십진 로그 9. 로그. 십진 로그. 소수 및 자연 로그

정의

십진 로그밑이 10인 로그라고 합니다:

Title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

이 로그가 해결책입니다 지수 방정식. 때로는 (특히 외국 문헌에서) 십진 로그도 로 지정되지만, 처음 두 지정은 자연 로그에도 내재되어 있습니다.

십진 로그의 첫 번째 테이블이 출판되었습니다. 영국의 수학자 Henry Briggs(1561-1630)는 1617년에(이것이 외국 과학자들이 종종 십진 로그를 여전히 Briggs라고 부르는 이유입니다), 이 표에는 오류가 포함되어 있습니다. 슬로베니아와 오스트리아 수학자 Georg Barthalomew Vega(Juri Veha 또는 Vehovec, 1754-1802)의 표(1783)를 기반으로 1857년 독일의 천문학자이자 측량사인 Karl Bremiker(1804-1877)가 오류 없는 최초의 판을 출판했습니다. 러시아 수학자이자 교사인 Leonty Filippovich Magnitsky(Telyatin 또는 Telyashin, 1669-1739)의 참여로 1703년 러시아에서 최초의 로그 표가 출판되었습니다. 계산에는 십진 로그가 널리 사용되었습니다.

십진 로그의 속성

이 로그는 임의의 밑수에 대한 로그에 내재된 모든 속성을 갖습니다.

1. 기본 로그 항등식:

5. .

7. 새로운 기반으로의 전환:

십진 로그 함수는 함수입니다. 이 곡선의 그래프를 흔히 대수적.

함수 y=lg x의 속성

1) 정의 범위: .

2) 여러 의미: .

3) 일반 기능.

4) 이 기능은 비주기적입니다.

5) 함수의 그래프는 점 에서 x축과 교차합니다.

6) 부호 불변의 간격: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} 에 대한 것입니다.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

좀 더 간단하게 설명해보자. 예를 들어, \(\log_(2)(8)\)는 \(8\)을 얻기 위해 \(2\)를 올려야 하는 거듭제곱과 같습니다. 이것으로부터 \(\log_(2)(8)=3\)이 분명해졌습니다.

예:	\(\log_(5)(25)=2\)	왜냐하면 \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	왜냐하면 \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	왜냐하면 \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

로그의 인수와 밑

모든 로그에는 다음과 같은 "해부학"이 있습니다.

로그의 인수는 일반적으로 해당 수준에서 작성되고 밑은 로그 기호에 더 가까운 아래 첨자로 작성됩니다. 그리고 이 항목은 다음과 같습니다: "25에서 5를 밑으로 하는 로그."

로그를 계산하는 방법은 무엇입니까?

로그를 계산하려면 다음 질문에 대답해야 합니다. 인수를 얻으려면 밑을 몇 제곱해야 합니까?

예를 들어, 로그를 계산합니다: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\)을 얻으려면 \(4\)를 몇 제곱해야 합니까? 분명히 두 번째입니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\)을 얻으려면 \(\sqrt(5)\)를 몇 제곱해야 합니까? 어떤 힘이 1위를 만드는가? 물론 제로!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)를 얻으려면 \(\sqrt(7)\)를 몇 제곱해야 합니까? 첫째, 첫 번째 거듭 제곱의 숫자는 그 자체와 같습니다.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)를 얻으려면 \(3\)을 몇 제곱해야 합니까? 우리는 이것이 분수 거듭제곱이라는 것을 알고 있습니다. 이는 다음을 의미합니다. 제곱근\(\frac(1)(2)\) 의 거듭제곱입니다.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

예 : 로그 계산 \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

해결책 :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		로그의 값을 찾아야 합니다. 이를 x로 표시하겠습니다. 이제 로그의 정의를 사용해 보겠습니다. \(\log_(a)(c)=b\) \(\왼쪽 화살표\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\)와 \(8\)을 연결하는 것은 무엇입니까? 2, 두 숫자 모두 2로 표시될 수 있기 때문입니다. \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		왼쪽에서는 차수의 속성을 사용합니다: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) 및 \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		기본은 동일하며 지표의 평등으로 넘어갑니다.
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		방정식의 양변에 \(\frac(2)(5)\)를 곱합니다.
		결과 근은 로그 값입니다.

