Subsystémy pro počítačovou grafiku a geometrické modelování (MGiGM) zaujímají ústřední místo ve strojírenském CAD-K. Návrh výrobků v nich se zpravidla provádí v interaktivním režimu při práci s geometrickými modely, tj. matematické objekty, které zobrazují tvar dílů, složení montážních celků a případně některé další parametry (hmotnost, moment setrvačnosti, barvy povrchu atd.).
Typická cesta zpracování dat v subsystémech MGIGM zahrnuje získání návrhového řešení v aplikačním programu, jeho reprezentaci ve formě geometrického modelu (geometrické modelování), přípravu návrhového řešení pro vizualizaci, samotnou vizualizaci v zařízení pracovní stanice a další. v případě potřeby oprava řešení v interaktivním režimu. Poslední dvě operace jsou implementovány na základě hardwaru počítačové grafiky. Když se mluví o matematickém softwaru MGIGM, myslí se tím především modely, metody a algoritmy pro geometrické modelování a přípravu pro vizualizaci. V tomto případě je to často matematický software pro přípravu vizualizace, který se nazývá software pro počítačovou grafiku.
Existuje dvourozměrný (2D) a trojrozměrný (3D) modelovací software. Hlavní aplikace 2D grafiky jsou příprava výkresové dokumentace v CAD systémech pro strojírenství, topologický návrh desek plošných spojů a LSI krystalů v CAD systémech pro elektronický průmysl. V pokročilých strojírenských CAD systémech se 2D i 3D modelování využívá pro syntézu struktur, znázornění trajektorií pracovních těles obráběcích strojů při zpracování obrobků, generování sítě konečných prvků při pevnostní analýze atd.
V procesu 3D modelování vznikají geometrické modely, tzn. modely, které odrážejí geometrické vlastnosti výrobků. Existují geometrické modely: rám (drát), povrch, objemový (pevný).
Drátový model představuje tvar součásti jako konečnou sadu čar ležících na površích součásti. Pro každou čáru jsou známy souřadnice koncových bodů a je uveden jejich dopad na hrany nebo plochy. Operace s drátěným modelem pro další operace návrhových tras je nepohodlná, a proto se drátové modely v současnosti používají jen zřídka.
Model povrchu zobrazuje tvar součásti určením jejích ohraničujících ploch, jako je kolekce dat ploch, hran a vrcholů.
Zvláštní místo zaujímají modely dílů s povrchy složitého tvaru, tzv. skulpturální povrchy. Mezi takové části patří trupy mnoha vozidel (například lodí, automobilů), části usměrněné prouděním kapalin a plynů (lopatky turbín, křídla letadel) atd.
Trojrozměrné modely se vyznačují tím, že explicitně obsahují informaci o tom, zda prvky patří do vnitřního nebo vnějšího prostoru ve vztahu k dílu.
Uvažované modely zobrazují tělesa s uzavřenými objemy, což jsou takzvané rozdělovače. Některé systémy geometrického modelování umožňují provoz nemanifoldových modelů, jejichž příklady jsou modely těles, která se vzájemně dotýkají v jednom bodě nebo podél přímky. Malé modely jsou vhodné v procesu navrhování, kdy je v mezistupních užitečné pracovat současně s 3D a 2D modely bez zadání tloušťky stěn konstrukce atd.
Jedná se o modely, které s určitou přesností popisují geometrické vlastnosti navrženého objektu. Geometrické vlastnosti jsou prostorový vztah a tvary (figury). V geometrii jsou pojmy prostor a figury definovány na základě pojmu množina. Prostor je definována jako množina libovolných prvků (bodů) a postava je definována jako libovolná množina bodů v daném prostoru.
CAD využívá matematické znázornění geometrického modelu. Věda, která se tím zabývá - inženýrství (aplikované) geometrie. V geometrickém modelování se objekt návrhu jeví jako geometrický objekt (JÍT). Pro jakýkoli geometrický objekt můžete definovat sadu nezávislých podmínek, které tento objekt jednoznačně definují, to znamená, že vám umožní určit pro jakýkoli bod v prostoru, zda tento bod patří k objektu či nikoli. Takový soubor nezávislých podmínek se nazývá determinant geometrický objekt. Podmínky zahrnují geometrické tvary (body, linie, plochy) a určitou posloupnost akcí, kterými z nich geometrické tvary můžete sestavit tento geometrický objekt. Tato posloupnost akcí se nazývá algoritmus přehrávání daný geometrický objekt.
Kvantitativně je charakterizován geometrický objekt parametry . Při výběru parametrů je důležité zohlednit oblasti jejich existence, např. u trojúhelníku jsou čísla vyjadřující délky stran vždy větší než nula a součet dvou čísel je větší než třetí číslo.
Pro popis geometrický obrazec je třeba rozlišovat dva typy parametrů - formuláře a předpisy . Možnosti formuláře charakterizují velikost a tvar geometrického obrazce, nemění se při změně polohy obrazce v prostoru; parametry polohy charakterizovat polohu geometrického útvaru v prostoru. Parametrizace formuláře se provádí v souřadnicovém systému, který je spojen se samotnou postavou a pohybuje se s ní. Parametrizace polohy obrazce se provádí v souřadnicovém systému bez ohledu na obrazec.
Při popisu geometrického objektu se rozlišují podmnožiny hraničních bodů - povrchu geometrického objektu ; a podmnožina vnitřních bodů - těleso geometrického objektu .
Geometrické objekty mají složité tvary a složité struktury. Geometrické objekty složitého tvaru jsou takové, které mají povrch složité povahy (například trup lodi, automobil). Geometrické objekty složité struktury - skládající se z několika GO.
