1.
방정식은 다음과 같습니다. 3차 대칭 방정식, 다음과 같은 형식이 있는 경우
도끼 3 + bx 2 + bx + a = 0.
이러한 유형의 방정식을 성공적으로 풀려면 다음과 같은 역 방정식의 간단한 속성을 알고 사용할 수 있는 것이 유용합니다.
ㅏ)홀수차의 모든 역방정식의 근은 항상 -1입니다.
실제로, 왼쪽 항을 다음과 같이 그룹화하면: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, 그러면 공통 인수를 제거하는 것이 가능합니다. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0이므로,
x + 1 = 0 또는 ax 2 + (b – a)x + a = 0, 첫 번째 방정식은 우리가 관심을 갖는 진술을 증명합니다.
비)역 방정식에는 0과 같은 근이 없습니다.
V)홀수차 다항식을 (x + 1)로 나눌 때, 몫은 다시 반복 다항식이며 이는 귀납법으로 증명됩니다.
예.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
해결책.
원래 방정식은 반드시 x = -1의 근을 가지므로 Horner의 계획에 따라 x 3 + 2x 2 + 2x + 1을 (x + 1)로 나눕니다.
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.
2차 방정식 x 2 + x + 1 = 0에는 근이 없습니다.
답: -1.
2.
방정식은 다음과 같습니다. 4차 대칭 방정식, 다음과 같은 형식이 있는 경우
도끼 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
솔루션 알고리즘유사한 방정식은 다음과 같습니다.
ㅏ)원래 방정식의 양변을 x 2로 나눕니다. x = 0은 주어진 방정식의 해가 아니기 때문에 이 작업은 근의 손실로 이어지지 않습니다.
비)그룹화를 사용하여 방정식을 다음 형식으로 만듭니다.
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V)새로운 미지수를 입력하세요: t = (x + 1/x).
변환을 해보겠습니다: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . 이제 x 2 + 1/x 2를 표현하면 t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2입니다.
G)새로운 변수로 결과를 해결 이차 방정식:
аt 2 + bt + c – 2a = 0.
디)역치환을 수행합니다.
예.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
해결책.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.
t: 치환(x + 1/x) = t를 입력합니다. 치환: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, 우리는 다음을 얻습니다:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 또는 t = 10/3.
변수 x로 돌아가 보겠습니다. 역대입 후에 우리는 두 개의 결과 방정식을 푼다:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 또는 x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 또는 x = 1/3.
답: -2; -1/2; 1/3; 삼.
특정 유형의 더 높은 차수의 방정식을 푸는 방법
1. 다음 형식을 갖는 방정식 (x + a) n + (x + b) n = c,는 t = x + (a + b)/2를 대체하여 해결됩니다. 이 방법은 대칭 방법.
그러한 방정식의 예는 (x + a) 4 + (x + b) 4 = c 형식의 방정식입니다.
예.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
해결책.
위에서 언급한 대체 작업을 수행합니다.
t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, 단순화 후: x = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
수식을 사용하여 괄호를 제거하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
티 4 + 6티 2 – 135 = 0.
t 2 = 9 또는 t 2 = -15.
두 번째 방정식은 근을 제공하지 않지만 첫 번째 방정식에서 t = ±3이 됩니다.
역치환 후에 x = -5 또는 x = 1이 됩니다.
답: -5; 1.
그러한 방정식을 풀려면 다음과 같은 방법이 효과적입니다. 방정식의 좌변을 인수분해하는 방법.
2. 형태의 방정식 (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, 여기서 a + d = c + b.
이러한 방정식을 푸는 기술은 괄호를 부분적으로 열고 새 변수를 도입하는 것입니다.
예.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
해결책.
계산: 1 + 4 = 2 + 3. 괄호를 쌍으로 그룹화합니다.
((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 24.
x 2 + 5x + 4 = t를 대입하면 다음 방정식을 얻을 수 있습니다.
t(t + 2) = 24, 정사각형입니다:
티 2 + 2티 – 24 = 0.
t = -6 또는 t = 4.
역대입을 수행한 후 원래 방정식의 근을 쉽게 찾을 수 있습니다.
답: -5; 0.
3. 형태의 방정식 (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ax 2, 여기서 ad = cb.
풀이 방법은 괄호를 부분적으로 열고 양쪽을 x 2로 나누고 일련의 이차 방정식을 푸는 것입니다.
예.
(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.
해결책.
왼쪽의 처음 두 괄호와 마지막 두 괄호를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
(x 2 + 14x + 24)(x 2 + 11x + 24) = 4x 2. x 2 ≠ 0으로 나눕니다.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. (x + 24/x) = t를 대체하면 2차 방정식에 도달합니다.
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 또는 t = 15.
역치환 x + 24/x = 10 또는 x + 24/x = 15를 수행하여 근을 찾습니다.
답: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
방정식 (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1을 풉니다.
해결책.
이 방정식을 즉시 분류하고 해법을 선택하는 것은 어렵습니다. 따라서 먼저 제곱의 차이와 큐브의 차이를 사용하여 변환합니다.
((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. 그런 다음 공통 인수를 빼면 간단한 방정식에 도달합니다.
(x + 5)(x 2 + 18x + 48) = 0.
답: -5; -9 ± √33.
일.
4에 해당하는 하나의 근이 2의 다중도를 갖고 -2에 해당하는 근을 갖는 3차 다항식을 구성합니다.
해결책.
f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) 또는 f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).
처음 두 괄호를 곱하고 비슷한 항을 가져오면 f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x)를 얻습니다.
x 3 – 6x 2 + 32는 3차 다항식이므로 q(x)는 다음의 숫자입니다. 아르 자형(즉, 실제). q(x)를 1로 하고, f(x) = x 3 – 6x 2 + 32입니다.