답변 : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

로그는 왜 발명되었는가?

이를 이해하기 위해 방정식 \(3^(x)=9\)을 풀어보겠습니다. 방정식이 작동하도록 하려면 \(x\)만 일치시키면 됩니다. 물론, \(x=2\)입니다.

이제 방정식을 풀어보세요: \(3^(x)=8\). x는 무엇인가요? 그게 요점입니다.

가장 똑똑한 사람들은 "X는 2보다 조금 작습니다."라고 말할 것입니다. 이 숫자를 정확히 어떻게 쓰나요? 이 질문에 답하기 위해 로그가 발명되었습니다. 그 덕분에 여기에 대한 답은 \(x=\log_(3)(8)\)로 쓸 수 있습니다.

나는 다음과 같이 \(\log_(3)(8)\)을 강조하고 싶습니다. 모든 로그는 숫자일 뿐이다. 예, 이상해 보이지만 짧습니다. 왜냐하면 우리가 이를 십진수로 쓰고 싶다면 다음과 같을 것이기 때문입니다: \(1.892789260714.....\)

예 : 방정식 \(4^(5x-4)=10\)을 푼다

해결책 :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\)와 \(10\)은 같은 베이스로 가져올 수 없습니다. 이는 로그 없이는 할 수 없음을 의미합니다. 로그의 정의를 사용해 보겠습니다. \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		X가 왼쪽에 오도록 방정식을 뒤집어 보겠습니다.
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		우리 앞에. \(4\)를 오른쪽으로 이동해 보겠습니다. 그리고 로그를 두려워하지 말고 일반 숫자처럼 취급하십시오.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		방정식을 5로 나눕니다.
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		이것이 우리의 뿌리입니다. 예, 이상해 보이지만 답을 선택하지 않습니다.

답변 : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

소수 및 자연 로그

로그 정의에 명시된 대로 로그의 밑수는 \((a>0, a\neq1)\)을 제외한 모든 양수일 수 있습니다. 그리고 가능한 모든 밑수 중에서 너무 자주 발생하는 두 가지가 있어서 로그에 대한 특별한 짧은 표기법이 발명되었습니다.

자연 로그: 밑이 오일러 수 \(e\)(대략 \(2.7182818…\)와 동일)인 로그이며 로그는 \(\ln(a)\)로 표시됩니다.

그건, \(\ln(a)\)는 \(\log_(e)(a)\)와 동일합니다.

십진 로그: 밑이 10인 로그는 \(\lg(a)\)로 표시됩니다.

그건, \(\lg(a)\)는 \(\log_(10)(a)\)와 동일합니다., 여기서 \(a\)는 숫자입니다.

기본 로그 항등식

로그에는 많은 속성이 있습니다. 그 중 하나는 "기본 로그 항등식"이라고 하며 다음과 같습니다.

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

이 속성은 정의에서 직접 따릅니다. 이 공식이 어떻게 만들어졌는지 정확히 살펴보겠습니다.

로그 정의에 대한 간단한 표기법을 떠올려 보겠습니다.

\(a^(b)=c\)이면 \(\log_(a)(c)=b\)

즉, \(b\)는 \(\log_(a)(c)\)와 동일합니다. 그러면 \(a^(b)=c\) 공식에서 \(b\) 대신 \(\log_(a)(c)\)를 쓸 수 있습니다. \(a^(\log_(a)(c))=c\) - 주요 로그 항등이 밝혀졌습니다.

로그의 다른 속성을 찾을 수 있습니다. 도움을 받으면 직접 계산하기 어려운 로그를 사용하여 표현식의 값을 단순화하고 계산할 수 있습니다.

예 : 표현식 \(36^(\log_(6)(5))\)의 값을 찾습니다.

해결책 :

답변 : \(25\)

숫자를 로그로 쓰는 방법은 무엇입니까?