V počítačově podporovaném návrhu jsou známy dva hlavní přístupy ke geometrické modulaci:
První přístup spočívá v tom, že se rozlišuje určitá množina geometrických obrazců, které jsou v této třídě úloh považovány za elementární (základní). Spolu s geometrickou množinou je představena množina akcí - geometrické operace na této množině. Geometrický objekt se v tomto případě nazývá kompozitní (konstruktivní).
Druhý přístup přímý popis a reprodukce geometrických vlastností předmětu bez použití pomocných, předem připravených pevných obrazců. V tomto případě je zákon vzniku geometrického objektu přímo popsán jako množina bodů s odpovídajícími vlastnostmi.
Přístup založený na "přímém" modelování geometrického objektu v závislosti na způsobu formování lze rozdělit na po částech-analytické a algebraicko-logické modely objektu .
V dílčích analytických modelech Povrch objektu je reprezentován samostatnými kusy hladkých povrchů nazývaných obličeje. Každá plocha je definována vlastní rovnicí povrchu a hranicemi ploch. žebra geometrického objektu nebo hranice plochy jsou průsečíky povrchů, které ohraničují geometrický objekt. Nazývají se průsečíky hran vrcholy .
Existují tři typy modelů: tyčové, skořepinové a volumetrické.
Model prutu geometrického objektu umožňuje velmi jednoduše dát tvar obrazu navrženého objektu vytvořením drátěného modelu geometrického objektu. V takovém modelu jsou popsány pouze hrany a vrcholy geometrického objektu, plochy nejsou popsány (obr. 1a), hrany jsou znázorněny jako tyče spojené v uzlech (vrcholy 1,2,3 ....). Základní rovnice pro popis takového modelu jsou rovnice přímky v trojrozměrném prostoru. Takový model je podmodel, ale umožňuje rychle zobrazit obraz geometrického objektu a také provádět operace, jako je vytváření axonometrických a perspektivních projekcí.
Matematický popis modelů tohoto druhu je poměrně jednoduchý, což určuje vysokou rychlost softwaru. Nevýhody takových modelů zahrnují složitost nebo nemožnost reprezentovat vnitřní vzhled objektu, konstruovat jeho libovolné řezy a řezy.
Geometrické modely objektu
tyč; b - skořápka
Skořápkový model objektu (obr. 1b), je založen na znázornění vnějšího vzhledu objektu ve formě sady ploch, které jsou plochami modelu (A, B, C ...). Průsečíky ploch tvoří hrany modelu.
Takový model je popsán soustavou povrchových rovnic a lze jej použít k modelování vzhledu objektů libovolného tvaru. Jeho hlavní nevýhodou je nemožnost znázornit vnitřní vzhled objektu, konstrukci jeho řezů a řezů.
Nejmodernějším modelem, který našel široké uplatnění v CADu, je objemový(pevný model). Všeobecně uznávaný řád modelování pevné tělo je posloupnost provádění booleovských operací (sjednocení, odčítání a průnik) na trojrozměrných prvcích (koule, hranoly, válce, kužely, jehlany atd.). Tyto prvky jsou popsány stejnými rovnicemi jako povrchy modelu skořepiny, avšak objemové prvky jsou považovány za vyplněné. Příklad provádění operací s hromadnými prvky je na obr.2.
Obr.2. Operace s pevnými prvky
Geometrický model objektu je chápán jako soubor informací, které jednoznačně určují jeho konfiguraci a geometrické parametry.
V současné době existují dva přístupy k automatizované tvorbě geometrických modelů pomocí výpočetní techniky.
První přístup, představující tradiční technologii tvorby grafických obrázků, je založen na dvourozměrném geometrickém modelu a vlastní využití počítače jako elektronického rýsovacího prkna, což umožňuje urychlit proces kreslení objektu a zkvalitnit projektovou dokumentaci. Ústřední místo v tomto případě zaujímá výkres, který slouží jako prostředek k znázornění výrobku v rovině ve formě pravoúhlých průmětů, pohledů, řezů a řezů a obsahuje všechny potřebné informace pro vývoj technologického postupu výroby. produkt. Ve dvourozměrném modelu je geometrie produktu zobrazena v počítači jako plochý objekt, jehož každý bod je reprezentován dvěma souřadnicemi: X a Y.
Hlavní nevýhody použití dvourozměrných modelů v počítačově podporovaném designu jsou zřejmé:
Vytvořený objektový design musí být mentálně reprezentován ve formě samostatných prvků výkresu (ortogonální projekce, pohledy, řezy a řezy), což je obtížný proces i pro zkušené vývojáře a často vede k chybám návrhu produktu;
Všechny grafické obrázky ve výkresu (ortogonální průměty, pohledy, řezy, řezy) jsou vytvářeny nezávisle na sobě a nejsou tedy asociativně propojeny, to znamená, že každá změna v objektu návrhu vede k nutnosti provádět změny (editace) v každém odpovídající grafické zobrazení výkresu, což je časově náročný proces a je příčinou značného počtu chyb při úpravách návrhů výrobků;
Nemožnost použití získaných výkresů k vytvoření počítačových modelů řídicích sestav objektů z jednotlivých komponent (agregátů, sestav a dílů);
Složitost a vysoká pracnost vytváření axonometrických snímků montážních celků výrobků, jejich katalogů a návodů k jejich obsluze;
Je neefektivní používat dvourozměrné modely v následujících fázích výrobního cyklu (po vytvoření návrhu produktu).
Druhý přístup k vývoji grafických obrazů designových objektů je založen na pomocí trojrozměrných geometrických modelů objektů, které jsou vytvářeny v automatizovaných 3D modelovacích systémech. Takové počítačové modely jsou vizuálním způsobem reprezentace designových objektů, který umožňuje odstranit uvedené nevýhody dvourozměrného modelování a výrazně rozšířit efektivitu a rozsah 3D modely v různých fázích výrobního cyklu výrobních produktů.
