këndet trekëndore. Teorema. Çdo kënd i sheshtë i një këndi trekëndor është më i vogël se shuma e dy këndeve të tjera të sheshta. Dëshmi. Konsideroni këndin trekëndor SABC. Le të jetë këndi ASC më i madhi nga këndet e tij të sheshta. Pastaj pabarazitë? ?ASC< ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC.
Slide 3 nga prezantimi "Këndi poliedrik" në mësimet e gjeometrisë me temën "Këndet në hapësirë"Përmasat: 960 x 720 pixel, formati: jpg. Për të shkarkuar një rrëshqitje falas për përdorim në mësimi i gjeometrisë, kliko me të djathtën mbi imazhin dhe kliko "Ruaj imazhin si...". Mund ta shkarkoni të gjithë prezantimin "Polyhedral angle.ppt" në një arkiv zip 329 KB.
Shkarkoni prezantiminKëndet në hapësirë
"Këndi ndërmjet vijave në hapësirë" - Në kubin A ... D1, gjeni këndin midis vijave: A1C1 dhe B1D1. Përgjigje: 45o. Përgjigje: 90o. Në kubin A…D1 gjeni këndin ndërmjet drejtëzave: AB1 dhe BC1. Këndi ndërmjet vijave në hapësirë. Në kubin A…D1 gjeni këndin ndërmjet drejtëzave: AA1 dhe BD1. Në kubin A…D1 gjeni këndin ndërmjet drejtëzave: AA1 dhe BC1. Përgjigje: Në kubin A…D1 gjeni këndin ndërmjet drejtëzave: AA1 dhe BC.
"Gjeometria e këndit dihedral" - këndi RSV - linear për një kënd dihedral me buzë AC. Këndi RMT - linear për kënd dihedral me RMCT. K. V. Gjeometria 10 klasi "A" 18.03.2008. Këndi dihedral. drejtëza BO është pingul me skajin CA (nga vetia e një trekëndëshi barabrinjës). Në prag të ASV. (2) Në prag të MTK-së. KDBA KDBC.
"Këndi i brendashkruar" - rasti i 2-të. P. Doc: Maja nuk është në rreth. A. Rasti 3. 2. Tema e mësimit: Kënde të brendashkruara. b). Përsëritja e materialit. Zgjidhja e problemeve. Problemi numër 1? Detyre shtepie.
"Këndi trekëndor" - Pasojat. 1) Për të llogaritur këndin ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit, zbatohet formula: . Jepet: Оabc – këndi trekëndor; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Prova I. Le?< 90?; ? < 90?; (ABC)?с. Трехгранный угол. Тогда?ОВС = 90? – ? < ?ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Формула трех косинусов.
rrëshqitje 1
rrëshqitje 2
Teorema. Në një kënd trekëndor, shuma e këndeve të rrafshët është më e vogël se 360 dhe shuma e çdo dy prej tyre është më e madhe se e treta. Jepet: Оabc – këndi trekëndor; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Vetia themelore e një këndi trekëndor. Vërtetoni: ++< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
rrëshqitje 3
Prova I. Le< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
rrëshqitje 4
Formula e tre kosinuseve. Pasojat. 1) Për të llogaritur këndin ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit, zbatohet formula: 2) Këndi ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit është më i vogli nga këndet që formon kjo drejtëz me drejtëzat e këtij rrafshi.
rrëshqitje 5
II. Në skajet e këndit të dhënë lëmë mënjanë pikat A’, B’ dhe C’ në mënyrë që |OA’| = |OB'| = |OC'| Atëherë trekëndëshat A'OB', B'OC' dhe C'OA' janë dykëndësh, dhe këndet e tyre në bazat 1 - 6 janë akute. Për këndet trekëndore me kulme A', B' dhe C' zbatojmë pabarazitë e vërtetuara në paragrafin I: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
rrëshqitje 6
III. Konsideroni rrezen c', e cila është plotësuese me rrezen c, dhe për këndin trekëndor Oabc' përdorim pabarazinë e provuar në paragrafin II për një kënd arbitrar trekëndor: (180 -) + (180 -) +< 360 + >. Dy pabarazitë e tjera vërtetohen në mënyrë të ngjashme. Jepet: Оabc – këndi trekëndor; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Vërtetoni: ++< 360 ; 2) + >; + > ; + > . me'
Rrëshqitja 7
Pasoja. Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi i sheshtë në kulm është më pak se 120.