답: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
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방정식 시스템 해결에 관한 추가 문헌을 연구하는 동안 저는 대칭이라는 새로운 유형의 시스템을 발견했습니다. 그리고 저는 다음과 같은 목표를 세웠습니다.
요약하다 과학적인 정보"방정식 시스템"이라는 주제로.
새로운 변수를 도입하여 해결 방법을 이해하고 배웁니다.
3) 대칭 방정식 시스템과 관련된 기본 이론을 고려하십시오.
4) 대칭 방정식 시스템을 푸는 방법을 배웁니다.
방정식 시스템 풀이의 역사.
알려지지 않은 것을 제외하는 것은 오랫동안 관행이었습니다. 선형 방정식. 17~18세기. V. 배제 기술은 Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange에 의해 개발되었습니다.
현대 표기법에서 두 개의 미지수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템은 다음 형식을 갖습니다. a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 이 연립방정식의 해는 공식으로 표현됩니다.
a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1
17세기에 만들어진 좌표법 덕분입니다. 페르마와 데카르트는 연립방정식을 그래픽으로 푸는 것이 가능해졌습니다.
기원전 3~2천년에 쓰여진 고대 바빌로니아 문서에서. 이자형. 에는 2차 방정식도 도입되는 방정식 시스템을 구성하여 해결할 수 있는 많은 문제가 포함되어 있습니다.
예시 #1:
두 정사각형의 면적을 더했습니다: 25. 두 번째 정사각형의 변은 첫 번째 정사각형의 변과 같고 5가 더 많습니다. 해당 표기법의 해당 방정식 시스템은 다음과 같습니다: x2 + y2 = 25, y = x = 5
많은 미지수에 대한 표기법이 없었던 디오판토스는 시스템의 해를 단일 방정식의 해로 축소하는 방식으로 미지수를 선택하는 데 큰 노력을 기울였습니다.
예시 #2:
"두 개를 찾아라 자연수, 그 합이 20이고 제곱의 합이 208이라는 것을 알고 있습니다."
이 문제는 x + y = 20이라는 방정식 시스템을 작성하여 해결되었지만 x2 + y2 = 208로 해결되었습니다.
Diophantus는 필요한 숫자의 차이의 절반을 미지수로 선택합니다.
(x – y) = z, + (x + y) = 10
2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2-는 문제의 조건을 만족하지 않으므로 z = 2x = 12이고 y = 8이면
시스템 개념 대수 방정식.
많은 문제에서는 도움을 받아 형성된 다른 양(미지의 함수)이 서로 동일하거나 특정 양과 동일하다는 것을 알고 여러 개의 미지 양을 찾는 것이 필요합니다. 간단한 예를 살펴보겠습니다.
2400m2 면적의 직사각형 토지에는 200m 길이의 울타리가 있습니다. 플롯의 길이와 너비를 찾으십시오. 실제로 이 문제의 "대수적 모델"은 두 개의 방정식과 하나의 부등식으로 구성된 시스템입니다.
불평등이 발생할 수 있다는 점을 항상 염두에 두어야 합니다. 방정식 시스템 구성과 관련된 문제를 해결할 때. 그러나 가장 중요한 것은 방정식 자체를 푸는 것입니다. 사용되는 방법에 대해 알려드리겠습니다.
정의부터 시작해 보겠습니다.
연립방정식은 중괄호로 연결된 여러(하나 이상의) 방정식의 집합입니다.
중괄호는 시스템의 모든 방정식이 동시에 실행되어야 함을 의미하며, 각 방정식을 진정한 등식으로 바꾸는 숫자 쌍(x; y)을 찾아야 함을 보여줍니다.
연립방정식의 해법은 x와 y의 쌍으로, 이 연립방정식에 대입하면 각 방정식을 올바른 수치적 등식으로 변환합니다.
연립방정식을 푼다는 것은 모든 해를 찾거나 해가 없음을 입증하는 것을 의미합니다.
대체 방법.
대체 방법은 방정식 중 하나에서 하나의 변수가 다른 변수로 표현되는 것입니다. 결과 표현식은 다른 방정식으로 대체되고, 이는 하나의 변수를 갖는 방정식이 된 후 해결됩니다. 이 변수의 결과 값은 원래 시스템의 임의의 방정식에 대체되고 두 번째 변수가 발견됩니다.
연산.
1. 시스템의 한 방정식에서 y를 x로 표현합니다.
2. y 대신 결과 표현식을 시스템의 다른 방정식으로 대체합니다.
3. x에 대한 결과 방정식을 풉니다.
4. x 대신에 세 번째 단계에서 구한 방정식의 각 근을 첫 번째 단계에서 얻은 y부터 x까지의 식에 대입합니다.
5) 값 쌍(x; y) 형태로 답을 작성합니다.
예 1번 y = x – 1,
y = x - 1을 두 번째 방정식에 대입하면 5x + 2 (x - 1) = 16이 되며 x = 2가 됩니다. 결과 표현식을 첫 번째 방정식에 대입해 보겠습니다. y = 2 - 1 = 1.
답: (2; 1).
예시 #2:
8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2
2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2
5y = 10 x = 8y – 4, y = -2
2х – 21у = 2
2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20
2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2
답: (-20; -2).
예시 3번: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2
X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – 2차 방정식 y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8
그러므로 (-2; -4); (4; 8) – 이 시스템의 솔루션입니다.
추가 방법.
덧셈 방법은 주어진 시스템이 함께 추가되면 하나의 변수로 방정식을 형성하는 방정식으로 구성된 경우 이 방정식을 풀어 변수 중 하나의 값을 얻는 것입니다. 대체 방법과 마찬가지로 두 번째 변수의 값을 찾습니다.
덧셈 방법을 사용하여 시스템을 해결하는 알고리즘입니다.
