Pojďme analyzovat dva typy řešení soustav rovnic:

1. Řešení soustavy substituční metodou.
2. Řešení soustavy sčítáním (odečítáním) soustav soustavy po členech.

Abychom vyřešili soustavu rovnic substituční metodou musíte postupovat podle jednoduchého algoritmu:
1. Expresní. Z libovolné rovnice vyjádříme jednu proměnnou.
2. Náhradník. Výslednou hodnotu dosadíme do jiné rovnice místo vyjádřené proměnné.
3. Výslednou rovnici řešte s jednou proměnnou. Najdeme řešení systému.

Vyřešit soustava metodou sčítání (odčítání) člen po členu potřebovat:
1. Vyberte proměnnou, pro kterou uděláme shodné koeficienty.
2. Sečteme nebo odečteme rovnice, čímž vznikne rovnice s jednou proměnnou.
3. Vyřešte výslednou lineární rovnici. Najdeme řešení systému.

Řešením systému jsou průsečíky grafů funkcí.

Podívejme se podrobně na řešení systémů pomocí příkladů.

Příklad č. 1:

Řešíme substituční metodou

Řešení soustavy rovnic substituční metodou

2x+5y=1 (1 rovnice)
x-10y=3 (2. rovnice)

1. Expresní
Je vidět, že ve druhé rovnici je proměnná x s koeficientem 1, což znamená, že je nejjednodušší vyjádřit proměnnou x z druhé rovnice.
x = 3 + 10 let

2.Poté, co jsme to vyjádřili, dosadíme do první rovnice místo proměnné x 3+10y.
2(3+10y)+5y=1

3. Výslednou rovnici řešte s jednou proměnnou.
2(3+10y)+5y=1 (otevřete závorky)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Řešením soustavy rovnic jsou průsečíky grafů, proto musíme najít x a y, protože průsečík se skládá z x a y. Najdeme x, do prvního bodu, kde jsme to vyjádřili, dosadíme y.
x = 3 + 10 let
x=3+10*(-0,2)=1

Bývá zvykem psát body na prvním místě zapíšeme proměnnou x a na druhém místě proměnnou y.
Odpověď: (1; -0,2)

Příklad č. 2:

Řešíme metodou sčítání (odčítání) po členu.

Řešení soustavy rovnic metodou sčítání

3x-2y=1 (1 rovnice)
2x-3y=-10 (2. rovnice)

1. Vybereme proměnnou, řekněme, že zvolíme x. V první rovnici má proměnná x koeficient 3, ve druhé - 2. Potřebujeme, aby koeficienty byly stejné, k tomu máme právo rovnice násobit nebo dělit libovolným číslem. Vynásobíme první rovnici 2 a druhou 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Odečtěte druhou od první rovnice, abyste se zbavili proměnné x. Vyřešte lineární rovnici.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Najděte x. Nalezené y dosadíme do kterékoli z rovnic, řekněme do rovnice první.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Průsečík bude x=4,6; y=6,4
Odpověď: (4.6; 6.4)

Chcete se připravit na zkoušky zdarma? Tutor online zdarma. Bez legrace.

Řešení exponenciálních rovnic. Příklady.

Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)

Co se stalo exponenciální rovnice? Toto je rovnice, ve které jsou neznámé (x) a výrazy s nimi indikátory nějaké stupně. A jedině tam! To je důležité.

Tady jsi příklady exponenciálních rovnic:

3 x 2 x = 8 x + 3

Poznámka! V základech stupňů (níže) - pouze čísla. V indikátory stupně (nahoře) - široká škála výrazů s X. Pokud se náhle v rovnici objeví X někde jinde než jako indikátor, například:

toto již bude rovnice smíšeného typu. Takové rovnice nemají jasná pravidla pro jejich řešení. Zatím o nich nebudeme uvažovat. Zde se budeme zabývat řešení exponenciálních rovnic ve své nejčistší podobě.

Ve skutečnosti ani čistě exponenciální rovnice nejsou vždy vyřešeny jasně. Existují však určité typy exponenciálních rovnic, které lze a měly by být vyřešeny. Toto jsou typy, které budeme zvažovat.

Řešení jednoduchých exponenciálních rovnic.

Nejprve vyřešme něco velmi základního. Například:

I bez jakýchkoli teorií je jednoduchým výběrem jasné, že x = 2. Nic víc, že!? Žádná jiná hodnota X nefunguje. Nyní se podívejme na řešení této složité exponenciální rovnice:

Co jsme udělali? Ve skutečnosti jsme jednoduše vyhodili stejné základy (trojky). Úplně vyhozený. A dobrá zpráva je, že jsme trefili hřebíček na hlavičku!

Skutečně, pokud v exponenciální rovnici existuje levá a pravá strana stejnýčísla v libovolných mocninách, lze tato čísla odstranit a exponenty vyrovnat. Matematika umožňuje. Zbývá vyřešit mnohem jednodušší rovnici. Skvělé, že?)

Mějme však pevně na paměti: Základny můžete odstranit pouze tehdy, když jsou čísla základů vlevo a vpravo v nádherné izolaci! Bez jakýchkoliv sousedů a koeficientů. Řekněme v rovnicích:

2 x +2 x+1 = 2 3, nebo

dvojky nelze odstranit!