Rrëshqitja 8
Përkufizimi. Këndet trekëndore quhen të barabarta nëse të gjithë këndet e tyre të rrafshit dhe dykëndëshit janë të barabartë. Shenjat e barazisë së këndeve trekëndore. Këndet trekëndore janë të barabartë nëse janë përkatësisht të barabartë: dy kënde të rrafshët dhe një kënd dykëndor ndërmjet tyre; 2) dy kënde dihedrale dhe një kënd i sheshtë midis tyre; 3) tre qoshe të sheshta; 4) tre kënde dihedrale. Oriz. 4b
Rrëshqitja 9
. . Jepet një kënd trekëndor Oabc. Le< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Le të zëvendësojmë:
rrëshqitje 10
II. Le > 90 ; > 90 , pastaj konsideroni rrezen c', plotësuese të c, dhe këndin përkatës trekëndor Oabc', në të cilin këndet e rrafshët - dhe - janë akute, dhe këndi i rrafshët dhe këndi dihedral janë të njëjtë. Sipas I .: cos \u003d cos (-) cos (-) + sin (-) sin (-) cos cos \u003d cos cos + sin sin cos
rrëshqitje 1
Figura e formuar nga sipërfaqja e specifikuar dhe njëra nga dy pjesët e hapësirës së kufizuar prej saj quhet kënd poliedrik. Kulmi i përbashkët S quhet kulmi i këndit shumëkëndor. Rrezet SA1, …, SAn quhen skajet e këndit shumëkëndor, kurse vetë këndet e rrafshët A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 quhen faqet e këndit shumëkëndor. Një kënd poliedrik shënohet me shkronjat SA1…An, që tregon kulmin dhe pikat në skajet e tij. Sipërfaqja e formuar nga një grup i fundëm këndesh të rrafshët A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 me një kulm të përbashkët S, në të cilin këndet fqinjë nuk kanë pika të përbashkëta, përveç pikave të një rrezeje të përbashkët, dhe këndet jo fqinjë kanë nuk ka pika të përbashkëta, përveç një kulmi të përbashkët, ne do të quajmë një sipërfaqe poliedrike.
rrëshqitje 2
Në varësi të numrit të faqeve, këndet poliedrike janë trekëndësh, katërkëndor, pesëkëndor etj.
rrëshqitje 3
KËNDET TRIHEDRAL
Teorema. Çdo kënd i sheshtë i një këndi trekëndor është më i vogël se shuma e dy këndeve të tjera të sheshta. Vërtetim Shqyrtoni këndin trekëndor SABC. Le të jetë këndi ASC më i madhi nga këndet e tij të sheshta. Pastaj pabarazitë ASB ASC
rrëshqitje 4
Prona. Shuma e këndeve të rrafshët të një këndi trekëndor është më e vogël se 360°. Në mënyrë të ngjashme, për këndet trekëndore me kulme B dhe C, vlejnë pabarazitë e mëposhtme: ABС
rrëshqitje 5
KËNDET KONVEKS POLIEDRALE
Një kënd shumëedral quhet konveks nëse është një figurë konvekse, d.m.th., së bashku me çdo dy nga pikat e tij, ai përmban tërësisht segmentin që i lidh ato.Figura tregon shembuj të këndeve shumëkëndëshe konveks dhe jokonveks. Vetia Shuma e të gjitha këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është më pak se 360°. Vërtetimi është i ngjashëm me vërtetimin e vetive përkatëse për një kënd trekëndor.
rrëshqitje 6
Kënde poliedrike vertikale
Shifrat tregojnë shembuj të këndeve vertikale trekëndore, katërkëndore dhe pesëkëndëshe Teorema. Këndet vertikale janë të barabarta.
