Materialpunkt

Materialpunkt(partikel) - den enklaste fysiska modellen inom mekanik - en idealkropp vars dimensioner är lika med noll, man kan också betrakta kroppens dimensioner som oändligt små jämfört med andra dimensioner eller avstånd inom antagandena för det problem som studeras. Positionen för en materialpunkt i rymden definieras som positionen för en geometrisk punkt.

I praktiken förstås en materiell punkt som en kropp med massa, vars storlek och form kan försummas när man löser detta problem.

Med en rätlinjig rörelse av en kropp räcker det med en koordinataxel för att bestämma dess position.

Egenheter

Massan, positionen och hastigheten för en materialpunkt vid ett visst ögonblick avgör helt dess beteende och fysikaliska egenskaper.

Konsekvenser

Mekanisk energi kan lagras av en materiell punkt endast i form av den kinetiska energin för dess rörelse i rymden, och (eller) den potentiella energin för interaktion med fältet. Detta betyder automatiskt att en materialpunkt inte kan deformeras (endast en absolut stel kropp kan kallas en materialpunkt) och rotera runt egen axel och ändrar riktningen för denna axel i rymden. Samtidigt används modellen för kroppsrörelse som beskrivs av en materialpunkt, som består i att ändra dess avstånd från någon momentan rotationscentrum och två Euler-vinklar som anger riktningen för linjen som förbinder denna punkt med centrum, extremt flitigt. inom många sektioner av mekanik.

Restriktioner

Begränsningarna för tillämpningen av konceptet med en materialpunkt kan ses från detta exempel: i en förtärnad gas vid hög temperatur är storleken på varje molekyl mycket liten jämfört med det typiska avståndet mellan molekyler. Det verkar som om de kan försummas och molekylen kan betraktas som en materiell punkt. Detta är dock inte alltid fallet: vibrationer och rotationer av en molekyl är en viktig reservoar för molekylens "inre energi", vars "kapacitet" bestäms av molekylens storlek, dess struktur och kemiska egenskaper. I en bra approximation kan en monoatomisk molekyl (inerta gaser, metallångor etc.) ibland betraktas som en materialpunkt, men även i sådana molekyler vid en tillräckligt hög temperatur observeras excitation av elektronskal på grund av molekylära kollisioner, följt av genom utsläpp.

Anteckningar

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se vad "Material point" är i andra ordböcker:

En punkt som har massa. Inom mekaniken används begreppet materialpunkt i de fall då en kropps dimensioner och form inte spelar någon roll för att studera dess rörelse, utan endast massan är viktig. Nästan vilken kropp som helst kan betraktas som en materiell punkt, om ... ... Stor encyklopedisk ordbok

Ett begrepp som introducerats inom mekaniken för att beteckna ett objekt, som anses vara en punkt med massa. Positionen för M. t. till höger definieras som positionen för geom. poäng, vilket avsevärt förenklar lösningen av problem inom mekanik. I praktiken kan kroppen anses ... ... Fysisk uppslagsverk

materiell punkt- En punkt med massa. [Samling av rekommenderade termer. Nummer 102. Teoretisk mekanik. Sovjetunionens vetenskapsakademi. Kommittén för vetenskaplig och teknisk terminologi. 1984] Teman teoretisk mekanik EN partikel DE material Punkt FR punktmateriel … Teknisk översättarhandbok

Modern Encyclopedia

Inom mekaniken: en oändlig kropp. Ordbok med främmande ord som ingår i det ryska språket. Chudinov A.N., 1910 ... Ordbok med främmande ord i ryska språket

Materialpunkt- MATERIAL POINT, ett koncept som introducerats inom mekaniken för att beteckna en kropp vars storlek och form kan försummas. Positionen för en materialpunkt i rymden definieras som positionen för en geometrisk punkt. Kroppen kan betraktas som material ... ... Illustrerad encyklopedisk ordbok

Ett koncept som introducerats inom mekaniken för ett objekt av oändligt liten storlek som har massa. Positionen för en materialpunkt i rymden definieras som positionen för en geometrisk punkt, vilket förenklar lösningen av problem inom mekanik. Nästan vilken kropp som helst kan ... ... encyklopedisk ordbok

