Řešení složitých logaritmických nerovnic. Manovova práce „Logaritmické nerovnosti v jednotné státní zkoušce“. Jak řešit logaritmické nerovnosti

Myslíte si, že do Jednotné státní zkoušky je ještě čas a stihnete se připravit? Možná je to tak. Ale v každém případě, čím dříve student začne s přípravou, tím úspěšněji zkoušky složí. Dnes jsme se rozhodli věnovat článek logaritmickým nerovnostem. Jedná se o jeden z úkolů, který znamená možnost získat kredit navíc.

Už víte, co je to logaritmus? Opravdu v to doufáme. Ale i když na tuto otázku nemáte odpověď, není to problém. Pochopení toho, co je logaritmus, je velmi jednoduché.

Proč 4? Musíte zvýšit číslo 3 na tuto moc, abyste získali 81. Jakmile pochopíte princip, můžete přistoupit ke složitějším výpočtům.

Před pár lety jste prošli nerovnostmi. A od té doby se s nimi v matematice neustále setkáváte. Pokud máte problémy s řešením nerovností, podívejte se do příslušné sekce.
Nyní, když jsme se seznámili s pojmy jednotlivě, přejděme k jejich obecnému zvažování.

Nejjednodušší logaritmická nerovnost.

Nejjednodušší logaritmické nerovnosti nejsou omezeny na tento příklad, jsou zde další tři, pouze s různými znaménky. Proč je to nutné? Abychom lépe pochopili, jak řešit nerovnice pomocí logaritmu. Nyní uveďme použitelnější příklad, stále poměrně jednoduchý, složité logaritmické nerovnosti si necháme na později.

Jak to vyřešit? Vše začíná ODZ. Pokud chcete vždy snadno vyřešit jakoukoli nerovnost, stojí za to vědět o tom více.

Co je ODZ? ODZ pro logaritmické nerovnosti

Zkratka znamená rozsah přijatelných hodnot. Tato formulace se často objevuje v úkolech pro jednotnou státní zkoušku. ODZ se vám bude hodit nejen v případě logaritmických nerovností.

Podívejte se znovu na výše uvedený příklad. ODZ budeme uvažovat na jeho základě, abyste princip pochopili a řešení logaritmických nerovností nevzbuzovalo otázky. Z definice logaritmu vyplývá, že 2x+4 musí být větší než nula. V našem případě to znamená následující.

Toto číslo musí být podle definice kladné. Vyřešte výše uvedenou nerovnost. To lze provést i ústně, zde je zřejmé, že X nemůže být menší než 2. Řešením nerovnosti bude definice rozsahu přijatelných hodnot.
Nyní přejdeme k řešení nejjednodušší logaritmické nerovnosti.

Samotné logaritmy z obou stran nerovnosti zahodíme. Co nám ve výsledku zůstane? Jednoduchá nerovnost.

Není těžké to vyřešit. X musí být větší než -0,5. Nyní zkombinujeme dvě získané hodnoty do systému. Tím pádem,

Toto bude rozsah přijatelných hodnot pro uvažovanou logaritmickou nerovnost.

Proč vůbec potřebujeme ODZ? Toto je příležitost k odstranění nesprávných a nemožných odpovědí. Pokud odpověď není v rozmezí přijatelných hodnot, pak odpověď jednoduše nedává smysl. To stojí za to pamatovat na dlouhou dobu, protože v Jednotné státní zkoušce je často potřeba hledat ODZ, a to se netýká pouze logaritmických nerovností.

Algoritmus pro řešení logaritmické nerovnosti

Řešení se skládá z několika fází. Nejprve musíte najít rozsah přijatelných hodnot. V ODZ budou dva významy, o tom jsme diskutovali výše. Dále je potřeba vyřešit samotnou nerovnost. Metody řešení jsou následující:

• metoda náhrady multiplikátoru;
• rozklad;
• racionalizační metoda.

V závislosti na situaci se vyplatí použít jednu z výše uvedených metod. Přejděme přímo k řešení. Pojďme si prozradit nejoblíbenější metodu, která je vhodná pro řešení úloh Jednotné státní zkoušky téměř ve všech případech. Dále se podíváme na metodu rozkladu. Může vám pomoci, když narazíte na obzvlášť záludnou nerovnost. Takže algoritmus pro řešení logaritmické nerovnosti.