No a to nejdůležitější jsme zvládli. Jak přejít od zlých exponenciálních výrazů k jednodušším rovnicím.

"To jsou časy!" - říkáš. "Kdo by dal tak primitivní lekci o testech a zkouškách!"

musím souhlasit. Nikdo nebude. Ale teď už víte, kam mířit při řešení záludných příkladů. Musí být uveden do formuláře, kde je vlevo i vpravo stejné základní číslo. Pak bude vše jednodušší. Ve skutečnosti je to klasika matematiky. Vezmeme původní příklad a transformujeme jej na požadovaný nás mysl. Samozřejmě podle pravidel matematiky.

Podívejme se na příklady, které vyžadují určité dodatečné úsilí k jejich redukci na nejjednodušší. Zavolejme jim jednoduchý exponenciální rovnice.

Řešení jednoduchých exponenciálních rovnic. Příklady.

Při řešení exponenciálních rovnic platí hlavní pravidla akce s tituly. Bez znalosti těchto akcí nebude nic fungovat.

K akcím s tituly je třeba přidat osobní pozorování a vynalézavost. Potřebujeme stejná základní čísla? V příkladu je tedy hledáme v explicitní nebo zašifrované podobě.

Podívejme se, jak se to dělá v praxi?

Uveďme příklad:

2 2x - 8x+1 = 0

První ostrý pohled je na důvody. Oni... Jsou jiní! Dva a osm. Ale je příliš brzy na to, nechat se odradit. Je čas si to připomenout

Dva a osm jsou příbuzní ve stupni.) Je docela možné napsat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Pokud si vzpomeneme na vzorec z operací se stupni:

(a n) m = a nm,

tohle funguje skvěle:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Původní příklad začal vypadat takto:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Přenášíme 2 3 (x+1) doprava (nikdo nezrušil základní matematické operace!), dostaneme:

2 2x = 2 3 (x+1)

To je prakticky vše. Odstranění základny:

Vyřešíme toto monstrum a dostaneme

Toto je správná odpověď.

V tomto příkladu nám pomohla znalost sil dvou. My identifikované v osmičce je zašifrovaná dvojka. Tato technika (kódování společných bází pod různá čísla) je velmi oblíbená technika v exponenciálních rovnicích! Ano, a také v logaritmech. Musíte být schopni rozpoznat mocniny jiných čísel v číslech. To je nesmírně důležité pro řešení exponenciálních rovnic.

Faktem je, že zvýšení libovolného čísla na jakoukoli mocninu není problém. Násobte, i na papíře, a je to. Každý může například zvýšit 3 na pátou mocninu. 243 vyjde, pokud znáte násobilku.) Ale v exponenciálních rovnicích mnohem častěji není nutné zvyšovat na mocninu, ale naopak... Zjistit jaké číslo do jaké míry se skrývá za číslem 243, nebo řekněme 343... Tady vám žádná kalkulačka nepomůže.

Musíš znát mocniny některých čísel zrakem, že... Pojďme cvičit?

Určete, jaké mocniny a jaká čísla jsou čísla:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpovědi (v nepořádku, samozřejmě!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Když se podíváte pozorně, můžete vidět zvláštní skutečnost. Odpovědí je podstatně více než úkolů! No, to se stává... Například 2 6, 4 3, 8 2 - to je všech 64.

Předpokládejme, že jste vzali na vědomí informaci o obeznámenosti s čísly.) Dovolte mi také připomenout, že k řešení exponenciálních rovnic používáme Všechno zásoba matematických znalostí. Včetně těch z mladší a střední třídy. Nešel jsi rovnou na střední školu, že?)

Například při řešení exponenciálních rovnic často pomáhá uvedení společného činitele mimo závorky (ahoj 7. třída!). Podívejme se na příklad:

3 2x+4 -11 9 x = 210

A opět je první pohled na základy! Základy stupňů jsou různé... Tři a devět. Ale chceme, aby byly stejné. No, v tomto případě je touha zcela splněna!) Protože:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Použití stejných pravidel pro práci s tituly:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To je skvělé, můžete to napsat:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Ze stejných důvodů jsme uvedli příklad. Takže, co bude dál!? Nemůžeš vyhodit trojky... Slepá ulička?

Vůbec ne. Pamatujte na nejuniverzálnější a nejmocnější rozhodovací pravidlo každý matematické úkoly:

Pokud nevíte, co potřebujete, udělejte, co můžete!

Podívejte, všechno bude fungovat).

Co je v této exponenciální rovnici Umět dělat? Ano, na levé straně si žádá vyjmutí ze závorek! Celkový multiplikátor 3 2x tomu jasně napovídá. Zkusíme a pak uvidíme:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Příklad je stále lepší a lepší!

Pamatujeme si, že k odstranění důvodů potřebujeme čistý stupeň, bez jakýchkoli koeficientů. Vadí nám číslo 70. Vydělíme tedy obě strany rovnice 70, dostaneme:

Jejda! Všechno se zlepšilo!