위에서 언급했듯이 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 어떤 숫자든 로그로 쓸 수 있습니다. 예를 들어, \(\log_(2)(4)\)는 2와 같다는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 두 개 대신 \(\log_(2)(4)\)를 쓸 수 있습니다.

그러나 \(\log_(3)(9)\) 는 \(2\) 와 동일합니다. 즉, \(2=\log_(3)(9)\) 라고 쓸 수도 있습니다. \(\log_(5)(25)\) 및 \(\log_(9)(81)\)와 마찬가지로 마찬가지입니다. 즉, 밝혀졌습니다

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

따라서 필요한 경우 어느 밑이든(방정식, 표현식 또는 부등식에서) 로그로 2개를 쓸 수 있습니다. 밑의 제곱을 인수로 쓰기만 하면 됩니다.

트리플과 동일합니다. \(\log_(2)(8)\), \(\log_(3)(27)\) 또는 \(\log_(4)( 64) \)... 여기서는 큐브의 밑변을 인수로 작성합니다.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

그리고 4개:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

마이너스 1의 경우:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

그리고 1/3은 다음과 같습니다.

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

모든 숫자 \(a\)는 \(b\)를 밑으로 하는 로그로 표현될 수 있습니다: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

예 : 표현의 의미를 찾아보세요 \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

해결책 :

답변 : \(1\)

로그의 기본 속성, 로그 그래프, 정의 영역, 값의 집합, 기본 공식, 증가 및 감소가 제공됩니다. 로그의 미분을 찾는 것이 고려됩니다. 그리고 또한 적분, 확장 파워 시리즈복소수를 사용한 표현.

콘텐츠

도메인, 값 집합, 증가, 감소

로그는 단조 함수이므로 극값이 없습니다. 로그의 주요 속성이 표에 나와 있습니다.


도메인	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
값의 범위	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
단조	단조롭게 증가	단조롭게 감소
0, y = 0	x = 1	x = 1
세로축으로 점을 가로채고, x = 0	아니요	아니요
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

개인적인 가치

밑이 10인 로그를 다음과 같이 부릅니다. 십진 로그다음과 같이 표시됩니다.

밑수에 대한 로그 이자형~라고 불리는 자연로그:

로그의 기본 공식

역함수의 정의로 인해 발생하는 로그의 속성:

로그의 주요 속성과 그 결과

베이스 교체식

로그는 로그를 취하는 수학적 연산입니다. 로그를 취할 때 요인의 곱은 항의 합으로 변환됩니다.
전위화는 로그에 반대되는 수학적 연산입니다. 강화하는 동안 주어진 염기는 강화가 수행되는 발현 정도까지 상승합니다. 이 경우 항의 합은 요인의 곱으로 변환됩니다.

로그의 기본 공식 증명

로그와 관련된 공식은 지수 함수 공식과 역함수의 정의를 따릅니다.

지수 함수의 속성을 고려하십시오.
.
그 다음에
.
지수함수의 성질을 적용해 보자
:
.

염기 치환 공식을 증명해보자.
;
.
c = b라고 가정하면 다음과 같습니다.

역함수

밑수 a에 대한 로그의 역은 다음과 같습니다. 지수 함수지수 a로.

그렇다면

로그의 미분

모듈러스 x의 로그 파생:
.
n차 도함수:
.
수식 도출 > > >

로그의 도함수를 찾으려면 밑수로 줄여야 합니다. 이자형.
;
.

완전한

로그의 적분은 부분별로 적분하여 계산됩니다.
그래서,

복소수를 사용한 표현식

복소수 함수를 고려해보세요 지:
.
복소수를 표현해보자 지모듈을 통해 아르 자형그리고 논쟁 φ :
.
그런 다음 로그의 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.
.
또는

그러나 주장은 φ 고유하게 정의되지 않았습니다. 당신이 넣으면
, 여기서 n은 정수이고,
그러면 다른 경우에도 동일한 번호가 됩니다. N.

따라서 복소수 변수의 함수인 로그는 단일 값 함수가 아닙니다.

파워 시리즈 확장

확장이 발생하는 경우:

참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.

또한보십시오:

로그의 허용값 범위(APV)

이제 제한 사항(ODZ - 허용되는 변수 값 범위)에 대해 이야기해 보겠습니다.