1. 미지수 중 하나에 대한 계수 모듈을 동일화합니다.
2. 결과 방정식을 더하거나 빼서 미지수를 찾습니다.
3. 발견된 값을 원래 시스템의 방정식 중 하나에 대입하여 두 번째 미지수를 찾습니다.
예 1. 덧셈 방법을 사용하여 방정식 시스템을 푼다: x + y = 20, x – y = 10
첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면 다음을 얻습니다.
두 번째 식에서 x = 20 - y로 표현해보자
y = 5를 다음 표현식으로 대체합니다: x = 20 – 5 x = 15.
답: (15; 5).
예시 #2:
제안된 시스템의 방정식을 차이의 형태로 표현해 보겠습니다.
7y = 21, 여기서 y = 3
이 값을 시스템의 두 번째 방정식에서 표현된 x =에 대입하면 x = 4를 얻습니다.
답: (4; 3).
예시 #3:
2x + 11y = 15,
10x – 11y = 9
이러한 방정식을 추가하면 다음과 같습니다.
2x + 10x = 15 + 9
12x = 24 x = 2, 이 값을 두 번째 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
10 * 2 – 11y = 9, 여기서 y = 1입니다.
이 시스템의 해는 (2; 1) 쌍입니다.
방정식 시스템을 해결하기 위한 그래픽 방법.
연산.
1. 각 시스템 방정식의 그래프를 구성합니다.
2. 구성된 선의 교차점 좌표를 찾습니다.
사고 상대 위치비행기의 직선.
1. 선이 교차하는 경우, 즉 하나의 공통점이 있는 경우 방정식 시스템에는 하나의 해가 있습니다.
2. 선들이 평행한 경우, 즉 공통점이 없는 경우 방정식 시스템에는 해가 없습니다.
3. 선이 일치하면, 즉 점이 많으면 방정식 시스템에는 무한한 수의 해가 있습니다.
예시 #1:
방정식 시스템 x – y = -1을 그래픽으로 풀고,
첫 번째와 두 번째 방정식에서 y를 표현해 보겠습니다. y = 1 + x, y = 4 – 2x x
각 시스템 방정식의 그래프를 작성해 보겠습니다.
1) y = 1 + x – 함수의 그래프는 직선 x 0 1 (1; 2) y 1 2
2) y = 4 – 2x – 함수의 그래프는 직선 x 0 1 y 4 2
답: (1; 2).
예시 2: y x + 2y = 6,
4y = 8 – 2x x y = , y = y = - 함수의 그래프는 직선 x 0 2 y 3 2 y = - 함수의 그래프는 직선 x 0 2 y 2 1
답변: 해결책이 없습니다.
예 3: y x – 2y = 2,
3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - 함수의 그래프는 직선 x 0 2 y -1 0
대답: 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.
새로운 변수를 도입하는 방법.
새로운 변수를 도입하는 방법은 한 번에 하나의 방정식에만 새로운 변수를 도입하거나 두 방정식 모두에 대해 두 개의 새로운 변수를 도입한 다음 새로운 변수에 대해 방정식 또는 방정식을 풀고 그 후에 더 많은 문제를 해결하는 것입니다. 단식우리가 원하는 솔루션을 찾는 방정식.
예시 #1:
엑스 + 와이 = 5
= z, 그 다음 =로 표시하겠습니다.
첫 번째 방정식은 z + = 형식을 취하며 6z – 13 + 6 = 0과 같습니다. 결과 방정식을 풀면 z = ; z =. 그런 다음 = 또는 = 즉, 첫 번째 방정식이 두 개의 방정식으로 분할되므로 두 가지 시스템이 있습니다.
X + y = 5 x + y = 5
이러한 시스템의 솔루션은 주어진 시스템의 솔루션입니다.
첫 번째 시스템의 해는 쌍(2; 3)이고 두 번째 시스템은 쌍(3; 2)입니다.
따라서 시스템의 해는 + = , x + y = 5입니다.
쌍은 (2; 3)입니다. (3; 2)
예시 #2:
= X, a = Y라고 하자.
X = , 5 * - 2U = 1
5Х – 2У = 1 2.5 (8 – 3У) – 2У = 1
20 – 7.5U – 2U = 1
X = , -9.5U = -19
5 * - 2U = 1U = 2
우리는 역 교체를 할 것입니다.
2 x = 1, y = 0.5
답: (1; 0.5).
방정식의 대칭 시스템.
n개의 미지수가 있는 시스템을 미지수가 재배열될 때 변경되지 않는 경우 대칭 시스템이라고 합니다.
두 개의 미지수 x와 y가 있는 두 방정식의 대칭 시스템은 u = x + y, v = xy를 대체하여 해결됩니다. 대칭 시스템에서 나타나는 표현식은 u와 v로 표현됩니다. 많은 대칭 시스템을 해결하는 데 의심할 여지가 없는 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v 등
미지수 x y, z에 대한 세 방정식의 대칭 시스템은 x + y + z = u, xy + yz + xz = w를 대체하여 해결됩니다. u, v, w가 발견되면 삼차 방정식 t2 – ut2 + vt – w = 0이 컴파일되며, 그 근은 다양한 순열의 t1, t2, t3이 원래 시스템의 해입니다. 이러한 시스템에서 가장 일반적인 표현식은 다음과 같이 u, v, w로 표현됩니다. x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
예 1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4
x + y = u, xy = v라고 하자.
u2 – v = 13, u = 4
16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4
우리는 역 교체를 할 것입니다.
답: (1; 3); (3; 1).
예 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4
x + y = u, xy = v라고 하자.
u3 – 3uv = 28, u = 4
64 – 12 v = 28, u = 4
12v = -36 유 = 4 v = 3, 유 = 4
우리는 역 교체를 할 것입니다.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
답: (1; 3); (3; 1).