Toto je konečná odpověď.

Stává se však, že pojíždění na stejném základě je dosaženo, ale jejich eliminace není možná. To se děje v jiných typech exponenciálních rovnic. Osvojme si tento typ.

Nahrazování proměnné při řešení exponenciálních rovnic. Příklady.

Pojďme řešit rovnici:

4 x - 3 2 x +2 = 0

První - jako obvykle. Přejděme k jedné základně. Na dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dostaneme rovnici:

2 2x - 3 2x +2 = 0

A tady se scházíme. Předchozí techniky nebudou fungovat, bez ohledu na to, jak se na to díváte. Budeme muset z našeho arzenálu vytáhnout další mocnou a univerzální metodu. Jmenuje se to variabilní náhrada.

Podstata metody je překvapivě jednoduchá. Místo jedné složité ikony (v našem případě - 2 x) napíšeme jinou, jednodušší (například - t). Taková zdánlivě nesmyslná náhrada vede k úžasným výsledkům!) Vše se stává jasným a srozumitelným!

Tak ať

Pak 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

V naší rovnici nahradíme všechny mocniny x za t:

No, svítá ti to?) Kvadratické rovnice Už jste zapomněli? Řešením přes diskriminant dostaneme:

Hlavní věc je nezastavit, jak se to stává... Tohle ještě není odpověď, potřebujeme x, ne t. Vraťme se k X, tzn. provádíme zpětnou výměnu. Nejprve pro t 1:

to znamená,

Byl nalezen jeden kořen. Hledáme druhého z t 2:

Hm... 2 x vlevo, 1 vpravo... Problém? Vůbec ne! Stačí si zapamatovat (z operací s pravomocemi ano...), že jednotka je žádnýčíslo na nulovou mocninu. Žádný. Cokoli je potřeba, nainstalujeme. Potřebujeme dvojku. Prostředek:

To je vše. Máme 2 kořeny:

Toto je odpověď.

Na řešení exponenciálních rovnic na konci někdy skončíte s nějakým trapným výrazem. Typ:

Sedmička nemůže být přeměněna na dvě pomocí jednoduché síly. Nejsou příbuzní... Jak můžeme být? Někdo může být zmatený... Ale ten, kdo četl na tomto webu téma „Co je to logaritmus?“ , jen se střídmě usměje a pevnou rukou zapíše naprosto správnou odpověď:

V úkolech „B“ na jednotné státní zkoušce taková odpověď nemůže být. Tam je vyžadováno konkrétní číslo. Ale v úkolech „C“ je to snadné.

Tato lekce poskytuje příklady řešení nejběžnějších exponenciálních rovnic. Zdůrazněme hlavní body.

Praktické rady:

1. Nejprve se podíváme na důvody stupně. Zajímá nás, zda je možné je vyrobit identické. Zkusme to udělat aktivním používáním akce s tituly. Nezapomeňte, že čísla bez x lze také převést na mocniny!

2. Snažíme se přivést exponenciální rovnici do tvaru, kdy je nalevo a napravo stejnýčísla v jakékoli mocnině. Používáme akce s tituly A faktorizace. Co se dá spočítat na čísla, to počítáme.

3. Pokud druhý tip nefunguje, zkuste použít variabilní náhradu. Výsledkem může být rovnice, kterou lze snadno vyřešit. Nejčastěji - čtvercový. Nebo zlomkové, které se také zmenší na čtverec.

4. Pro úspěšné řešení exponenciálních rovnic je třeba znát mocniny některých čísel zrakem.

Jako obvykle jste na konci lekce vyzváni, abyste se trochu rozhodli.) Sami. Od jednoduchých po složité.

Řešte exponenciální rovnice:

Obtížnější:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Najděte produkt kořenů:

2 3 + 2 x = 9

Stalo?

No, pak velmi složitý příklad (i když to lze vyřešit v mysli...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co je zajímavější? Pak je tu pro vás špatný příklad. Docela lákavé pro zvýšenou obtížnost. Dovolte mi naznačit, že v tomto příkladu vás zachrání vynalézavost a nejuniverzálnější pravidlo pro řešení všech matematických problémů.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Jednodušší příklad pro relaxaci):

9 2 x - 4 3 x = 0

A jako dezert. Najděte součet kořenů rovnice:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Ano ano! Toto je rovnice smíšeného typu! Což jsme v této lekci nezvažovali. Proč je zvažovat, je třeba je vyřešit!) Tato lekce k vyřešení rovnice docela stačí. No, potřebujete vynalézavost... A nechť vám pomůže sedmá třída (toto je nápověda!).

Odpovědi (neuspořádané, oddělené středníky):

1; 2; 3; 4; neexistují žádná řešení; 2; -2; -5; 4; 0.

Je vše úspěšné? Skvělý.

Vyskytl se problém? Žádný problém! Speciální sekce 555 řeší všechny tyto exponenciální rovnice s podrobným vysvětlením. Co, proč a proč. A samozřejmě jsou zde další cenné informace o práci s nejrůznějšími exponenciálními rovnicemi. Nejen tyto.)