Trojrozměrné modely se používají pro počítačovou reprezentaci modelů produktů ve třech rozměrech, to znamená, že geometrie objektu je reprezentována v počítači pomocí tří souřadnic: X, Y a Z. To umožňuje přestavět axonometrické projekce modelů objektů v různé uživatelské souřadnicové systémy a také získat jejich axonometrické pohledy z libovolného úhlu pohledu nebo je vizualizovat jako perspektivu. Proto mají trojrozměrné geometrické modely značné výhody oproti dvourozměrným modelům a mohou výrazně zlepšit efektivitu návrhu.
Hlavní výhody trojrozměrných modelů:
Obraz je jasně a jednoduše vnímán návrhářem;
Detailní výkresy jsou vytvářeny pomocí automaticky získaných projekcí, pohledů, řezů a řezů trojrozměrného modelu objektu, což výrazně zvyšuje produktivitu vývoje výkresů;
Změny v trojrozměrném modelu automaticky způsobí odpovídající změny v asociativních grafických obrázcích kresby objektu, což vám umožní rychle upravit kresby;
Je možné vytvářet trojrozměrné modely virtuálních řídicích sestav a produktových katalogů;
Trojrozměrné modely slouží k vytváření provozních náčrtů technologických postupů výroby dílů a tvářecích prvků technologických zařízení: zápustky, formy, licí formy;
Pomocí trojrozměrných modelů je možné simulovat provoz výrobků za účelem zjištění jejich výkonnosti před výrobou;
Trojrozměrné modely se používají v automatizovaných systémech přípravy programů pro automatické programování trajektorií pohybu pracovních těles vícesouřadnicových obráběcích strojů s numerickým řízením;
Tyto výhody umožňují efektivně využívat 3D modely v automatizovaných systémech řízení životního cyklu produktů.
Existují tři hlavní typy 3D modelů:
- rám (drát), ve kterém jsou obrazy reprezentovány souřadnicemi vrcholů a hranami, které je spojují;
- povrchní , reprezentovaný plochami ohraničujícími vytvořený objektový model;
- pevné skupenství , který je tvořen z modelů pevných těles;
- hybridní .
Trojrozměrné grafické modely obsahují informace o všech grafických primitivech objektu umístěného v trojrozměrném prostoru, to znamená, že je sestaven numerický model trojrozměrného objektu, jehož každý bod má tři souřadnice (X, Y, Z) .
drátěný model představuje trojrozměrný obraz předmětu ve formě průsečíků tváří předmětu. Jako příklad ukazuje obrázek 10.1 drátový model a datovou strukturu. počítačový model vnitřní výpočty čtyřstěnu.
Rýže. 10.1. Tetrahedron drátěná datová struktura
Hlavní nevýhody drátěných modelů:
Není možné automaticky odstranit skryté čáry;
Možnost nejednoznačné reprezentace objektu;
V řezu objektem budou rovinami pouze průsečíky hran objektu;
Drátové modely však nevyžadují mnoho výpočtů, to znamená vysokou rychlost a velkou paměť počítače. Proto jsou ekonomické z hlediska jejich použití při vytváření počítačových obrazů.
V povrchových modelech trojrozměrný obraz předmětu je reprezentován jako soubor jednotlivých ploch.
Při vytváření trojrozměrných povrchových modelů se používají analytické a spline povrchy.
Analytické povrchy(rovina, válec, kužel, koule atd.) jsou popsány matematickými rovnicemi.
Spline plochy jsou reprezentovány poli bodů, mezi nimiž jsou pomocí matematické aproximace určeny polohy zbývajících bodů. Na Obr. Obrázek 10.2b ukazuje příklad spline plochy vytvořené posunutím ploché skici (obrázek 10.2a) ve zvoleném směru.
Rýže. 10.2. Příklad spline plochy
Nevýhody povrchových modelů:
V řezu objektem budou roviny pouze průsečíky ploch objektu s řeznými rovinami;
Je nemožné provádět logické operace sčítání, odčítání a průnik objektů.
Výhody povrchových modelů:
Jednoznačná reprezentace objektu;
Možnost vytvářet modely objektů se složitými povrchy.
Trojrozměrné modely povrchů našly široké uplatnění při vytváření modelů složitých objektů sestávajících z povrchů, jejichž relativní tloušťka je mnohem menší než rozměry vytvářených modelů objektů (trup lodi, trupu letadla, karoserie automobilu atd.).
Plošné modely se navíc používají při vytváření hybridních objemových modelů pomocí plošně omezených modelů, kdy je vytvoření objemového modelu velmi obtížné nebo nemožné kvůli složitým povrchům objektu.
pevný model je skutečná reprezentace objektu, protože struktura počítačových dat obsahuje souřadnice bodů celého těla objektu. To vám umožňuje provádět logické operace s objekty: sjednocení, odečítání a průnik.
Existují dva typy objemových modelů: povrchově omezené a objemové.
V plošně omezeném objemovém modelu hranice objektů jsou tvořeny pomocí ploch.
Pro 3D objemový model vnitřní výpočtový model představuje souřadnice bodů celého tuhého tělesa. Je zřejmé, že objemové modely objektů vyžadují oproti drátovým a plošným modelům velké množství výpočtů, protože v procesu jejich transformace je nutné přepočítat souřadnice všech bodů těla objektu a v souvislosti s tím , velký výpočetní výkon počítačů (rychlost a RAM). Tyto modely však mají výhody, které umožňují jejich efektivní využití v procesu počítačově podporovaného navrhování:
Je možné automatické odstranění skrytých čar;
Viditelnost a nemožnost nejednoznačné reprezentace objektu;
V řezu objektem rovinami budou získány řezy, které se používají při vytváření výkresů;
Je možné provádět logické operace sčítání, odčítání a průnik objektů.
Na obr.10.3 jsou pro ilustraci uvedeny výsledky rovinného řezu různých typů trojrozměrných modelů kvádru: drátěný, plošný a těleso.
