Mědirytina „Melancholie I“ od nejslavnějšího umělce západoevropské renesance Albrecht Dürer zahalené tajemstvím, plné symbolů a alegorií. V neuvěřitelně malé velikosti svého výtvoru dokázal nepřekonatelný mistr rytiny zašifrovat tolik tajných významů a zpráv, které dodnes vedou umělecké kritiky do slepé uličky. Různé verze odpovědí na tyto záhady jsou dále v recenzi.
Albrecht Dürer (německy Albrecht Dürer, 1471-1528) – německý malíř a grafik, první teoretik umění, jeden z největších mistrů severní renesance, byl třetím dítětem v rodině osmnácti narozených a osmi přeživších dětí. Otec zlatník se od dětství snažil přivést syna ke šperkařskému řemeslu, kterým se sám živil.
Mladý Albrecht se však oproti svému očekávání stal v patnácti letech žákem Michaela Wolgemuta, předního norimberského umělce, malíře a vynikajícího rytce. Od něj pilný žák získal znalosti a dovednosti, které využíval po celou dobu své tvůrčí cesty. Navíc to byly dřevo a mědirytiny, které přinesly mladému umělci první úspěch. Následně se stal inovátorem v této technice. Ach obrazy Durer není třeba zmiňovat - to jsou mistrovská díla světového umění.
Dürerovy znalosti z astronomie, matematiky a přírodní vědy byly úžasné. Vytvářel mapy hvězdné oblohy, sledoval nebeská tělesa ze střechy vlastního domu, na kterém byla umístěna malá observatoř. Vypočítal hodnoty pro magický čtverec, který byl poprvé vytvořen v Evropě, a vytvořil teoretická díla o umění.
"Melancholie I"
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-006.jpg" alt=" Fragment rytiny „Melancholie I“. Autor: A. Durer. ¦ Foto: kaplyasveta.ru." title="Fragment rytiny „Melancholie I“.
Uprostřed kompozice vidíme ženu s křídly a věncem, zosobňující Logiku – to je Durerova múza. Nehybně sedí na verandě a je ponořena do melancholického zamyšlení a smutku: žena má sice křídla, ale nemůže proniknout závojem tajemství Vesmíru. Vše, co se děje kolem, se děje bez její účasti. To ji deprimuje a dostává do melancholické nálady.
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-007.jpg" alt="Fragment rytiny „Melancholie I“. Autor: A. Durer. ¦ Foto: kaplyasveta.ru." title="Fragment rytiny „Melancholie I“.
Rytina o rozměrech 23,9 x 18,8 centimetrů je přesycena detaily a předměty. Zde můžete vidět písek a sluneční hodiny, váhy, zvonek, kompas, koule, mnohostěn, vyřezávaný magický čtverec a také stavební nástroje.
A nejzajímavějším předpokladem ruské kritičky Paoly Volkové je verze: rytina zobrazuje nikoli okřídlenou ženu, ale samotného Albrechta Durera s křídly anděla, což je však zcela přirozené.
Magický čtverec
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-004.jpg" alt=" Fragment rytiny „Melancholie I“. Autor: A. Durer. ¦ Foto: kaplyasveta.ru." title="Fragment rytiny „Melancholie I“.
První verze: umělec se rozhodl vytvořit několik děl odrážejících melancholii, a tak začal svá díla číslovat. Ale jak víte, Dürer už neměl pokračování série rytin věnovaných melancholii.
Druhá verze vycházela z tehdejšího psychologického učení, které uvádělo, že existují tři typy melancholických lidí. Někteří z nich byli kreativní lidé s rozvinutou představivostí, jiní byli politici a vědci s rozvinutou myslí a další byli lidé náboženství a filozofové s rozvinutou intuicí. Durer, který se považoval za melancholika, proto v rytině píše: MELENCOLIA I.
Podle třetí verze: „I“ není vůbec římská číslice, ale latinské písmeno „i“. A v kombinaci s melancholií to znamená „Uteč, melancholie“.
A ten poslední, nejpravděpodobnější. Vzhledem k tomu, že technika rytí se provádí v zrcadlový obraz Dürer udělal chybu při psaní jména, což nebylo v jeho praxi poprvé. Místo písmene „A“ – koncového písmene, začal psát písmeno „M“. A aby svou chybu napravil, rozhodl se vyjít ze současné situace tímto způsobem.