Materialpunkt- geometrisk punkt med massa; materialpunkt är en abstrakt bild av en materiell kropp som har massa och inte har dimensioner ... Början av modern naturvetenskap

materiell punkt- materialusis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. masspunkt; material punkt vok. Massenpunkt, m; materieller Punkt, m rus. materialpunkt, f; punktmassa, fpranc. punktmassa, m; point matériel, m … Fizikos terminų žodynas

materiell punkt- En punkt med massa ... Yrkeshögskoleterminologiskt förklarande ordbok

Böcker

• En uppsättning bord. Fysik. Årskurs 9 (20 bord), . Pedagogiskt album med 20 ark. Materialpunkt. rörliga kroppskoordinater. Acceleration. Newtons lagar. Lag allvar. Rätlinjig och krökt rörelse. Kroppsrörelse längs...

INTRODUKTION

Det didaktiska materialet är avsett för studenter av alla specialiteter på korrespondensavdelningen för GUTsMiZ, som studerar kursen i mekanik enligt programmet för ingenjörs- och tekniska specialiteter.

Det didaktiska materialet innehåller en sammanfattning av teorin om ämnet som studeras, anpassad till deltidsstudenternas utbildningsnivå, exempel på att lösa typiska problem, frågor och uppgifter liknande dem som erbjuds studenter vid tentamen samt referensmaterial.

Syftet med sådant material är att hjälpa en deltidsstudent att självständigt behärska den kinematiska beskrivningen av den progressiva och rotationsrörelser använda analogimetoden; lära sig lösa numeriska och kvalitativa problem, förstå frågor relaterade till dimensionen av fysiska storheter.

Särskild uppmärksamhet ägnas åt att lösa kvalitativa problem, som en av metoderna för en djupare och mer medveten assimilering av fysikens grunder, vilket är nödvändigt i studiet av speciella discipliner. De hjälper till att förstå innebörden av förekommande naturfenomen, att förstå essensen av fysiska lagar och att klargöra omfattningen av deras tillämpning.

Didaktiskt material kan vara användbart för heltidsstuderande.

KINEMATIK

Den del av fysiken som studerar mekanisk rörelse kallas mekanik . Under mekanisk rörelse förstå förändringen över tid i den relativa positionen av kroppar eller deras delar.

Kinematik - den första delen av mekaniken, hon studerar kropparnas rörelselagar, inte intresserad av orsakerna som orsakar denna rörelse.

1. Materialpunkt. Referenssystem. Bana.

Väg. Förskjutningsvektor

Den enklaste modellen för kinematik är materiell punkt . Detta är en kropp vars dimensioner i detta problem kan försummas. Vilken kropp som helst kan representeras som en samling materiella punkter.

För att matematiskt beskriva en kropps rörelse är det nödvändigt att bestämma referensramen. Referenssystem (CO) består av referensorgan och relaterade koordinatsystem Och timmar. Om det inte finns några speciella instruktioner i problemets tillstånd anses det att koordinatsystemet är associerat med jordens yta. Det vanligaste koordinatsystemet är kartesiska systemet.

Låt det krävas att beskriva rörelsen av en materialpunkt i det kartesiska koordinatsystemet XYZ(Figur 1). Någon gång i tiden t 1 poäng är på plats A. Positionen för en punkt i rymden kan karakteriseras av en radie - en vektor r 1 ritad från ursprunget till positionen A och koordinater x 1 , y 1 , z 1 . Här och nedan anges vektorkvantiteter med fet kursiv stil. När t 2 = t 1 + ∆ t materialpunkten flyttas till positionen I med radievektor r 2 och koordinater x 2 , y 2 , z 2 .

Rörelsebana En kurva i rymden längs vilken en kropp rör sig kallas. Beroende på typen av bana särskiljs rätlinjig, krökt rörelse och cirkulär rörelse.

Stiglängd (eller väg ) - sektionslängd AB, mätt längs rörelsebanan, betecknas med Δs (eller s). En bana i International System of Units (SI) mäts i meter (m).

Förskjutningsvektor materiell punkt Δ r är skillnaden mellan vektorer r 2 Och r 1, dvs.

Δ r = r 2 - r 1.