예 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13
x =y = u, xy =v라고 가정합니다.
u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4
우리는 역 교체를 할 것입니다.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
답: (1; 3); (3; 1).
예 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65
x + y = u, xy = v라고 하자.
u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65
15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4
우리는 역 교체를 할 것입니다.
x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4
답: (4; 1); (14).
예 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23
미지수를 변경해 봅시다. 시스템은 u2 + v = 49, u + v = 23 형식을 취합니다.
이 방정식을 추가하면 근이 u1 = 8, u2 = -9인 u2 + u – 72 = 0이 됩니다. 따라서 v1 = 15, v2 = 32입니다. x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32 시스템 세트를 해결하는 것이 남아 있습니다.
시스템 x + y = 8, 해 x1 = 3, y1 = 5가 있습니다. x2=5, y2=3.
시스템 x + y = -9에는 실제 해가 없습니다.
답: (3; 5), (5; 3).
예 번호 6. 연립방정식을 푼다.
2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0
주요 대칭 다항식 u = y + x 및 v = xy를 사용하여 다음 방정식 시스템을 얻습니다.
2u2 – 7v = 16, u + v = -3
시스템의 두 번째 방정식에서 표현식 v = -3 – u를 첫 번째 방정식으로 대체하면 다음 방정식 2u2 + 7u + 5 = 0을 얻습니다. 그 근은 u1 = -1 및 u2 = -2.5입니다. 따라서 v1 = -2 및 v2 = -0.5 값은 v = -3 – u로부터 얻어집니다.
이제 다음 시스템 x + y = -1, x + y = -2.5, xy = -2 xy = -0.5 세트를 해결해야 합니다.
이 시스템 세트의 해와 그에 따른 원래 시스템(동등성으로 인해)은 다음과 같습니다: (1; -2), (-2; 1), (;).
예시 #7:
3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,
2x – 3xy + 2y + 8 = 0
기본 대칭 다항식을 사용하여 시스템은 다음 형식으로 작성될 수 있습니다.
3uv – 2v = 78,
두 번째 방정식에서 u =를 표현하고 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 9v2 – 28v – 156 = 0을 얻습니다. 이 방정식 v1 = 6 및 v2 = -의 근을 통해 해당 값 u1 = 5를 찾을 수 있으며, u2 = - u = 표현식에서.
이제 다음 시스템 x + y = 5, x + y = -, xy = 6 xy = -의 집합을 풀어 보겠습니다.
x = 5 – y, y = -x -, xy = 6 xy = -.
x = 5 – y, y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.
x = 5 – y 및 y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 및 x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =
답: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).
결론.
이 글을 쓰던 중에 만났습니다. 다른 유형대수 방정식 시스템. "방정식 시스템" 주제에 대한 과학적 정보를 요약했습니다.
나는 그것을 알아냈고 새로운 변수를 도입하여 해결하는 방법을 배웠습니다.
대칭 방정식 시스템과 관련된 기본 이론을 검토했습니다.
방정식의 대칭 시스템을 푸는 방법을 배웠습니다.
서론 내 프로젝트의 문제점은 성공하려면 통합 국가 시험에 합격다양한 방정식 시스템을 풀 수 있는 능력이 필요하며, 이 과정에서 고등학교그들에게는 이 문제를 더 깊이 이해할 충분한 시간이 주어지지 않았습니다. 작업 목적: 통합 상태 시험에 성공적으로 합격할 수 있도록 준비합니다. 작업 목표: "대칭" 개념과 관련된 수학 분야의 지식을 확장합니다. 대칭이라 불리는 방정식 시스템과 기타 수학 문제를 풀 때 "대칭" 개념을 사용하여 수학 문화를 향상시키세요.
대칭의 개념. 대칭 - (고대 그리스어 συμμετρια), 넓은 의미에서 - 어떤 변형에서도 불변성입니다. 예를 들어, 물체의 구형 대칭은 물체가 공간에서 임의의 각도로 회전하더라도 물체의 모양이 변하지 않는다는 것을 의미합니다. 양측 대칭이란 어떤 평면을 기준으로 오른쪽과 왼쪽이 동일하게 보이는 것을 의미합니다.
대칭을 사용하여 문제를 해결합니다. 작업 1. 두 사람이 차례로 동일한 동전을 원형 테이블 위에 놓고 동전이 서로 가려서는 안 됩니다. 움직이지 못하는 사람이 패한다. 올바르게 플레이하면 누가 이길까요? (즉, 어떤 플레이어가 승리 전략을 갖고 있는가?)
대칭 시스템을 해결하는 방법. 대칭 시스템은 기본 대칭 다항식에 의해 재생되는 변수를 변경하여 해결할 수 있습니다. 두 개의 미지수 x와 y가 있는 두 방정식의 대칭 시스템은 u = x + y, v = xy를 대체하여 해결됩니다.
예제 2번 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 기본 대칭 다항식을 사용하여 시스템은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다. 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 . 두 번째 방정식에서 u =를 표현하고 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 9v2– 28v – 156 = 0을 얻습니다. 이 방정식 v 1 = 6 및 v 2 = -의 근을 통해 해당 값 u1 =을 찾을 수 있습니다. 5, u2= - 표현에서 u = .
이제 다음 시스템 집합을 풀어 보겠습니다. 이제 다음 시스템 x + y = 5, x + y = - , xy = 6 xy = - 을 풀어 보겠습니다. x = 5 – y, y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 – y 및 y = -x - , y (5 – y) = 6 x (-x -) = - . x = 5 – y 및 y = -x - , y 1 = 3, y 2 =2 x 1 = , x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3 및 x 1 = , x 2 = - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = - , y 2= 답: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).