Příklady řešení :

Ne nadarmo jsme vzali přesně tuto nerovnost! Věnujte pozornost základně. Pamatujte: je-li větší než jedna, znaménko zůstává při hledání rozsahu přijatelných hodnot stejné; jinak musíte změnit znaménko nerovnosti.

V důsledku toho dostaneme nerovnost:

Nyní zmenšíme levou stranu do tvaru rovnice rovné nule. Místo znaménka „menší než“ dáme „rovná se“ a rovnici vyřešíme. Najdeme tedy ODZ. Doufáme, že s řešením tohoto jednoduchá rovnice nebudete mít žádné problémy. Odpovědi jsou -4 a -2. To není vše. Tyto body musíte zobrazit v grafu umístěním „+“ a „-“. Co je pro to potřeba udělat? Dosaďte do výrazu čísla z intervalů. Pokud jsou hodnoty kladné, dáme tam „+“.

Odpovědět: x nemůže být větší než -4 a menší než -2.

Našli jsme rozsah přijatelných hodnot pouze pro levou stranu, nyní musíme najít rozsah přijatelných hodnot pro pravou stranu. To je mnohem jednodušší. Odpověď: -2. Obě výsledné oblasti protneme.

A teprve nyní se začínáme zabývat samotnou nerovností.

Pojďme si to co nejvíce zjednodušit, aby se to snáze řešilo.

Při řešení opět použijeme intervalovou metodu. Přeskočme výpočty, vše je již jasné z předchozího příkladu. Odpovědět.

Tato metoda je však vhodná, pokud má logaritmická nerovnost stejné základy.

Řešení logaritmických rovnic a nerovnic s různými bázemi vyžaduje počáteční redukci na stejný základ. Dále použijte metodu popsanou výše. Ale je toho víc těžký případ. Podívejme se na jeden z nejvíce komplexní druhy logaritmické nerovnosti.

Logaritmické nerovnosti s proměnnou bází

Jak řešit nerovnosti s takovými charakteristikami? Ano, a takoví lidé se v Jednotné státní zkoušce najdou. Řešení nerovností následujícím způsobem prospěje i vám vzdělávací proces. Podívejme se na problematiku podrobně. Zahoďme teorii a pojďme rovnou k praxi. K vyřešení logaritmických nerovností se stačí s příkladem jednou seznámit.

K vyřešení logaritmické nerovnosti prezentovaného tvaru je nutné redukovat pravou stranu na logaritmus se stejným základem. Princip připomíná ekvivalentní přechody. Ve výsledku bude nerovnost vypadat takto.

Ve skutečnosti zbývá pouze vytvořit systém nerovností bez logaritmů. Pomocí racionalizační metody přejdeme k ekvivalentnímu systému nerovností. Samotnému pravidlu porozumíte, když dosadíte příslušné hodnoty a budete sledovat jejich změny. Systém bude mít následující nerovnosti.

Při použití racionalizační metody při řešení nerovnic je třeba pamatovat na následující: jedna musí být odečtena od základny, x se podle definice logaritmu odečte od obou stran nerovnosti (zprava zleva), dva výrazy se násobí a nastavte pod původní znaménko ve vztahu k nule.

Další řešení se provádí intervalovou metodou, zde je vše jednoduché. Je důležité, abyste porozuměli rozdílům v metodách řešení, pak vše začne snadno fungovat.

V logaritmických nerovnostech je mnoho nuancí. Nejjednodušší z nich jsou poměrně snadno řešitelné. Jak můžete vyřešit každý z nich bez problémů? Všechny odpovědi jste již dostali v tomto článku. Nyní vás čeká dlouhá praxe. Neustále trénujte řešení různých problémů ve zkoušce a budete moci získat nejvyšší skóre. Hodně štěstí ve vašem obtížném úkolu!