Rrëshqitja 7
Matja e këndeve poliedrike
Meqenëse vlera e shkallës së një këndi diedral të zhvilluar matet me vlerën e shkallës së këndit linear përkatës dhe është e barabartë me 180°, do të supozojmë se vlera e shkallës së të gjithë hapësirës, e cila përbëhet nga dy kënde diedrale të zhvilluara, është 360°. . Vlera e një këndi shumëkëndor, e shprehur në gradë, tregon se çfarë pjese të hapësirës zë këndi i dhënë shumëedral. Për shembull, këndi trekëndor i një kubi zë një të tetën e hapësirës dhe, për rrjedhojë, vlera e shkallës së tij është 360o:8 = 45o. Këndi trekëndor në një prizëm të rregullt n-gonal është i barabartë me gjysmën e këndit dihedral në skajin anësor. Duke marrë parasysh që ky kënd dihedral është i barabartë, marrim se këndi trekëndor i prizmit është i barabartë.
Rrëshqitja 8
Matja e këndeve trekëndore*
Ne nxjerrim një formulë që shpreh vlerën e një këndi trekëndor në terma të këndeve të tij dykëndësh. Le të përshkruajmë një sferë njësi pranë kulmit S të këndit trekëndor dhe të shënojmë pikat e kryqëzimit të skajeve të këndit trekëndor me këtë sferë A, B, C. Rrafshet e faqeve të këndit trekëndor e ndajnë këtë sferë në gjashtë dykëndëshe të barabarta digona sferike që i korrespondojnë këndeve dykëndësh të këndit të dhënë trekëndor. Trekëndëshi sferik ABC dhe trekëndëshi sferik A "B" C simetrik ndaj tij janë kryqëzimi i tre digonave. Prandaj, shuma e dyfishtë e këndeve dihedrale është 360o plus vlera katërfishi e këndit trekëndësh, ose SA + SB + SC = 180o + 2SABC.
Rrëshqitja 9
Matja e këndeve poliedrike*
Le të jetë SA1…An një kënd konveks me faqe n. Duke e ndarë atë në kënde trekëndëshe, duke vizatuar diagonalet A1A3, …, A1An-1 dhe duke zbatuar formulën që rezulton në to, do të kemi: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Këndet poliedrike mund të maten edhe me numra. Në të vërtetë, treqind e gjashtëdhjetë gradë të të gjithë hapësirës korrespondojnë me numrin 2π. Duke kaluar nga shkallët te numrat në formulën që rezulton, do të kemi: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Rrëshqitja 10
Ushtrimi 1
A mund të ketë një kënd trekëndor me kënde të sheshta: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Pa pergjigje; b) jo; c) po.
rrëshqitje 11
Ushtrimi 2
Jepni shembuj të shumëkëndëshave, faqet e të cilave, të kryqëzuara në kulmet, formojnë vetëm: a) kënde trekëndëshe; b) qoshet tetraedrale; c) qoshet me pesë anë. Përgjigje: a) Katërkëndësh, kub, dykëndësh; b) oktaedrin; c) ikozaedron.
rrëshqitje 12
Ushtrimi 3
Dy këndet planare të një këndi trekëndor janë 70° dhe 80°. Cili është kufiri i këndit të rrafshit të tretë? Përgjigje: 10o
rrëshqitje 13
Ushtrimi 4
Këndet e rrafshët të një këndi trekëndor janë 45°, 45° dhe 60°. Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve të këndeve të sheshta 45°. Përgjigje: 90o.