"Melancholia I" je poslední ze série tří slavných "mistrovských rytin" od Dürera a jeho nejoblíbenějšího díla. První dva jsou „Jerome v cele“ a „Rytíř, smrt a ďábel“.
Ve všech třech je postava: rytíř, svatý Jeroným, okřídlená žena. Podle mnoha uměleckých kritiků popsal umělec v těchto třech dílech různé stavy lidské duše.
Více o díle „Rytíř, smrt a ďábel“ se dozvíte v recenzi:
XIII. vědecko-praktická konference školáků
"Magické čtverce"
Žáci 8 "A" třídy
PTP lyceum
Šolochová Anna
Vedoucí Anokhin M.N.
Historie vzniku mého díla………………………………………………………………2
Magický čtverec ................................................................ ...............................3
Historicky významné magické čtverce................4-5
NÁMĚSTÍ NALEZENO V KHAJURAHO (INDIE).......6
Magický čtverec Yang Hui (Čína)................................................. ..7
Náměstí Albrechta Durera ................................................ ...............8
Čtverce od Henryho E. Dudeneyho a Allana W. Johnsona Jr.....9
Ďáblův magický čtverec...................................10-11
PRAVIDLA PRO STAVBU KOUZELNÝCH ČTVERCŮ.....12
NÁVRH KOUZELNÝCH ČTVERCŮ................................13-15
Vytvoření magického čtverce Albrechta Durera. .....17-18
Sudoku ................................................. ..................................................19-21 Kakuro ................................................. .. ............................................. 22.-23
ÚKOLNÍ BANKA................................................................ ...............24-25
Závěry................................................................ ......................................26 Literatura................ .................................................. ........... 27
Historie vzniku mého díla .
Předtím mě ani nenapadlo, že by se něco takového dalo vymyslet. Poprvé jsem na kouzelné čtverce narazil v první třídě v učebnici, byly nejjednodušší.
O několik let později jsem odjel s rodiči k moři a potkal dívku, která se věnovala sudoku. Také jsem se chtěl učit a ona mi vysvětlila, jak na to. Tato činnost se mi moc líbila a stala se mým takzvaným koníčkem.
Poté, co mi byla nabídnuta účast na vědecké a praktické konferenci, okamžitě jsem si vybral téma „Magické čtverce“. Do této práce jsem zahrnul historický materiál, odrůdy a pravidla pro tvorbu hádankové hry.
Magický čtverec.
Magický nebo magický čtverec je čtvercová tabulka naplněná n čísly tak, že součet čísel v každém řádku, v každém sloupci a na obou úhlopříčkách je stejný. Kouzelný čtverec naplněný Celýčísla od 1 do n.
Magické čtverce existují pro všechny řády kromě n=2, i když případ n=1 je triviální - čtverec se skládá z jediného čísla.
Součet čísel v každém řádku, sloupci a diagonále. Volal magická konstanta, M. Magická konstanta normálního magického čtverce závisí pouze na n a je dána vzorcem.
| Objednávka č |
|||||||||||
První hodnoty magických konstant jsou uvedeny v následujících tabulkách.
Historicky významné magické čtverce.
V čínštině starověká kniha„Zhe-kim“ („Kniha permutací“) obsahuje legendu, že císař Nu, který žil před 4 tisíci lety, viděl na břehu řeky posvátnou želvu. Na její lastuře byl vzor bílých a černých kruhů (obr. 1). Pokud každý obrázek nahradíte číslem udávajícím, kolik kruhů obsahuje, dostanete tabulku.
Tento stůl má úžasnou vlastnost. Sečteme čísla v prvním sloupci: 4+3+8=15 Stejný výsledek dostaneme při sečtení čísel ve druhém a třetím sloupci. Získává se také sečtením čísel z libovolného ze tří řádků. Nejen to, ale stejnou odpověď 15 získáte, pokud sečtete čísla každé ze dvou úhlopříček: 4+5+6=8+5+2=15.
Na tuto legendu pravděpodobně přišli Číňané, když našli uspořádání čísel od 1 do 9 s tak pozoruhodnou vlastností. Kresbu nazvali „lo-šu“ a začali ji považovat za magický symbol a používali ji v kouzlech. Proto se nyní nazývá jakákoli čtvercová tabulka složená z čísel a mající tuto vlastnost magický čtverec.