LOGARITMICKÉ NEROVNOSTI V POUŽITÍ

Sečin Michail Alexandrovič

Malá akademie věd pro studenty Republiky Kazachstán „Iskatel“

MBOU "Sovětskaja střední škola č. 1", 11. třída, město. Sovetsky Sovetsky okres

Gunko Lyudmila Dmitrievna, učitelka městské rozpočtové vzdělávací instituce „Sovetskaya střední škola č. 1“

Sovětský okres

Cíl práce: studium mechanismu řešení logaritmických nerovnic C3 pomocí nestandardních metod, identifikace zajímavosti logaritmus

Předmět studia:

3) Naučte se řešit konkrétní logaritmické nerovnice C3 pomocí nestandardních metod.

Výsledek:

Obsah

Úvod……………………………………………………………………………………………….. 4

Kapitola 1. Historie vydání…………………………………………………………...5

Kapitola 2. Sběr logaritmických nerovností ………………………… 7

2.1. Ekvivalentní přechody a zobecněná metoda intervalů…………… 7

2.2. Způsob racionalizace ……………………………………………………………… 15

2.3. Nestandardní substituce ............................................................................ ............... 22

2.4. Úkoly s pastmi…………………………………………………………27

Závěr……………………………………………………………………………… 30

Literatura……………………………………………………………………. 31

Úvod

Jsem v 11. třídě a plánuji vstoupit na univerzitu, kde je hlavním předmětem matematika. Proto hodně pracuji s problémy v části C. V úloze C3 potřebuji vyřešit nestandardní nerovnici nebo systém nerovnic, obvykle související s logaritmy. Při přípravě na zkoušku jsem se potýkal s problémem nedostatku metod a technik pro řešení zkouškových logaritmických nerovností nabízených v C3. Metody, které jsou studovány v školní osnovy na toto téma neposkytujte podklady pro řešení úloh C3. Učitelka matematiky mi navrhla, abych pod jejím vedením pracovala na úkolech C3 samostatně. Navíc mě zajímala otázka: setkáváme se v životě s logaritmy?

S ohledem na to bylo vybráno téma:

„Logaritmické nerovnosti v jednotné státní zkoušce“

Cíl práce: studium mechanismu řešení problémů C3 pomocí nestandardních metod, zjišťování zajímavých faktů o logaritmu.

Předmět studia:

1) Najít nezbytné informace o nestandardních metodách řešení logaritmických nerovnic.

2) Najděte další informace o logaritmech.

3) Naučte se řešit konkrétní problémy C3 pomocí nestandardních metod.

Výsledek:

Praktický význam spočívá v rozšíření aparátu pro řešení úloh C3. Tento materiál lze použít v některých lekcích, v kroužcích a volitelných hodinách matematiky.

Produktem projektu bude kolekce „C3 Logaritmické nerovnosti s řešeními“.

Kapitola 1. Pozadí

V průběhu 16. století se počet přibližných výpočtů rychle zvyšoval, především v astronomii. Zdokonalování přístrojů, studium planetárních pohybů a další práce vyžadovaly kolosální, někdy i mnohaleté výpočty. Astronomii reálně hrozilo, že se utopí v nenaplněných výpočtech. Potíže nastaly v jiných oblastech, například v pojišťovnictví byly potřeba složené úrokové tabulky pro různé úrokové sazby. Hlavním problémem bylo násobení, dělení vícemístná čísla, zejména goniometrické veličiny.

Objev logaritmů byl založen na vlastnostech průběhu, které byly dobře známy koncem 16. století. O spojení mezi členy geometrická progrese q, q2, q3, ... a aritmetický postup jejich ukazatele jsou 1, 2, 3,... Archimedes mluvil ve svém „Psalmitis“. Dalším předpokladem bylo rozšíření pojmu stupně na záporné a zlomkové exponenty. Mnoho autorů poukázalo na to, že násobení, dělení, umocňování a extrakce odmocnin v geometrické posloupnosti odpovídají v aritmetice – ve stejném pořadí – sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Zde byla myšlenka logaritmu jako exponentu.

V historii vývoje doktríny logaritmů prošlo několik etap.