Modulen för denna vektor, som kallas förskjutning, är det kortaste avståndet mellan positioner A Och I(första och sista) rörlig punkt. Uppenbarligen är Δs ≥ Δ r, och jämlikheten gäller för rätlinjig rörelse.

När en materialpunkt rör sig ändras värdet på den färdade vägen, radievektorn och dess koordinater med tiden. Kinematiska rörelseekvationer (ytterligare rörelseekvationer) kallas deras beroende av tid, dvs. formens ekvationer

s=s( t), r= r (t), x=X(t), y=på(t), z=z(t).

Om en sådan ekvation är känd för en rörlig kropp, är det när som helst möjligt att hitta hastigheten på dess rörelse, acceleration etc., vilket vi kommer att se nedan.

Varje rörelse av kroppen kan representeras som en uppsättning progressiv Och roterande rörelser.

2. Kinematik för translationell rörelse

Översättning kallas en sådan rörelse där vilken rät linje som helst, stelt förbunden med en rörlig kropp, förblir parallell med sig själv .

Fart kännetecknar rörelsehastigheten och rörelseriktningen.

medelhastighet rörelse i tidsintervallet Δ t kallas kvantiteten

(1)

där - s är det segment av banan som kroppen färdats i tid för tiden  t.

momentan hastighet rörelser (hastighet vid en given tidpunkt) kallas värdet, vars modul bestäms av den första derivatan av vägen med avseende på tid

(2)

Hastighet är en vektorkvantitet. Den momentana hastighetsvektorn är alltid riktad längs tangent till rörelsebanan (fig. 2). Enheten för hastighetsmätning är m/s.

Värdet på hastigheten beror på valet av referenssystem. Om en person sitter i en tågvagn rör han sig tillsammans med tåget i förhållande till den CO som är associerad med marken, men är i vila i förhållande till den CO som är associerad med vagnen. Om en person går längs bilen med en hastighet , så beror hans hastighet i förhållande till CO "mark"  s på rörelseriktningen. Längs tågets rörelse  z \u003d  tåg +  , mot   z \u003d  tåg - .

Projektioner av hastighetsvektorn på koordinataxlarna υ X ,υ y ,υ z definieras som den första derivatan av motsvarande koordinater med avseende på tid (fig. 2):

Om hastighetsprojektionerna på koordinataxlarna är kända, kan hastighetsmodulen bestämmas med hjälp av Pythagoras sats:

(3)

Enhetlig kallas rörelse med konstant hastighet (υ = const). Om detta inte ändrar riktningen för hastighetsvektorn v, då blir rörelsen enhetlig rätlinjig.

Acceleration - en fysikalisk storhet som kännetecknar förändringshastigheten i storlek och riktning Genomsnittlig acceleration definierad som

(4)

där Δυ är förändringen i hastighet över tiden Δ t.

Vektor momentan acceleration definieras som derivatan av hastighetsvektorn v efter tid:

(5)

Eftersom hastigheten under kurvlinjär rörelse kan ändras både i storlek och riktning, är det vanligt att bryta upp accelerationsvektorn i två inbördes vinkelrät beståndsdelar

A = A τ + A n. (6)

tangentiell (eller tangentiell) acceleration A τ kännetecknar förändringshastigheten i storlek, dess modul

.(7)

Tangentiell acceleration riktas tangentiellt till rörelsebanan längs hastigheten under accelererad rörelse och mot hastigheten under långsam rörelse (fig. 3).

Vanligt (centripetal) acceleration A n kännetecknar hastighetsändringen i riktningen, dess modul

(8)

Var R- banans krökningsradie.

Vektorn för normal acceleration är riktad mot cirkelns centrum, som kan dras tangent till en given punkt i banan; den är alltid vinkelrät mot den tangentiella accelerationsvektorn (fig. 3).

Den totala accelerationsmodulen bestäms av Pythagoras sats

. (9)

Riktning för fullaccelerationsvektorn A bestäms av vektorsumman av vektorerna för normala och tangentiella accelerationer (Fig. 3)

ekvivariabel kallas rörelse från permanent acceleration . Om accelerationen är positiv så är den det jämnt accelererad rörelse om det är negativt, lika långsamt .