Rýže. 10.3. Rovinné řezy různých typů 3D modelů
Tento obrázek ukazuje, že pomocí trojrozměrných modelů je možné získat řezy a řezy, které je nutné provést při vytváření výkresů výrobků.
Princip vytváření komplexního objektového modelu je založen na sekvenčním provádění tří logických (booleovských) operací s modely těles (obr. 10.4): hybridní model , což je kombinace plošně omezeného modelu a objemového objemového modelu, což umožňuje využít výhod obou modelů.
Výhody pevných a hybridních modelů jsou hlavním důvodem jejich širokého použití při vytváření trojrozměrných modelů objektů, a to navzdory nutnosti provádět velké množství výpočtů a v důsledku toho použití počítačů s velkou pamětí a vysokou rychlostí.
Při řešení většiny problémů v oblasti počítačově podporovaného projektování (C) a technologické přípravy výroby (TPP) je nutné mít model konstrukčního objektu.
Pod objektový model rozumět jeho nějaké abstraktní reprezentaci, která splňuje podmínku přiměřenosti k tomuto objektu a umožňuje jeho reprezentaci a zpracování pomocí počítače.
Že. Modelka– sada dat, která zobrazuje vlastnosti objektu a sadu vztahů mezi těmito daty.
V závislosti na povaze svého provedení může objektový model PR obsahovat řadu různých charakteristik a parametrů. Objektové modely nejčastěji obsahují údaje o tvaru předmětu, jeho rozměrech, tolerancích, použitých materiálech, mechanických, elektrických, termodynamických a dalších charakteristikách, způsobech zpracování, ceně, ale i mikrogeometrii (drsnost, tvarové odchylky, rozměry).
Pro zpracování modelu v grafických systémech CAD není podstatné celé množství informací o objektu, ale ta část, která určuje jeho geometrii, tzn. tvary, velikosti, prostorové uspořádání předmětů.
Popis objektu z hlediska jeho geometrie se nazývá geometrický model objektu.
Geometrický model však může obsahovat i některé technologické a pomocné informace.
Informace o geometrických charakteristikách objektu slouží nejen k získání grafického obrazu, ale také k výpočtu různých charakteristik objektu (např. podle MKP), k přípravě programů pro CNC stroje.
V tradičním procesu navrhování dochází k výměně informací na základě náčrtů a pracovních výkresů pomocí referenční a technické dokumentace. V CAD je tato výměna realizována na základě intramachine reprezentace objektu.
Pod geometrické modelování pochopit celý vícestupňový proces - od verbálního (verbálního) popisu předmětu v souladu s úkolem až po vnitrostrojovou reprezentaci předmětu.
V systémech geometrického modelování lze zpracovávat 2-rozměrné a 3-rozměrné objekty, které zase mohou být analyticky popsatelné a nepopsatelné. Geometrické prvky, které nelze analyticky popsat, jako jsou křivky a volné plochy, se používají především při popisu objektů v automobilovém, leteckém a lodním průmyslu.
Hlavní typy GM
2D modely, které umožňují vytvářet a upravovat výkresy, byly první modely, které našly uplatnění. Takové modelování se často používá dodnes, protože je mnohem levnější (z hlediska algoritmů, použití) a je docela vhodný pro průmyslové organizace při řešení různých problémů.
Ve většině systémů 2D geometrického modelování se popis objektu provádí v interaktivním režimu v souladu s algoritmy podobnými těm, které používá tradiční metoda návrhu. Rozšířením takových systémů je, že obrysům nebo plochým povrchům je přiřazena konstantní nebo proměnná hloubka obrazu. Systémy, které fungují tímto způsobem, se nazývají 2,5-rozměrný. Umožňují získat axonometrické projekce objektů na výkresech.
Ale 2-rozměrná reprezentace často není vhodná pro poměrně složité produkty. U tradičních konstrukčních metod (bez CAD) se používají výkresy, kde může být výrobek reprezentován několika pohledy. Pokud je produkt velmi složitý, může být prezentován ve formě rozvržení. 3D model se používá k vytvoření virtuální reprezentace produktu ve všech 3 rozměrech.
Existují 3 typy 3D modelů:
rám (drát)
povrch (polygonální)
trojrozměrné (modely pevných těles).
Historicky 1. byli drátové modely. Ukládají pouze souřadnice vrcholů ( x, y, z) a okraje, které je spojují.
Obrázek ukazuje, jak lze kostku vnímat nejednoznačně.
Protože jsou známy pouze hrany a vrcholy, jsou možné různé interpretace jednoho modelu. Drátový model je jednoduchý, ale lze jej použít k reprezentaci v prostoru pouze omezené třídy součástí, ve kterých jsou aproximující plochy roviny. Na základě drátěného modelu lze získat projekce. Ale není možné automaticky odstranit skryté čáry a získat různé sekce.
· povrchové modely nám umožňují popsat poměrně složité povrchy. Často proto odpovídají potřebám průmyslu (letecký, lodní, automobilový) při popisu a práci se složitými tvary.
Při vytváření modelu povrchu se předpokládá, že objekty jsou omezeny povrchy, které je oddělují životní prostředí. Povrch objektu se také ohraničí obrysy, ale tyto obrysy jsou výsledkem 2 tečných nebo protínajících se povrchů. Vrcholy objektu lze definovat průsečíkem ploch, množinou bodů, které splňují nějakou geometrickou vlastnost, podle které je obrys definován.
Jsou možné různé typy ploch (roviny, rotační plochy, pravítko). Pro složité povrchy se používají různé matematické modely aproximace povrchu (metody Coons, Bezier, Hermite, B-spline). Umožňují měnit charakter povrchu pomocí parametrů, jejichž význam je dostupný uživateli, který nemá speciální matematické vzdělání.