대칭 시스템을 해결하는 데 사용되는 정리. 정리 1. (대칭 다항식에 대하여) 두 변수의 모든 대칭 다항식은 두 개의 기본 대칭 다항식의 함수로 표현될 수 있습니다. 즉, 모든 대칭 다항식 f(x, y)에 대해 두 변수 ψ(u)의 함수가 있습니다. , v) 그런 식으로
정리 2. (대칭 다항식에 대하여) 정리 2. (대칭 다항식에 대하여) 세 변수의 모든 대칭 다항식은 세 가지 주요 대칭 다항식의 함수로 표현될 수 있습니다. 즉, 모든 대칭 다항식 f (x, y)에 대해 다음이 있습니다. 세 가지 변수 θ(u, v, w)의 함수는 다음과 같습니다.
보다 복잡한 대칭 시스템 - 모듈을 포함하는 시스템: | x – y | + y2 = 3, | x - 1 | + | y – 1 | = 2. 고려 이 시스템 x에서 별도로< 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
b) x ≤ y의 경우< 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у >x) 시스템은 - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2 또는 - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2 형식을 취합니다. 여기서 우리는 x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. 두 번째 숫자 쌍은 고려 중인 영역에 속합니다. 즉, 이 시스템에 대한 솔루션입니다.
x ≥ 1인 경우: x ≥ 1인 경우: a) x > y 및 y< 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х >y 및 y ≥ 1 시스템은 x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2 또는 x – y + y 2 = 3, x + y = 4 형식을 취하며 여기서 x를 찾습니다. = 1, y = 3. 이 숫자 쌍은 고려 중인 영역에 속하지 않습니다.
c) x ≤ y(이후 y ≥ 1)의 경우 시스템은 다음 형식을 취합니다. c) x ≤ y(이후 y ≥ 1)의 경우 시스템은 - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 형식을 취합니다. 1 = 2 또는 - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, 여기서 x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8을 찾습니다. x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. 이 숫자 쌍은 해당 지역에 속하지 않습니다. 따라서 x 1 = - 1, y 1 = 1입니다. x 2 = 1, y 2 = - 1. 답: (- 1; 1); (열하나).
결론 수학은 인간의 사고를 발전시키고 논리를 통해 다음을 찾는 방법을 가르칩니다. 다른 방법들솔루션. 그래서 대칭 시스템을 푸는 방법을 배운 후에 저는 대칭 시스템이 특정 예를 완성하는 것뿐만 아니라 다양한 종류의 문제를 해결하는 데에도 사용될 수 있다는 것을 깨달았습니다. 나는 이 프로젝트가 나에게만 도움이 될 수 있다고 생각하지 않습니다. 이 주제에 대해 알고 싶은 사람들에게도 내 작업이 좋은 조수가 될 것입니다.
사용된 문헌 목록: Bashmakov M.I., "대수학 및 분석의 시작", 2판, 모스크바, "Prosveshchenie", 1992, 350페이지 Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "대수학 및 기본 기능", 참고 도서; 제3판, 개정 및 확장; Kyiv, Naukova, Dumka, 1987, 648 페이지 Sharygin I.F., “고등학생을 위한 수학”, Moscow, 출판사"Bustard", 1995, 490페이지 인터넷 자료: http://www.college.ru/
이 작품은 "수학"이라는 주제에 대한 수업 및 보고서에 사용될 수 있습니다.
기성 수학 프리젠테이션은 교사나 학부모가 슬라이드와 표를 사용하여 교과서에서 학습 중인 주제를 보여주고, 문제와 방정식 풀이의 예를 보여주고, 지식을 테스트할 수 있는 시각 자료로 사용됩니다. 사이트의 이 섹션에서는 다양한 항목을 찾아 다운로드할 수 있습니다. 준비된 프레젠테이션 1,2,3,4,5,6학년 학생들을 위한 수학 강의와 대학생을 위한 고등 수학 프리젠테이션이 제공됩니다.
1.
방정식은 다음과 같습니다. 3차 대칭 방정식, 다음과 같은 형식이 있는 경우
도끼 3 + bx 2 + bx + a = 0.
이러한 유형의 방정식을 성공적으로 풀려면 다음과 같은 역 방정식의 간단한 속성을 알고 사용할 수 있는 것이 유용합니다.
ㅏ)홀수차의 모든 역방정식의 근은 항상 -1입니다.
실제로, 왼쪽 항을 다음과 같이 그룹화하면: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, 그러면 공통 인수를 제거하는 것이 가능합니다. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0이므로,
x + 1 = 0 또는 ax 2 + (b – a)x + a = 0, 첫 번째 방정식은 우리가 관심을 갖는 진술을 증명합니다.
비)역 방정식에는 0과 같은 근이 없습니다.
V)홀수차 다항식을 (x + 1)로 나눌 때, 몫은 다시 반복 다항식이며 이는 귀납법으로 증명됩니다.
예.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
해결책.
원래 방정식은 반드시 x = -1의 근을 가지므로 Horner의 계획에 따라 x 3 + 2x 2 + 2x + 1을 (x + 1)로 나눕니다.
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.
2차 방정식 x 2 + x + 1 = 0에는 근이 없습니다.
답: -1.
2.
방정식은 다음과 같습니다. 4차 대칭 방정식, 다음과 같은 형식이 있는 경우
도끼 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
솔루션 알고리즘유사한 방정식은 다음과 같습니다.
ㅏ)원래 방정식의 양변을 x 2로 나눕니다. x = 0은 주어진 방정식의 해가 아니기 때문에 이 작업은 근의 손실로 이어지지 않습니다.
비)그룹화를 사용하여 방정식을 다음 형식으로 만듭니다.
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V)새로운 미지수를 입력하세요: t = (x + 1/x).