Obr. 1
NÁMĚSTÍ NALEZENO V KHAJURAHO (INDIE).
Nejstarší unikátní magický čtverec byl objeven v nápisu z 11. století v indickém městě Khajuraho.
Toto je první magický čtverec, který patří k řadě takzvaných „ďábelských“ čtverců.
Magické náměstí Yang Hui (Čína)
Ve 13. století se matematik Yang Hui ujal problému metod pro konstrukci magických čtverců. V jeho výzkumu pak pokračovali další čínští matematici. Yang Hui považoval magické čtverce nejen třetího, ale i vyšších řádů.
Některá jeho náměstí byla poměrně složitá, ale vždy dával pravidla pro jejich stavbu. Podařilo se mu sestrojit magický čtverec šestého řádu.
Součet čísel na libovolné vodorovné, svislé a diagonální je 34. Tento součet se také nachází ve všech 2x2 rohových polích, v centrálním poli (10+11+6+7), ve čtverci rohových buněk (16+13+4+1), ve čtvercích postavených „tahem rytíře“ (2+8 +9+15 a 3+5+12+14), obdélníky tvořené dvojicemi středních buněk na opačné strany(3+2+15+14 a 5+8+9+12). Většina dalších symetrií je způsobena skutečností, že součet jakýchkoli dvou centrálně symetricky umístěných čísel je 17.
Čtverce od Henryho E. Dudeneyho a Allana W. Johnsona, Jr.
Pokud se do čtvercové matice n x n zadá nepřísně přirozená řada čísel, pak je tento magický čtverec netradiční. Níže jsou dva takové magické čtverce, vyplněné většinou prvočísla. První (obr. 3) má řád n=3 (Dudeneyův čtverec); druhý (obr. 4) (velikost 4x4) je Johnsonův čtverec. Oba byly vyvinuty na počátku dvacátého století.
Obr.3 Obr.4
Ďáblův magický čtverec- magický čtverec, ve kterém je součet čísel podél přerušených úhlopříček (úhlopříčky, které se vytvoří při skládání čtverce do torus) v obou směrech.
Takovým čtvercům se také říká pandiagonální .
K dispozici je 48 ďábelských magických čtverců 4x4 s přesností rotace a odrazu. Pokud vezmeme v úvahu i jejich dodatečnou symetrii – torické paralelní translace, pak zbývají pouze 3 výrazně odlišné čtverce:
Rýže. 5 Obr. 6
Bylo však prokázáno, že (obr. 7) nejjednodušší permutace čísel vytvářejí první dva čtverce (obr. 5, 6). To znamená, že třetí možností je základní ďábelský čtverec, ze kterého lze pomocí různých transformací sestavit všechny ostatní.
Pandiagonální čtverce existují pro liché pořadí n>3, pro jakékoli pořadí dvojité parity n=4k (k=1,2,3...) a neexistují pro pořadí s jednoduchou paritou n=4k+2 (k=1,2, 3...).
Pandiagonální čtverce čtvrtého řádu mají řadu dalších vlastností, pro které jsou nazývány perfektní. Neexistují žádné dokonalé pandiagonální čtverce lichého řádu. Mezi pandiagonálními čtverci parity vyšší než 4 jsou dokonalé.
Pandiagonálních čtverců pátého řádu je 3600. Když vezmeme v úvahu torické paralelní translace, existuje 144 různých pandiagonálních čtverců. Jeden z nich je uveden níže.
PRAVIDLA PRO STAVBU KOUZELNÝCH ČTVRTŮ
Pravidla pro stavbu magických čtverců jsou rozdělena do tří kategorií podle toho, zda je pořadí čtverce liché, rovné dvojnásobku lichého čísla nebo rovné čtyřnásobku lichého čísla. Obecná metoda pro konstrukci všech čtverců není známa, i když se široce používají různá schémata.
Všechny magické čtverce řádu n lze najít pouze pro n=3,4, proto jsou velmi zajímavé konkrétní postupy sestavení magických čtverců pro n>4.Nejjednodušší konstrukce je pro magický čtverec lichého řádu. Do buňky musíte vložit číslo se souřadnicemi (x,y).
Ještě snazší je sestrojit ji následovně: vezměte matici n x n. Uvnitř je zabudován stupňovitý kosočtverec. V něm jsou buňky zleva nahoru podél úhlopříček vyplněny po sobě jdoucí řadou čísel. Stanoví se hodnota centrální buňky C.