Fáze 1

Logaritmy vynalezl nejpozději v roce 1594 nezávisle skotský baron Napier (1550-1617) a o deset let později švýcarský mechanik Bürgi (1552-1632). Oba chtěli poskytnout nový, pohodlný způsob aritmetických výpočtů, i když k tomuto problému přistupovali různými způsoby. Napier kinematicky vyjádřil logaritmickou funkci a vstoupil tak do nové oblasti teorie funkcí. Bürgi zůstal na základě zvažování diskrétních postupů. Definice logaritmu pro oba však není podobná té moderní. Termín „logaritmus“ (logaritmus) patří Napierovi. Vzniklo spojením řeckých slov: logos - „vztah“ a ariqmo – „číslo“, což znamenalo „počet vztahů“. Zpočátku Napier používal jiný termín: numeri artificiales – „umělá čísla“, na rozdíl od numeri naturalts – „přirozená čísla“.

V roce 1615, v rozhovoru s Henrym Briggsem (1561-1631), profesorem matematiky na Gresh College v Londýně, Napier navrhl vzít nulu jako logaritmus jedné a 100 jako logaritmus deseti, neboli totéž. věc, prostě 1. Takhle se objevili dekadické logaritmy a byly vytištěny první logaritmické tabulky. Později Briggsovy tabulky doplnil holandský knihkupec a nadšenec do matematiky Adrian Flaccus (1600-1667). Napier a Briggs, ačkoli přišli k logaritmům dříve než všichni ostatní, publikovali své tabulky později než ostatní - v roce 1620. Znaky log a Log zavedl v roce 1624 I. Kepler. Termín „přirozený logaritmus“ zavedl Mengoli v roce 1659 a následoval jej N. Mercator v roce 1668 a londýnský učitel John Speidel publikoval tabulky přirozených logaritmů čísel od 1 do 1000 pod názvem „New Logaritmy“.

První logaritmické tabulky byly publikovány v ruštině v roce 1703. Ale ve všech logaritmických tabulkách byly chyby ve výpočtu. První bezchybné tabulky vyšly roku 1857 v Berlíně, zpracoval je německý matematik K. Bremiker (1804-1877).

Fáze 2

Další rozvoj teorie logaritmů je spojen s širší aplikací analytické geometrie a infinitezimálního počtu. Do té doby bylo vytvořeno spojení mezi kvadraturou rovnostranné hyperboly a přirozeným logaritmem. Teorie logaritmů tohoto období je spojena se jmény řady matematiků.

Německý matematik, astronom a inženýr Nikolaus Mercator v eseji

"Logarithmotechnics" (1668) uvádí řadu udávající expanzi ln(x+1) v

mocniny x:

Tento výraz přesně odpovídá jeho myšlenkovému pochodu, i když samozřejmě nepoužil znaky d, ..., ale těžkopádnější symboliku. S objevem logaritmických řad se technika počítání logaritmů změnila: začaly se určovat pomocí nekonečných řad. F. Klein ve svých přednáškách „Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu“ v letech 1907-1908 navrhl použít vzorec jako výchozí bod pro konstrukci teorie logaritmů.

Fáze 3

Definice logaritmická funkce jako inverzní funkce

exponenciální, logaritmus jako exponent daného základu

nebyla formulována okamžitě. Esej Leonharda Eulera (1707-1783)

"Úvod do analýzy Infinitesimals" (1748) sloužil k dalšímu

vývoj teorie logaritmických funkcí. Tím pádem,

Od prvního zavedení logaritmů uplynulo 134 let

(počítáno od roku 1614), než matematici dospěli k definici

koncept logaritmu, který je nyní základem školního kurzu.

Kapitola 2. Sběr logaritmických nerovností

2.1. Ekvivalentní přechody a zobecněná metoda intervalů.

Ekvivalentní přechody

, pokud a > 1

, pokud 0 < а < 1

Zobecněná intervalová metoda

Tato metoda nejuniverzálnější při řešení nerovností téměř jakéhokoli typu. Schéma řešení vypadá takto:

1. Přeneste nerovnost do tvaru, kde je funkce na levé straně
a vpravo 0.

2. Najděte definiční obor funkce
.

3. Najděte nuly funkce
, tedy řešit rovnici
(a řešení rovnice je obvykle jednodušší než řešení nerovnice).

4. Nakreslete na číselnou osu definiční obor a nuly funkce.

5. Určete znaménka funkce
na získaných intervalech.

6. Vyberte intervaly, ve kterých funkce nabývá požadovaných hodnot, a zapište si odpověď.

Příklad 1

Řešení:

Aplikujme intervalovou metodu

kde

Pro tyto hodnoty jsou všechny výrazy pod logaritmickými znaménky kladné.