I en rak linje Aם =0 och A = Aτ . Om Aם =0 och Aτ = 0, kroppen rör sig rak och jämn; på Aם =0 och Aτ = konstant rörelse rätlinjig lika variabel.

På enhetlig rörelse den tillryggalagda sträckan beräknas med formeln:

d s= d t→ s= ∫d t= ∫d t=  t+ s 0 , (10)

Var s 0 - initial sökväg för t = 0. Den sista formeln måste komma ihåg.

Grafiska beroenden υ (t) Och s(t) visas i fig. 4.

För enhetlig rörelse  = ∫ A d t = A∫d t, därav

= At +  0 , (11)

där  0 - initial hastighet vid t=0.

Distans rest s= ∫d t = ∫(At +  0)d t. Att lösa denna integral får vi

s = At 2/2 +  0 t + s 0 , (12)

Var s 0 - initial sökväg (för t= 0). Formler (11), (12) rekommenderas att komma ihåg.

Grafiska beroenden A(t), υ (t) Och s(t) visas i fig. 5.

Till jämnt variabel rörelse med fritt fallacceleration g= 9,81 m/s 2 gäller fri rörelse kroppar i ett vertikalt plan: kroppar faller ner från g›0, när du rör dig uppåt, accelerationen g‹ 0. Rörelsehastigheten och den tillryggalagda sträckan ändras i detta fall enligt (11):

 =  0 + gt; (13)

h = gt 2/2 +  0 t +h 0 . (14)

Betrakta rörelsen av en kropp som kastas i vinkel mot horisonten (kula, sten, kanonskal, ...). Denna komplexa rörelse består av två enkla: horisontellt längs axeln ÅH och vertikalt längs axeln OU(Fig. 6). Längs den horisontella axeln, i frånvaro av miljömotstånd, är rörelsen enhetlig; längs den vertikala axeln - lika variabel: likformigt saktat ner till den maximala uppstigningspunkten och likformigt accelererat efter den. Rörelsens bana har formen av en parabel. Låt  0 vara starthastigheten för en kropp som kastas i en vinkel α mot horisonten från en punkt A(ursprung). Dess komponenter längs de valda axlarna:

 0x =  x =  0 cos α = konst; (15)

 0у =  0 sinα. (16)

Enligt formel (13), för vårt exempel, vid vilken punkt som helst av banan till punkten MED

 y =  0y - g t=  0 sinα. - g t ;

 x =  0x =  0 cos α = konst.

På banans högsta punkt, punkten MED, den vertikala komponenten av hastigheten  y \u003d 0. Härifrån kan du hitta tidpunkten för rörelsen till punkt C:

 y =  0y - g t=  0 sinα. - g t = 0 → t =  0 sinα/ g. (17)

Genom att veta den här tiden är det möjligt att bestämma den maximala höjden för kroppslyftet genom (14):

h max =  0y t- gt 2 /2= 0 sinα  0 sinα/ g– g( 0 sinα /g) 2 /2 = ( 0 sinα) 2 /(2 g) (18)

Eftersom rörelsebanan är symmetrisk, är den totala rörelsetiden till slutpunkten I lika

t 1 =2 t= 2 0 sinα / g. (19)

Räckvidd för flygning AB med hänsyn till (15) och (19) bestäms enligt följande:

AB=  x t 1 =  0 cosα 2 0 sinα/ g= 2 0 2 cosα sinα/ g. (20)

Den totala accelerationen för en rörlig kropp vid någon punkt i banan är lika med accelerationen för fritt fall g; den kan delas upp till normal och tangentiell, som visas i Fig.3.

En materialpunkt är en makroskopisk kropp vars egenskaper (massa, rotation, form etc.) kan försummas om det finns behov av att beskriva dess rörelse. Du kommer att lära dig om vad en väsentlig punkt är från den här artikeln.

