표본 모집단의 특성(분산, 평균 및 최대 오류 등)을 계산하기 위해 위에서 설명한 방법은 충분히 큰 표본 크기(n > 30)를 제공합니다. 동시에, 큰 표본 크기가 항상 가능하거나 권장되는 것은 아닙니다. 산업 관찰 및 과학 연구 작업에서는 그 수가 30개를 초과하지 않는 작은 샘플을 사용해야 하는 경우가 많습니다.(농업 및 동물공학 실험, 시료 파기와 관련된 제품 품질 점검 등) 통계에서는 이를 작은 표본이라고 합니다. 모집단이 30개 이상인 표본을 대규모 표본이라고 합니다.
작은 표본 크기는 큰 표본에 비해 정밀도를 감소시킵니다. 그러나 작은 표본으로 얻은 결과는 일반 모집단에도 일반화될 수 있다는 것이 입증되었습니다. 그러나 여기서는 특히 표준 편차를 계산할 때 일부 기능을 고려해야 합니다. 표본 크기가 작은 경우 편향되지 않은 분산 추정값 52를 사용해야 합니다.
소표본 이론의 기초는 영국의 수학자이자 통계학자인 W. Gosset(가명 학생)에 의해 개발되었습니다. 학생의 연구에 따르면 모집단 규모가 작을 때 표본의 표준 편차는 일반 모집단의 표준 편차와 크게 다릅니다.
모집단의 표준편차는 정규분포곡선의 모수 중 하나이기 때문에 작은 표본의 데이터로부터 모집단의 모수를 추정하기 위해 정규분포함수를 사용하는 것은 오차가 크기 때문에 부적절하다.
작은 표본의 평균 오차를 계산할 때는 항상 편향되지 않은 분산 추정치를 사용해야 합니다.
여기서 n - 1은 변형 자유도(k)이며, 이는 값을 변경하지 않고 임의의 값을 취할 수 있는 단위의 수로 이해됩니다. 일반적 특성(평균).
예를 들어, 세 가지 관찰이 이루어졌습니다. x1= 4; x2 = 2; x3 = 6. 평균값
따라서 자유롭게 변하는 수량은 2개만 남습니다. 세 번째 수량은 알려진 두 수량과 평균에서 찾을 수 있기 때문입니다.
따라서 이 예의 경우 변형 자유도는 2(k =n - 1 = 3 - 1 = 2).
t-검정은 작은 표본에 대한 일반 평균과 표본 평균의 편차 분포 법칙을 입증했습니다. 스튜던트 분포에 따르면, 작은 표본에서 한계 오류가 평균 오류의 u배를 초과하지 않을 확률은 표본의 크기에 따라 달라집니다.
작은 표본에 대한 이론적 정규화된 편차를 i-기준이라고 하며, 이는 큰 표본에 사용되는 정규 분포에 대한 i-기준과 대조적입니다. 스튜던트 t-검정의 값은 특수 표(부록 3)에 나와 있습니다.
이 예를 사용하여 작은 표본에 대한 평균 및 최대 오류를 결정하는 절차를 고려해 보겠습니다. 감자 수확 중 손실된 양을 확인하기 위해 무작위로 선택된 4㎡의 5개 지역을 파헤쳤다고 가정해 보겠습니다. 현장별 손실량은 (kg)입니다. 0.6; 0.2; 0.8; 0.4; 0.5.
평균 손실
개별 관찰에 따라 판단하면 손실 크기가 크게 다르며 5개 관찰의 평균에는 큰 오류가 있을 수 있습니다.
샘플링 오류를 계산하기 위해 편향되지 않은 분산 추정치를 정의합니다.
표준 편차 대신 편향되지 않은 추정치가 사용되는 표본 평균의 평균 오차를 계산해 보겠습니다.
스튜던트 테이블(부록 3)을 사용하여 신뢰 확률로 이를 확립합니다. G= 0.95(유의 수준 a = 0.05) 및 k = n - 1 = 5 - 1 = 4 자유도 변화 그리고= 2.78. 그러면 최대 샘플링 오류는 다음과 같습니다.
따라서 P = 0.95의 확률로 전체 필드에 대한 손실량은 0.5 ± 0.28kg, 즉 4m2당 0.22~0.78kg이라고 말할 수 있습니다.
예제에서 볼 수 있듯이 작은 샘플의 무작위 변동 한계는 상당히 크며 샘플 크기를 늘리고 특성의 변동(분산)을 줄임으로써 줄일 수 있습니다.
일반 평균의 신뢰 한계를 계산하기 위해 확률 적분표(부록 2)를 사용하면 그리고 1.96과 같고 х = iZi = 1.96 o 0.10 = 0.20kg, 즉 신뢰 구간은 더 좁아집니다(0.30~0.70kg).
작은 표본은 숫자가 적기 때문에 아무리 주의 깊게 관찰을 조직하더라도 일반 인구의 지표를 정확하게 반영하지 못합니다. 따라서 작은 표본의 결과는 모집단 특성이 있는 신뢰할 수 있는 경계를 설정하는 데 거의 사용되지 않습니다.
스튜던트 t 검정은 주로 두 개 이상의 작은 표본 성능 간의 차이의 유의성에 대한 통계적 가설을 검정하는 데 사용됩니다(섹션 7 참조).
명확한 확률적 타당성을 지닌 실제 무작위 표본 외에도 완전히 무작위적이지는 않지만 널리 사용되는 다른 표본도 있습니다. 일반 모집단에서 순전히 무작위로 단위를 선택하는 엄격한 적용이 실제로 항상 가능한 것은 아니라는 점에 유의해야 합니다. 이러한 샘플에는 기계적 샘플링, 일반, 직렬(또는 중첩), 다단계 및 기타 여러 가지가 포함됩니다.
인구가 동질적인 경우는 드물며 이는 규칙이라기보다는 예외입니다. 그러므로 인구 안에 인구가 있다면 다양한 방식표본 모집단에서 다양한 유형의 현상을 보다 균일하게 표현하는 것이 바람직할 때가 많습니다. 이 목표는 일반적인 샘플링을 사용하여 성공적으로 달성되었습니다. 가장 큰 어려움은 전체 인구에 대한 추가 정보를 알아야 한다는 점인데, 어떤 경우에는 이것이 어렵습니다.