Potom v rozích magického čtverce budou hodnoty následující: pravá horní buňka C-1; levá dolní buňka C+1; pravá dolní buňka C-n; levá horní buňka C+n.
NÁVRH KOUZELNÝCH Čtverců.
Jak se vyrábějí magické čtverce?
Vytvoření magického čtverce "Lo-Shu".
Úkol: Čtverec 3x3 složený z čísel od 1 do 9, takže součty čísel v každém řádku, sloupci a diagonále jsou stejné.
Řešení: Vyřešme problém, aniž bychom museli procházet všechny permutace 9 číslic v 9 buňkách jednu po druhé (počet takových uspořádání je 362880). Uvažujme takto. Součet všech čísel od 1 do 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. To znamená, že v každém řádku a v každém sloupci by měl být součet čísel roven: 45:3=15. Pokud ale sečtete všechna čísla ve druhém sloupci a řádku a v obou úhlopříčkách, pak se každé číslo objeví jednou, s výjimkou toho centrálního, které se objeví čtyřikrát. To znamená, že pokud centrální číslo označíme x, pak musí platit rovnost 4*15=3x+3*15. Proto x=5, to znamená, že číslo 5 by mělo být ve středu tabulky.
Nyní si všimněte, že číslo 9 se nemůže objevit v rohu tabulky, řekněme v levém horním rohu. Pak by totiž v protějším rohu bylo číslo 1 a pro první řádek a sloupec by zbyla jedna kombinace - čísla 4 a 2. To znamená, že 9 je uprostřed některých vnějších řad nebo sloupců ( v našem, uprostřed první řady). Další dvě čísla v tomto řádku jsou 4 a 2 a třetí číslo v prostředním sloupci by mělo být 15-9-5=1. Čísla 8 a 6 by měla být na stejném řádku s 1. Tím je magický čtverec téměř zaplněn a je snadné najít místo pro zbývající čísla. Výsledkem je čtverec „Lo-Shu“.
Samozřejmě za 9 si můžete vybrat další tři místa a po výběru místa pro toto číslo jsou dvě možnosti umístění čísel 4 a 2. Celkem tedy získáte 4 * 2 = 8 různých magických polí po třech řádky a tři sloupce (nebo, jak říkají matematici, čtverce třetího řádu). Všechny tyto čtverce lze získat na „Lo-Shu“ buď otočením čtverce o 180, 90 nebo 270. Možnost zrcadlení je také možná.
Náměstí
"Lo-Shu"
| 4 |
9 |
2 |
| 3 |
5 |
7 |
| 8 |
1 |
6 |
Vytvoření magického čtverce
Albrecht Durer.
Úkol : Vytvořte magický čtverec 4x4 z čísel 1 až 16 tak, aby se součty čísel v každém řádku, sloupci a diagonále rovnaly.
Řešení: Součet všech čísel od 1 do 16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. To znamená, že v každém řádku a v každém sloupci by měl být součet čísel roven: 136:4=34. Ale pokud sečtete všechna čísla, za druhé, ve sloupci a řádku a v obou úhlopříčkách, pak se každé číslo objeví jednou, s výjimkou centrálních, které se objeví dvakrát. Tato čísla budou 10,11,6,7. Poté dodáme zbývající čísla 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 do zbývajících buněk
náměstí Albrechta Durera
sudoku.
V překladu z japonštiny „su“ znamená „číslice“ a „doku“ znamená „stát sám“.
Není třeba hádat nebo se ponořit do knih - pouze logika a pozornost!
Úkol: Do prázdných buněk doplňte čísla od 1 do 9 tak, aby se číslo neopakovalo v žádném řádku, žádném sloupci a v každém z 9 bloků 3x3.
Řešení: krok 1
Podívejme se na zvýrazněný řádek. Chybí mu pouze dvě čísla: 1 a 2. Podívejme se na první prázdnou buňku vpravo. Můžeme tam dát 1? Ne. Protože tento sloupec již má 1 a tato čísla se ve sloupci nemohou opakovat. To znamená, že se nám do této buňky vejdou pouze 2. Uděláme to. Nyní stačí zadat číslo 1 do prázdné, poslední buňky v tomto řádku a řádek je hotový.