Aproximace obecných ploch plochými plochami dává výhoda: pro úpravu takových povrchů se používají jednoduché matematické metody. Chyba: zachování tvaru a rozměrů objektu závisí na počtu ploch použitých pro aproximace. Než > počet tváří,< отклонение от действительной формы объекта. Но с увеличением числа граней одновременно увеличивается и объем информации для внутримашинного представления. Вследствие этого увеличивается как время на работу с моделью объекта, так и объем памяти для хранения модели.
Pokud je pro model objektu podstatné rozlišovat body na vnitřní a vnější, pak se mluví o objemové modely. K získání takových modelů jsou nejprve určeny povrchy obklopující objekt a poté jsou sestaveny do objemů.
V současné době jsou známy následující metody konstrukce objemových modelů:
· V hraniční modely Objem je definován jako soubor povrchů, které jej ohraničují.
Struktura může být komplikovaná zavedením akcí posouvání, rotace, změny měřítka.
výhody:
¾ záruka vygenerování správného modelu,
¾ skvělé příležitosti tvarové modelování,
¾ rychlý a efektivní přístup ke geometrickým informacím (například pro kreslení).
Nedostatky:
¾ více vstupních dat než u metody CSG,
¾ logicky modelovat< устойчива, чем при CSG, т.е. возможны противоречивые конструкции,
¾ složitost vytváření variací forem.
· V CSG modely objekt je definován kombinací elementárních objemů pomocí geometrických operací (sjednocení, průnik, rozdíl).
Elementární objem je množina bodů v prostoru.
Modelem takové geometrické struktury je stromová struktura. Uzly (nekoncové vrcholy) jsou operace a listy jsou elementární objemy.
Výhody :
¾ koncepční jednoduchost,
¾ malé množství paměti,
¾ designová konzistence,
¾ možnost zkomplikování modelu,
¾ snadné znázornění dílů a řezů.
nedostatky:
¾ omezena booleovskými operacemi,
¾ výpočetně náročné algoritmy,
¾ nemožnost použít parametricky popsané plochy,
¾ složitost při práci s funkcemi > než 2. řádu.
· buněčná metoda. Omezená oblast prostoru pokrývající celý modelovaný objekt se považuje za rozdělenou velké číslo diskrétní kubické buňky (obvykle jedné velikosti).
Modelovací systém by měl jednoduše zaznamenat informaci o příslušnosti každé kostky k objektu.
Datová struktura je reprezentována 3-rozměrnou maticí, ve které každý prvek odpovídá prostorové buňce.
výhody:
¾ jednoduchost.
nedostatky:
¾ velké množství paměti.
K překonání tohoto nedostatku se používá princip dělení buněk na podbuňky ve zvláště složitých částech objektu a na hranici.
Trojrozměrný model objektu získaný jakoukoli metodou je správný, tzn. v tomto modelu nejsou žádné rozpory mezi geometrickými prvky, například segment nemůže sestávat z jednoho bodu.
Wireframe reprezentace může být. používá se nikoli při modelování, ale při odrazu modelů (objemových nebo plošných) jako jedna z metod vizualizace.
Mezi různými modely používanými ve vědě a technice jsou nejrozšířenější modely matematické. Matematické modely jsou obvykle chápány jako různé matematické konstrukce postavené na základě moderny počítačová věda, popisující a reprodukující vztah mezi parametry modelovaného objektu. Pro navázání spojení mezi číslem a formou existují různé způsoby prostorově-numerického kódování. Jednoduchost a dostupnost řešení praktické úkoly závisí na zvoleném referenčním rámci. Geometrické modely se dělí na předmětové (kresby, mapy, fotografie, rozvržení, televizní obrázky atd.), výpočetní a kognitivní. Objektové modely úzce souvisí s vizuálním pozorováním. Informace získané z objektových modelů zahrnují informace o tvaru a velikosti objektu, o jeho umístění vzhledem k ostatním. Výkresy strojů, technických zařízení a jejich částí jsou prováděny při dodržení řady symbolů, zvláštních pravidel a určitého měřítka. Výkresy mohou být montážní, celkový pohled, montážní, tabulkové, celkové, vnější pohledy, provozní atd. V závislosti na fázi návrhu se výkresy dělí na výkresy technického návrhu, návrhy a technické návrhy, pracovní výkresy. Výkresy se také rozlišují podle odvětví: strojírenství, výroba nástrojů, stavebnictví, hornictví a geologické, topografické atd. Plány povrch Země se nazývají karty. Kresby se rozlišují metodou obrázků: ortogonální kresba, axonometrie, perspektiva, projekce s číselnými značkami, afinní projekce, stereografické projekce, kineperspektiva atd. Geometrické modely se výrazně liší způsobem, jakým jsou vyrobeny: originální kresby, originály, kopie, kresby, malby, fotografie, filmy, rentgenové snímky, kardiogramy, rozložení, modely, sochy atd. Mezi geometrickými modely lze rozlišit ploché a trojrozměrné modely. Grafické konstrukce mohou sloužit k získání numerických řešení různých problémů. Při výpočtu algebraických výrazů jsou čísla reprezentována směrovanými segmenty. Pro nalezení rozdílu nebo součtu čísel se jim odpovídající segmenty vynesou na přímku. Násobení a dělení se provádí konstrukcí proporcionálních segmentů, které jsou po stranách úhlu odříznuty rovnými rovnoběžnými čarami. Kombinace operací násobení a sčítání umožňuje vypočítat součty součinů a vážený průměr. Grafické umocňování spočívá v postupném opakování násobení. Grafickým řešením rovnic je hodnota úsečky průsečíku křivek. Graficky lze vypočítat určitý integrál, sestavit graf derivace, tzn. derivovat a integrovat a řešit rovnice. Geometrické modely pro grafické výpočty je třeba odlišovat od nomogramů a výpočtových geometrických modelů (RGM). Grafické výpočty vyžadují pokaždé sekvenci konstrukcí. Nomogramy a RGM jsou geometrické obrazy funkčních závislostí a nevyžadují nové konstrukce k nalezení číselných hodnot. Nomogramy a RGM se používají pro výpočty a studie funkčních závislostí. Výpočty na RGM a nomogramech jsou nahrazeny čtením odpovědí pomocí elementárních operací uvedených v klíči nomogramu. Hlavními prvky nomogramů jsou stupnice a binární pole. Nomogramy se dělí na elementární a složené nomogramy. Nomogramy se také odlišují operací v klíči. Základní rozdíl mezi RGM a nomogramem je v tom, že ke konstrukci RGM se používají geometrické metody a ke konstrukci nomogramů analytické metody.