Om vi ​​talar om huruvida denna kropp kan betraktas som en sådan punkt, så bestäms allt här inte av kroppens storlek, utan av villkoren i problemet. Som ett exempel är vår planets radie en storleksordning mindre än avståndet mellan solen och jorden, och omloppsrörelsen kan beskrivas precis som rörelsen av en materiell punkt, som har en massa som liknar jorden och ligger i dess centrum. Men om vi betraktar planetens dagliga rörelse runt sin egen axel, är det ingen mening att ersätta den med en materiell punkt. Modellen av en punkt av den övervägda typen till en specifik kropp bestäms inte av storleken på kroppen själv, utan i större utsträckning av förhållandena för dess rörelse. Som ett exempel, enligt satsen om rörelsen av systemets masscentrum, när man flyttar en translationstyp, fast kan betraktas som en materiell punkt, vars position liknar kroppens masscentrum.

Sådana fysiska egenskaper hos en punkt som massa, hastighet, position och andra bestämmer dess beteende vid varje given tidpunkt.

Positionen i rymden för den betraktade punkten definieras som positionen för den geometriska punkten. Inom mekaniken har en materiell punkt en massa som är konstant i tiden och oberoende av alla faktorer i dess rörelse och interaktion med andra kroppar. Om vi ​​använder ett tillvägagångssätt för konstruktion av mekanik baserat på axiom, så tas följande som ett av dem:

Axiom

En materialpunkt är en kropp - en geometrisk punkt, som motsvarar en skalär som kallas massa: (r och m), där r är en vektor i det euklidiska rummet, som hänvisar till ett eller annat kartesiskt koordinatsystem. Massan är konstant och oberoende av punktens läge i tid och rum.

En materialpunkt lagrar mekanisk energi enbart som den kinetiska energin för dess rörelse i rymden, eller som en potentiell energi som interagerar med fältet. Detta tyder på det given poäng den kan inte deformeras, rotera runt sin egen axel, och den reagerar inte heller på dess förändringar i rymden. Parallellt med detta rör sig materialpunkten med en förändring av dess avstånd från ett par Euler-vinklar och varje momentan rotationscentrum som anger riktningen för linjen, och den förbinder i sin tur denna punkt med centrum. Denna metod är mycket vanlig inom mekanik.

Tekniken med vilken verkliga föremåls rörelselagar studeras genom att studera rörelsen hos en ideal modell är grunden för mekaniken. Varje makroskopisk kropp kan representeras som materiella punkter som samverkar med varandra, med massor som motsvarar massorna av dess delar. Studiet av rörelsen av dessa delar reduceras till det faktum att studiet av rörelsen av de aktuella punkterna utförs.

Termen i sig är något begränsad i sin tillämpning. Som ett exempel kännetecknas en förtärnad gas vid en hög temperaturregim av en liten storlek av molekyler i förhållande till det typiska avståndet mellan dem. Och även om detta kan försummas i vissa fall och ta molekylen som en materiell punkt, är det i allmänhet inte så. En molekyls inre energi bestäms av vibrationer och rotationer, och dess kapacitet beror på partikelns storlek, struktur och egenskaper. I vissa fall kan monoatomiska molekyler betraktas som exempel på en materialpunkt, men även i dem, under en hög temperaturregim, exciteras elektronskal på grund av kollisioner av molekyler med ytterligare emission.

Första uppgiften

• a) en bil som kör in i garaget;
• b) en bil på motorvägen Moskva - Rostov?

• a) en bil som kommer in i garaget kan inte anses vara ett sådant föremål, eftersom skillnaden i storlek mellan bilen och garaget är relativt liten;
• b) en bil på motorvägen Moskva - Rostov kan betraktas som en sådan punkt, eftersom fordonets dimensioner är storleksordningar mindre än vägen.

Andra uppgiften

• a) en pojke som går hem från skolan (stig 1 km);
• b) en pojke som tränar fysiskt?
• a) Eftersom vägen från skolan till hemmet är en kilometer kan pojken betraktas som en sådan punkt, eftersom han är mycket liten i förhållande till tillryggalagd sträcka.
• b) när samma barn gör morgonövningar kan han inte tas som en materiell poäng.

Begreppet en materiell punkt. Bana. Väg och rörelse. Referenssystem. Hastighet och acceleration i kurvlinjär rörelse. Normala och tangentiella accelerationer. Klassificering av mekaniska rörelser.

Ämnet mekanik . Mekanik är en gren av fysiken som ägnas åt studiet av lagarna för den enklaste formen av rörelse av materia - mekanisk rörelse.

