов упрощения вычислений.
Свойства арифметических действий (переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения) не являются специальным предметом изучения в начальной школе, а рассматриваются в связи с формированием устных приёмов вычислений. Это означает, что в процессе обучения на конкретных простых числовых примерах рассматриваются различные способы прибавления числа к сумме, суммы к числу; вычитания числа из суммы, суммы из числа; умножения суммы на число и др. с целью формирования умения осознанно выбирать те способы, которые позволяют рационально осуществлять процесс вычислений.
В начальном курсе математики изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема, конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения ..
В учебниках математики представлены приемы рациональных вычислений с точки зрения методики. Превалирование же действий по образцу в вычислительной деятельности младших школьников в условиях массового обучения обусловливает становление вычислительных стереотипов, применение которых возможно лишь в знакомой ситуации.
Проблема рациональных вычислений неоднократно поднималась на страницах журнала «Начальная школа». . Авторы публикаций достаточно подробно описывают теоретические основы различных вычислительных приемов, часть из них может успешно применяться учителями при обучении младших школьников. Это способ группировки, умножения и деления на 11, 5, 50, 15, 25 и др., округления одного из компонентов арифметического действия и др.; теоретическая основа их - свойства арифметических действий, ознакомление с которыми происходит в начальном курсе математики . Остановимся на некоторых из способах вычислений, которые, на наш взгляд, посильны учащимся, но не используются в практике обучения младших школьников.
Прием округления, основанный на изменении результата вычисления при изменении одного или нескольких компонентов.
- Сложение. Для нахождения значения суммы используется прием округления одного или нескольких слагаемых.
при увеличении (уменьшении) слагаемого на несколько единиц сумму уменьшаем (увеличиваем) соответственно на столько же единиц:
- 224+48=224+(48+2)-2=(224+50)-2=274-2=272 или
- 224+48=(220+50)+4-2=270+4-2=272.
- Вычитание
- при увеличении (уменьшении) уменьшаемого на несколько единиц разность уменьшаем (увеличиваем) на столько же единиц:
397-36=(400-36)-3=364-3=361;
- при увеличении (уменьшении) вычитаемого на несколько единиц разность увеличиваем (уменьшаем) на столько же единиц:
434-98=(434-200)+2=234+2=236;
- при увеличении (уменьшении) уменьшаемого и вычитаемого на несколько единиц разность не измениться:
231-96=(231+4)-(96+4)=235-100=135.
- Умножение
При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)
97х6=(100-3)х6=100х6-3х6=600-18=582.
Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999. Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154=1540-154=1386.
Но еще проще ознакомить детей с правилом - «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа):
154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386
Интересны школьникам и способы сокращенного умножения, к которым относится умножение на 15, 150, 11 и др., теоретической основой которых является умножение числа на сумму.
Например, при умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения: 23х15=23х(10+5)=230+115=345; если же число четное, то поступаем еще проще - к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:
18х15=(18+9)х10=27х10=270.
При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т.к.150=15х10:
24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600.
Теоретической основой умножения двузначных чисел является правило умножения суммы на число. Например, 18х16. Сначала число 18 представляют в виде «суммы удобных (разрядных) слагаемых», потом выполняют последовательные вычисления, используя распределительный закон умножения относительно сложения: (10+8)х16=10х16+8х16=160+128=288.
Найти значение данного выражения устно можно проще: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел: 18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288. Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23х24 = (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562. Способ отличается от тех «рациональных вычислений», которым обучают детей в школе.
В учебной литературе описываются и другие универсальные способы быстрого счета (рациональных вычислений), которые всегда можно обосновать математически и основываются они на известных законах и свойствах арифметических действий .
Перебор вариантов при решении математических задач тренирует вариативность мышления и его подвижность.
Приведу примеры по перебору вариантов.
Обучающий дает устное задание из таблицы. Этой таблицей пользуется только обучающий. В ней 4 колонки разных чисел. Берутся только 2 числа, стоящие по вертикали рядом.
Пример выполнения задания:
"Какие действия необходимо произвести с числом 32, чтобы получить последующее число 2?"
Учащиеся в уме перебирают варианты математических действий с числом 32 для получения 2. Этими действиями могут быть сложение, вычитание, умножение и деление. Для данных чисел возможны варианты:
32:16=2 32-30=2
Затем в соответствии с таблицей обучающий предлагает выполнить новое задание: "Какие действия необходимо произвести с числом 2, чтобы получить 60?" После перебора вариантов учащиеся получают:
2*30 = 60 2+58 = 60ит.д.
Время для выполнения задания желательно постепенно сокращать.
Предшествующее задание можно усложнить, предлагая в уме методом перебора вариантов решить задачу уже с 3 числами. Задания даются устно обучающим по таблице "Знакоискатель".
Задаваемые числа находятся в первой колонке таблицы. Во второй колонке напротив строчки с задаваемыми числами находятся 3 числа, которые показывают результаты различных действий с задаваемыми числами. В последней колонке, напротив каждой строки с задаваемыми числами и возможными результатами действий с ними, даны 3 набора знаков. В каждом наборе-2 математических знака. Они расположены по горизонтали. Два знака в первом наборе показывают, какие действия следует произвести с задаваемыми знаками, чтобы получить результат, данный в первом числе набора результатов.
Например:
Задаваемые числа: 11.4.7. Результат: 49.8.22. Знаки: - ;+-; ++.
