Klíčová slova abstraktní:Celá čísla. Aritmetické operace s přirozenými čísly. Dělitelnost přirozených čísel. Prvočísla a složená čísla. Rozložení přirozeného čísla na prvočinitele. Znaménka dělitelnosti 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Největší společný dělitel (GCD), stejně jako nejmenší společný násobek (LCD). Rozdělení se zbytkem.
Celá čísla- to jsou čísla, která se používají k počítání objektů - 1, 2, 3, 4 , ... Ale číslo 0 není přirozené!
Množinu přirozených čísel značíme N. Záznam "3 ∈ N" znamená, že číslo tři patří do množiny přirozených čísel a zápisu "0 ∉ N" znamená, že číslo nula do této množiny nepatří.
Desetinná číselná soustava- poziční radixový číselný systém 10 .
Aritmetické operace s přirozenými čísly
Pro přirozená čísla jsou definovány následující akce: sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování, extrakce kořenů. První čtyři akce jsou aritmetický.
Nechť a, b a c jsou přirozená čísla
1. DOPLNĚNÍ. Období + Období = Součet
Vlastnosti sčítání
1. Komunikativní a + b = b + a.
2. Konjunktiv a + (b + c) = (a + b) + c.
3. a + 0 = 0 + a = a.
2. ODČÍST. Minuend - Subtrahend = Rozdíl
Vlastnosti odčítání
1. Odečtením součtu od čísla a - (b + c) = a - b - c.
2. Odečtení čísla od součtu (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a = 0.
3. NÁSOBENÍ. Násobitel * Násobitel = produkt
Vlastnosti násobení
1. Komunikativní a*b = b*a.
2. Konjunktiv a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Distribuce (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.
4. ROZDĚLENÍ. Dividenda: Dělitel = podíl
Vlastnosti dělení
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Nemůžeš dělit nulou!
3,0: a=0.
Postup
1. Nejprve akce v závorkách.
2. Dále násobení, dělení.
3. A teprve na konci sčítání a odčítání.
Dělitelnost přirozených čísel. Prvočísla a složená čísla.
Dělitel přirozeného čísla A je přirozené číslo, ke kterému A rozděleny beze zbytku. Číslo 1 je dělitel libovolného přirozeného čísla.
Volá se přirozené číslo jednoduchý, pokud má dva dělitel: jednička a samotné číslo. Například čísla 2, 3, 11, 23 jsou prvočísla.
Volá se číslo, které má více než dva dělitele kompozitní. Například čísla 4, 8, 15, 27 jsou složená čísla.
Test dělitelnosti funguje několik čísel: pokud je alespoň jeden z činitelů dělitelný určitým číslem, pak je tímto číslem dělitelný i součin. Práce 24 15 77 děleno 12 , od násobku tohoto čísla 24 děleno 12 .
Test dělitelnosti na součet (rozdíl)čísla: pokud je každý člen dělitelný určitým číslem, pak se celý součet vydělí tímto číslem. Li a: b A c:b, Že (a + c): b. A pokud a: b, A C nedělitelný b, Že a+c nedělitelný číslem b.
Li a: c A c:b, Že a: b. Na základě skutečnosti, že 72:24 a 24:12, usuzujeme, že 72:12.
Reprezentace čísla jako součinu mocnin prvočísel se nazývá rozklad čísla na prvočinitele.
Základní věta aritmetiky: libovolné přirozené číslo (kromě 1 ) nebo je jednoduchý nebo může být faktorizován pouze jedním způsobem.
Při rozkladu čísla na prvočinitele se používají znaménka dělitelnosti a zápis „sloupec“, v tomto případě je dělitel umístěn vpravo od svislé čáry a podíl se zapisuje pod dělenec.
Například úkol: faktor čísla do prvočísel 330 . Řešení:
Známky dělitelnosti na 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 a 11.
Existují známky dělitelnosti na 6, 15, 45 atd., tedy na čísla, jejichž součin lze faktorizovat 2, 3, 5, 9 A 10 .
Největší společný dělitel
Říká se největší přirozené číslo, kterým je každé ze dvou daných přirozených čísel dělitelné největší společný dělitel tato čísla ( GCD). Například GCD (10; 25) = 5; a GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.