일반적인 표본은 계층화된 표본 또는 계층화된 표본이라고도 합니다. 이는 또한 표본의 다양한 지역을 보다 균일하게 표현하기 위한 목적으로도 사용되며, 이 경우 표본을 지역화라고 합니다.
그래서, 아래 전형적인표본은 일반 인구를 하나 이상의 필수 특성에 따라 형성된 전형적인 하위 그룹으로 나누는 표본으로 이해됩니다(예: 인구는 1인당 평균 소득 또는 교육 수준에 따라 3~4개의 하위 그룹으로 나뉩니다. , 보조, 상위 등). 다음으로 모든 일반적인 그룹에서 여러 가지 방법으로 샘플 단위를 선택할 수 있습니다.
a) 다양한 유형(층)에서 동일한 수의 단위가 선택되는 균일한 배치의 일반적인 샘플. 이 계획은 모집단에서 레이어(유형)의 단위 수가 서로 크게 다르지 않은 경우에 잘 작동합니다.
b) 모든 계층에 대한 선택 비율(%)이 동일해야 하는(예: 5 또는 10%) 것이 필요한 경우(균일한 배치와 반대) 비례 배치를 사용한 일반적인 샘플링
c) 일반 인구의 여러 그룹의 특성 변화 정도를 고려할 때 최적의 배치를 가진 전형적인 샘플. 이렇게 배치하면 특성의 변동성이 큰 그룹에 대한 선택 비율이 증가하여 궁극적으로 무작위 오류가 감소합니다.
일반적인 선택의 평균 오류에 대한 공식은 순전히 무작위 표본에 대한 일반적인 샘플링 오류와 유사하지만 유일한 차이점은 전체 분산 대신 특정 그룹 내 분산의 평균이 입력된다는 점입니다. 순전히 무작위 표본에 비해 오류가 감소합니다. 그러나 그 사용이 항상 가능한 것은 아닙니다(여러 가지 이유로). 높은 정밀도가 필요하지 않은 경우 직렬 샘플링을 사용하는 것이 더 쉽고 저렴합니다.
연속물(클러스터) 샘플링은 모집단 단위(예: 학생)가 아니라 개별 시리즈 또는 둥지(예: 연구 그룹)가 샘플로 선택된다는 사실로 구성됩니다. 즉, 직렬(클러스터) 샘플링의 경우 관찰 단위와 샘플링 단위가 일치하지 않습니다. 서로 인접한 특정 단위 그룹(둥지)이 선택되고 이러한 둥지에 포함된 단위가 검사 대상이 됩니다. 그래서 예를 들어 주거실태에 대한 표본조사를 할 때 일정 수의 가구(표본단위)를 무작위로 선정하고, 그 주택에 살고 있는 가족들의 생활실태(관찰단위)를 알아낼 수 있다.
시리즈(둥지)는 영토(지구, 도시 등), 조직(기업, 작업장 등) 또는 시간(예: 특정 기간 동안 생산된 제품 단위 세트)으로 서로 연결된 단위로 구성됩니다. 시간) .
연속선발은 1단, 2단, 다단선발의 형태로 구성될 수 있다.
무작위로 선택된 시리즈는 지속적인 연구를 거칩니다. 따라서 연속 샘플링은 시리즈의 무작위 선택과 이러한 시리즈에 대한 지속적인 연구의 두 단계로 구성됩니다. 직렬 선택은 인력과 자원을 크게 절약하므로 실제로 자주 사용됩니다. 계열선택의 오류는 전체 분산의 값 대신 계열간(그룹간) 분산을 사용하고 표본 크기 대신 계열의 개수를 사용한다는 점에서 무작위 선택 자체의 오류와 다릅니다. 정확도는 일반적으로 그다지 높지 않지만 어떤 경우에는 허용 가능합니다. 연속 표본은 반복되거나 비반복적일 수 있으며, 계열은 크기가 같거나 크기가 다를 수 있습니다.
직렬 샘플링은 다음에 따라 구성될 수 있습니다. 다른 계획. 예를 들어, 두 단계로 표본 모집단을 구성할 수 있습니다. 먼저 조사할 계열을 무작위 순서로 선택한 다음, 선택한 각 계열에서 직접 관찰할 수 있도록 특정 수의 단위도 무작위 순서로 선택합니다(측정, 가중치 측정). , 등.). 그러한 표본의 오류는 연속 선택의 오류와 개별 선택의 오류에 따라 달라집니다. 다단계 선택은 일반적으로 더 적은 양을 제공합니다. 정확한 결과단일 단계 방법은 각 샘플링 단계에서 대표성 오류가 발생하여 설명됩니다. 이 경우 결합 샘플링에 대한 샘플링 오류 공식을 사용해야 합니다.
또 다른 선택 형태는 다단계 선택(1, 2, 3단계 또는 단계)입니다. 이 선택은 다단계 선택과 구조가 다릅니다. 다중 단계 선택의 경우 각 단계에서 동일한 선택 단위가 사용되기 때문입니다. 다단계 샘플링의 오류는 각 단계에서 개별적으로 계산됩니다. 주요 특징 2단계 샘플링은 다음 세 가지 기준에 따라 샘플이 서로 다르다는 것입니다. 1) 샘플의 첫 번째 단계에서 연구되고 두 번째 및 후속 단계에 다시 포함되는 단위의 비율 2) 첫 번째 단계의 각 표본 단위에 대해 동일한 기회를 유지하는 것부터 다시 연구 대상이 됩니다. 3) 위상을 서로 분리하는 간격의 크기.