Если произвести действие с первым набором знаков т.е. вычитание и умножение, то получим 49 = (11 - 4) 7.
Если произвести действия со вторым набором знаков (сложение и вычитание) получим число 8=11+4-7.
Обучающий дает задание: "Решить в уме задачу - какие действия необходимо произвести с числами 11.4.7. чтобы получить результат 49?" Учащиеся в уме перебирают варианты действий с задаваемыми числами для получения результата 49. Пример решения смотри выше. Первое время можно разрешать записывать условия. Третья знаковая колонка является ключом. Он предназначен только для облегчения работы обучающего.
Тренажер предназначен для решения в уме задач с 3 числами методом перебора вариантов возможных математических действий. Он позволяет интенсифицировать работу по поиску необходимого результата
Таким образом, использование вариативности характеризует глубину ума, так как в этой способности проявляется умение выделять и использовать в работе основную идею, позволяющую системно выявлять все возможные варианты и находить из них самый оптимальный.
Вариативность вычислительных навыков школьников формирует интерес, положительную мотивацию к вычислительной деятельности.
Использованная литература:
- Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. - 1993. - № 11. - С. 38-43.
- Гельфан Е.М. Арифметические игры и упражнения. - М.: Просвещение, 1968. - 112с.
- Демидова Т.Е., Тонких А.П. Приемы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. - 2002. - №2. - С. 94-103.
- Зимовец Н.А., Пащенко В.П. Интересные приемы устных вычислений // Начальная школа. - 1990. - №6. - С. 44-46.
- Фаддейчева Т.И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. - 2003. - №10. - С. 66-69.
- Чекмарев Я.Ф. Методика устных вычислений. - М.: Просвещение, 1970. - 238с.
Иногда мы оказываемся в ситуациях, когда нужно быстро принимать решение, действовать и видеть варианты развития. Но не всегда это легко удаётся. Мы тормозим, впадаем в ступор, а позже понимаем, что же нужно было сделать или сказать. Как говорится, "хорошая мысля приходит опосля".
Такое торможение связано с отсутствием привычки мыслить вариативно. В критических ситуациях это особенно мешает. Чтобы развить вариативное мышление, нужно практиковать импровизацию. Импровизация учит действовать быстро и в тот самый момент.
Вот несколько советов, как развивать вариативное мышление в жизни.
- Через воображение.
Представьте в воображении любой предмет. Например, велосипед. Удерживайте этот образ и одновременно дорисовывайте картинку вокруг него. Может появиться дорога, по которой едет этот велосипед, рядом речка, на берегу которой сидит рыбак, у него ведро с уловом, на другой стороне симпатичные домики, летают птички… Но велосипед всегда присутствует. Вы как будто рисуете картину, в которой постоянно появляются новые детали.
Потом начните снова и нарисуйте вокруг того же велосипеда другую картину.
Это упражнение приучает наш ум мыслить широко и видеть картину целиком, видеть варианты.
- Через речь.
Скажите иначе! Вместо знакомого "Привет " скажите — "Салют", "Бон жур", "Рад вас приветствовать" . Поиграйте со словами. Ведь один и тот же смысл можно передать по-разному. Сходите с привычных рельсов!
- Через действие.
Помешайте сахар в чашке другой рукой, купите неожиданно цветы, оденьте что-то новое или немного непривычное, пройдите другим маршрутом. Нарушайте привычный ход действий. В мелочах, понемногу, и эта практика войдёт в привычку — всё время видеть новые возможности и варианты действий.
Тренируясь таким образом, вы нарабатываете вариативность мышления. И она вас уже никогда не подведёт!
Как видите, чтобы применять эти нехитрые приёмы, не нужно долго учиться, нужно просто начать импровизировать. Как говорится, "аппетит приходит во время десерта" .
Чем больше практики и игры — тем лучше! Тем легче будут придумываться диалоги, тем шире будут варианты действия, тем интереснее будут сами импровизации и смешнее или глубже истории.
Когда мы говорим о человеческом общении, то в нём тоже действуют законы игровой импровизации. Мир меняется с огромной скоростью, в нём нет места постоянству. Каждый раз мы оказываемся в новой ситуации и не всегда знаем, каким будет следующий ход.
Девиз современного общества — уникальность! Импровизация добавляет к этому ещё осознанность, оптимальность и радость.
Вся наша жизнь — одна большая импровизация. И человек создаёт свою жизнь в момент её исполнения (проживания). В Impro-играх мы постигаем разные формы общения и взаимодействия, разные социальные ситуации, создаём и играем свои собственные роли.
Идеальное состояние импровизации — это сочетание лёгкости, энергии и осознанности. И тут надо разделять внимание — вариативность — внутри, а конкретность — снаружи! Вы продумываете множество ходов, но делаете один и очень уверенно, и точно.
И не забывайте, когда мы играем на сцене — это всегда персонаж! Он думает немного иначе, чем мы. И с ним нужно находить полный контакт. Целиком подключаться и действовать.
Одна из ошибок в импровизации — это скромность: "Я чуть-чуть поиграю, чуть-чуть отреагирую… может, никто и не заметит…" .
Такая позиция просто невозможна! Входите в игру полностью.
В актёрском мастерстве это называется вера в предлагаемые обстоятельства. Только в пьесе мы обстоятельства знаем заранее, а в импровизации они создаются во время игры!
Так что вгрызайтесь в игру по полной!
А ещё тут можно провести параллель с жизнью. В жизнь тоже надо погружаться тотально!