변환을 해보겠습니다: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . 이제 x 2 + 1/x 2를 표현하면 t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2입니다.
G)새 변수에서 결과 이차 방정식을 풉니다.
аt 2 + bt + c – 2a = 0.
디)역치환을 수행합니다.
예.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
해결책.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.
t: 치환(x + 1/x) = t를 입력합니다. 치환: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, 우리는 다음을 얻습니다:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 또는 t = 10/3.
변수 x로 돌아가 보겠습니다. 역대입 후에 우리는 두 개의 결과 방정식을 푼다:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 또는 x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 또는 x = 1/3.
답: -2; -1/2; 1/3; 삼.
특정 유형의 더 높은 차수의 방정식을 푸는 방법
1. 다음 형식을 갖는 방정식 (x + a) n + (x + b) n = c,는 t = x + (a + b)/2를 대체하여 해결됩니다. 이 방법은 대칭 방법.
그러한 방정식의 예는 (x + a) 4 + (x + b) 4 = c 형식의 방정식입니다.
예.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
해결책.
위에서 언급한 대체 작업을 수행합니다.
t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, 단순화 후: x = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
수식을 사용하여 괄호를 제거하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
티 4 + 6티 2 – 135 = 0.
t 2 = 9 또는 t 2 = -15.
두 번째 방정식은 근을 제공하지 않지만 첫 번째 방정식에서 t = ±3이 됩니다.
역치환 후에 x = -5 또는 x = 1이 됩니다.
답: -5; 1.
그러한 방정식을 풀려면 다음과 같은 방법이 효과적입니다. 방정식의 좌변을 인수분해하는 방법.
2. 형태의 방정식 (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, 여기서 a + d = c + b.
이러한 방정식을 푸는 기술은 괄호를 부분적으로 열고 새 변수를 도입하는 것입니다.
예.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
해결책.
계산: 1 + 4 = 2 + 3. 괄호를 쌍으로 그룹화합니다.
((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 24.
x 2 + 5x + 4 = t를 대입하면 다음 방정식을 얻을 수 있습니다.
t(t + 2) = 24, 정사각형입니다:
티 2 + 2티 – 24 = 0.
t = -6 또는 t = 4.
역대입을 수행한 후 원래 방정식의 근을 쉽게 찾을 수 있습니다.
답: -5; 0.
3. 형태의 방정식 (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ax 2, 여기서 ad = cb.
풀이 방법은 괄호를 부분적으로 열고 양쪽을 x 2로 나누고 일련의 이차 방정식을 푸는 것입니다.
예.
(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.
해결책.
왼쪽의 처음 두 괄호와 마지막 두 괄호를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
(x 2 + 14x + 24)(x 2 + 11x + 24) = 4x 2. x 2 ≠ 0으로 나눕니다.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. (x + 24/x) = t를 대체하면 2차 방정식에 도달합니다.
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 또는 t = 15.
역치환 x + 24/x = 10 또는 x + 24/x = 15를 수행하여 근을 찾습니다.
답: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
방정식 (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1을 풉니다.
해결책.
이 방정식을 즉시 분류하고 해법을 선택하는 것은 어렵습니다. 따라서 먼저 제곱의 차이와 큐브의 차이를 사용하여 변환합니다.
((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. 그런 다음 공통 인수를 빼면 간단한 방정식에 도달합니다.
(x + 5)(x 2 + 18x + 48) = 0.
답: -5; -9 ± √33.
일.
4에 해당하는 하나의 근이 2의 다중도를 갖고 -2에 해당하는 근을 갖는 3차 다항식을 구성합니다.
해결책.
f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) 또는 f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).
처음 두 괄호를 곱하고 비슷한 항을 가져오면 f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x)를 얻습니다.
x 3 – 6x 2 + 32는 3차 다항식이므로 q(x)는 다음의 숫자입니다. 아르 자형(즉, 실제). q(x)를 1로 하고, f(x) = x 3 – 6x 2 + 32입니다.
답: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
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홈 > 솔루션유리 방정식과 부등식
I. 유리 방정식.
선형 방정식.
선형 방정식 시스템.
역 방정식.
더 높은 차수의 다항식에 대한 Vieta의 공식.
2차 방정식 시스템.
방정식과 방정식 시스템을 풀 때 새로운 미지수를 도입하는 방법입니다.
동종 방정식.
방정식의 대칭 시스템을 해결합니다.
매개변수가 있는 방정식 및 방정식 시스템.
비선형 방정식 시스템을 해결하기 위한 그래픽 방법.
모듈러스 기호를 포함하는 방정식.
유리 방정식을 푸는 기본 방법
II. 합리적 불평등.
등가 불평등의 속성.
대수적 불평등.
간격 방법.
분수 합리적 불평등.
절대값 기호 아래에 미지수가 포함된 부등식입니다.
매개변수와의 부등식.
합리적 불평등 시스템.
불평등의 그래픽 솔루션.
III. 선별 검사.
유리 방정식
형태의 기능
P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + an – 1 x + an n,
여기서 n은 자연수이고, a 0, a 1,…, an은 전체 유리수라고 불리는 실수입니다.
P(x) = 0 형식의 방정식(P(x)가 전체 유리 함수임)을 전체 유리 방정식이라고 합니다.
형태의 방정식
P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … +Pm(x) / Qm(x) = 0,
여기서 P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x)는 전체 유리 함수입니다. 합리적인 방정식.
P(x)와 Q(x)가 다항식(Q(x) 0)인 유리 방정식 P(x) / Q(x) = 0을 풀면 방정식 P(x) = 0과 근이 조건 Q(x) 0을 충족하는지 확인합니다.