Poslední zábavná otázka ke zvážení. V této lekci jsme pracovali s exponenciálními rovnicemi. Proč jsem zde neřekl ani slovo o ODZ? V rovnicích je to mimochodem velmi důležitá věc...

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Tímto videem začínám sérii lekcí věnovaných soustavám rovnic. Dnes si povíme něco o řešení soustav lineárních rovnic způsob přidávání- to je jeden z nejvíce jednoduchými způsoby, ale zároveň jeden z nejúčinnějších.

Metoda přidávání se skládá ze tří jednoduchých kroků:

1. Podívejte se na systém a vyberte proměnnou, která má v každé rovnici stejné (nebo opačné) koeficienty;
2. Proveďte algebraické odčítání (pro opačná čísla - sčítání) rovnic od sebe a poté přiveďte podobné členy;
3. Vyřešte novou rovnici získanou po druhém kroku.

Pokud je vše provedeno správně, pak na výstupu dostaneme jedinou rovnici s jednou proměnnou- nebude těžké to vyřešit. Pak už jen zbývá dosadit nalezený kořen do původního systému a získat konečnou odpověď.

V praxi však není vše tak jednoduché. Důvodů je několik:

• Řešení rovnic metodou sčítání znamená, že všechny řádky musí obsahovat proměnné se stejnými/opačnými koeficienty. Co dělat, když tento požadavek není splněn?
• Ne vždy po sečtení/odečtení rovnic naznačeným způsobem dostaneme krásnou konstrukci, kterou lze snadno vyřešit. Je možné nějak zjednodušit výpočty a zrychlit výpočty?

Chcete-li získat odpověď na tyto otázky a zároveň pochopit několik dalších jemností, ve kterých mnoho studentů selhává, podívejte se na mou video lekci:

Touto lekcí zahajujeme sérii přednášek věnovaných soustavám rovnic. A začneme od těch nejjednodušších z nich, a to těch, které obsahují dvě rovnice a dvě proměnné. Každý z nich bude lineární.

Systémy je materiál pro 7. ročník, ale tato lekce bude užitečná i pro středoškoláky, kteří si chtějí oprášit své znalosti z tohoto tématu.

Obecně existují dva způsoby řešení takových systémů:

1. Metoda sčítání;
2. Metoda vyjádření jedné proměnné pomocí druhé.

Dnes se budeme zabývat první metodou – použijeme metodu odčítání a sčítání. K tomu ale musíte pochopit následující fakt: jakmile máte dvě nebo více rovnic, můžete vzít libovolné dvě z nich a sečíst je k sobě. Přidávají se člen po členu, tzn. „X“ se přidávají k „X“ a dávají se podobná, „Y“ s „Y“ jsou opět podobné a to, co je napravo od znaménka rovná se, se také přičítá k sobě a také jsou tam uvedeny podobné .

Výsledkem takových machinací bude nová rovnice, která, pokud bude mít kořeny, bude jistě patřit mezi kořeny původní rovnice. Naším úkolem je tedy provést odčítání nebo sčítání tak, aby zmizelo buď $x$ nebo $y$.

Jak toho dosáhnout a jaký nástroj k tomu použít - o tom teď budeme mluvit.

Řešení jednoduchých problémů pomocí sčítání

Naučíme se tedy používat metodu sčítání na příkladu dvou jednoduchých výrazů.

Úkol č. 1

\[\left\( \begin(zarovnat)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(zarovnat) \vpravo.\]

Všimněte si, že $y$ má koeficient $-4$ v první rovnici a $+4$ ve druhé. Jsou vzájemně protichůdné, takže je logické předpokládat, že pokud je sečteme, pak se ve výsledném součtu „hry“ vzájemně zničí. Sečtěte to a dostanete:

Pojďme vyřešit nejjednodušší konstrukci:

Skvělé, našli jsme "x". Co s tím teď máme dělat? Máme právo jej dosadit do kterékoli z rovnic. Nahradíme v prvním:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Odpověď: $\left(2;-3 \right)$.

Problém č. 2

\[\left\( \begin(zarovnat)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(zarovnat) \right.\]

Zde je situace zcela podobná, pouze s „X“. Pojďme je sečíst:

Máme nejjednodušší lineární rovnici, vyřešme ji:

Nyní najdeme $x$:

Odpověď: $\left(-3;3 \right)$.

Důležité body

Právě jsme tedy vyřešili dvě jednoduché soustavy lineárních rovnic metodou sčítání. Opět klíčové body:

1. Pokud pro jednu z proměnných existují opačné koeficienty, pak je nutné sečíst všechny proměnné v rovnici. V tomto případě bude jeden z nich zničen.
2. Nalezenou proměnnou dosadíme do libovolné soustavy rovnic, abychom našli druhou.
3. Konečný záznam odpovědi lze prezentovat různými způsoby. Například takto - $x=...,y=...$, nebo ve tvaru souřadnic bodů - $\left(...;... \right)$. Upřednostňuje se druhá možnost. Hlavní věc k zapamatování je, že první souřadnice je $x$ a druhá je $y$.
4. Pravidlo zápisu odpovědi ve formě souřadnic bodů neplatí vždy. Nelze jej například použít, když proměnné nejsou $x$ a $y$, ale například $a$ a $b$.