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
8 |
7 |
||||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
3 |
1 |
|||||
| 3 |
7 |
4 |
5 |
2 |
Podívejme se na vybraný sloupec: chybí mu také pouze dvě čísla - 2 a 7. Číslo 7 nemůžeme zadat do první prázdné buňky shora tohoto sloupce, protože v řádku protínajícím sloupec je již číslo 7. Ale můžeme to zadat v čísle 2, což je to, co děláme! A pro číslo 7 je pouze jedno prázdné
buňka v tomto sloupci je druhá buňka odspoda. Klidně do něj napište číslo 7 - kolonka je vyplněná!
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Nuže, nyní se podíváme na centrální blok buněk: zbývá v něm pouze jedna prázdná buňka, tedy chybí pouze jedno číslo. Podívejme se pozorně - toto je číslo 9, protože všechna ostatní čísla jsou již na svém místě. Do buňky znovu napíšeme číslo 9... a znovu se „rozhlédneme“ - a opět máme jeden řádek a jeden sloupec. Ve kterém chybí dvě číslice. Co bude dál? Odpověď najdeme sami - krok 1, krok 2...
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Čísla dat.
| 1 |
9 |
2 |
3 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
| 8 |
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
7 |
| 6 |
4 |
7 |
8 |
9 |
5 |
2 |
3 |
1 |
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 9 |
2 |
6 |
4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
9 |
7 |
6 |
3 |
| 2 |
6 |
9 |
5 |
1 |
8 |
3 |
7 |
4 |
| 4 |
5 |
8 |
7 |
3 |
2 |
9 |
1 |
6 |
| 3 |
Magický čtverec, reprodukovaný německým umělcem Albrechtem Durerem v rytině „Melancholie“, znají všichni badatelé magických čtverců.
Čtverec ve své obvyklé podobě (obr. 6.1):
Obrázek 6.1
Zajímavé je, že dvě prostřední čísla v posledním řádku čtverce (jsou zvýrazněna) tvoří rok vytvoření rytiny - 1514.
Předpokládá se, že toto náměstí, které Albrechta Dürera tak fascinovalo, přišlo západní Evropa z Indie do začátek XVI století. V Indii bylo toto náměstí známé již v 1. století našeho letopočtu.
Předpokládá se, že magické čtverce vynalezli Číňané, protože nejstarší zmínka o nich se nachází v čínském rukopisu napsaném 4000-5000 př.nl. Tak staré magické čtverce jsou!
Podívejme se nyní na všechny vlastnosti tohoto úžasného náměstí. Ale to uděláme na jiném náměstí, do jehož skupiny patří náměstí Durer.
To znamená, že Dürerův čtverec získáme ze čtverce, který nyní budeme uvažovat jednou ze sedmi hlavních transformací magických čtverců, a to otočením o 180 stupňů. Všech 8 čtverců tvořících tuto skupinu má vlastnosti, které budou nyní uvedeny, pouze ve vlastnosti 8 u některých čtverců bude slovo „řádek“ nahrazeno slovem „sloupec“ a naopak.
Hlavní čtverec této skupiny můžete vidět na Obr. 6.2.
Obrázek 6.2
Vlastnosti tohoto čtverce:.
Nemovitost 1. Tento čtverec je asociativní, to znamená, že jakákoli dvojice čísel symetricky umístěná vzhledem ke středu čtverce dává součet 17=1+n2.
Nemovitost 2. Součet čísel umístěných v rohových buňkách čtverce se rovná magické konstantě čtverce - 34 .
Nemovitost 3. Součet čísel v každém rohovém čtverci 2x2, stejně jako v centrálním čtverci 2x2, se rovná magické konstantě čtverce.
Nemovitost 4. Magická konstanta čtverce je rovna součtu čísel na opačných stranách dvou středových obdélníků 2x4, konkrétně: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Nemovitost 5. Magická konstanta čtverce je rovna součtu čísel v buňkách označených tahem šachový rytíř, konkrétně: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 a 4+10+13+7=34.
Nemovitost 6. Magická konstanta čtverce je rovna součtu čísel v odpovídajících úhlopříčkách rohových čtverců 2x2 sousedících s protilehlými vrcholy čtverce.
Například v rohových čtvercích 2x2, které jsou zvýrazněny na Obr. 4, součet čísel v první dvojici odpovídajících úhlopříček: 1+7+10+16=34 (to je pochopitelné, protože tato čísla se nacházejí na hlavní diagonále samotného čtverce). Součet čísel v druhé dvojici odpovídajících úhlopříček: 14+12+5+3=34.