예를 들어, 음수에서는 제곱근을 구할 수 없다는 것을 기억합니다. 또는 분수가 있는 경우 분모는 0과 같을 수 없습니다. 로그에는 비슷한 제한 사항이 있습니다.

즉, 인수와 밑은 모두 0보다 커야 하지만 밑은 아직 같을 수 없습니다.

왜 그런 겁니까?

간단한 것부터 시작해 보겠습니다. 예를 들어, 그 숫자는 존재하지 않습니다. 왜냐하면 우리가 어떤 힘을 키우더라도 항상 그것이 밝혀지기 때문입니다. 게다가 누구에게도 존재하지 않습니다. 그러나 동시에 그것은 무엇이든 동일할 수 있습니다(같은 이유로 - 어느 정도 동일함). 따라서 그 대상은 관심이 없으며 단순히 수학에서 제외되었습니다.

이 경우에도 비슷한 문제가 있습니다. 모든 양의 거듭제곱에 해당하지만 음의 거듭제곱으로 올릴 수는 없습니다. 왜냐하면 이로 인해 0으로 나누는 결과가 발생하기 때문입니다(이 점을 상기시켜 드리겠습니다).

분수 거듭제곱(루트로 표시됨: . 예를 들어 (즉))으로 승화하는 문제에 직면했을 때 존재하지 않습니다.

따라서 부정적인 이유를 고치는 것보다 버리는 것이 더 쉽습니다.

음, 우리의 밑수 a는 양수만 될 수 있기 때문에, 어떤 거듭제곱으로 올리더라도 우리는 항상 엄격하게 양수를 얻게 될 것입니다. 따라서 주장은 긍정적이어야 합니다. 예를 들어, 존재하지 않습니다. 왜냐하면 결코 존재하지 않을 것이기 때문입니다. 음수(따라서 심지어 0도 존재하지 않습니다).

로그 문제에서 가장 먼저 해야 할 일은 ODZ를 기록하는 것입니다. 예를 들어 보겠습니다.

방정식을 풀어 봅시다.

정의를 기억해 봅시다. 로그는 인수를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 거듭제곱입니다. 그리고 조건에 따르면 이 정도는 다음과 같습니다.

우리는 평소를 얻습니다 이차 방정식: . Vieta의 정리를 사용하여 풀어 봅시다. 근의 합은 같고 곱은 같습니다. 픽업하기 쉽고 숫자입니다.

하지만 즉시 이 두 숫자를 답에 적어 쓰면 문제에 대해 0점을 얻을 수 있습니다. 왜? 이 근을 초기 방정식에 대입하면 어떤 일이 일어나는지 생각해 봅시다.

밑이 음수일 수 없기 때문에 이는 분명히 잘못된 것입니다. 즉, 루트는 "제3자"입니다.

이러한 불쾌한 함정을 피하려면 방정식 풀이를 시작하기 전에도 ODZ를 기록해야 합니다.

그런 다음 뿌리를 받으면 즉시 뿌리를 버리고 정답을 씁니다.

실시예 1(직접 해결해 보세요) :

방정식의 근을 찾아보세요. 뿌리가 여러 개인 경우 답에 가장 작은 뿌리를 표시하십시오.

해결책:

우선 ODZ를 작성해 보겠습니다.

이제 로그가 무엇인지 기억해 봅시다. 인수를 얻으려면 밑수를 얼마나 올려야 합니까? 두 번째로. 그건:

더 작은 뿌리가 같은 것 같습니다. 그러나 이것은 그렇지 않습니다. ODZ에 따르면 루트는 제3자입니다. 즉, 전혀 루트가 아닙니다. 주어진 방정식. 따라서 방정식에는 단 하나의 근만 있습니다: .

답변: .

기본 로그 항등식

일반적인 형태의 로그 정의를 떠올려 보겠습니다.

로그를 두 번째 등식으로 대체해 보겠습니다.

이 평등을 기본 로그 항등. 본질적으로 이것은 평등이지만 다르게 작성되었습니다. 로그의 정의:

이것이 당신이 얻기 위해 키워야 할 힘입니다.