Mekanik består av tre underavdelningar: kinematik, dynamik och statik.

Kinematik studerar kroppars rörelse utan att ta hänsyn till orsakerna som orsakar det. Den arbetar med sådana kvantiteter som förskjutning, tillryggalagd sträcka, tid, hastighet och acceleration.

Dynamik utforskar de lagar och orsaker som orsakar kroppars rörelse, d.v.s. studerar materiella kroppars rörelse under inverkan av krafter som appliceras på dem. Till de kinematiska storheterna läggs kvantiteter - kraft och massa.

Istatisk undersöka jämviktsförhållandena för ett system av kroppar.

Mekanisk rörelse kropp kallas förändringen i dess position i rymden i förhållande till andra kroppar över tiden.

Materialpunkt - en kropp vars storlek och form kan försummas under de givna rörelseförhållandena, med tanke på kroppens massa koncentrerad vid en given punkt. Materialpunktsmodellen är den enklaste modellen för kroppsrörelse inom fysiken. En kropp kan betraktas som en materiell punkt när dess dimensioner är mycket mindre än de karakteristiska avstånden i problemet.

För att beskriva den mekaniska rörelsen är det nödvändigt att ange kroppen i förhållande till vilken rörelsen betraktas. En godtyckligt vald orörlig kropp, i förhållande till vilken denna kropps rörelse betraktas, kallas referensorgan .

Referenssystem - referensorganet tillsammans med koordinatsystemet och klockan som hör till det.

Betrakta rörelsen av en materialpunkt M i ett rektangulärt koordinatsystem, placera origo i punkt O.

Positionen för punkten M i förhållande till referenssystemet kan ställas in inte bara med hjälp av tre kartesiska koordinater, utan också med hjälp av en vektorkvantitet - radievektorn för punkten M ritad till denna punkt från ursprunget för koordinatsystem (Fig. 1.1). Om är enhetsvektorer (orter) av axlarna i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem, då

eller tidsberoendet för radievektorn för denna punkt

Tre skalära ekvationer (1.2) eller en vektorekvation (1.3) motsvarande dem kallas kinematiska rörelseekvationer för en materiell punkt .

bana en materialpunkt är en linje som beskrivs i rymden av denna punkt under dess rörelse (platsen för ändarna av partikelns radievektor). Beroende på banans form särskiljs en punkts rätlinjiga och krökta rörelser. Om alla delar av punktens bana ligger i samma plan, kallas punktens rörelse platt.

Ekvationerna (1.2) och (1.3) definierar en punkts bana i den så kallade parametriska formen. Parameterns roll spelas av tiden t. Löser vi dessa ekvationer gemensamt och exkluderar tiden t från dem hittar vi banaekvationen.

lång väg materialpunkt är summan av längderna av alla sektioner av banan som punkten korsas av under den betraktade tidsperioden.

Förskjutningsvektor materialpunkt är en vektor som förbinder materialpunktens initiala och slutliga position, dvs. ökning av radievektorn för en punkt för det betraktade tidsintervallet

Med rätlinjig rörelse sammanfaller förskjutningsvektorn med motsvarande sektion av banan. Från det faktum att förskjutning är en vektor, följer lagen om rörelsers oberoende, bekräftad av erfarenhet: om en materiell punkt deltar i flera rörelser, är den resulterande förskjutningen av punkten lika med vektorsumman av dess förskjutningar som den utfört. under samma tid i var och en av rörelserna separat

För att karakterisera rörelsen av en materialpunkt introduceras en vektorfysisk kvantitet - fart , en kvantitet som bestämmer både rörelsehastigheten och rörelseriktningen vid en given tidpunkt.

Låt en materialpunkt röra sig längs en krökt bana MN så att den vid tidpunkten t är i punkt M och vid tidpunkt i punkt N. Radievektorerna för punkterna M respektive N är lika, och längden på bågen MN är (Fig. 1.3).

Medelhastighetsvektor poäng i tidsintervallet från t innan t+Δ t kallas förhållandet mellan ökningen av radievektorn för en punkt under denna tidsperiod och dess värde:

Medelhastighetsvektorn riktas på samma sätt som förskjutningsvektorn d.v.s. längs ackordet MN.