Nemovitost 7. Magická konstanta čtverce je rovna součtu čísel v buňkách označených tahem podobným tahu šachového jezdce, ale s protáhlým písmenem G. Ukazuji tato čísla: 1+9+8+16= 34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34, 4+3+14+13=34.
Nemovitost 8. V každém řádku čtverce je dvojice sousedních čísel, jejichž součet je 15, a další dvojice sousedních čísel, jejichž součet je 19. V každém sloupci čtverce je dvojice sousedních čísel, jehož součet je 13, a další dvojice také sousedních čísel, jejichž součet je 21. mozkové buňky čtvercové sudoku
Nemovitost 9. Součty druhých mocnin čísel ve dvou vnějších řadách se navzájem rovnají. Totéž lze říci o součtech druhých mocnin čísel ve dvou prostředních řadách. Vidět:
12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438
122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310
Čísla ve sloupcích čtverce mají podobnou vlastnost.
Nemovitost 10. Pokud do uvažovaného čtverce vepíšeme čtverec s vrcholy uprostřed stran (obr. 6.3), pak:
- · součet čísel umístěných podél jedné dvojice protilehlých stran vepsaného čtverce je roven součtu čísel umístěných podél druhé dvojice protilehlých stran a každý z těchto součtů je roven magické konstantě čtverce;
- Součty druhých mocnin a součty krychlí uvedených čísel se rovnají:
- 122 + 142 + 32 + 52 = 152 + 92 + 82 + 22 = 374
- 123 + 143 + 33 + 53 = 153 + 93 + 83 + 23 = 4624
Obrázek 6.3
Toto jsou vlastnosti magického čtverce na Obr. 5.2
Je třeba poznamenat, že v asociativním čtverci, což je dotyčný čtverec, můžete také provádět takové transformace, jako je přeskupování symetrických řádků a/nebo sloupců. Například na Obr. 5.4 ukazuje čtverec získaný ze čtverce na Obr. 4 přeskupením dvou středních sloupků.
Obrázek 6.4
V nových asociativních čtvercích získaných takovými transformacemi nejsou splněny všechny vlastnosti uvedené výše, ale mnoho vlastností platí. Čtenáři jsou vyzváni ke kontrole splnění vlastností ve čtverci znázorněném na Obr. 6.4.
Existuje jistá rytina „Melancholie“, vlastněná německým umělcem Albrechtem Durerem, kterou znají spíše matematici a okultisté než zájemci o malbu.
Alespoň – můžete si to ověřit – o tom bylo na internetu napsáno velmi málo. Ale tohle je fakt super věc. A jediným více či méně podrobným zdrojem je kniha Dana Browna „Ztracený symbol“.
Tuto knihu jsem četla a ani zápletka ani náměstí mi neutkvěly v hlavě. A pak to najednou vyskočilo z nečekaného směru.
Gravírování „Melancholie“ - věnujte pozornost čtverci v pravém horním rohu:
Tady je větší:
Podstata všech „magických čtverců“ je obecně jasná: součet sloupců a úhlopříček se rovná nějakému číslu. Tak je to tady. Toto číslo je 34. Faktem však je, že toto číslo se objeví v naprosto JAKÉKOLIV situaci. Součet levého horního čtverce je 34, totéž platí pro horní pravý, pravý dolní a levý dolní malý čtvereček. A také centrální čtverec - 10+11+6+7=34. A také, když sečtete rohová čísla 16,13, 4 a 1, dostanete také 34.
A také, když začnete pokládat čáru od 1 do 16, dostanete toto absolutně symetrické (a v zrcadlovém vztahu!) číslo:
A úplně dole čísla 15 a 14 označují datum vytvoření rytiny - 1514. A čísla v dolních rozích - 4 a 1 - jsou digitální označení iniciál umělce: D A - Dürer Albrecht.
Celá tato matematická „chromantie“ podle některých naznačuje, že Dürer nevytvářel svůj čtverec šťoucháním nebo vybíráním, ale pomocí jiných měření. Ve smyslu – překračování 3 dimenzí a.... nějak na úrovni sedmé dimenze (????)?…. Snad s pomocí tzv „konchoidy“ nebo „skořápky“, jak to nazval Dürer (ve své matematické monografii „Guide to Measuring with Compass and Ruler“, vydané v roce 1525), a jejichž byl autorem, vytvořil svůj „magický čtverec“.