예를 들어:

다음 예를 풀어보세요.

예시 2.

표현의 의미를 찾아보세요.

해결책:

섹션의 규칙을 기억해 봅시다. 즉, 거듭제곱을 거듭제곱할 때 지수가 곱해집니다. 적용해보자:

예시 3.

그것을 증명하십시오.

해결책:

로그의 속성

불행하게도 작업이 항상 그렇게 간단한 것은 아닙니다. 먼저 표현식을 단순화하고 일반적인 형식으로 가져온 다음에만 값을 계산해야 하는 경우가 많습니다. 알면 가장 쉽게 할 수 있는 일 로그의 속성. 그럼 로그의 기본 성질을 배워봅시다. 어떤 규칙이든 그것이 어디서 왔는지 알면 기억하기가 더 쉽기 때문에 나는 그것들 각각을 증명할 것입니다.

이러한 모든 속성을 기억해야 하며, 이러한 속성이 없으면 대부분의 로그 문제를 해결할 수 없습니다.

이제 로그의 모든 속성에 대해 자세히 설명합니다.

속성 1:

증거:

그럼 그렇게 놔두세요.

우리는 , 등을 가지고 있습니다.

속성 2: 로그의 합

밑이 같은 로그의 합은 곱의 로그와 같습니다. .

증거:

그럼 그렇게 놔두세요. 그럼 그렇게 놔두세요.

예:표현의 의미를 찾아보세요: .

해결책: .

방금 배운 공식은 차이가 아닌 로그의 합을 단순화하는 데 도움이 되므로 이러한 로그는 바로 결합할 수 없습니다. 그러나 반대의 경우도 있습니다. 첫 번째 로그를 두 개로 "분할"하면 다음과 같이 약속된 단순화가 이루어집니다.
.
이것이 왜 필요한가요? 예를 들어, 그것은 무엇입니까?

이제 그것은 분명합니다.

지금 직접 단순화하십시오.

작업:

답변:

속성 3: 로그의 차이:

증거:

모든 것이 포인트 2와 정확히 동일합니다.

그럼 그렇게 놔두세요.

그럼 그렇게 놔두세요. 우리는:

이전 단락의 예는 이제 더욱 간단해졌습니다.

더 복잡한 예: . 스스로 해결하는 방법을 알아낼 수 있나요?

여기서는 로그 제곱에 대한 단일 공식이 없다는 점에 유의해야 합니다. 이것은 표현식과 유사합니다. 즉시 단순화할 수는 없습니다.

그렇다면 로그에 관한 공식에서 잠시 벗어나 수학에서 어떤 공식을 가장 자주 사용하는지 생각해 볼까요? 7학년부터!

이것 - . 그들이 어디에나 있다는 사실에 익숙해져야 합니다! 지수함수, 삼각함수, 비합리적 문제에서 발생합니다. 그러므로 기억해야 합니다.

처음 두 용어를 자세히 살펴보면 다음과 같은 사실이 분명해집니다. 제곱의 차이:

확인할 답변:

직접 단순화하십시오.

예

답변.

속성 4: 로그 인수에서 지수 빼기:

증거:그리고 여기서 우리는 또한 로그의 정의를 사용합니다: let, then. 우리는 , 등을 가지고 있습니다.

이 규칙은 다음과 같이 이해될 수 있습니다.

즉, 인수의 차수는 계수로서 로그보다 앞으로 이동합니다.

예:표현의 의미를 찾아보세요.

해결책: .

스스로 결정하십시오:

예:

답변:

속성 5: 로그 밑에서 지수를 구합니다.

증거:그럼 그렇게 놔두세요.

우리는 , 등을 가지고 있습니다.
기억하세요: 부터 근거정도는 다음과 같이 표현된다. 반대이전 케이스와는 다르게!

속성 6: 로그의 밑수와 인수에서 지수 제거:

또는 각도가 동일한 경우: .

속성 7: 새로운 기반으로의 전환:

증거:그럼 그렇게 놔두세요.

우리는 , 등을 가지고 있습니다.

속성 8: 로그의 밑과 인수를 바꿉니다.