선택 유형 중 하나를 더 살펴보겠습니다. 기계적인(또는 체계적). 이 선택이 아마도 가장 일반적일 것입니다. 이는 모든 선택 기술 중에서 이 기술이 가장 간단하다는 사실로 분명히 설명됩니다. 특히 난수표를 사용할 수 있는 기능이 필요하고 모집단과 그 구조에 대한 추가 정보가 필요하지 않은 무작위 선택보다 훨씬 간단합니다. 또한 기계적 선택은 비례 계층 선택과 밀접하게 얽혀 있어 샘플링 오류가 줄어듭니다.
예를 들어, 이 협동조합에 가입한 순서에 따라 작성된 목록에서 주택협동조합 구성원을 기계적으로 선택하면 다양한 경험을 가진 협동조합 구성원이 비례적으로 대표될 수 있습니다. 동일한 기술을 사용하여 개인의 알파벳순 목록에서 응답자를 선택하면 다른 문자 등으로 시작하는 성에 대해 동일한 기회가 보장됩니다. 기업이나 교육 기관 등에서 근무 시간표나 기타 목록을 사용하면 다양한 경력을 가진 근로자를 대표하는 데 필요한 비례성을 보장할 수 있습니다. 기계적 선택은 사회학, 여론 연구 등에서 널리 사용됩니다.
오류의 크기, 특히 샘플링 연구 수행 비용을 줄이기 위해 개별 선택 유형(기계적, 직렬, 개별, 다단계 등)의 다양한 조합이 널리 사용됩니다. 이러한 경우 더 복잡한 샘플링 오류가 발생합니다. 연구의 여러 단계에서 발생하는 오류로 구성된 오류를 계산해야 합니다.
작은 표본은 30개 미만의 단위 모음입니다. 작은 표본은 실제로 자주 발생합니다. 예를 들어, 희귀 질병의 수 또는 희귀 특성을 보유한 유닛의 수; 또한, 연구에 비용이 많이 들거나 연구에 제품이나 샘플의 파괴가 포함되는 경우 작은 샘플이 사용됩니다. 소규모 샘플은 제품 품질 조사 분야에서 널리 사용됩니다. 작은 표본 오류를 결정하기 위한 이론적 기초는 영국 과학자 W. Gosset(가명 학생)이 마련했습니다.
작은 표본에 대한 오류를 결정할 때는 표본 크기 대신에 값( N– 1) 또는 평균 샘플링 오류를 결정하기 전에 소위 수정된 샘플 분산(대신 분모에서)을 계산합니다. N넣어야 한다( N- 1)). 이러한 수정은 표본 분산을 계산할 때나 오류를 결정할 때 한 번만 수행됩니다. 크기( N– 1)을 자유도라고 합니다. 또한 정규분포를 대체합니다. 티- 분포(학생 분포)는 표로 작성되며 자유도에 따라 달라집니다. Student 분포의 유일한 매개변수는 값입니다( N- 1). 개정안이 다시 한번 강조됩니다. N– 1) 작은 표본 모집단에만 중요하고 중요합니다. ~에 N> 30 이상에서는 차이가 사라지고 0에 가까워집니다.
지금까지 우리는 무작위 샘플에 대해 이야기해왔습니다. 모집단에서 단위를 선택하는 것이 무작위(또는 거의 무작위)이고 모든 단위가 표본에 포함될 확률이 동일하거나 거의 동일한 경우입니다. 그러나 단위 선택은 접근성과 목적성의 원칙이 최우선인 경우 비무작위 선택의 원칙에 기초할 수 있습니다. 이러한 경우에는 결과 표본의 대표성을 논하는 것이 불가능하며, 대표성 오류의 계산은 일반 모집단에 대한 정보를 통해서만 이루어질 수 있다.
비무작위 표본을 형성하는 방법에는 널리 보급되어 주로 사회학적 연구에 사용되는 몇 가지 알려진 방법이 있습니다. 사용 가능한 관찰 단위 선택, 뉘른베르크 방법에 따른 선택, 전문가 식별 시 대상 샘플링 등 할당량 샘플링. 소수의 연구자에 의해 형성되며, 또한 중요한 중요한 매개변수이며 일반 인구와 매우 가까운 일치를 제공합니다. 즉, 할당량 선택은 연구자가 선택한 매개변수에 따라 표본과 일반 모집단이 거의 완전히 일치하도록 해야 합니다. 제한된 범위의 지표에서 두 모집단의 근접성에 대한 의도적인 달성은 일반적으로 무작위 선택을 사용할 때보다 훨씬 작은 크기의 표본을 사용하여 달성됩니다. 큰 크기의 자체 가중치 무작위 표본에 집중할 기회가 없는 연구자에게 할당량 선택이 매력적인 것은 바로 이러한 상황입니다. 표본 크기의 감소는 대부분 금전적 비용 및 연구 시간의 감소와 결합되어 이 선택 방법의 장점을 증가시킨다는 점을 추가해야 합니다. 또한 할당량 샘플링에는 인구 구조에 대한 상당히 중요한 예비 정보가 있다는 점에 유의하십시오. 여기서 가장 큰 장점은 표본 크기가 무작위 표본 추출보다 훨씬 작다는 것입니다. 선택된 특성(대개 사회-인구학적 - 성별, 연령, 교육)은 일반 인구의 연구된 특성과 밀접하게 연관되어야 합니다. 연구 대상.
이미 지적한 바와 같이, 샘플링 방법을 사용하면 지속적인 관찰에 비해 훨씬 적은 비용, 시간 및 노력으로 일반 인구에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 샘플이 파괴된 제품의 품질을 확인할 때와 같은 경우에는 전체 인구에 대한 완전한 연구가 불가능하다는 것도 분명합니다.
그러나 동시에 인구가 완전히 "블랙박스"가 아니며 이에 대한 일부 정보가 여전히 있다는 점을 지적해야 합니다. 예를 들어 학생의 생활, 일상 생활, 재산 상태, 수입 및 지출, 의견, 관심사 등에 관한 샘플 연구를 수행해도 성별, 연령, 결혼 여부, 거주지, 학업 과정 및 기타 특성. 이 정보는 항상 샘플 조사에 사용됩니다.