Geometrické modely zobrazující vztahy mezi prvky množiny se nazývají grafy. Grafy jsou modely řádu a způsobu působení. Na těchto modelech nejsou žádné vzdálenosti, úhly, spojení bodů přímky nebo křivky je lhostejné. V grafech se rozlišují pouze vrcholy, hrany a oblouky. Poprvé byly při řešení hádanek použity grafy. V současné době se grafy efektivně využívají v teorii plánování a řízení, teorii rozvrhování, sociologii, biologii, při řešení pravděpodobnostních a kombinatorické problémy a tak dále. Grafický model závislosti se nazývá graf. Funkční grafy lze sestavit z jeho dané části nebo z grafu jiné funkce pomocí geometrických transformací. Grafický obrázek, který jasně ukazuje poměr libovolných veličin, je diagram. Například stavový diagram (fázový diagram) graficky znázorňuje vztah mezi stavovými parametry termodynamicky rovnovážného systému. Sloupcový graf, což je soubor sousedních obdélníků postavených na stejné přímce a představující rozložení jakýchkoli hodnot podle kvantitativního atributu, se nazývá histogram.
Zvláště zajímavé je použití geometrie pro hodnocení teoretické a praktickou hodnotu matematické uvažování a rozbor podstaty matematického formalismu Všimněte si, že obecně uznávanými prostředky přenosu nabytých zkušeností, znalostí a vnímání (řeč, psaní, malba atd.) jsou záměrně homomorfní projekční model reality. Pojmy projekční schematismus a návrhové operace souvisí s deskriptivní geometrií a mají své zobecnění v teorii geometrického modelování. skutečné přírodní jevy a společenské vztahy umožňují různé popisy, lišící se od sebe stupněm spolehlivosti a dokonalosti. základ vědecký výzkum a zdrojem veškeré vědecké teorie je pozorování a experiment, který má vždy za cíl odhalit nějakou zákonitost. Když odborník začíná studovat konkrétní fenomén, nejprve shromažďuje fakta, tj. zaznamenává takové situace, které jsou přístupné experimentálnímu pozorování a registraci pomocí smyslů nebo speciálních přístrojů. Experimentální pozorování je vždy projektivní povahy, protože soubor skutečností, které jsou v dané situaci nerozlišitelné (patřící k jednomu promítajícímu obrazu), má stejný název (projekce). Prostor související se zkoumaným jevem se nazývá operační a prostor související s pozorovatelem se nazývá obrazový prostor. Dimenze obrazového prostoru je dána možnostmi a prostředky pozorování, tzn. dobrovolně nebo nedobrovolně, vědomě a zcela spontánně, je nastavena experimentátorem, ale je vždy menší než rozměr původního prostoru, do kterého zkoumané objekty patří, a to v důsledku různých souvislostí, parametrů a příčin. Rozměr původního prostoru zůstává velmi často neidentifikovaný, protože existují neidentifikované parametry, které ovlivňují zkoumaný objekt, ale nejsou výzkumníkovi známy nebo je nelze vzít v úvahu. Projekční povaha každého experimentálního pozorování se vysvětluje především nemožností opakování událostí v čase; jedná se o jeden z pravidelně se vyskytujících a nekontrolovatelných parametrů, nezávislých na vůli experimentátora. V některých případech se tento parametr ukáže jako nevýznamný a v jiných případech hraje velmi důležitou roli. To ukazuje, jak velký a zásadní význam mají geometrické metody a analogie při konstrukci, hodnocení nebo ověřování vědeckých teorií. Ve skutečnosti je každá vědecká teorie založena na experimentální pozorování, a výsledky těchto pozorování jsou – jak bylo řečeno – projekcí zkoumaného objektu. V tomto případě lze skutečný proces popsat několika různými modely. Z hlediska geometrie tomu odpovídá volba jiného konstrukčního aparátu. Předměty rozlišuje podle některých vlastností a podle jiných je nerozlišuje. Jedním z nejdůležitějších a nejnaléhavějších úkolů je identifikovat podmínky, za kterých je determinismus modelu získaný experimentem nebo výzkumem zachován nebo naopak chátrat, protože téměř vždy je důležité vědět, jak efektivní a vhodný je daný homomorfní model je. Řešení úloh stanovených geometrickými prostředky se ukázalo v souvislosti s využitím výše uvedených projekčních pohledů jako vhodné a přirozené. Všechny tyto okolnosti vytvořily základ pro použití analogií mezi různé typy projekční geometrické modely získané homomorfním modelováním a modely vyplývající ze studie. Dokonalý model odpovídá zákonitostem, které zakládají jednotnou nebo mnohohodnotovou, ale v každém případě zcela jednoznačnou shodu mezi některými počátečními a požadovanými parametry, které popisují zkoumaný jev. V tomto případě působí efekt schematizace, záměrné zmenšení rozměru obrazového prostoru, tzn. odmítnutí vzít v úvahu řadu významných parametrů, které umožňují ušetřit peníze a vyhnout se chybám. Výzkumník se neustále zabývá takovými případy, kdy se intuitivně nepravidelné jevy liší od pravidelných jevů, kde existuje určitá souvislost mezi parametry charakterizujícími zkoumaný proces, ale mechanismus působení této zákonitosti není dosud znám, pro který je následně nastaven experiment nahoru. V geometrii tato skutečnost odpovídá rozdílu mezi přerušeným modelem a dokonalým modelem s implicitně vyjádřeným algoritmem. Úkolem výzkumníka v druhém případě je identifikovat algoritmus v projekci, vstupní prvky a výstupní prvky. Vzor získaný zpracováním a analýzou určitého vzorku experimentálních dat se může ukázat jako nespolehlivý kvůli nesprávně vytvořenému vzorku působících faktorů podrobených výzkumu, protože se ukáže být pouze degenerovanou verzí obecnějšího a složitější vzorec. Vzniká tak potřeba opakovaných testů nebo testů v plném rozsahu. V geometrickém modelování tato skutečnost - získání nesprávného výsledku - odpovídá rozložení algoritmu pro nějaký podprostor vstupních prvků, na všechny vstupní prvky (tj. nestabilita algoritmu).