Odpovědět:

Příklad 2

Řešení:

1 cesta . ADL je určen nerovností X> 3. Logaritmy pro takové X v základu 10 dostaneme

Poslední nerovnost by se dala vyřešit aplikací expanzních pravidel, tzn. porovnávání faktorů s nulou. V tomto případě je však snadné určit intervaly konstantního znaménka funkce

proto lze použít intervalovou metodu.

Funkce F(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ je spojitá při X> 3 a v bodech mizí X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Určíme tedy intervaly konstantního znaménka funkce F(X):

Odpovědět:

2. způsob . Aplikujme myšlenky intervalové metody přímo na původní nerovnost.

Chcete-li to provést, připomeňte si, že výrazy A b- A c a ( A - 1)(b- 1) mít jedno znamení. Pak naše nerovnost na X> 3 je ekvivalentní nerovnosti

nebo

Poslední nerovnost je řešena pomocí intervalové metody

Odpovědět:

Příklad 3

Řešení:

Aplikujme intervalovou metodu

Odpovědět:

Příklad 4.

Řešení:

Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pro všechny skutečné X, Že

K vyřešení druhé nerovnosti použijeme intervalovou metodu

V první nerovnosti provedeme náhradu

pak se dostaneme k nerovnosti 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, které splňují nerovnost -0,5< y < 1.

Odkud, protože

dostaneme nerovnost

která se provádí, když X, za což 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Nyní, když vezmeme v úvahu řešení druhé nerovnosti systému, konečně získáme

Odpovědět:

Příklad 5.

Řešení:

Nerovnost je ekvivalentem souboru systémů

nebo

Použijme intervalovou metodu resp

Odpovědět:

Příklad 6.

Řešení:

Nerovnost rovná se systém

Nechat

Pak y > 0,

a první nerovnost

systém má formu

nebo, rozvíjení

kvadratický trinom podle faktorů,

Použití intervalové metody na poslední nerovnost,

vidíme, že jeho řešení splňují podmínku y> 0 bude vše y > 4.

Původní nerovnost je tedy ekvivalentní systému:

Takže řešení nerovnosti jsou všechna

2.2. Racionalizační metoda.

Dříve se nerovnost neřešila racionalizační metodou, nebyla známa. Toto je "nová moderní" účinná metodařešení exponenciálních a logaritmických nerovností“ (citace z knihy S.I. Kolesnikova)
A i kdyby ho učitel znal, byl tu strach – zná ho odborník na Jednotnou státní zkoušku a proč ho nedávají ve škole? Byly situace, kdy učitel žákovi řekl: "Kde jsi to vzal? Posaď se - 2."
Nyní se metoda všude propaguje. A pro odborníky existují pokyny týkající se této metody a v „Nejkompletnějších publikacích typické možnosti..." Řešení C3 používá tuto metodu.
NÁDHERNÁ METODA!

"Magický stůl"

V jiných zdrojích

Li a >1 a b >1, pak log ab >0 a (a-1)(b-1)>0;

Li a >1 a 0

pokud 0<A<1 и b >1, pak log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

pokud 0<A<1 и 00 a (a-1)(b-1)>0.

Provedená úvaha je jednoduchá, ale výrazně zjednodušuje řešení logaritmických nerovností.

Příklad 4.

log x (x 2-3)<0

Řešení:

Příklad 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤ log 2 x (x 2 +x )

Řešení:

Odpovědět. (0; 0,5)U.

Příklad 6.

Abychom tuto nerovnost vyřešili, místo jmenovatele napíšeme (x-1-1)(x-1) a místo čitatele zapíšeme součin (x-1)(x-3-9 + x).

Odpovědět : (3;6)

Příklad 7.

Příklad 8.

2.3. Nestandardní substituce.

Příklad 1

Příklad 2

Příklad 3

Příklad 4.

Příklad 5.

Příklad 6.

Příklad 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Udělejme náhradu y=3 x -1; pak tato nerovnost bude mít podobu

Log 4 log 0,25
.

Protože log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , pak poslední nerovnost přepíšeme jako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Udělejme náhradu t =log 4 y a získáme nerovnost t 2 -2t +≥0, jejímž řešením jsou intervaly - .