일반 모집단에 대한 표본 특성의 분포에는 직접 재계산 방법과 보정 계수 방법 등 여러 가지 유형이 있습니다. 표본 특성의 재계산은 원칙적으로 신뢰 구간을 고려하여 수행되며 절대값과 상대값으로 표현될 수 있습니다.
가장 다양한 형태와 유형의 사회 경제 생활과 관련된 대부분의 통계 정보는 샘플 데이터를 기반으로 한다는 점을 여기서 강조하는 것이 매우 적절합니다. 물론 인구 조사(인구, 기업 등)를 통해 얻은 완전한 등록 데이터와 정보로 보완됩니다. 예를 들어 Rosstat에서 제공하는 모든 예산 통계(인구의 소득 및 지출)는 샘플 연구의 데이터를 기반으로 합니다. 해당 지수로 표현되는 가격, 생산량, 거래량에 대한 정보 역시 대부분 샘플 데이터를 기반으로 합니다.
통계적 가설 및 통계적 테스트. 기본 개념
통계적 검정과 통계적 가설의 개념은 표본추출과 밀접한 관련이 있습니다. 통계적 가설(다른 과학적 가설과 반대)은 무작위 표본의 데이터를 사용하여 테스트할 수 있는 모집단의 일부 속성에 대한 가정입니다. 얻은 결과는 본질적으로 확률적이라는 점을 기억해야 합니다. 결과적으로, 제시된 가설의 타당성을 확인하는 연구 결과는 최종 수용의 근거가 될 수 없으며, 반대로 제시된 가설을 잘못된 것으로 기각하기에 충분한 결과와 일치하지 않는 결과가 될 수 있습니다. 또는 거짓. 이는 얻은 결과가 제시된 가설뿐만 아니라 다른 가설과도 일치할 수 있기 때문입니다.
아래에 통계적 기준가설이 기각되는 관찰 결과와 그렇지 않은 관찰 결과에 대한 질문에 대답할 수 있는 일련의 규칙으로 이해됩니다. 즉, 통계적 기준은 높은 확률로 참(올바른) 가설을 받아들이고 거짓 가설을 기각하는 것을 보장하는 일종의 결정적 규칙이다. 통계 테스트는 단측 및 양면, 모수적 및 비모수적이며 어느 정도 강력합니다. 일부 기준은 자주 사용되며 다른 기준은 덜 자주 사용됩니다. 일부 기준은 특별한 문제를 해결하기 위한 것이며, 일부 기준은 광범위한 문제를 해결하는 데 사용될 수 있습니다. 이러한 기준은 사회학, 경제학, 심리학, 자연 과학등.
통계적 가설 검정의 몇 가지 기본 개념을 소개하겠습니다. 가설 검정은 귀무가설로 시작됩니다. N 0, 즉 연구자의 일부 가정과 경쟁적인 대안 가설 N 1, 이는 주요 내용과 모순됩니다. 예를 들어: N 0: , N 1: 또는 N 0: , N 1: (여기서 ㅏ- 일반 평균).
가설을 테스트할 때 연구자의 주요 목표는 자신이 제시한 가설을 거부하는 것입니다. R. Fisher가 쓴 것처럼, 어떤 가설을 검증하는 목적은 그것을 거부하는 것입니다. 가설 검정은 모순을 기반으로 합니다. 따라서 예를 들어 특정 표본에서 얻은 근로자의 평균 임금이 월 186 화폐 단위와 동일하다고 생각하면 전체 인구의 실제 임금과 일치하지 않으며 이러한 임금이 다음과 같다는 귀무 가설이 허용됩니다. 동일한.
경쟁 가설 N 1은 다양한 방식으로 공식화될 수 있습니다.
N 1: , N 1: , N 1: .
다음은 정해져있습니다 제1종 오류(a)는 참 가설이 기각될 확률을 나타냅니다. 분명히 이 확률은 작아야 합니다(보통 0.01에서 0.1 사이, 대부분 기본값은 0.05 또는 소위 5% 유의 수준입니다). 이러한 수준은 샘플링 방법에서 발생하며, 이에 따라 2배 또는 3배 오류는 샘플 특성의 무작위 변동이 가장 자주 확장되지 않는 한계를 나타냅니다. 제2종 오류(b)는 잘못된 가설이 채택될 확률입니다. 일반적으로 제1종 오류는 더 “위험”합니다. 통계학자가 기록한 것은 바로 이것이다. 연구 시작 시 a와 b를 동시에 기록하려면(예: a = 0.05, b = 0.1) 이를 위해 먼저 표본 크기를 계산해야 합니다.
중요 구역(또는 면적)은 기준 값의 집합입니다. N 0은 거부됩니다. 임계점 티 kr은 가설의 수용 영역과 편차 영역, 즉 임계 영역을 구분하는 지점입니다.
이미 언급했듯이 제1종 오류(a)는 올바른 가설을 기각할 확률입니다. a가 작을수록 제1종 오류를 범할 가능성이 줄어듭니다. 그러나 동시에 a가 감소하면(예: 0.05에서 0.01로) 실제로 연구자가 스스로 설정한 귀무 가설을 기각하기가 더 어렵습니다. a를 0.05 이상으로 더 줄이면 실제로는 참이든 거짓이든 모든 가설이 귀무가설의 수용 범위 내에 들어가고 둘을 구별하는 것이 불가능해지게 된다는 점을 다시 한 번 강조하겠습니다.
제2종 오류(b)는 수용될 때 발생한다. N 0이지만 실제로는 대립가설이 참입니다. N 1 . g = 1 – b 값을 기준의 거듭제곱이라고 합니다. 제2종 오류(즉, 잘못된 가설을 잘못 받아들이는 것)는 표본 크기가 증가하고 유의 수준이 증가함에 따라 감소합니다. 따라서 a와 b를 동시에 줄이는 것은 불가능합니다. 이는 표본 크기를 늘려야만 달성할 수 있습니다(항상 가능한 것은 아닙니다).