V následujících úlohách se budeme zabývat technikou odčítání, když koeficienty nejsou opačné.

Řešení jednoduchých úloh metodou odčítání

Úkol č. 1

\[\left\( \begin(zarovnat)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(zarovnat) \right.\]

Všimněte si, že zde nejsou žádné opačné koeficienty, ale existují identické. Od první rovnice tedy odečteme druhou:

Nyní dosadíme hodnotu $x$ do libovolné systémové rovnice. Pojďme první:

Odpověď: $\left(2;5\right)$.

Problém č. 2

\[\left\( \begin(zarovnat)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(zarovnat) \right.\]

Opět vidíme stejný koeficient $5$ pro $x$ v první a druhé rovnici. Proto je logické předpokládat, že musíte od první rovnice odečíst druhou:

Vypočítali jsme jednu proměnnou. Nyní najdeme tu druhou, například dosazením hodnoty $y$ do druhé konstrukce:

Odpověď: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuance řešení

Co tedy vidíme? Schéma se v podstatě neliší od řešení předchozích systémů. Jediný rozdíl je v tom, že rovnice nesčítáme, ale odečítáme. Provádíme algebraické odčítání.

Jinými slovy, jakmile uvidíte systém sestávající ze dvou rovnic o dvou neznámých, první věc, na kterou se musíte podívat, jsou koeficienty. Pokud jsou kdekoli stejné, rovnice se odečítají, a pokud jsou opačné, použije se metoda sčítání. Vždy se to dělá tak, že jeden z nich zmizí a ve výsledné rovnici, která po odečtení zůstane, zůstane jen jedna proměnná.

To samozřejmě není vše. Nyní budeme uvažovat systémy, ve kterých jsou rovnice obecně nekonzistentní. Tito. Nejsou v nich žádné stejné nebo opačné proměnné. V tomto případě se k řešení takových systémů používá další technika, konkrétně násobení každé z rovnic speciálním koeficientem. Jak to najít a jak takové systémy obecně řešit, o tom teď budeme mluvit.

Řešení úloh násobením koeficientem

Příklad #1

\[\left\( \begin(zarovnat)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(zarovnat) \vpravo.\]

Vidíme, že ani pro $x$, ani pro $y$ nejsou koeficienty nejen vzájemně opačné, ale ani nijak nekorelují s druhou rovnicí. Tyto koeficienty nijak nezmizí, ani když rovnice od sebe sčítáme nebo odečítáme. Proto je nutné aplikovat násobení. Zkusme se zbavit proměnné $y$. Za tímto účelem vynásobíme první rovnici koeficientem $y$ z druhé rovnice a druhou rovnici koeficientem $y$ z první rovnice, aniž bychom se dotkli znaménka. Vynásobíme a získáme nový systém:

\[\left\( \begin(zarovnat)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(zarovnat) \right.\]

Podívejme se na to: při $y$ jsou koeficienty opačné. V takové situaci je nutné použít metodu sčítání. Dodejme:

Nyní musíme najít $y$. Chcete-li to provést, dosaďte $x$ do prvního výrazu:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Odpověď: $\left(4;-2 \right)$.

Příklad č. 2

\[\left\( \begin(zarovnat)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(zarovnat) \right.\]

Opět platí, že koeficienty pro žádnou z proměnných nejsou konzistentní. Vynásobme koeficienty $y$:

\[\left\( \begin(zarovnat)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(zarovnat) \vpravo .\]

\[\left\( \begin(zarovnat)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(zarovnat) \vpravo.\]

Náš nový systém je ekvivalentní předchozímu, ale koeficienty $y$ jsou vzájemně opačné, a proto je zde snadné použít metodu sčítání:

Nyní najdeme $y$ dosazením $x$ do první rovnice:

Odpověď: $\left(-2;1 \right)$.

Nuance řešení

Klíčové pravidlo je zde následující: násobíme vždy pouze kladnými čísly - to vás ušetří hloupých a urážlivých chyb spojených se změnou znamení. Obecně je schéma řešení poměrně jednoduché:

1. Podíváme se na systém a analyzujeme každou rovnici.
2. Pokud vidíme, že ani $y$ ani $x$ nejsou koeficienty konzistentní, tzn. nejsou ani stejné, ani opačné, pak uděláme následující: vybereme proměnnou, které se potřebujeme zbavit, a pak se podíváme na koeficienty těchto rovnic. Pokud vynásobíme první rovnici koeficientem z druhé a druhou odpovídajícím způsobem vynásobíme koeficientem z první, nakonec dostaneme systém, který je zcela ekvivalentní předchozímu, a koeficienty $ y$ bude konzistentní. Všechny naše akce nebo transformace jsou zaměřeny pouze na získání jedné proměnné v jedné rovnici.
3. Najdeme jednu proměnnou.
4. Nalezenou proměnnou dosadíme do jedné ze dvou rovnic soustavy a najdeme druhou.
5. Odpověď zapíšeme ve tvaru souřadnic bodů, pokud máme proměnné $x$ a $y$.