Je-li největší společný dělitel dvou přirozených čísel roven 1 , pak se volají tato čísla vzájemně prvočíslo.
Algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele(KÝVNUTÍ)
GCD se často používá při problémech. Například 155 sešitů a 62 per bylo rozděleno rovnoměrně mezi studenty v jedné třídě. Kolik studentů je v této třídě?
Řešení: Zjištění počtu studentů v této třídě vede k nalezení největšího společného dělitele čísel 155 a 62, protože sešity a pera byly rozděleny rovným dílem. 155 = 531; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.
Odpovědět: 31 žáků ve třídě.
Nejmenší společný násobek
Násobky přirozeného čísla A je přirozené číslo, které je dělitelné A beze stopy. Například číslo 8 má násobky: 8, 16, 24, 32 , ... Jakékoli přirozené číslo má nekonečně mnoho násobků.
Nejmenší společný násobek(LCM) je nejmenší přirozené číslo, které je násobkem těchto čísel.
Algoritmus pro nalezení nejmenšího společného násobku ( NOC):
LCM se také často používá při problémech. Například dva cyklisté současně vyjeli po cyklostezce ve stejném směru. Jeden udělá kruh za 1 minutu a druhý za 45 sekund. Za jaký minimální počet minut po zahájení pohybu se sejdou na startu?
Řešení: Počet minut, po kterých se znovu potkají na startu, je třeba vydělit 1 min, stejně jako na 45 s. Za 1 min = 60 s. To znamená, že je nutné najít LCM (45; 60). 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. LCM (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Výsledkem je, že se cyklisté sejdou na startu za 180 s = 3 min.
Odpovědět: 3 min.
Rozdělení se zbytkem
Pokud je to přirozené číslo A není dělitelná přirozeným číslem b, pak můžete rozdělení se zbytkem. V tomto případě se volá výsledný kvocient neúplný. Rovnost je spravedlivá:
a = b n + r,
Kde A- dělitelný, b- dělič, n- neúplný kvocient, r- zbytek. Nechť je například dividenda stejná 243 , dělič - 4 , Pak 243:4 = 60 (zbytek 3). To znamená, že a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, pak 243 = 60 4 + 3 .
Čísla, která jsou dělitelná 2 beze zbytku se nazývají dokonce: a = 2n, n ∈ N.
Volají se zbývající čísla zvláštní: b = 2n + 1, n ∈ N.
Toto je shrnutí tématu „Celá čísla. Známky dělitelnosti". Chcete-li pokračovat, vyberte následující kroky:
- Přejít na další shrnutí:
Společné násobky přirozených číselAAbje číslo, které je násobkem každého z těchto čísel.
Nejmenší počet ze všech společných násobků A A b volal nejmenší společný násobek těchto čísel.
Nejmenší společný násobek čísel A A b Souhlasíme s označením K( A, b).
Například dvě čísla 12 a 18 jsou společné násobky: 36, 72, 108, 144, 180 atd. Číslo 36 je nejmenší společný násobek čísel 12 a 18. Můžete napsat: K(12, 18) = 36.
Pro nejmenší společný násobek platí následující tvrzení:
1. Nejmenší společný násobek čísel A A b
2. Nejmenší společný násobek čísel A A b ne menší než větší z těchto čísel, tzn. Li a >b, pak K( A, b) ≥ A.
3. Libovolný společný násobek čísel A A b děleno jejich nejmenším společným násobkem.
Největší společný dělitel
Společný dělitel přirozených čísel a abje číslo, které je dělitelem každého z daných čísel.
Největší počet všech společných dělitelů čísel A A b se nazývá největší společný dělitel těchto čísel.
Největší společný dělitel čísel A A b Souhlasíme s označením D( A, b).
Například pro čísla 12 a 18 jsou společnými děliteli čísla: 1, 2, 3, 6. Číslo 6 je 12 a 18. Můžete napsat: D(12, 18) = 6.
Číslo 1 je společný dělitel dvou libovolných přirozených čísel A A b. Pokud tato čísla nemají žádné další společné dělitele, pak D( A, b) = 1 a čísla A A b jsou nazývány vzájemně prvočíslo.