Rrëshqitja 14
Ushtrimi 5
Në një kënd trekëndor, dy kënde të rrafshët janë 45° secili; këndi dihedral ndërmjet tyre është i drejtë. Gjeni këndin e tretë të sheshtë. Përgjigje: 60o.
rrëshqitje 15
Ushtrimi 6
Këndet e rrafshët të një këndi trekëndor janë 60°, 60° dhe 90°. Segmentet e barabarta OA, OB, OC vizatohen në skajet e tij nga kulmi. Gjeni këndin dihedral midis planit të këndit 90° dhe rrafshit ABC. Përgjigje: 90o.
rrëshqitje 16
Ushtrimi 7
Çdo kënd i sheshtë i një këndi trekëndor është 60°. Në njërën nga skajet e saj, një segment i barabartë me 3 cm është hedhur nga lart, dhe një pingul është ulur nga fundi i tij në faqen e kundërt. Gjeni gjatësinë e kësaj pingule. Përgjigje: shih
Rrëshqitja 17
Ushtrimi 8
Gjeni vendndodhjen e pikave të brendshme të një këndi trekëndor të barabartë nga faqet e tij. Përgjigje: Një rreze, kulmi i së cilës është kulmi i një këndi trekëndor që shtrihet në vijën e kryqëzimit të rrafsheve që ndan këndet dykëndësh në gjysmë.
Rrëshqitja 18
Ushtrimi 9
Gjeni vendndodhjen e pikave të brendshme të një këndi trekëndor të barabartë nga skajet e tij. Përgjigje: Një rreze, kulmi i së cilës është kulmi i një këndi trekëndor që shtrihet në vijën e prerjes së rrafsheve që kalon nga përgjysmuesit e këndeve të rrafshët dhe pingul me rrafshet e këtyre këndeve.
Rrëshqitja 19
Ushtrimi 10
Për këndet dykëndësh të katërkëndëshit kemi: , prej nga 70o30". Për këndet trekëndësh të katërkëndëshit kemi: 15o45". Përgjigje: 15o45". Gjeni vlerat e përafërta të këndeve trekëndësh të tetraedrit.
Rrëshqitja 20
Ushtrimi 11
Gjeni vlerat e përafërta të këndeve tetraedrale të oktaedrit. Për këndet dykëndësh të tetëkëndëshit kemi: , prej nga 109o30". Për këndet tetraedrale të tetëkëndëshit kemi: 38o56". Përgjigje: 38o56".
rrëshqitje 21
Ushtrimi 12
Gjeni vlerat e përafërta të këndeve me pesë anë të ikozaedrit. Për këndet dykëndësh të ikozaedrit kemi: , prej nga 138o11". Për këndet pesëkëndësh të ikozaedrit kemi: 75o28". Përgjigje: 75o28".
rrëshqitje 22
Ushtrimi 13
Për këndet dykëndësh të dykëndëshit kemi: , prej nga 116o34". Për këndet trekëndësh të dykëndëshit kemi: 84o51". Përgjigje: 84o51". Gjeni vlerat e përafërta të këndeve trekëndësh të dodekaedrit.
rrëshqitje 23
Ushtrimi 14
Në një piramidë të rregullt katërkëndore SABCD, ana e bazës është 2 cm, lartësia është 1 cm. Gjeni këndin katërkëndor në majë të kësaj piramide. Zgjidhja: Piramidat e treguara e ndajnë kubin në gjashtë piramida të barabarta me kulme në qendër të kubit. Prandaj, këndi me 4 anë në majë të piramidës është një e gjashta e këndit 360°, d.m.th. e barabartë me 60o. Përgjigje: 60o.
rrëshqitje 24
Ushtrimi 15
Në një piramidë të rregullt trekëndore, skajet anësore janë të barabarta me 1, këndet në krye janë 90o. Gjeni këndin trekëndor në majë të kësaj piramide. Zgjidhja: Piramidat e treguara e ndajnë tetëedronin në tetë piramida të barabarta me kulme në qendër O të tetëedronit. Prandaj, këndi me 3 anë në majë të piramidës është një e teta e këndit 360°, d.m.th. e barabartë me 45o. Përgjigje: 45o.
Rrëshqitja 25
Ushtrimi 16
Në një piramidë të rregullt trekëndore, skajet anësore janë të barabarta me 1, dhe lartësia Gjeni këndin trekëndor në majë të kësaj piramide. Zgjidhja: Piramidat e treguara thyhen tetraedron i rregullt në katër piramida të barabarta me kulme në qendër të tetraedrit. Prandaj, këndi me 3 anë në majë të piramidës është një e katërta e këndit 360°, d.m.th. është e barabartë me 90o. Përgjigje: 90o.