Abychom našli hodnoty y, máme sadu dvou jednoduchých nerovností
Řešením této množiny jsou intervaly 0<у≤2 и 8≤у<+.

Původní nerovnost je tedy ekvivalentní množině dvou exponenciálních nerovností,
tedy agregáty

Řešením první nerovnosti této množiny je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Původní nerovnost je tedy splněna pro všechny hodnoty x z intervalů 0<х≤1 и 2≤х<+.

Příklad 8.

Řešení:

Nerovnost rovná se systém

Řešením druhé nerovnosti definující ODZ bude množina těch X,

pro který X > 0.

K vyřešení první nerovnosti provedeme substituci

Pak dostaneme nerovnost

nebo

Metodou se najde množina řešení poslední nerovnosti

intervaly: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, dostaneme

nebo

Spousta takových X, které splňují poslední nerovnost

patří ODZ ( X> 0), je tedy řešením systému,

a tedy původní nerovnost.

Odpovědět:

2.4. Úkoly s pastmi.

Příklad 1

.

Řešení. ODZ nerovnosti je všechna x splňující podmínku 0 . Všechna x jsou tedy z intervalu 0

Příklad 2

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Jde o to, že druhé číslo je zjevně větší než

Závěr

Nebylo snadné najít konkrétní metody pro řešení problémů C3 z velkého množství různých vzdělávacích zdrojů. V průběhu práce jsem měl možnost studovat nestandardní metody řešení složitých logaritmických nerovnic. Jsou to: ekvivalentní přechody a zobecněná metoda intervalů, metoda racionalizace , nestandardní substituce , úkoly s pastmi na ODZ. Tyto metody nejsou součástí školního vzdělávacího programu.

Pomocí různých metod jsem vyřešil 27 nerovností navržených na Jednotné státní zkoušce v části C, konkrétně C3. Tyto nerovnosti s řešeními metodami vytvořily základ kolekce „C3 Logaritmické nerovnosti s řešeními“, která se stala projektovým produktem mé činnosti. Potvrdila se hypotéza, kterou jsem stanovil na začátku projektu: Problémy C3 lze efektivně řešit, pokud znáte tyto metody.

Navíc jsem objevil zajímavá fakta o logaritmech. Bylo pro mě zajímavé to udělat. Moje projektové produkty budou užitečné jak pro studenty, tak pro učitele.

Závěry:

Cíl projektu byl tedy splněn a problém vyřešen. A získal jsem nejúplnější a nejrozmanitější zkušenosti s projektovými činnostmi ve všech fázích práce. Při práci na projektu jsem měl hlavní vývojový vliv na mentální kompetenci, činnosti související s logickými mentálními operacemi, rozvoj tvůrčí kompetence, osobní iniciativy, odpovědnosti, vytrvalosti a aktivity.

Záruka úspěchu při vytváření výzkumného projektu pro Získal jsem: významné školní zkušenosti, schopnost získávat informace z různých zdrojů, kontrolovat jejich spolehlivost a řadit je podle důležitosti.

Kromě přímých oborových znalostí z matematiky jsem si rozšířil praktické dovednosti v oblasti informatiky, získal nové poznatky a zkušenosti z oblasti psychologie, navázal kontakty se spolužáky a naučil se spolupracovat s dospělými. Během projektových aktivit byly rozvíjeny organizační, intelektuální a komunikativní obecně vzdělávací dovednosti.

Literatura

1. Koryanov A. G., Prokofjev A. A. Systémy nerovnic s jednou proměnnou (standardní úlohy C3).

2. Malková A. G. Příprava na jednotnou státní zkoušku z matematiky.

3. Samarova S. S. Řešení logaritmických nerovnic.

4. Matematika. Sbírka školících prací editovaná A.L. Semenov a I.V. Jaščenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