Například čísla 14 a 15 jsou relativně prvočísla, protože D(14, 15) = 1.
Pro největšího společného dělitele platí následující tvrzení:
1. Největší společný dělitel čísel A A b vždy existuje a je jedinečný.
2. Největší společný dělitel čísel A A b nepřesahuje menší z uvedených čísel, tzn. Li A< b, Že D(A, b) ≤ A.
3. Největší společný dělitel čísel A A b je dělitelný libovolným společným dělitelem těchto čísel.
Největší společný násobek čísel A A b a jejich největší společný dělitel spolu souvisí: součin nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele čísel A A b roven součinu těchto čísel, tzn. K( A, b)·D( A, b) = A· b.
Z tohoto prohlášení plynou následující důsledky:
a) Nejmenší společný násobek dvou vzájemně prvočísel je roven součinu těchto čísel, tzn. D( A, b) = 1 => K( A, b) = A· b;
Například k nalezení nejmenšího společného násobku čísel 14 a 15 je stačí vynásobit, protože D(14, 15) = 1.
b) A děleno součinem prvočísel m A n, je nutné a postačující, aby byl dělitelný m a dále n.
Toto tvrzení je znakem dělitelnosti čísly, které lze znázornit jako součin dvou relativně prvočísel.
c) Kvocienty získané dělením dvou daných čísel jejich největším společným dělitelem jsou relativně prvočísla.
Tuto vlastnost lze využít při kontrole správnosti nalezeného největšího společného dělitele daných čísel. Zkontrolujme například, zda je číslo 12 největším společným dělitelem čísel 24 a 36. K tomu podle posledního tvrzení vydělíme 24 a 36 12. Dostaneme čísla 2 a 3, která jsou coprime. Proto D(24, 36) = 12.
Problém 32. Formulujte a dokažte test dělitelnosti 6.
Řešení X dělitelný 6, je nutné a postačující, aby byl dělitelný 2 a 3.
Nechte číslo X je dělitelné 6. Pak z toho, že X 6 a 62, z toho vyplývá X 2. A z toho, že X 6 a 63, z toho vyplývá X 3. Dokázali jsme, že aby bylo číslo dělitelné 6, musí být dělitelné 2 a 3.
Ukažme si dostatečnost tohoto stavu. Protože X 2 a X 3, tedy X- společný násobek čísel 2 a 3. Jakýkoli společný násobek čísel se vydělí jejich nejmenším násobkem, tzn X K(2;3).
Protože D(2, 3)=1, pak K(2, 3)=2·3=6. Proto, X 6.
Problém 33. Formulujte na 12, 15 a 60.
Řešení. Aby bylo přirozené číslo X dělitelné 12, je nutné a postačující, aby bylo dělitelné 3 a 4.
Aby bylo přirozené číslo X dělitelný 15, je nutné a postačující, aby byl dělitelný 3 a 5.
Aby bylo přirozené číslo X dělitelný 60, je nutné a postačující, aby byl dělitelný 4, 3 a 5.
Problém 34. Najděte čísla A A b, pokud K( a, b)=75, A· b=375.
Řešení. Pomocí vzorce K( a,b)·D( a,b)=A· b, najděte největšího společného dělitele požadovaných čísel A A b:
D( A, b) === 5.
Poté mohou být požadovaná čísla zastoupena ve formuláři A= 5R, b= 5q, Kde p A q p a 5 q do rovnosti a b= 275. Dáme 5 p·5 q= 375 nebo p· q=15. Výslednou rovnici se dvěma proměnnými vyřešíme výběrem: najdeme dvojice relativně prvočísel, jejichž součin je roven 15. Takové dvojice jsou dvě: (3, 5) a (1, 15). Proto požadovaná čísla A A b jsou: 15 a 25 nebo 5 a 75.
Problém 35. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že D( A, b) = 7 a A· b= 1470.
Řešení. Od D( A, b) = 7, pak mohou být požadovaná čísla zastoupena ve tvaru A= 7R, b= 7q, Kde p A q jsou vzájemně prvočísla. Dosadíme výrazy 5 R a 5 q do rovnosti a b = 1470. Potom 7 p·7 q= 1470 resp p· q= 30. Výslednou rovnici se dvěma proměnnými vyřešíme výběrem: najdeme dvojice relativně prvočísel, jejichž součin je roven 30. Takové dvojice jsou čtyři: (1, 30), (2, 15), (3, 10). ), (5, 6). Proto požadovaná čísla A A b jsou: 7 a 210, 14 a 105, 21 a 70, 35 a 42.