"Conchoid":
A věnujte pozornost kameni na rytině - hranolu zkrácenému ve dvou rozích, jehož boční strany jsou 2 pravidelný trojúhelník a 6 pětiúhelníků:
Robert Langdon, symbolistický detektiv ve filmu Dana Browna Ztracený symbol, vloží 16místnou šifru ze základny zednářské pyramidy na Durerův čtverec a obdrží dešifrování:
tedy JEOVA SANCTUS UNUS – Jediný pravý Bůh.
Dürer se vší pravděpodobností patřil k jistému Tajná společnost. A možná měl nějaké tajné posvátné znalosti...
Nebo je to možná všechno podvod?!...
Nakreslíme 16 buněk a seřaďme do nich čísla od 1 do 16 v pořadí. Nyní jen prohoďte 1 a 16, 4 a 13 (to jsou ty rohy), 6 a 10 a 7 a 11 (čtverec uprostřed). A také 2 a 3 a 14 a 15 stojící vedle sebe.
VOILA! Toto je magický čtverec nejchladnějšího stupně. Prostě? Prostě! Ale hádejte, co a jak změnit... Na druhou stranu absolutní symetrie nahrazování čísel nemůže nic jiného než napovídat jednoduchosti a univerzálnosti řešení. Nebo je to pro nás nyní snadné, ale Dürer potřeboval použít svou lasturu (viz výše), aby pochopil, jak a co vyměnit?...
Oprava v rytině, kterou Dürer ZÁMĚRNĚ nechal tak zřejmou, je vidět pouhým okem:
Při výměně čísel ve čtverci vylosovaného pro nás od 1 do 16 v pořadí zůstanou beze změny pouze strany 5 a 9 vlevo a 8 a 12 vpravo. Původně je chtěl Dürer také vyměnit, ale to se ukázalo jako zbytečné. Proč nechal svou chybu, aby ji všichni viděli? Ukaž mi, jak fungují tvé myšlenky? Marnost? A rok 1514, který tak dobře zapadá do náměstí, je také zásluha nebo umělec prostě počkal na požadované datum pro větší efekt, když si celou matematiku promyslel dříve?))
Možná ano. I obory vyšší matematiky lze vysvětlit ješitností umělce, který se považoval za fešáka a pravidelně maloval své autoportréty, aby ho každý mohl obdivovat.
Návrat do Melancholie, magických čtverců a okultismu. Rytina byla napsána pro císaře Maxmiliána I. (pro znalé manžela Marie Burgundské, zetě Karla Smělého a dědečka císaře Karla V.).
Zde je jeho portrét, také od Durera:
Maxmilián se považoval za melancholika. Ve středověku (a dokonce i nyní) se věřilo, že melancholičtí lidé byli ovlivněni planetou Saturn. Magický čtverec měl být jakýmsi talismanem, který by odvrátil temný vliv Saturnu a zároveň přitahoval pozitivnější energii Jupitera.
Obecně se o této rytině dá hodně napsat. Stále můžete vzít v úvahu všechny atributy - ale o tom jindy. V tomto případě mi matematika připadala zajímavější než malba.
Na základě teoretické analýzy pandiagonálních čtverců 4×4 jsou znázorněny jejich „strukturní“ rysy: invarianty struktury pandiagonálních čtverců 4×4 jsou dvojice čísel, které se celkem rovnají jednomu ze dvou Fibonacciho čísel – 13 nebo 21. Ukazuje se, že jakákoliv varianta množiny šesti číslic tohoto a že podobných pandiagonálních čtverců 4x4 tvořících souvislou symetrickou konfiguraci je 51. Byl sestrojen geometrický obrazec „krychle v krychli“, který má vlastnosti „zlaté symetrie“. ” pandiagonálních čtverců 4x4. Všechny počty úhlopříček krychle mají vlastnosti „zlaté symetrie“ (v jednom případě tvoří dvě čísla - celkový počet je 13, v druhém - 21) a všechny roviny, které mají 4 úhly (čísla) vnitřní i vnější čtverce geometrický obrazec tvoří celkové Fibonacciho číslo 34.
Úvod
Na základě teoretické analýzy Khajuraho, Dürerových čtverců a podobných čtverců 4x4 byly identifikovány rysy jejich „struktury“: invarianty struktury pandiagonálních čtverců 4x4 jsou dvojice čísel rovnající se v součtu jednomu ze dvou Fibonacciho čísel - 13 nebo 21.