선형 방정식.
a와 b가 상수인 ax+b=0 형식의 방정식을 선형 방정식이라고 합니다.
a0이면 선형 방정식은 단일 근을 갖습니다: x = -b /a.
a=0인 경우; b0이면 선형 방정식에는 해가 없습니다.
a=0인 경우; b=0인 경우 원래 방정식을 ax = -b 형식으로 다시 작성하면 임의의 x가 선형 방정식의 해임을 쉽게 알 수 있습니다.
직선의 방정식은 y = ax + b입니다.
선이 X 0 및 Y 0 좌표를 갖는 점을 통과하면 이 좌표는 선의 방정식, 즉 Y 0 = aX 0 + b를 충족합니다.
예제 1.1. 방정식을 풀어보세요
2x – 3 + 4(x – 1) = 5.
해결책. 순차적으로 괄호를 열고 비슷한 용어를 추가하고 x를 구합니다: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
예제 1.2.방정식을 풀어보세요
2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.
해결책. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.
답: .
예제 1.3. 방정식을 풀어보세요.
2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.
해결책. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 – 9,
답변: 임의의 숫자입니다.
선형 방정식 시스템.
형태의 방정식
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + an x n = b,
여기서 a 1, b 1, …, an, b는 n개의 미지수 x 1, x 2, …, x n을 갖는 선형 방정식이라고 불리는 일부 상수입니다.
방정식 시스템에 포함된 모든 방정식이 선형인 경우 방정식 시스템을 선형이라고 합니다. 시스템이 n개의 미지수로 구성된 경우 다음 세 가지 경우가 가능합니다.
시스템에 해결책이 없습니다.
시스템에는 정확히 하나의 솔루션이 있습니다.
시스템에는 무한히 많은 솔루션이 있습니다.
예제 2.4.연립방정식 풀기
해결책. 시스템의 모든 방정식에 대해 하나의 미지수를 다른 미지수로 표현한 다음 이 미지수의 값을 나머지 방정식에 대입하는 대체 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀 수 있습니다.
첫 번째 방정식에서 다음을 표현합니다: x= (8 – 3y) / 2. 이 표현식을 두 번째 방정식에 대체하고 방정식 시스템을 얻습니다.
X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7. 두 번째 방정식에서 우리는 y = 2를 얻습니다. 이를 고려하여 첫 번째 방정식에서 x = 1. 답: (1 ; 2) 예 2.5. 연립방정식 풀기
해결책. 시스템의 두 방정식이 동시에 충족될 수 없기 때문에 시스템에는 해가 없습니다(첫 번째 방정식 x + y = 3 및 두 번째 x + y = 3.5).
답변: 해결책이 없습니다.
예제 2.6. 연립방정식 풀기
해결책. 두 번째 방정식은 첫 번째 방정식에 2를 곱하여 얻어지기 때문에 시스템에는 무한히 많은 해가 있습니다(즉, 두 개의 미지수가 있는 방정식은 하나만 있습니다).
대답: 해결책은 무한히 많습니다.
예제 2.7. 연립방정식 풀기
x + y – z = 2,
2x – y + 4z = 1,
해결책. 선형 방정식 시스템을 풀 때 시스템을 삼각형 형태로 변환하는 가우스 방법을 사용하는 것이 편리합니다.
시스템의 첫 번째 방정식에 –2를 곱하고 결과 결과에 두 번째 방정식을 더하면 –3y + 6z = – 3이 됩니다. 이 방정식은 y – 2z = 1로 다시 작성할 수 있습니다. 셋째, 7y = 7, 즉 y = 1을 얻습니다.
따라서 시스템은 삼각형 모양을 얻었습니다.
x + y – z = 2,
두 번째 방정식에 y = 1을 대입하면 z = 0이 됩니다. 첫 번째 방정식에 y = 1과 z = 0을 대입하면 x = 1이 됩니다. 답: (1; 1; 0) 예 2.8. 매개변수 a의 어떤 값에서 방정식 시스템이 사용됩니까?
2x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
솔루션이 무한히 많나요? 해결책. 첫 번째 방정식에서 x를 표현합니다.
x = - (a / 2)y + a / 2 +1.
이 표현식을 두 번째 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
나중에(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
나중에(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
마지막 방정식을 분석하면 a = 3의 경우 0y = 0의 형식을 갖습니다. 즉, y의 모든 값에 대해 만족됩니다. 답: 3.
이차방정식과 이를 축소할 수 있는 방정식.
ax 2 + bx + c = 0 형식의 방정식. 여기서 a, b 및 c는 일부 숫자(a0)입니다.
x는 2차 방정식이라고 불리는 변수입니다.
이차방정식을 푸는 공식.
먼저 방정식 ax 2 + bx + c = 0의 양변을 a로 나눕니다. 근이 바뀌지는 않습니다. 결과 방정식을 풀려면
x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0
왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택하세요.
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2 )).
간결함을 위해 표현 (b 2 – 4ac)을 D로 표시합니다. 그러면 결과 항등식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
세 가지 경우가 가능합니다:
숫자 D가 양수(D > 0)이면 이 경우 D에서 추출할 수 있습니다. 제곱근 D = (D) 2 형식으로 D를 작성합니다. 그 다음에
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, 따라서 항등식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .
제곱의 차이 공식을 사용하여 여기에서 파생됩니다.
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).
정리:신분이 유지된다면
도끼 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),
그러면 X 1 X 2에 대한 이차 방정식 ax 2 + bx + c = 0에는 두 개의 근 X 1과 X 2가 있고 X 1 = X 2의 경우 단 하나의 근 X 1이 있습니다.
이 정리에 의해 위에서 도출된 항등식으로부터 다음 방정식이 도출됩니다.
x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0,
따라서 방정식 ax 2 + bx + c = 0에는 두 개의 근이 있습니다.
X 1 =(-b + D) / 2a; X 2 = (-b - D) / 2a.