증거:이것은 공식 7의 특별한 경우입니다. 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

예시 4.

표현의 의미를 찾아보세요.

우리는 로그 2번의 속성을 사용합니다. 밑이 같은 로그의 합은 곱의 로그와 같습니다.

실시예 5.

표현의 의미를 찾아보세요.

해결책:

우리는 로그 3번과 4번의 속성을 사용합니다.

실시예 6.

표현의 의미를 찾아보세요.

해결책:

7번 속성을 사용해 보겠습니다. 기본 2로 넘어갑니다.

실시예 7.

표현의 의미를 찾아보세요.

해결책:

기사가 마음에 드시나요?

이 줄을 읽고 있다면 기사 전체를 읽은 것입니다.

그리고 그것은 멋지다!

이제 기사가 마음에 드시나요?

로그를 푸는 방법을 배웠나요? 그렇지 않다면 무엇이 문제입니까?

아래 의견에 글을 남겨주세요.

그리고 네, 시험에서 행운을 빕니다.

통합 상태 시험 및 통합 상태 시험 및 일반적으로 생활에서

그래서 우리는 2의 거듭제곱을 가지고 있습니다. 맨 밑줄에서 숫자를 취하면 이 숫자를 얻기 위해 두 개를 올려야 하는 힘을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어 16을 얻으려면 2의 4승을 올려야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6승을 올려야 합니다. 이는 표를 보면 알 수 있습니다.

이제 실제로 로그의 정의는 다음과 같습니다.

x의 로그 밑은 x를 얻기 위해 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법: log a x = b, 여기서 a는 밑, x는 인수, b는 로그가 실제로 동일한 값입니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(2 3 = 8이므로 8의 밑이 2인 로그는 3입니다). 동일한 성공으로 2 6 = 64이므로 로그 2 64 = 6입니다.

주어진 밑수에 대한 숫자의 로그를 찾는 작업을 로그화라고 합니다. 이제 테이블에 새 줄을 추가해 보겠습니다.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
로그 2 2 = 1	로그 2 4 = 2	로그 2 8 = 3	로그 2 16 = 4	로그 2 32 = 5	로그 2 64 = 6

불행하게도 모든 로그가 그렇게 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 로그 2 5를 찾으십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리에 따르면 로그는 구간 어딘가에 있을 것입니다. 왜냐면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하의 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 결코 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 log 2 5, log 3 8, log 5 100과 같이 그대로 두는 것이 좋습니다.

로그는 두 개의 변수(밑수와 인수)가 있는 표현식이라는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 많은 사람들은 처음에는 근거가 어디에 있고 주장이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하려면 그림을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 거듭제곱이다, 인수를 얻으려면 기반을 구축해야 합니다. 거듭제곱된 베이스입니다. 그림에서 빨간색으로 강조 표시되어 있습니다. 베이스는 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 수업에서 학생들에게 이 놀라운 규칙을 말하는데, 아무런 혼란도 일어나지 않습니다.

우리는 정의를 알아냈습니다. 남은 것은 로그를 계산하는 방법을 배우는 것입니다. "로그" 표시를 제거하세요. 우선, 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 주목합니다.

인수와 밑은 항상 0보다 커야 합니다. 이는 로그의 정의가 축소되는 유리수 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
기초는 어느 정도든 여전히 하나로 남아 있기 때문에 하나와 달라야 합니다. 그렇기 때문에 “두 개를 얻으려면 어떤 권세까지 올라가야 하는가”라는 질문은 의미가 없습니다. 그런 학위는 없습니다!

이러한 제한을 호출합니다. 허용 가능한 값의 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

숫자 b(로그 값)에는 제한이 없습니다. 예를 들어, 로그는 음수가 될 수도 있습니다: log 2 0.5 = −1, 왜냐하면 0.5 = 2 −1.

그러나 이제 우리는 로그의 VA를 알 필요가 없는 수치 표현만을 고려하고 있습니다. 문제 작성자는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 로그 방정식과 부등식이 적용되면 DL 요구 사항이 필수가 됩니다. 결국, 근거와 주장에는 위의 제한 사항과 반드시 일치하지 않는 매우 강력한 구성이 포함될 수 있습니다.