Magický čtverec je n×n čtvercová tabulka vyplněná n 2 různými čísly tak, že součet čísel v každém řádku, každém sloupci a na obou úhlopříčkách je stejný. Nejstarší unikátní magický čtverec 4x4 byl objeven v nápisu z 11. století v indickém městě Khajuraho. Čtverec 4x4 vyobrazený na rytině Albrechta Durera „Melancholie“ je považován za nejstarší v evropském umění (1514). Součet čísel Durerova pole na libovolném vodorovném, svislém a diagonálním je 34. Tento součet se také nachází ve všech rohových polích 2x2, v centrálním čtverci, ve čtverci rohových buněk, ve čtvercích vytvořených „tahem rytíře“. ” (2+12+15 +5 a 3+8+14+9), ve vrcholech obdélníků rovnoběžných s úhlopříčkami (2+8+15+9 a 3+12+14+5), v obdélnících tvořených páry středních buněk na opačných stranách (3+2 +15+14 a 5+8+9+12). Většina dalších symetrií vzniká ze skutečnosti, že součet jakýchkoli dvou centrálně symetricky umístěných čísel je 17.
K dispozici je 48 pandiagonálních čtverců 4x4 s přesností rotace a odrazu. Pokud vezmeme v úvahu i symetrii vzhledem k torickým paralelním translacím, pak zbývají pouze 3 výrazně odlišné čtverce (obrázek 2).
Hlavní část
Analyzoval jsem „strukturu“ pandiagonálních čtverců 4x4 a identifikoval jsem invariantní části jejich struktury (obrázek 3). Invarianty struktury 4x4 pandiagonálních čtverců jsou dvojice čísel rovnající se v součtu jednomu ze dvou Fibonacciho čísel - 13 nebo 21. Různé možnosti pro symetrické kombinování těchto číselných párů tvoří sadu 4x4 pandiagonálních čtverců.
Dürerův čtverec (a podobné pandiagonální čtverce 4x4) mají symetrii zlatého řezu. Například na obrázku 4 červené a modré čtverce znázorňují varianty symetrií, ve kterých je aritmetický průměr součtu červených složek čtverců v možných polohách (4 nebo 2, při otáčení v různých směrech) 51. součet všech čísel čtverce je 136, z toho 85 modrých, 51 červených. 136/85 = 1,6; 85/51 = 1,667.
Na základě Dürerova čtverce jsme zkonstruovali geometrický obrazec „krychle v krychli“, který má vlastnosti symetrie pandiagonálních čtverců 4×4 (obrázek 5). Taková „transformace“ byla možná umístěním svislých sloupců čísel Dürerova náměstí pod určitý úhel, čímž se vytvoří krychle v krychli. Přitom všechna čísla úhlopříček krychle mají vlastnosti „zlaté symetrie“ (v jednom případě tvoří dvě čísla – celkový počet je 13, ve druhém – 21) a všechny roviny, které mají 4 úhly ( čísla) vnitřních i vnějších čtverců sestrojeného obrazce tvoří celkové Fibonacciho číslo 34.
Závěr
- Na základě teoretické analýzy pandiagonálních čtverců 4x4 jsou ukázány jejich „strukturní“ vlastnosti: invarianty struktury pandiagonálních čtverců 4x4 jsou dvojice čísel rovnající se v součtu jednomu ze dvou Fibonacciho čísel - 13 nebo 21.
- Bylo odhaleno, že jakákoli verze sady šesti číslic Dürerova čtverce a podobných pandiagonálních čtverců 4x4, které tvoří souvislou symetrickou konfiguraci, se rovná celkovému počtu - 51.
- Byl sestrojen geometrický obrazec „krychle v krychli“, který má vlastnosti „zlaté symetrie“ pandiagonálních čtverců 4x4. Všechny počty úhlopříček krychle mají vlastnosti „zlaté symetrie“ (v jednom případě tvoří dvě čísla – celkový počet je 13, ve druhém 21) a všechny roviny mající 4 úhly (čísla) jak vnitřní, tak i vnější čtverce geometrického útvaru tvoří v Celkové Fibonacciho číslo je 34.
Pokud najdete chybu, zvýrazněte část textu a klikněte Ctrl+Enter.