Nejjednodušší reálný objekt, který je vhodné popsat a modelovat pomocí geometrických reprezentací, je množina všech pozorovatelných fyzická těla, věci a předměty. Tato množina vyplňuje fyzický prostor, který lze považovat za původní objekt, který má být studován, geometrický prostor - jako jeho matematický model. Fyzické souvislosti a vztahy mezi skutečné předměty jsou nahrazeny polohovými a metrickými vztahy geometrických obrazů. Popis podmínek reálného problému v geometrických pojmech je velmi důležitým a nejobtížnějším krokem při řešení problému, který vyžaduje složitý řetězec inferencí a vysoká úroveň abstrakce, v jejímž důsledku je skutečná událost oděna do jednoduché geometrické konstrukce. Zvláštní význam mají teoretické geometrické modely. V analytické geometrii se geometrické obrazy studují pomocí algebry založené na metodě souřadnic. V projektivní geometrii jsou studovány projektivní transformace a na nich nezávislé neměnné vlastnosti útvarů. V deskriptivní geometrii se studují prostorové útvary a metody řešení prostorových problémů konstruováním jejich obrazů v rovině. Vlastnosti rovinných obrazců jsou uvažovány v planimetrii a vlastnosti prostorových obrazců - ve stereometrii. Ve sférické trigonometrii jsou studovány vztahy mezi úhly a stranami sférických trojúhelníků. Teorie fotogrammetrie a stereofotogrammetrie umožňuje určovat tvary, velikosti a polohy objektů z jejich fotografických snímků ve vojenských záležitostech, kosmickém výzkumu, geodézii a kartografii. Moderní topologie studuje spojité vlastnosti obrazců a jejich relativní pozice. Fraktální geometrie (zavedená do vědy v roce 1975 B. Mandelbrotem), která studuje obecné vzory procesy a struktury v přírodě se díky moderní počítačové technice staly jedním z nejplodnějších a nejkrásnějších objevů v matematice. Fraktály by byly ještě populárnější, kdyby byly založeny na úspěších moderní teorie deskriptivní geometrie.
Při řešení mnoha problémů deskriptivní geometrie je nutné transformovat obrazy získané na promítacích rovinách. Kolineární transformace v rovině: homologie a afinní korespondence jsou zásadní v teorii deskriptivní geometrie. Protože libovolný bod na promítací rovině je prvkem modelu bodu v prostoru, je vhodné předpokládat, že jakákoli transformace na rovině je generována transformací v prostoru a naopak transformace v prostoru způsobí transformaci na letadlo. Všechny transformace prováděné v prostoru a na modelu jsou prováděny za účelem zjednodušení řešení problémů. Taková zjednodušení jsou zpravidla spojena s geometrickými obrazy konkrétní polohy, a proto je podstata transformací ve většině případů redukována na transformaci obrazů obecné polohy na konkrétní.
Rovinný model vytvořený metodou dvou snímků trojrozměrný prostor zcela jednoznačně nebo, jak se říká, izomorfně srovnává prvky trojrozměrného prostoru s jejich modelem. To nám umožňuje vyřešit téměř jakýkoli problém, který může nastat ve vesmíru v letadlech. Někdy je ale z nějakých praktických důvodů vhodné doplnit takový model o třetí obrázek modelovacího objektu. Teoretický základ pro získání další projekce se používá geometrický algoritmus navržený německým vědcem Gaukem.
Problémy klasické deskriptivní geometrie lze podmíněně rozdělit na úlohy polohové, metrické a konstruktivní. Úkoly související s identifikací vzájemné polohy geometrických obrazů vůči sobě se nazývají polohové. V prostoru se přímky a roviny mohou, ale nemusí protínat. Otevřené poziční problémy v původním prostoru, kdy nejsou vyžadovány žádné konstrukce kromě specifikace protínajících se obrazů, se na plochém modelu uzavřou, protože algoritmy pro jejich řešení se rozpadnou kvůli nemožnosti výběru geometrických obrazů. V prostoru se přímka a rovina vždy protínají ve vlastním nebo nevlastním bodě (přímka je rovnoběžná s rovinou). Na modelu je rovina definována homologií. Na Mongeově diagramu je rovina dána související korespondencí a pro vyřešení problému je nutné implementovat algoritmus pro konstrukci odpovídajících prvků v dané transformaci. Řešení problému průniku dvou rovin je redukováno na definici přímky, která je stejně transformována ve dvou daných souvisejících korespondencích. Polohové problémy pro průsečík geometrických obrazů zaujímajících promítací pozici jsou značně zjednodušeny v důsledku degenerace jejich projekcí, a proto hrají zvláštní roli. Jak víte, jedna projekce promítaného obrazu má společnou vlastnost, všechny body přímky degenerují do jednoho bodu a všechny body a přímky roviny degenerují do jedné přímky, takže problém polohového průniku je redukován na určení chybějící průmět požadovaného bodu nebo přímky. Vzhledem k jednoduchosti řešení polohových úloh pro průnik geometrických obrazů, kdy alespoň jeden z nich zaujímá promítací polohu, je možné řešit obecné polohové úlohy pomocí metod kresebné transformace pro transformaci jednoho z obrazů do promítací polohy. Existuje fakt: různé prostorové algoritmy v rovině jsou modelovány stejným algoritmem. To lze vysvětlit tím, že v prostoru je řádově více algoritmů než v rovině. K řešení polohových problémů používáme různé metody: metoda koulí, metoda řezu rovin, kresebné transformace. Operaci promítání lze považovat za způsob vytváření a definování povrchů.