Momentan hastighet eller hastighet vid en given tidpunkt . Om vi ​​i uttrycket (1.5) går till gränsen, tenderar mot noll, så får vi ett uttryck för hastighetsvektorn för m.t. vid tidpunkten t för dess passage genom t.M-banan.

I processen att minska värdet närmar sig punkten N t.M, och ackordet MN, som vänder sig runt t.M, i gränsen sammanfaller i riktning med tangenten till banan vid punkten M. Därför vektornoch hastighetvrörlig punkt riktad längs en tangentbana i rörelseriktningen. Hastighetsvektorn v för en materialpunkt kan delas upp i tre komponenter riktade längs axlarna i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem.

Av en jämförelse av uttrycken (1.7) och (1.8) följer att projektionerna av hastigheten för en materialpunkt på axlarna för ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem är lika med de första tidsderivatorna av punktens motsvarande koordinater:

En rörelse där riktningen för en materialpunkts hastighet inte ändras kallas rätlinjig. Om det numeriska värdet av den momentana hastigheten för en punkt förblir oförändrad under rörelsen, kallas en sådan rörelse enhetlig.

Om, i godtyckligt lika tidsintervall, en punkt passerar banor av olika längd, så ändras det numeriska värdet av dess momentana hastighet över tiden. Sådan rörelse kallas ojämn.

I det här fallet används ofta ett skalärt värde, som kallas den genomsnittliga markhastigheten inte enhetlig rörelse på denna del av banan. Det är lika med det numeriska värdet av hastigheten för en sådan enhetlig rörelse, vid vilken samma tid spenderas på passagen av banan, som med en given ojämn rörelse:

Därför att endast vid rätlinjig rörelse med konstant hastighet i riktningen, då i det allmänna fallet:

Värdet på vägen som färdats av en punkt kan representeras grafiskt av arean av figuren av en avgränsad kurva v = f (t), direkt t = t 1 Och t = t 1 och tidsaxeln på hastighetsgrafen.

Lagen om addition av hastigheter . Om en materialpunkt samtidigt deltar i flera rörelser, är den resulterande förskjutningen, i enlighet med lagen om rörelseoberoende, lika med vektorn (geometrisk) summan av elementära förskjutningar på grund av var och en av dessa rörelser separat:

Enligt definition (1.6):

Således är hastigheten för den resulterande rörelsen lika med den geometriska summan av hastigheterna för alla rörelser i vilka materialpunkten deltar (denna bestämmelse kallas lagen för addition av hastigheter).

När en punkt rör sig kan den momentana hastigheten ändras både i storlek och riktning. Acceleration kännetecknar förändringshastigheten i modulen och riktningen för hastighetsvektorn, dvs. förändring i storleken på hastighetsvektorn per tidsenhet.

Medelaccelerationsvektor . Förhållandet mellan hastighetsökningen och tidsintervallet under vilket denna ökning inträffade uttrycker den genomsnittliga accelerationen:

Vektorn för medelaccelerationen sammanfaller i riktning med vektorn.

Acceleration, eller momentan acceleration är lika med gränsen för medelaccelerationen när tidsintervallet tenderar mot noll:

I projektioner på motsvarande koordinater för axeln:

I rätlinjig rörelse sammanfaller hastighets- och accelerationsvektorerna med banans riktning. Betrakta rörelsen av en materialpunkt längs en kurvlinjär plan bana. Hastighetsvektorn vid vilken punkt som helst av banan är riktad tangentiellt till den. Låt oss anta att i t.M av banan var hastigheten , och i t.M 1 blev den . Samtidigt antar vi att tidsintervallet under övergången av en punkt på väg från M till M 1 är så litet att accelerationsförändringen i storlek och riktning kan försummas. För att hitta hastighetsändringsvektorn är det nödvändigt att bestämma vektorskillnaden:

För att göra detta flyttar vi den parallellt med sig själv, och anpassar dess början med punkten M. Skillnaden mellan två vektorer är lika med vektorn som förbinder deras ändar är lika med sidan av AC MAC, byggd på hastighetsvektorerna, som på sidorna. Vi sönderdelar vektorn i två komponenter AB och AD, och båda, respektive, genom och . Således är hastighetsändringsvektorn lika med vektorsumman av två vektorer:

Således kan accelerationen av en materialpunkt representeras som vektorsumman av normal- och tangentialaccelerationerna för denna punkt

A-priory:

där - markhastighet längs banan, sammanfallande med det absoluta värdet av den momentana hastigheten vid ett givet ögonblick. Vektorn för tangentiell acceleration är riktad tangentiellt mot kroppens bana.