Problém 36. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že D( A, b) = 3 a A:b= 17:14.
Řešení. Protože A:b= 17:14 tedy A= 17R A b= 14p, Kde R- největší společný dělitel čísel A A b. Proto, A= 17,3 = 51, b= 14,3 = 42.
Problém 37. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že K( A, b) = 180, A:b= 4:5.
Řešení. Protože A: b= 4:5 A=4R A b=5R, Kde R- největší společný dělitel čísel A A b. Pak R·180=4 R·5 R. Kde R=9. Proto, a= 36 a b=45.
Problém 38. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že D( a,b)=5, K( a,b)=105.
Řešení. Od D( A, b) K( A, b) = A· b, Že A· b= 5 105 = 525. Kromě toho mohou být ve tvaru zastoupena požadovaná čísla A= 5R A b= 5q, Kde p A q jsou vzájemně prvočísla. Dosadíme výrazy 5 R a 5 q do rovnosti A· b= 525. Potom 5 p·5 q= 525 nebo p· q=21. Najdeme dvojice relativně prvočísel, jejichž součin je roven 21. Takové dvojice jsou dvě: (1, 21) a (3, 7). Proto požadovaná čísla A A b jsou: 5 a 105, 15 a 35.
Problém 39. Dokažte, že číslo n(2n+ 1)(7n+ 1) je dělitelné 6 pro jakékoli přirozené n.
Řešení. Číslo 6 je složené, lze jej vyjádřit jako součin dvou relativně prvočísel: 6 = 2·3. Pokud dokážeme, že dané číslo je dělitelné 2 a 3, pak na základě testu dělitelnosti složeným číslem můžeme dojít k závěru, že je dělitelné 6.
Dokázat, že číslo n(2n+ 1)(7n+ 1) je dělitelné 2, musíme zvážit dvě možnosti:
1) n je dělitelná 2, tzn. n= 2k. Poté produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) bude vypadat takto: 2 k(4k+ 1)(14k+ 1). Tento produkt je dělitelný 2, protože první faktor je dělitelný 2;
2) n není dělitelné 2, tzn. n= 2k+ 1. Poté produkt n(2n+ 1 )(7n+ 1) bude vypadat takto: (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8). Tento produkt je dělitelný 2, protože poslední faktor je dělitelný 2.
Dokázat, že práce n(2n+ 1)(7n+ 1) je dělitelné 3, je třeba zvážit tři možnosti:
1) n je dělitelné 3, tj. n= 3k. Poté produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) bude vypadat takto: 3 k(6k+ 1)(21k+ 1). Tento produkt je dělitelný 3, protože první faktor je dělitelný 3;
2) n Při dělení 3 je zbytek 1, tzn. n= 3k+ 1. Poté produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) bude vypadat takto: (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8). Tento produkt je dělitelný 3, protože druhý faktor je dělitelný 3;
3) n při dělení 3 je zbytek 2, tzn. n= 3k+ 2. Poté produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) bude vypadat takto: (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+ 15). Tento produkt je dělitelný 3, protože poslední faktor je dělitelný 3.
Bylo tedy prokázáno, že výrobek n(2n+ 1)(7n+ 1) je dělitelné 2 a 3. To znamená, že je dělitelné 6.
Cvičení pro samostatnou práci
1. Jsou dána dvě čísla: 50 a 75. Zapište množinu:
a) dělitelé čísla 50; b) dělitelé čísla 75; c) společné dělitele daných čísel.
Jaký je největší společný dělitel 50 a 75?
2. Je číslo 375 společným násobkem čísel: a) 125 a 75; b) 85 a 15?
3. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že K( A, b) = 105, A· b= 525.
4. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že D( A, b) = 7, A· b= 294.
5. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že D( A, b) = 5, A:b= 13:8.
6. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že K( A, b) = 224, A:b= 7:8.