대부분의 경우 가설 검정 작업은 두 개의 표본 평균 또는 비율을 비교하는 것으로 귀결됩니다. 일반 평균(또는 점유율)을 표본 평균과 비교합니다. 경험적 분포와 이론적 분포의 비교(적합도 기준) 두 표본 분산의 비교(c 2 -기준); 두 개의 샘플 상관 계수 또는 회귀 계수와 기타 비교를 비교합니다.
귀무 가설을 수락하거나 기각하는 결정은 기준의 실제 값을 표로 작성된(이론적) 값과 비교하는 것으로 구성됩니다. 실제 값이 표에 표시된 값보다 작으면 불일치가 무작위적이고 중요하지 않으며 귀무 가설을 기각할 수 없다고 결론을 내립니다. 반대 상황(실제 값이 표에 표시된 값보다 큼)은 귀무 가설을 기각하게 됩니다.
통계 가설을 검정할 때 정규 분포 표, 분포 c 2(읽기: 카이제곱), 티-배포(학생 배포) 및 에프- 분포(피셔 분포).
소규모 표본 방법은 대규모 표본 방법에 비해 여러 가지 장점이 있습니다. 주요 장점은 첫째, 계산 작업량이 감소하고 둘째, 대규모 표본 방법으로는 수행할 수 없는 시간 경과에 따른 프로세스 정확도 변화의 역학을 모니터링할 수 있다는 것입니다. 대규모 표본 방법은 표본 추출 기간 동안 공정의 정확성과 안정성에 대한 아이디어만 제공할 수 있으며, 이는 표본을 채취한 후에도 공정 조건이 변하지 않으면 향후에도 그대로 유지될 수 있습니다. 실제로 이러한 생산 조건의 불변성은 미리 예측할 수 없습니다. 예를 들어, 바 기계에서 작업할 때 교대 중에 재료가 여러 번 교체되고(바 변경) 마모로 인해 도구가 변경되고 기계가 조정되는 등 이전에 얻은 값을 크게 조정할 수 있습니다. 분포 매개변수. 후자가 특정 간격으로 교대 전체에 걸쳐 정기적으로 채취되는 경우 작은 샘플 방법을 사용하면 연구 기간 동안 프로세스 상태에 대한 완전한 그림을 얻고 안정성 정도를 결정하며 이유를 식별할 수 있습니다. 시간이 지남에 따라 프로세스의 안정성이 충분하지 않은 경우.
작은 표본을 이용한 통계분석은 다음과 같이 수행된다. 샘플 N = 5-10개 특정 고정 간격(예: 15~30분 후)으로 촬영됩니다. 샘플링 기간이 설정됩니다. 경험적으로기계의 생산성, 샘플링 양, 기술 프로세스의 안정성 정도에 따라 달라집니다. 각 샘플에 대해 계산하고 에스. 다음으로, 인접한 두 표본 각각에 대해 다음을 사용하여 표본 분산의 동질성 가설을 테스트해야 합니다. 에프 - 피셔 기준.
가설이 확인되면 이는 분산의 안정성을 나타내거나 비교 대상 샘플이 동일한 모집단에서 추출되었음을 나타냅니다. 두 표본 분산의 동질성 가설을 확인할 때 두 표본 평균의 동질성 가설을 검정해야 합니다. 티 -학생의 시험.
인접한 두 표본 평균이 동일하다는 가설이 확인된다는 것은 이 표본을 채취할 때 장비 튜닝의 중심이 변하지 않고 이전 표본을 채취할 때와 동일하게 유지된다는 것을 의미합니다. 프로세스가 안정적인 상태입니다. 두 평균 샘플의 동일성 가설이 확인되지 않으면 이는 이 샘플을 채취할 당시의 기계 튜닝 중심이 이동했음을 나타냅니다. 특정 간격으로 샘플을 채취하므로 튜닝 중심의 이동이나 분산 영역의 변화가 감지되면 공정 안정성 위반이 발생한 이후의 시간을 판단할 수 있습니다.
공정 안정성 위반 사실을 발견하면 이 현상의 원인을 찾아야 할 영역을 확립하는 것이 가능합니다. 분산의 불안정성을 나타내는 샘플 분산의 이질성은 이에 대한 이유를 기계 또는 처리되는 재료의 기계적 특성에서 찾아야 함을 나타냅니다. 샘플 평균의 이질성은 튜닝 중심의 이동을 나타냅니다(기기에서 이유를 찾아보세요).
따라서 특정 시간 간격으로 교대하는 동안 기계의 현재 출력에서 작은 샘플을 채취하여 F 및 t-기준을 사용하여 불일치를 비교 및 평가하여 샘플의 평균 및 분산을 계산합니다. 과정 장애와 심지어 이러한 장애의 원인까지.
오전. Nosovsky1*, A.E. Pikhlak2, V.A. Logachev2, I.I. 추르시노바3, N.A. 의료 연구에서 소규모 샘플의 Mutyeva2 통계
"상태 과학 센터 러시아 연방- 의학 및 생물학적 문제 연구소 러시아 아카데미과학, 123007, 모스크바, 러시아; 2GBOU VPO "A.I. Evdokimov의 이름을 딴 모스크바 주립 의과 치과 대학" 러시아 보건부, 127473, 모스크바, 러시아; 3ANO "관절병원 NPO SKAL", 109044, 모스크바, 러시아
*Andrey Maksimovich Nosovsky, 이메일: [이메일 보호됨]
◆ 통계적 기준의 특성은 실험적으로 밝혀졌다. 그 결과 W. Ansari-Bradly와 K. Klotz의 통계값이 계산되었다. 각 초기 통계량에 대해 정규근사(Z-statistic)와 두 표본의 값의 산포에 차이가 없다는 귀무가설의 유의수준 p를 계산한다. 만약 p>
제안된 수학적 통계 방법을 사용하면 차이가 충분히 큰 경우 소규모 관찰 그룹에서도 얻은 결과의 차이에 대한 신뢰성을 확인할 수 있습니다. 그림은 골관절병리 환자의 임상 사례를 통해 제공되었습니다. 핵심 단어: 작은 표본, 검정력, 고관절증, 통풍성 다발성 관절염
오전. Nosovskiy1, A.E.Pikhlak2, V.A. Logachev2, I.I. Chursinova3, N.AMuteva2 의학 연구의 소규모 데이터 통계 분석
1러시아 의학 아카데미의 국립 연구 센터-의료 생물학 문제 연구소, 123007 러시아 모스크바; 2모스크바 주립 의과 치과 대학은 A.I.의 이름을 따서 명명되었습니다. Evdokimov, 127473 모스크바, 러시아; 3과학실무협회 SKAL의 관절병원, 109044 모스크바, 러시아
◆ 통계적 기준의 특성은 실험적으로 밝혀졌습니다. 그 결과 W. An-sari-Bradly와 K. Klotz의 통계값을 계산하였다. 각 통계 소스에 대해 정규 근사(Z-statistics)와 두 표본 값의 확산에 차이가 없다는 귀무 가설의 p 유의 수준을 계산했습니다. Atp>0.05 귀무가설이 채택될 수 있습니다. 제안된 수학적 통계 방법은 차이가 충분히 큰 경우 소규모 관찰 그룹에서도 결과 차이의 정확성을 확인할 수 있습니다.