Ale i takový jednoduchý algoritmus má své vlastní jemnosti, například koeficienty $x$ nebo $y$ mohou být zlomky a další „ošklivá“ čísla. Tyto případy nyní zvážíme samostatně, protože v nich můžete jednat poněkud jinak než podle standardního algoritmu.

Řešení úloh se zlomky

Příklad #1

\[\left\( \začátek(zarovnání)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\konec (zarovnání) \vpravo.\]

Nejprve si všimněte, že druhá rovnice obsahuje zlomky. Všimněte si však, že 4 $ můžete vydělit $ 0,8 $. Dostaneme 5 $. Vynásobme druhou rovnici 5 $:

\[\left\( \začátek(zarovnání)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\konec (zarovnání) \vpravo.\]

Rovnice od sebe odečteme:

Našli jsme $n$, nyní počítejme $m$:

Odpověď: $n=-4;m=5$

Příklad č. 2

\[\left\( \begin(zarovnat)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(zarovnat )\ že jo.\]

Zde, stejně jako v předchozím systému, existují zlomkové koeficienty, ale u žádné z proměnných do sebe koeficienty nezapadají vícekrát jako celé číslo. Proto používáme standardní algoritmus. Zbavte se $p$:

\[\left\( \begin(zarovnat)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(zarovnat) \vpravo.\]

Používáme metodu odčítání:

Pojďme najít $p$ dosazením $k$ do druhé konstrukce:

Odpověď: $p=-4;k=-2$.

Nuance řešení

To je celá optimalizace. V první rovnici jsme nenásobili vůbec ničím, ale vynásobili jsme druhou rovnici $5$. V důsledku toho jsme dostali konzistentní a dokonce identickou rovnici pro první proměnnou. Ve druhém systému jsme postupovali podle standardního algoritmu.

Jak ale najít čísla, kterými se násobí rovnice? Pokud totiž násobíme zlomky, dostaneme nové zlomky. Proto musí být zlomky vynásobeny číslem, které by dalo nové celé číslo, a poté musí být proměnné vynásobeny koeficienty podle standardního algoritmu.

Na závěr bych vás chtěl upozornit na formát záznamu odpovědi. Jak jsem již řekl, protože zde nemáme $x$ a $y$, ale jiné hodnoty, používáme nestandardní zápis tvaru:

Řešení složitých soustav rovnic

Jako poslední poznámku k dnešnímu videonávodu se podívejme na pár opravdu složitých systémů. Jejich složitost bude spočívat v tom, že budou mít proměnné vlevo i vpravo. Proto, abychom je vyřešili, budeme muset použít předzpracování.

Systém č. 1

\[\left\( \begin(zarovnat)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(zarovnat) \right.\]

Každá rovnice v sobě nese určitou složitost. Proto s každým výrazem zacházejme jako s regulární lineární konstrukcí.

Celkem získáme konečný systém, který je ekvivalentní původnímu:

\[\left\( \begin(zarovnat)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(zarovnat) \right.\]

Podívejme se na koeficienty $y$: $3$ se hodí do $6$ dvakrát, takže vynásobme první rovnici $2$:

\[\left\( \begin(zarovnat)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(zarovnat) \right.\]

Koeficienty $y$ se nyní rovnají, takže od první rovnice odečteme druhý: $$

Nyní najdeme $y$:

Odpověď: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Systém č. 2

\[\left\( \begin(zarovnat)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(zarovnat) \right.\]

Pojďme transformovat první výraz:

Pojďme se zabývat tím druhým:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Celkově bude náš počáteční systém mít následující podobu:

\[\left\( \begin(zarovnat)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(zarovnat) \vpravo.\]

Při pohledu na koeficienty $a$ vidíme, že první rovnici je třeba vynásobit $2$:

\[\left\( \begin(zarovnat)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(zarovnat) \right.\]

Odečtěte druhou od první konstrukce:

Nyní najdeme $a$:

Odpověď: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

To je vše. Doufám, že vám tento videonávod pomůže pochopit toto obtížné téma, konkrétně řešení soustav jednoduchých lineárních rovnic. Lekcí na toto téma bude v budoucnu mnohem více: podíváme se na složitější příklady, kde bude více proměnných a samotné rovnice budou nelineární. Uvidíme se znova!

Rovnice s jednou neznámou, která po otevření závorek a přivedení podobných pojmů nabývá tvaru

ax + b = 0, kde a a b jsou libovolná čísla, se nazývá lineární rovnice s jednou neznámou. Dnes zjistíme, jak na to lineární rovnice rozhodni se.

Například všechny rovnice:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineární.

Hodnota neznámé, která změní rovnici na skutečnou rovnost, se nazývá rozhodnutí nebo kořen rovnice .

Pokud například v rovnici 3x + 7 = 13 místo neznámého x dosadíme číslo 2, dostaneme správnou rovnost 3 2 +7 = 13. To znamená, že hodnota x = 2 je řešením nebo kořenem rovnice.

A hodnota x = 3 nemění rovnici 3x + 7 = 13 ve skutečnou rovnost, protože 3 2 +7 ≠ 13. To znamená, že hodnota x = 3 není řešením ani kořenem rovnice.