7. Najděte čísla A A b, pokud je známo, že D( A, b) = 3, K( A; b) = 915.
8. Dokažte test na dělitelnost 15.
9. Z množiny čísel 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 vypište ta, která jsou dělitelná 12.
10. Formulujte kritéria pro dělitelnost 18, 36, 45, 75.
Přirozené číslo je jedním ze základních a možná i jedním z prvních matematických pojmů.Množina přirozených čísel = (1, 2, 3...). To znamená, že množina přirozených čísel je množina všech kladných celých čísel. Operace sčítání, násobení, odčítání a dělení jsou definovány na přirozených číslech. Výsledkem sčítání, násobení a odčítání dvou přirozených čísel je celé číslo. A výsledkem dělení dvou přirozených čísel může být buď celé číslo nebo zlomkové číslo.
Například: 20: 4 = 5 – výsledkem dělení je celé číslo.
20: 3 = 6 2/3 – výsledkem dělení je zlomek.
O přirozeném čísle n se říká, že je dělitelné přirozeným číslem m, je-li výsledkem dělení celé číslo. V tomto případě se číslo m nazývá dělitel čísla n a číslo n se nazývá násobek čísla m.
V prvním příkladu je číslo 20 dělitelné 4, 4 je dělitel 20 a 20 je násobek 4.
Ve druhém příkladu není číslo 20 dělitelné číslem 3, proto nemůže být řeč o dělitelích a násobcích.
Číslo n se nazývá prvočíslo, pokud nemá žádného dělitele kromě sebe sama a jedničky. Příklady prvočísel: 2, 7, 11, 97 atd.
Číslo n se nazývá složené, pokud má jiné dělitele než ono a jedničku.
Jakékoli přirozené číslo lze rozložit na součin prvočísel a tento rozklad je jedinečný, až do pořadí faktorů. Například: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 – všechna tato rozšíření se liší pouze v pořadí faktorů.
Největší společný dělitel dvou čísel ma n je největší přirozené číslo, které je dělitelem obou čísel m a n. Například čísla 34 a 85 mají největší společný faktor 17.
Nejmenší společný násobek dvou čísel ma n je nejmenší přirozené číslo, které je násobkem obou čísel m a n. Například čísla 15 a 4 mají nejmenší společný násobek 60.
Přirozené číslo dělitelné dvěma prvočísla, se také dělí podle jejich produktu. Je-li například číslo dělitelné 2 a 3, je dělitelné 6 = 2 3, je-li dělitelné 11 a 7, pak 77.
Příklad: číslo 6930 je dělitelné 11 - 6930: 11 = 630 a je dělitelné 7 - 6930: 7 = 990. Můžeme bezpečně říci, že toto číslo je také dělitelné 77. Zkontrolujeme: 6930: 77 = 90.
Algoritmus pro rozklad čísla n na prvočinitele:
1. Najděte nejmenšího prvočíselného dělitele čísla n (jiného než 1) - a1.
2. Vydělte číslo n a1 a označte podíl n1.
3. n=a1 n1.
4. Provedeme stejnou operaci s n1, dokud nedostaneme prvočíslo.
Příklad: Rozložte číslo 17 136 na prvočinitele
1. Nejmenší hlavní dělitel jiný než 1, zde 2.
2. 17 136: 2 = 8 568;
3. 17 136 = 8 568 2.
4. Nejmenší hlavní dělitel čísla 8568 je 2.
5. 8 568: 2 = 4284;
6. 17 136 = 4284 2 2.
7. Nejmenší hlavní dělitel čísla 4284 je 2.
8. 4284: 2 = 2142;
9. 17 136 = 2142 2 2 2.
10. Nejmenší hlavní dělitel čísla 2142 je 2.
11. 2142: 2 = 1071;
12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.
13. Nejmenší hlavní dělitel čísla 1071 je 3.
14. 1071: 3 = 357;
15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.
16. Nejmenší hlavní dělitel čísla 357 je 3.
17. 357: 3 = 119;
18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.
19. Nejmenší hlavní dělitel čísla 119 je 7.
20. 119: 7 = 17;
21. 17 je prvočíslo, což znamená 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.
Získali jsme rozklad čísla 17 136 na prvočinitele.