Om vi ​​använder notationen för enhetens tangentvektor kan vi skriva den tangentiella accelerationen i vektorform:

Normal acceleration kännetecknar hastigheten för hastighetsändring i riktning. Låt oss beräkna vektorn:

För att göra detta ritar vi en vinkelrät genom punkterna M och M1 till tangenterna till banan (Fig. 1.4) Vi betecknar skärningspunkten med O. För en tillräckligt liten sektion av den krökta banan kan vi betrakta den som en del av en cirkel med radie R. Trianglar MOM1 och MBC är lika, eftersom de är likbenta trianglar med samma vinklar vid hörnen. Det är därför:

Men då:

Om vi ​​går till gränsen vid och tar hänsyn till att samtidigt finner vi:

,

Eftersom i vinkel sammanfaller riktningen för denna acceleration med riktningen för normalen till hastigheten, dvs. accelerationsvektorn är vinkelrät mot . Därför kallas denna acceleration ofta centripetal.

Normal acceleration(centripetal) är riktad längs normalen till banan till mitten av dess krökning O och karakteriserar förändringshastigheten i riktningen för punktens hastighetsvektor.

Den totala accelerationen bestäms av vektorsumman av de tangentiella normalaccelerationerna (1.15). Eftersom vektorerna för dessa accelerationer är inbördes vinkelräta, är den totala accelerationsmodulen lika med:

Riktningen för full acceleration bestäms av vinkeln mellan vektorerna och:

Klassificering av rörelser.

För klassificeringar av rörelser använder vi formeln för att bestämma den totala accelerationen

Låt oss låtsas som det

Därav,
Detta är ett fall av enhetlig rätlinjig rörelse.

Men

2)
Därav

Detta är ett fall av enhetlig rörelse. I detta fall

På v 0 = 0 v t= vid – hastighet av jämnt accelererad rörelse utan initial hastighet.

Krökt rörelse med konstant hastighet.

För att beskriva en kropps rörelse behöver du veta hur dess olika punkter rör sig. Men i fallet med translationsrörelse rör sig alla punkter i kroppen på samma sätt. Därför, för att beskriva en kropps translationella rörelse, är det tillräckligt att beskriva rörelsen för en av dess punkter.

Dessutom, i många problem med mekanik, finns det inget behov av att ange positionerna för enskilda delar av kroppen. Om kroppens dimensioner är små jämfört med avstånden till andra kroppar, så kan denna kropp beskrivas som en punkt.

DEFINITION

materiell punkt kallas en kropp vars dimensioner under givna förhållanden kan försummas.

Ordet "material" betonar här skillnaden mellan denna punkt och den geometriska. Den geometriska punkten har nr fysikaliska egenskaper. En materialpunkt kan ha massa, elektrisk laddning och andra fysiska egenskaper.

Ett och samma organ kan anses vara en materiell punkt under vissa förutsättningar, men inte under andra. Så, till exempel, med tanke på ett fartygs förflyttning från en hamn till en annan, kan fartyget betraktas som en väsentlig punkt. Men när man studerar rörelsen hos en boll som rullar längs däcket på ett fartyg kan fartyget inte betraktas som en materiell punkt. Förflyttningen av en hare som springer iväg från en varg genom skogen kan beskrivas genom att ta haren som en materiell punkt. Men du kan inte betrakta haren som en materiell punkt, som beskriver hans försök att gömma sig i ett hål. När man studerar planeternas rörelse runt solen kan de beskrivas med materiella punkter och när daglig rotation planeter runt sin axel, är en sådan modell inte tillämplig.

Det är viktigt att förstå att materiella punkter inte finns i naturen. En materiell punkt är en abstraktion, en modell för att beskriva rörelse.

Exempel på att lösa problem i ämnet "Materialpunkt"

EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

EXEMPEL 3