Řešení libovolných lineárních rovnic se redukuje na řešení rovnic ve tvaru

ax + b = 0.

Přesuneme volný člen z levé strany rovnice doprava a změníme znaménko před b na opačné, dostaneme

Pokud a ≠ 0, pak x = ‒ b/a .

Příklad 1 Řešte rovnici 3x + 2 =11.

Přesuneme 2 z levé strany rovnice doprava a změníme znaménko před 2 na opačné, dostaneme
3x = 11 – 2.

Tak pojďme na odčítání
3x = 9.

Chcete-li najít x, musíte vydělit součin známým faktorem, tzn
x = 9:3.

To znamená, že hodnota x = 3 je řešením nebo kořenem rovnice.

Odpověď: x = 3.

Pokud a = 0 a b = 0, pak dostaneme rovnici 0x = 0. Tato rovnice má nekonečně mnoho řešení, protože když vynásobíme libovolné číslo 0, dostaneme 0, ale b se také rovná 0. Řešením této rovnice je libovolné číslo.

Příklad 2 Vyřešte rovnici 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Rozbalíme závorky:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Zde jsou některé podobné výrazy:
0x = 0.

Odpověď: x - libovolné číslo.

Pokud a = 0 a b ≠ 0, pak dostaneme rovnici 0x = - b. Tato rovnice nemá řešení, protože když vynásobíme libovolné číslo 0, dostaneme 0, ale b ≠ 0.

Příklad 3 Vyřešte rovnici x + 8 = x + 5.

Seskupme termíny obsahující neznámé na levé straně a volné termíny na pravé straně:
x – x = 5 – 8.

Zde jsou některé podobné výrazy:
0х = ‒ 3.

Odpověď: žádná řešení.

Na Obrázek 1 ukazuje schéma řešení lineární rovnice

Sestavme si obecné schéma řešení rovnic s jednou proměnnou. Podívejme se na řešení příkladu 4.

Příklad 4. Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit rovnici

1) Vynásobte všechny členy rovnice nejmenším společným násobkem jmenovatelů rovným 12.

2) Po zmenšení dostaneme
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Chcete-li oddělit výrazy obsahující neznámé a volné výrazy, otevřete hranaté závorky:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Seskupme do jedné části termíny obsahující neznámé a do druhé volné termíny:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Uveďme podobné pojmy:
-22х = -154.

6) Vydělte – 22, dostaneme
x = 7.

Jak vidíte, kořen rovnice je sedm.

Obecně takové rovnice lze řešit pomocí následujícího schématu:

a) převést rovnici do jejího celočíselného tvaru;

b) otevřete závorky;

c) seskupit členy obsahující neznámou v jedné části rovnice a volné členy ve druhé;

d) přivést podobné členy;

e) řešit rovnici tvaru aх = b, která byla získána po přivedení podobných členů.

Toto schéma však není nutné pro každou rovnici. Při řešení mnohem více jednoduché rovnice musíte začít ne od prvního, ale od druhého ( Příklad. 2), Třetí ( Příklad. 13) a dokonce od páté fáze, jako v příkladu 5.

Příklad 5.Řešte rovnici 2x = 1/4.

Najděte neznámou x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Podívejme se na řešení některých lineárních rovnic nalezených v hlavní státní zkoušce.

Příklad 6.Řešte rovnici 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Odpověď: - 0,125

Příklad 7. Vyřešte rovnici – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Odpověď: 2.3

Příklad 8. Vyřešte rovnici

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Příklad 9. Najděte f(6), jestliže f (x + 2) = 3 7

Řešení

Protože potřebujeme najít f(6) a víme f (x + 2),
pak x + 2 = 6.

Řešíme lineární rovnici x + 2 = 6,
dostaneme x = 6 – 2, x = 4.

Pokud x = 4, pak
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Odpověď: 27.

Pokud máte ještě dotazy nebo chcete řešení rovnic porozumět důkladněji, přihlaste se na mé lekce v ROZVRHU. Rád vám pomohu!

TutorOnline také doporučuje zhlédnout novou video lekci od naší lektorky Olgy Alexandrovny, která vám pomůže porozumět lineárním rovnicím i dalším.

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Rovnice

Jak řešit rovnice?

V této části si připomeneme (nebo prostudujeme, podle toho, koho zvolíte) nejelementárnější rovnice. Jaká je tedy rovnice? V lidské řeči je to nějaký druh matematického vyjádření, kde je rovnítko a neznámo. Což se obvykle označuje písmenem "X". Vyřešte rovnici- to je najít takové hodnoty x, které při dosazení do originál výraz nám dá správnou identitu. Připomínám, že identita je výraz, který je nepochybný i pro člověka absolutně nezatíženého matematickými znalostmi. Jako 2=2, 0=0, ab=ab atd. Jak tedy řešit rovnice? Pojďme na to přijít.

Existují různé druhy rovnic (překvapuje mě, že?). Ale celou jejich nekonečnou rozmanitost lze rozdělit pouze do čtyř typů.