따라서 x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).
일반적으로 이러한 근은 하나의 공식으로 작성됩니다.
여기서 b 2 – 4ac = D.
숫자 D가 0과 같으면(D = 0) 항등식은 다음과 같습니다.
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 형식을 취합니다.
D = 0에 대해 방정식 ax 2 + bx + c = 0은 하나의 다중도 2 근을 갖습니다. X 1 = – b / 2a
3) 숫자 D가 음수인 경우(D< 0), то – D >0이므로 표현식은
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
두 항의 합으로, 그 중 하나는 음수가 아니고 다른 하나는 양수입니다. 그러한 합은 0이 될 수 없으므로 방정식은
x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0
진짜 뿌리가 없어요. 방정식 ax 2 + bx + c = 0에도 그것들이 없습니다.
따라서 이차 방정식을 풀려면 판별식을 계산해야 합니다.
D = b 2 – 4ac.
D = 0이면 이차 방정식은 고유한 해를 갖습니다.
D > 0이면 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).
만약 D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
계수 b 또는 c 중 하나가 0이면 판별식을 계산하지 않고도 이차 방정식을 풀 수 있습니다.
b = 0; c 0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
일반 이차 방정식 ax 2 + bx + c = 0의 근은 다음 공식으로 구합니다.
x 2의 계수가 1인 이차 방정식을 축소라고 합니다. 일반적으로 주어진 이차 방정식은 다음과 같이 표시됩니다.
x 2 + px + q = 0.
비에타의 정리.
아이덴티티를 도출해냈습니다
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),
여기서 X 1 및 X 2는 2차 방정식 ax 2 + bx + c =0의 근입니다. 이 항등식의 오른쪽에 있는 괄호를 열어 보겠습니다.
x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2.
X 1 + X 2 = – b / a 및 X 1 X 2 = c / a가 됩니다. 우리는 프랑스 수학자 F. Vieta(1540 – 1603)가 처음으로 확립한 다음 정리를 증명했습니다.
정리 1(비에타). 이차방정식의 근의 합은 X의 계수와 같고, 반대 부호를 사용하여 X 2의 계수로 나눈 값입니다. 이 방정식의 근의 곱은 자유 항을 X 2 계수로 나눈 값과 같습니다.
정리 2(반대). 평등이 만족되면
X 1 + X 2 = – b / a 및 X 1 X 2 = c / a,
그러면 숫자 X 1과 X 2는 이차 방정식 ax 2 + bx + c = 0의 근입니다.
논평. 공식 X 1 + X 2 = – b / a 및 X 1 X 2 = c / a는 방정식 ax 2 + bx + c = 0에 X를 넣으면 배수 2의 근 X 1이 하나인 경우 참으로 유지됩니다. 표시된 공식에서 2 = X 1입니다. 그러므로 D = 0에서 방정식 ax 2 + bx +c = 0은 서로 일치하는 두 개의 근을 갖는다는 것이 일반적으로 받아들여집니다.
Vieta의 정리와 관련된 문제를 풀 때 관계식을 사용하는 것이 유용합니다.
(1 / X 1) + (1/ X 2)= (X 1 + X 2)/ X 1 X 2 ;
X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;
X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =
= (X 1 + X 2)((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).
예제 3.9.방정식 2x 2 + 5x – 1 = 0을 풉니다.
해결책. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;
X 1 = (-5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
답: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
예제 3.10.방정식 x 3 – 5x 2 + 6x = 0 풀기
해결책. 방정식 x(x 2 – 5x + 6) = 0의 좌변을 인수분해해 보겠습니다.
따라서 x = 0 또는 x 2 – 5x + 6 = 0입니다.
이차 방정식을 풀면 X 1 = 2, X 2 = 3을 얻습니다.
답: 0; 2; 삼.
예제 3.11.
x 3 – 3x + 2 = 0. 해결책. –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, 이제 그룹 x(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1)을 작성하여 방정식을 다시 작성해 보겠습니다. (x( x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1. 답: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = – 2.예 3.12. 방정식 7 풀기
(x – 1)(x – 3)(x – 4)
(2x – 7)(x + 2)(x – 6)해법. 허용되는 값의 범위를 찾아봅시다 x:X + 2 0; x – 6 0; 2x – 7 0 또는 x – 2; x 6; x 3.5 방정식을 (7x – 14)(x 2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x 2 – 4x – 12) 형식으로 줄이고 괄호를 엽니다. 7x 3 – 49x 2 + 84x – 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0.11x 3 – 93x 2 + 190x = 0.x(11x 2 – 93x + 190) = 0.x 1 = 011x2 – 93x + 190 = 0.93(8649 – 8360) 93 17 x 2.3 = = ,
저것들. x 1 = 5; x 2 = 38 / 11.
발견된 값은 ODZ를 만족합니다.
답: x 1 = 0; x 2 = 5; x 3 = 38 / 11.
예제 3.13.방정식 x 6 – 5x 3 + 4 = 0 풀기
해결책. y = x 3 이라고 하면 원래 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
y 2 – 5y + 4 = 0, 이를 해결하면 Y 1 = 1을 얻습니다. Y2 = 4.
따라서 원래 방정식은 다음 세트와 동일합니다.
방정식: x 3 = 1 또는 x 3 = 4, 즉 X 1 = 1 또는 X 2 = 3 4
답: 1; 3 4.
예제 3.14.방정식 풀기 (x 3 – 27) / (x – 3) = 27
해결책. (세제곱의 차이 공식을 사용하여) 분자를 인수분해해 보겠습니다.
보고서과학 감독자: Kulabukhov Sergey Yuryevich, 물리 및 수학 과학 후보자, 교사 추가 교육 MOU DOD DTDiM, 로스토프나도누.