우리는 관절 및 뼈 병리학 환자의 의학적 사례를 사용했습니다.
핵심어: 소규모 데이터 분석, 기준의 힘, 고관절증, 통풍성 관절염
증거 기반 의학의 원칙은 연구 결과의 비교 평가의 신뢰성에 대한 높은 요구를 제기합니다. 대부분의 의사가 기술에 대해 매우 피상적으로 이해하고 있기 때문에 이는 더욱 중요해집니다. 통계처리, 백분율 계산 이상으로 그의 출판물을 제한합니다. 최선의 시나리오/-학생의 t-테스트.
그러나 어떤 경우에는 이것이 연구 결과에 대한 완전한 분석을 수행하기에 충분하지 않습니다. 관측 횟수가 수천 또는 심지어 수백 개인 경우 일반적으로 식별된 패턴의 신뢰성에 대해서는 의심의 여지가 없습니다. 그리고 그것이 수십이라면? 사례가 몇 개밖에 없다면 어떻게 될까요? 실제로 의학에는 매우 희귀한 질병이 있으며, 관찰 횟수가 매우 적을 때 외과 의사는 때때로 독특한 수술을 수행합니다. 하나 또는 다른 패턴의 의심할 여지 없는 존재를 주장할 수 있는 필요하고 충분한 양의 연구 라인은 어디에 있습니까?
이 질문은 기존 연구를 평가할 때뿐만 아니라 과학 작업을 계획할 때에도 가장 중요합니다. 20명의 환자를 모니터링하는 것으로 충분합니까, 아니면 최소 40명이 필요합니까? 아니면 10개 케이스면 충분할까요? 도출된 결론의 신뢰성뿐만 아니라 연구 시기, 비용, 인력, 장비 등의 필요성도 이 질문에 대한 시의적절하고 정확한 답변에 달려 있습니다.
현대 통계는 적은 수의 관찰로도 결과의 신뢰성을 결정하는 데 사용할 수 있는 많은 기술을 알고 있습니다. 이는 "작은 표본" 방법입니다. 소규모 표본 통계는 20세기 첫 10년에 주립 대학의 연구 결과가 출판되면서 시작되었다는 것이 일반적으로 받아들여지고 있습니다.
여기서 그는 "Student"(학생)라는 가명으로 소위 /-분포를 가정했습니다. 정규 분포 이론과 달리 소표본 분포 이론은 모집단의 수학적 기대값과 분산에 대한 사전 지식이나 정확한 추정이 필요하지 않으며 모수에 대한 가정도 필요하지 않습니다. /-분포에서 표본 평균의 편차 중 하나는 항상 고정되어 있습니다. 왜냐하면 모든 편차의 합은 0과 같아야 하기 때문입니다. 이는 모집단 분산의 편향되지 않은 추정치로서 표본 분산을 계산할 때 제곱합에 영향을 미치고 자유도 df가 각 표본에 대해 측정값 수에서 1을 뺀 값과 같다는 사실로 이어집니다. 따라서 귀무가설을 검정하기 위한 /-통계를 계산하는 공식 및 절차에서는 df=w-1입니다. 영국의 대표적인 통계학자인 R.A.의 고전 작품도 알려져 있습니다. 분산 분석에 따른 Fisher(이 이름을 따서 ^-분포라는 이름이 붙음) - 통계적 방법, 작은 샘플 분석에 명시적으로 초점을 맞췄습니다. 작은 표본에 합리적으로 적용할 수 있는 수많은 통계 중에서 다음을 언급할 수 있습니다. Fisher의 정확한 확률 검정; 2요인 비모수적(순위) Friedman 분산 분석; 순위 상관 계수/Kendall; Kendall의 일치성 계수; 비모수적(순위) 일원 분산 분석을 위한 Kruskal-Wallace I-검정; ^/-Mann-Whitney 테스트; 중앙 기준; 서명 기준; Spearman의 순위 상관 계수; /-윌콕슨 테스트.
표본이 작다고 간주되려면 표본의 크기가 얼마나 커야 하는지에 대한 질문에 대한 명확한 대답은 없습니다. 그러나 작은 표본과 큰 표본 사이의 기존 경계는 df=30으로 간주됩니다. 기본
다소 임의적인 이 솔루션의 경우 /-분포(작은 표본의 경우)를 정규 분포(r)와 비교한 결과가 사용됩니다. /와 r의 값의 불일치는 감소할수록 증가하고 증가할수록 감소하는 경향이 있습니다. 실제로 / = r인 제한 사례 훨씬 전부터 1이 b에 가깝게 접근하기 시작합니다. / 테이블 값을 간단히 시각적으로 살펴보면 ^=30 이상부터 이 근사치가 상당히 빨라지는 것을 확인할 수 있습니다. /(^=30에서) 및 r의 비교 값은 각각 동일합니다: p=0.05의 경우 2.04 및 1.96; p=0.01인 경우 2.75 및 2.58; p=0.001인 경우 3.65 및 3.29.