Existuje široká škála úloh souvisejících s měřením délek úseček, úhlů, ploch obrazců atd. Zpravidla se tyto charakteristiky vyjadřují jako číslo (dva body určují číslo charakterizující vzdálenost mezi nimi; dvě přímky určují číslo charakterizující velikost jimi svíraného úhlu atd.), k jehož definici se používají různé etalony nebo stupnice. Příkladem takových norem je obvyklé pravítko a úhloměr. Aby bylo možné určit délku segmentu, je nutné jej porovnat se standardem, například pravítkem. A jak připevnit pravítko k přímce obecné polohy ve výkresu? Měřítko pravítka v projekcích bude zkreslené a pro každou polohu úsečky bude existovat vlastní měřítko zkreslení. Pro řešení metrických úloh ve výkresu je nutné nastavit referenční prvky (nevhodná rovina, absolutní polarita, segment měřítka), pomocí kterých lze sestavit libovolné měřítko. K řešení metrických problémů na Mongeově diagramu se používají kreslicí transformace, aby požadované obrázky nebyly zkresleny alespoň v jedné projekci. Pod metrickými úlohami tedy budeme rozumět transformaci segmentů, úhlů a plochých obrazců do pozic, když jsou zobrazeny v plné velikosti. V tomto případě lze použít různé metody. Existuje obecné schéma řešení základních metrických úloh pro měření vzdáleností a úhlů. Největší zájem mají konstruktivní problémy, jejichž řešení vychází z teorie řešení polohových a metrických úloh. Konstruktivními úlohami se rozumí úlohy související s konstrukcí geometrických obrazů, které splňují určité teorémy deskriptivní geometrie.
V technických disciplínách se používají statické geometrické modely, které pomáhají vytvářet představy o určitých objektech, jejich konstrukčních prvcích, o jejich základních prvcích, a dynamické nebo funkční geometrické modely, které umožňují demonstrovat kinematiku, funkční vztahy nebo technické a technologické procesy. Geometrické modely velmi často umožňují sledovat průběh takových jevů, které nejsou přístupné běžnému pozorování a lze je znázornit na základě existujících znalostí. Obrázky umožňují nejen představit zařízení určitých strojů, zařízení a zařízení, ale zároveň charakterizovat jejich technologické vlastnosti a funkční parametry.
Výkresy poskytují nejen geometrické informace o tvaru detailů sestavy. Podle ní se rozumí princip fungování jednotky, pohyb dílů vůči sobě, transformace pohybů, výskyt sil, napětí, přeměna energie na mechanickou práci atd. Na technické univerzitě probíhají kresby a schémata ve všech studovaných obecných technických a speciálních oborech (teoretická mechanika, pevnost materiálů, konstrukční materiály, elektromechanika, hydraulika, strojírenská technologie, obráběcí stroje a nástroje, teorie strojů a mechanismů, strojní součásti, stroje a zařízení atd.). Pro předávání různých informací jsou kresby doplněny různými znaky a symboly a pro jejich slovní popis se používají nové pojmy, jejichž tvorba vychází ze základních pojmů fyziky, chemie a matematiky. V procesu studia teoretická mechanika a odolností materiálů se objevují kvalitativně nové typy viditelnosti: schematický pohled na konstrukci, návrhové schéma a schéma. Diagram je typ grafu, který ukazuje velikost a znaménko různých vnitřních silových faktorů působících v libovolném bodě konstrukce (podélné a příčné síly, krouticí a ohybové momenty, napětí atd.). V průběhu pevnosti materiálů je v procesu řešení jakéhokoli výpočtového problému vyžadováno opakované překódování dat pomocí obrázků, které se liší svými funkcemi a úrovní abstrakce. Schematický pohled jako první abstrakce od reálné struktury nám umožňuje formulovat problém, zvýraznit jeho podmínky a požadavky. Výpočtové schéma podmíněně vyjadřuje konstrukční prvky, jeho geometrické charakteristiky a metrické poměry, prostorovou polohu a směr působících silových faktorů a podpěrných reakcí, body charakteristických řezů. Na jeho základě je vytvořen model pro řešení problému, který slouží jako vizuální podpora při procesu implementace strategie v různých fázích řešení (při vykreslování momentů, napětí, úhlů zkroucení a dalších faktorů). V budoucnu při studiu technických oborů se struktura používaných geometrických obrazů komplikuje s rozšířeným používáním konvenčních grafických obrazů, ikonických modelů a jejich různých kombinací. Geometrické modely se tak stávají integrujícím článkem přírodního a technického akademických disciplín, stejně jako metody odborná činnost budoucí profesionálové. V srdci formace profesionální kulturu inženýr má mít grafickou kulturu, která to umožňuje odlišné typy aktivity sjednotit v rámci jedné profesní komunity. Úroveň vzdělání specialisty je určena tím, jak rozvinuté a mobilní je jeho prostorové myšlení, protože invariantní funkcí intelektuální činnosti inženýra je provozování figurativních grafických, schematických a symbolických modelů objektů.
Podobné informace.