4. Jiný.)

Vše ostatní, samozřejmě, nejvíc ano...) Patří sem kubické, exponenciální, logaritmické, trigonometrické a všelijaké další. Budeme s nimi úzce spolupracovat v příslušných sekcích.

Hned řeknu, že někdy jsou rovnice prvních tří typů tak podělané, že je ani nepoznáte... Nic. Naučíme se, jak je odreagovat.

A proč potřebujeme tyto čtyři typy? A pak co lineární rovnice vyřešen jedním způsobem náměstí ostatní, zlomkové racionality - třetí, A odpočinek Vůbec si netroufají! No, nejde o to, že by se vůbec nemohli rozhodnout, jde o to, že jsem se mýlil v matematice.) Jde jen o to, že mají své speciální techniky a metody.

Ale pro jakýkoli (opakuji - pro žádný!) rovnice poskytují spolehlivý a bezpečný základ pro řešení. Funguje všude a vždy. Tento základ - Zní to děsivě, ale je to velmi jednoduché. A velmi (Velmi!) Důležité.

Ve skutečnosti se řešení rovnice skládá právě z těchto transformací. 99 % Odpověď na otázku: " Jak řešit rovnice?“ spočívá právě v těchto transformacích. Je náznak jasný?)

Identické transformace rovnic.

V jakékoli rovnice Chcete-li najít neznámé, musíte původní příklad transformovat a zjednodušit. A tak při změně vzhled podstata rovnice se nezměnila. Takové transformace se nazývají identické nebo ekvivalent.

Všimněte si, že tyto transformace platí konkrétně k rovnicím. I v matematice dochází k proměnám identity výrazy. To je další téma.

Nyní zopakujeme všechny, všechny, všechny základní identické transformace rovnic.

Základní, protože na ně lze aplikovat žádný rovnice - lineární, kvadratické, zlomkové, trigonometrické, exponenciální, logaritmické atd. a tak dále.

První transformace identity: můžete přidat (odečíst) k oběma stranám libovolné rovnice žádný(ale jedno a totéž!) číslo nebo výraz (včetně výrazu s neznámou!). To nic nemění na podstatě rovnice.

Mimochodem, tuto transformaci jste neustále používali, jen jste si mysleli, že přenášíte některé členy z jedné části rovnice do druhé se změnou znaménka. Typ:

Případ je známý, přesuneme ty dva doprava a dostaneme:

Vlastně vy odvezen z obou stran rovnice je dvě. Výsledek je stejný:

x+2 - 2 = 3 - 2

Přesouvání pojmů doleva a doprava se změnou znaménka je jednoduše zkrácenou verzí první transformace identity. A proč potřebujeme tak hluboké znalosti? - ptáš se. V rovnicích nic. Proboha, vydržte. Jen nezapomeňte změnit značku. Ale v nerovnostech může zvyk přenášení vést do slepé uličky...

Druhá transformace identity: obě strany rovnice lze vynásobit (dělit) tímtéž nenulovéčíslo nebo výraz. Zde se již objevuje pochopitelné omezení: násobení nulou je hloupé a dělení zcela nemožné. Toto je transformace, kterou používáte, když řešíte něco skvělého, jako je

To je jasné X= 2. Jak jste to našli? Výběrem? Nebo vám to jen došlo? Abyste nevybírali a nečekali na vhled, musíte pochopit, že jste spravedliví rozdělil obě strany rovnice o 5. Při dělení levé strany (5x) se pětka zmenšila a zůstalo čisté X. Což je přesně to, co jsme potřebovali. A při vydělení pravé strany (10) pěti jsou výsledkem samozřejmě dvě.

To je vše.

Je to úsměvné, ale tyto dvě (pouze dvě!) totožné transformace jsou základem řešení všechny rovnice matematiky. Páni! Má smysl podívat se na příklady co a jak, ne?)

Příklady identických transformací rovnic. Hlavní problémy.

Začněme s První transformace identity. Převod zleva doprava.

Příklad pro mladší.)

Řekněme, že potřebujeme vyřešit následující rovnici:

3-2x=5-3x

Připomeňme si kouzlo: "s X - doleva, bez X - doprava!" Toto kouzlo je instrukce pro použití první transformace identity.) Jaký výraz s X je vpravo? 3x? Odpověď je nesprávná! Po naší pravici - 3x! Mínus tři x! Při pohybu doleva se tedy znaménko změní na plus. Ukáže se:

3-2x+3x=5

Takže X byla shromážděna na hromadě. Pojďme k číslům. Vlevo je trojka. S jakým znamením? Odpověď „s žádným“ není přijata!) Před třemi se skutečně nic nekreslí. A to znamená, že před třemi tam je Plus. Matematici tedy souhlasili. Nic není napsáno, což znamená Plus. Proto se trojka přenese na pravou stranu s mínusem. Dostaneme:

-2x+3x=5-3

Zbývají jen maličkosti. Vlevo - přineste podobné, vpravo - počítejte. Odpověď přichází okamžitě:

V tomto příkladu stačila jedna transformace identity. Druhý nebyl potřeba. Dobře.)

Příklad pro starší děti.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.