수학적 통계에서는 신뢰 계수 /가 사용되며 함수 값은 다양한 값으로 표로 작성되며 해당 신뢰 수준이 얻어집니다 (표 1).
신뢰 계수를 사용하면 AXsr=1tsr 공식을 사용하여 계산된 최대 샘플링 오류 AX를 계산할 수 있습니다. 즉, 한계 샘플링 오류는 평균 샘플링 오류 수의 1/2배와 같습니다.
따라서 최대 샘플링 오류의 값은 특정 확률로 설정될 수 있습니다. 표 1의 마지막 열에서 볼 수 있듯이 평균 샘플링 오류의 3배 이상인 오류, 즉 AXc = 3cc가 발생할 확률은 0.003(1-0.997)으로 매우 작습니다. 이러한 예상치 못한 사건은 사실상 불가능한 것으로 간주되므로 AX = 3cs 값은 가능한 샘플링 오류 p3]의 한계로 간주될 수 있습니다.
추정된 모수의 미지수 값이 일정 확률로 포함될 구간을 신뢰도라 하고, 확률 P를 신뢰확률이라 한다. 대부분의 경우 신뢰 확률은 0.95 또는 0.99로 간주되며 신뢰 계수 1은 각각 1.96 및 2.58과 같습니다.
이는 신뢰 구간에 주어진 확률의 일반 평균이 포함되어 있음을 의미합니다.
최대 샘플링 오류가 클수록 신뢰 구간이 커지므로 추정의 정확도가 낮아집니다.
이 접근법의 적용은 모스크바에 있는 NPO "SKAL"(연구 및 생산 협회 "전문 코스 외래 환자 치료")의 관절 병원에서 치료를 받은 고관절증 환자 20명의 관찰을 통해 설명할 수 있습니다.
통계적 가설을 테스트할 때 오류가 발생할 수 있습니다. 오류에는 두 가지 유형이 있습니다. 제1종 오류는 실제로는 귀무가설이 참인데 귀무가설을 기각하는 경우 발생합니다. 제2종 오류는 실제로는 귀무가설이 거짓인데 귀무가설이 채택되는 경우 발생합니다.
제1종 오류가 발생할 확률을 유의 수준이라고 하며 a로 표시합니다. 따라서 а=Р(Ш\ | Н0), 즉 유의 수준 a는 귀무 가설 H0가 참이라는 가정 하에 계산된 사건의 확률(Teα)입니다.
유의 수준과 검정 검정력은 귀무 가설이 기각될 확률을 결정하는 함수인 검정 검정력 함수 개념에 결합됩니다. 검정력 함수는 임계 영역 Ψ와 관측치의 실제 분포에 따라 달라집니다. 파라메트릭에서
1 번 테이블
신뢰도 t 및 해당 신뢰 수준
t 1.00 1.96 2.00 2.58 3.00
F(0 0.683 0.950 0.954 0.990 0.997
가설 검정 문제에서는 관찰 결과의 분포를 매개변수 0으로 지정합니다. 이 경우 검정력 함수는 M(∅,0)으로 표시되며 연구 0에서 임계 영역 ∅ 및 매개변수의 실제 값에 따라 달라집니다. H0: 0=00, H1: 0=01이면 M(\.00) = a, M(\.01) = 1-b, 여기서 a는 첫 번째 유형의 오류 확률, b는 두 번째 유형의 오류가 발생할 확률. 그러면 검정의 검정력은 대립 가설이 참일 때 귀무 가설이 기각될 확률입니다.
1차원 매개변수 0의 경우 전력 함수 M(\,0)은 일반적으로 0=00에서 a와 동일한 최소값에 도달하고, 00에서 거리가 멀어질수록 단조롭게 증가하고 |에서 1에 접근합니다. 0 - 00 | ^ 네.
20명의 고관절증 환자의 치료를 분석하는 데 사용할 수 있는 통계적 기준(그림 1)의 필요한 검정력을 추정해 보겠습니다.
보시다시피 극히 드물게 표준편차가 3.0으로 높은 신뢰도를 지닌 결과를 얻을 수 있습니다 /><0,05, если разность между средними будет превышать 8. Но уже при среднеквадратическом отклонении равном 1,5, эта разность должна превышать всего 4.
p의 유의 수준을 결정하기 위해 일반적으로 해당 통계의 근사 정규 2-근사가 사용됩니다. 이 근사치는 충분히 큰 표본 크기에 대한 좋은 근사치를 제공합니다. 작은 표본 크기와 0.05에 가까운 p 값을 사용하여 비교 귀무 가설의 결론을 테스트했습니다.
검정력 곡선 알파=0.05, 시그마=
검정력 곡선 알파=0.05, 시그마=1,
진정한 의미의 차이
진정한 의미의 차이
쌀. 1. 실험적으로 발견된 통계적 특성
기준.
표 2.
관찰 그룹
그룹 1 그룹 2 그룹 3 총 관측치
니메술리드, 비타민, 연골보호제, 물리치료 + + + 20
물리치료 --- + + 15
마사지... --- + 8
움직일 때 통증
안정 시 통증 43±13 27±17
계산된 통계값과 통계 참고서의 해당 분포표에 있는 임계값 사이의 불일치.
Shift(위치) 차이 기준. 우리는 이러한 기준을 사용하여 다음 가설을 테스트했습니다.
◆ 연구된 두 표본의 상대적 위치(중앙값)에는 차이가 없습니다.
◆ 서로에 대한 샘플의 이동은 특정 값 d와 같습니다.
◆ 분석된 한 샘플의 중앙값은 d 값과 같습니다.
b)의 경우, 먼저 두 번째 샘플의 모든 값을 d 값만큼 줄여야 했습니다: yi=yi-d.
c)의 경우 모든 요소가 d와 동일한 보조 쌍 샘플을 준비해야 합니다.
결과적으로 우리는 다음과 같이 계산했습니다.
◆ W. Wilcoxon 통계 값 - 결합된 순위 샘플에 있는 샘플 중 하나의 요소 순위 Rxi의 합입니다.