Shikoni të gjitha rrëshqitjet
rrëshqitje 1
KËNDET POLIEDRALE Figura e formuar nga sipërfaqja e caktuar dhe një nga dy pjesët e hapësirës të kufizuara prej saj quhet kënd shumëkëndor. Kulmi i përbashkët S quhet kulmi i këndit shumëkëndor. Rrezet SA1, …, SAn quhen skajet e këndit shumëkëndor, kurse vetë këndet e rrafshët A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 quhen faqet e këndit shumëkëndor. Një kënd poliedrik shënohet me shkronjat SA1…An, që tregon kulmin dhe pikat në skajet e tij. Një sipërfaqe e formuar nga një grup i fundëm këndesh të rrafshët A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 me një kulm të përbashkët S, në të cilën qoshet ngjitur nuk kanë pika të përbashkëta, përveç pikave të një rrezeje të përbashkët dhe jo- qoshet fqinje nuk kanë pika të përbashkëta, përveç një kulmi të përbashkët, do të quhet një sipërfaqe poliedrike.rrëshqitje 2
KËNDET POLIEDRALE Në varësi të numrit të faqeve, këndet poliedrike janë trekëndësh, katërkëndor, pesëkëndor etj.
rrëshqitje 3
Teorema e KËNDËVE TRIHEDRAL. Çdo kënd i sheshtë i një këndi trekëndor është më i vogël se shuma e dy këndeve të tjera të sheshta. Dëshmi. Konsideroni këndin trekëndor SABC. Le të jetë këndi ASC më i madhi nga këndet e tij të sheshta. Pastaj pabarazitë ASB ASC
rrëshqitje 4
KËNDET TRIHEDRAL Pronë. Shuma e këndeve të rrafshët të një këndi trekëndor është më e vogël se 360°. Në mënyrë të ngjashme, për këndet trekëndore me kulme B dhe C, vlejnë pabarazitë e mëposhtme: ABC
rrëshqitje 5
KËNDET POLIEDRALE KONVEKS Një kënd shumëkëndor quhet konveks nëse është një figurë konvekse, d.m.th., së bashku me çdo dy nga pikat e tij, ai përmban tërësisht segmentin që i lidh ato. Figura tregon shembuj të këndeve poliedrike konvekse dhe jokonvekse. Prona. Shuma e të gjitha këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është më pak se 360°. Vërtetimi është i ngjashëm me vërtetimin e vetive përkatëse për një kënd trekëndor.
rrëshqitje 6
Kënde vertikale poliedrike Shifrat tregojnë shembuj të këndeve vertikale trekëndore, tetraedrale dhe pesëkëndëshe Teorema. Këndet vertikale janë të barabarta.
Rrëshqitja 7
Matja e këndeve poliedrike Meqenëse vlera e shkallës së një këndi diedral të zhvilluar matet me vlerën e shkallës së këndit linear përkatës dhe është e barabartë me 180°, do të supozojmë se vlera e shkallës së të gjithë hapësirës, e cila përbëhet nga dy kënde diedrale të zhvilluara. , është 360°. Vlera e një këndi shumëkëndor, e shprehur në gradë, tregon se çfarë pjese të hapësirës zë këndi i dhënë shumëedral. Për shembull, këndi trekëndor i një kubi zë një të tetën e hapësirës dhe, për rrjedhojë, vlera e shkallës së tij është 360o:8 = 45o. Këndi trekëndor në një prizëm të rregullt n-gonal është i barabartë me gjysmën e këndit dihedral në skajin anësor. Duke marrë parasysh që ky kënd dihedral është i barabartë, marrim se këndi trekëndor i prizmit është i barabartë.