이제 로그 계산을 위한 일반적인 방식을 살펴보겠습니다. 이는 세 단계로 구성됩니다.

밑수 a와 인수 x를 가능한 최소 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현합니다. 그 과정에서 소수를 없애는 것이 더 좋습니다.
변수 b에 대한 방정식을 풉니다. x = a b ;
결과 숫자 b가 답이 될 것입니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이는 첫 번째 단계에서 이미 표시됩니다. 밑이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 중요합니다. 이렇게 하면 오류 가능성이 줄어들고 계산이 크게 단순화됩니다. 소수도 마찬가지입니다. 즉시 일반 분수로 변환하면 오류가 훨씬 줄어듭니다.

구체적인 예를 사용하여 이 체계가 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

일. 로그를 계산합니다: log 5 25

밑수와 인수를 5의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
방정식을 만들고 풀어 봅시다:
로그 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
우리는 다음과 같은 답변을 받았습니다: 2.

일. 로그를 계산합니다.

일. 로그를 계산합니다: log 4 64

밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
방정식을 만들고 풀어 봅시다:
로그 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
우리는 다음과 같은 답변을 받았습니다: 3.

일. 로그를 계산합니다: log 16 1

밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
방정식을 만들고 풀어 봅시다:
로그 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
우리는 0이라는 답변을 받았습니다.

일. 로그를 계산합니다: log 7 14

밑수와 인수를 7의 거듭제곱으로 상상해 봅시다. 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 표현될 수 없습니다. 왜냐하면 7 1이기 때문입니다.< 14 < 7 2 ;
이전 단락에서 로그는 계산되지 않습니다.
대답은 변화가 없다는 것입니다: 로그 7 14.

마지막 예에 대한 작은 참고 사항입니다. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아니라는 것을 어떻게 확신할 수 있습니까? 매우 간단합니다. 소인수로 인수분해하면 됩니다. 그리고 그러한 요소가 동일한 지수를 가진 거듭제곱으로 수집될 수 없다면 원래 숫자는 정확한 거듭제곱이 아닙니다.

일. 숫자가 정확한 거듭제곱인지 알아보세요: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - 정확한 차수, 왜냐하면 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - 3과 2의 두 가지 요인이 있으므로 정확한 거듭제곱은 아닙니다.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - 정확한 정도;
35 = 7 · 5 - 역시 정확한 거듭제곱은 아닙니다.
14 = 7 · 2 - 역시 정확한 정도는 아닙니다.

우리 자신도 주목하자 소수항상 정확한 정도입니다.

십진 로그

일부 로그는 너무 흔해서 특별한 이름과 기호를 갖습니다.

x의 십진 로그는 밑이 10인 로그입니다. 즉, 숫자 x를 얻기 위해 숫자 10을 거듭제곱해야 합니다. 명칭 : LG X.

예를 들어, 로그 10 = 1; LG 100 = 2; LG 1000 = 3 - 등.

앞으로 교과서에 'lg 0.01을 찾아라' 같은 문구가 나오면 오타가 아니라는 점을 알아두시기 바랍니다. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이 표기법에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 십진 로그에도 참입니다.

자연로그

자체 지정이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 면에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 우리는 자연 로그에 대해 이야기하고 있습니다.

x의 자연 로그는 e를 밑으로 하는 로그입니다. 즉, 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱입니다. 명칭: ln x .

많은 사람들이 묻습니다. 숫자 e는 무엇입니까? 이는 무리수이므로 정확한 값을 찾아 기록할 수 없습니다. 나는 첫 번째 수치만을 제시할 것이다:
전자 = 2.718281828459...

이 숫자가 무엇인지, 왜 필요한지에 대해서는 자세히 설명하지 않겠습니다. e가 자연로그의 밑이라는 점을 기억하세요.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - 등. 반면에 ln2는 무리수이다. 일반적으로 유리수의 자연 로그는 무리수입니다. 물론, ln 1 = 0인 경우는 제외됩니다.

자연로그의 경우 일반 로그에 적용되는 모든 규칙이 유효합니다.