♦ "임의 레이블" 방법 사용을 기반으로 한 Van der Varden의 V 통계 값.
각 통계량에 대해 정규 근사(Z-통계)와 서로 상대적인 이동 차이가 없다는 귀무 가설의 유의 수준 P를 계산했습니다. p>0.05이면 귀무가설이 채택될 수 있습니다.
일부 패키지와 작성자는 Mann-Whitney 테스트와 Wald-Wolfowitz 테스트 사용을 제안합니다. 그러나 Mann-Whitney 기준이 동등하다는 것은 오랫동안 입증되었습니다. 크리티컬과 동일한 능력을 가지고 있습니다.
표 3.
평균 통증 강도 점수(VAS 점수)
그룹 1(n=5) 그룹 2(n=7) 그룹 3(n=8)
지표 관찰 시작 관찰 종료 통증 감소 관찰 시작 관찰 종료 통증 감소 관찰 시작 관찰 종료 통증 감소
표 4.
환자 B의 실험실 검사 데이터.
번호 지표 규범 두 번째 결과의 결과 마지막 결과
그 사람이 방문한다
헤마토크릿, % 40-48 38.7
림프구, % 19-37 42
ESR, mm/시간 2-10 39
요산, µmol/l 200-416 504
크레아티닌, µmol/l 44-106 238
부갑상선 호르몬, pg/ml 7-53 76.8
피브리노겐, g/l 1.69-3.92 5.7
소변 내 단백질, g/l 0-0.1 1
43,5 39 10 489 202 101 3
끝에서 두 번째
마지막 것
쌀. 2. 두 번째 및 마지막 검사에서 환자 B의 임상 지표의 p-값.
Wilcoxon 테스트와 Wald-Wolfowitz 테스트는 상대적으로 민감도가 낮습니다.
규모 차이에 대한 기준(산란) 우리는 이러한 기준을 사용하여 다음 가설을 테스트했습니다.
◆ 연구된 표본의 척도(값의 확산 또는 분산)에 차이가 없다는 가설;
◆ 표본 척도의 비율이 주어진 값 g와 같다는 가설.
후자의 경우 먼저 두 번째 샘플 y1 = (y1-m0)^의 값을 변경해야 합니다. 여기서 m0은 연구 중인 두 스펙트럼의 공통 중앙값입니다.
표본을 추출한 모집단의 중앙값이 값이 동일하지 않지만
예를 들어 샘플 중 하나를 먼저 샘플 yi=yi-m2+mr로 수정하여 적용합니다.
중앙값이 동일하지 않고 알 수 없는 경우 이동 차이가 없다는 가설을 확인하거나 해당 방법을 사용하여 임의의 대안을 검색해야 합니다.
그 결과 Wilcoxon 및 Van der Waerden 통계의 개념적 유사체인 W. Ansari-Bradly 및 K. Klotz 통계의 값이 계산되었습니다.
각 초기 통계량에 대해 정규근사(Z-statistic)와 두 표본의 값의 산포에 차이가 없다는 귀무가설의 유의수준 P를 계산한다. />>0.05이면 귀무가설이 채택될 수 있습니다.
따라서 위에서 제안한 수학적 통계 방법을 사용하면 차이의 신뢰성을 확인할 수 있습니다.
차이가 충분히 크다면 소규모 관찰 그룹에서도 결과를 얻을 수 있습니다.
골관절병리 환자의 두 가지 임상 사례가 예시로 사용될 수 있습니다.
임상예 1. 고관절증 환자 20명에게 니메술리드, 연골보호제, 근육 주사비타민과 물리치료. 또한 이 중 15명은 물리치료를 받았고, 6명은 마사지를 받았다. 따라서 관찰 횟수가 적은(5~8) 3개의 환자 그룹이 형성되었습니다(표 2).
다른 변수들 중에서, 치료 시작 전과 과정 완료 후(21±2일), 운동 중 및 휴식 중 통증의 강도를 100점 시각 상사 척도(VAS)로 평가했습니다.
W. Ansari-Bradly와 K. Klotz는 다음과 같은 통계 방법을 사용했습니다(표 3).
얻은 데이터(표 3)에 따르면, 관찰 종료 시 그룹 1의 휴식 시 통증 감소는 유의미하지 않은 것으로 나타났습니다. 그러나 연구된 다른 모든 매개변수에 대해서는 신뢰할 수 있는 값이 밝혀졌습니다. 고려 중인 임상 사례는 작은 표본 크기에서도 신뢰할 수 있는 결과를 얻을 수 있는 가능성을 보여줍니다.
임상 사례 2번은 만성 통풍성 다발성 관절염, 만성 신부전 증상이 있는 통풍성 신장병을 앓고 있는 환자 B의 실험실 데이터 역학을 조사한 것으로, 이는 기준값을 벗어났습니다(표 4).
분석 결과가 통계적으로 임상 표준의 경계를 크게 초과할 확률을 계산해 보겠습니다. 이를 위해 통계 패키지 “STATISTICA 6.0”의 확률 계산기를 사용합니다. 이 경우 p-값은 제1종 오류, 즉 실제로는 참인 올바른 가설을 기각할 확률을 측정합니다. 대부분의 경우 두 번째 방문 결과는 통계적으로 표준과 크게 다릅니다(그림 2). 이 경우 유의성의 역치 수준을 0.05로 취하기 때문에 마지막 방문에서 적혈구 용적률, 림프구, ESR, 피브리노겐의 결과가 통계적으로 유의하게 향상되었습니다. 따라서 수학적 통계학적 관점에서 볼 때 소변 내 요산, 크레아티닌, 부갑상선 호르몬 및 단백질의 임상 지표는 개선되지 않았습니다.
따라서 연구를 계획할 때 표본의 변동성과 지정된 유의 수준에 따라 결정되는 통계 검정의 힘을 고려하는 것이 중요합니다.
제안된 접근법은 맞춤형 의학 분야의 전문가에게 흥미로울 수 있습니다.
진행 중인 치료 및 진단 조치를 모니터링하면서 적용된 치료 방법 및 약물의 역학 분석.
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