Rrëshqitja 8
Matja e këndeve trekëndësh* Le të nxjerrim një formulë që shpreh vlerën e një këndi trekëndor në terma të këndeve të tij dykëndësh. Ne përshkruajmë një sferë njësi afër kulmit S të këndit trihedral dhe shënojmë pikat e kryqëzimit të skajeve të këndit trekëndor me këtë sferë A, B, C. Rrafshet e faqeve të këndit trekëndor e ndajnë këtë sferë në gjashtë çifte. digone të barabarta sferike që u korrespondojnë këndeve dykëndëshe të këndit të dhënë trekëndor. Trekëndëshi sferik ABC dhe trekëndëshi i tij sferik simetrik A"B"C" janë kryqëzimi i tre digonave. Prandaj, dyfishi i shumës së këndeve dykëndësh është 360o plus katërfishi i këndit trekëndësh, ose SA + SB + SC = 180o + 2 SABC .
Rrëshqitja 9
Matja e këndeve poliedrike* Le të jetë SA1…An një kënd konveks me faqe n. Duke e ndarë atë në kënde trekëndore, duke vizatuar diagonalet A1A3, …, A1An-1 dhe duke zbatuar formulën që rezulton në to, do të kemi: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. Këndet poliedrike mund të maten edhe me numra. Në të vërtetë, treqind e gjashtëdhjetë gradë të të gjithë hapësirës korrespondojnë me numrin 2π. Duke kaluar nga shkallët te numrat në formulën që rezulton, do të kemi: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.
rrëshqitje 10
Ushtrimi 1 A mund të ketë një kënd trekëndor me kënde të sheshta: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Pa pergjigje; b) jo; c) po.
rrëshqitje 11
Ushtrimi 2 Jepni shembuj të shumëkëndëshave, faqet e të cilave, të kryqëzuara në kulmet, formojnë vetëm: a) kënde trekëndëshe; b) qoshet tetraedrale; c) qoshet me pesë anë. Përgjigje: a) Katërkëndësh, kub, dykëndësh; b) oktaedrin; c) ikozaedron.
rrëshqitje 12
Ushtrimi 3 Dy këndet e rrafshët të një këndi trekëndor janë 70° dhe 80°. Cili është kufiri i këndit të rrafshit të tretë? Përgjigje: 10o< < 150о.
rrëshqitje 13
Ushtrimi 4 Këndet e rrafshët të një këndi trekëndor janë 45°, 45° dhe 60°. Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve të këndeve të sheshta 45°. Përgjigje: 90o.
rrëshqitje 14
Ushtrimi 5 Në një kënd trekëndor, dy kënde të sheshta janë të barabarta me 45 °; këndi dihedral ndërmjet tyre është i drejtë. Gjeni këndin e tretë të sheshtë. Përgjigje: 60o.
rrëshqitje 15
Ushtrimi 6 Këndet e rrafshët të një këndi trekëndor janë 60°, 60° dhe 90°. Segmentet e barabarta OA, OB, OC vizatohen në skajet e tij nga kulmi. Gjeni këndin dihedral midis planit të këndit 90° dhe rrafshit ABC. Përgjigje: 90o.
rrëshqitje 16
Ushtrimi 7 Çdo kënd i rrafshët i një këndi trekëndor është 60°. Në njërën nga skajet e saj, një segment i barabartë me 3 cm është hedhur nga lart, dhe një pingul është ulur nga fundi i tij në faqen e kundërt. Gjeni gjatësinë e kësaj pingule.
rrëshqitje 17
Ushtrimi 8 Gjeni vendndodhjen e pikave të brendshme të një këndi trekëndor me distancë të barabartë nga faqet e tij. Përgjigje: Një rreze, kulmi i së cilës është kulmi i një këndi trekëndor që shtrihet në vijën e kryqëzimit të rrafsheve që ndan këndet dykëndësh në gjysmë.
rrëshqitje 18
Ushtrimi 9 Gjeni vendndodhjen e pikave të brendshme të një këndi trekëndor me largësi të barabartë nga skajet e tij. Përgjigje: Një rreze, kulmi i së cilës është kulmi i një këndi trekëndor që shtrihet në vijën e prerjes së rrafsheve që kalon nga përgjysmuesit e këndeve të rrafshët dhe pingul me rrafshet e këtyre këndeve.