řešení nerovnosti v režimu online řešení téměř jakákoli daná nerovnost online. Matematický nerovnosti onlineřešit matematiku. Najděte rychle řešení nerovnosti v režimu online. Webová stránka www.site vám umožní najít řešení téměř jakýkoli daný algebraický, trigonometrický nebo transcendentální nerovnost online. Při studiu téměř jakéhokoli oboru matematiky v různých fázích se musíte rozhodnout nerovnosti online. Abyste dostali odpověď okamžitě, a hlavně přesnou odpověď, potřebujete zdroj, který vám to umožní. Díky webu www.site řešit nerovnosti online bude trvat několik minut. Hlavní výhoda www.site při řešení matematických nerovnosti online- jedná se o rychlost a přesnost poskytnuté odpovědi. Stránka je schopna vyřešit jakékoli algebraické nerovnosti online, trigonometrické nerovnosti online, transcendentální nerovnosti online, a nerovnosti s neznámými parametry v režimu online. Nerovnosti slouží jako výkonný matematický aparát řešení praktické problémy. S pomocí matematické nerovnosti je možné vyjádřit fakta a vztahy, které se na první pohled mohou zdát matoucí a složité. Neznámé množství nerovnosti lze nalézt formulací problému v matematický jazyk ve formuláři nerovnosti A rozhodni se přijatý úkol v režimu online na webu www.site. Žádný algebraická nerovnost, trigonometrická nerovnost nebo nerovnosti obsahující transcendentální funkce, které můžete snadno rozhodni se online a získejte přesnou odpověď. Při studiu přírodních věd se nevyhnutelně setkáváte s potřebou řešení nerovností. V tomto případě musí být odpověď přesná a musí být získána okamžitě v režimu online. Proto pro řešit matematické nerovnosti online doporučujeme stránku www.site, která se stane vaší nepostradatelnou kalkulačkou řešení algebraických nerovností online, trigonometrické nerovnosti online, a transcendentální nerovnosti online nebo nerovnosti s neznámými parametry. Pro praktické problémy hledání online řešení různých matematické nerovnosti zdroj www.. Řešení nerovnosti online sami, je užitečné zkontrolovat přijatou odpověď pomocí online řešení nerovností na webu www.site. Musíte napsat nerovnost správně a okamžitě ji získat online řešení, načež zbývá jen porovnat odpověď s vaším řešením nerovnice. Kontrola odpovědi nezabere déle než minutu, to stačí řešit nerovnosti online a porovnejte odpovědi. To vám pomůže vyhnout se chybám rozhodnutí a včas opravit odpověď řešení nerovností online buď algebraický, trigonometrický, transcendentální nebo nerovnost s neznámými parametry.

Logaritmické nerovnosti

V předchozích lekcích jsme se seznámili s logaritmickými rovnicemi a nyní víme, co to je a jak je řešit. Dnešní lekce bude věnována studiu logaritmických nerovnic. Jaké jsou tyto nerovnosti a jaký je rozdíl mezi řešením logaritmické rovnice a nerovností?

Logaritmické nerovnosti jsou nerovnosti, které mají pod logaritmickým znaménkem nebo na své základně proměnnou.

Nebo můžeme také říci, že logaritmická nerovnost je nerovnost, ve které se její neznámá hodnota, jako v logaritmické rovnici, objeví pod znaménkem logaritmu.

Nejjednodušší logaritmické nerovnosti mají následující tvar:

kde f(x) a g(x) jsou nějaké výrazy, které závisí na x.

Podívejme se na to pomocí tohoto příkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Řešení logaritmických nerovností

Před řešením logaritmických nerovností stojí za zmínku, že když jsou vyřešeny, jsou podobné exponenciálním nerovnostem, konkrétně:

Za prvé, když přecházíme od logaritmů k výrazům pod logaritmickým znaménkem, musíme také porovnat základ logaritmu s jedním;

Za druhé, když řešíme logaritmickou nerovnost pomocí změny proměnných, musíme řešit nerovnosti vzhledem ke změně, dokud nedostaneme nejjednodušší nerovnost.

Ale vy a já jsme zvažovali podobné aspekty řešení logaritmických nerovností. Nyní se podívejme na poměrně významný rozdíl. Vy a já víme, že logaritmická funkce má omezenou doménu definice, proto při přechodu od logaritmů k výrazům pod logaritmickým znaménkem musíme vzít v úvahu rozsah přípustných hodnot (ADV).

To znamená, že je třeba vzít v úvahu, že při řešení logaritmické rovnice můžeme vy a já nejprve najít kořeny rovnice a poté toto řešení zkontrolovat. Řešení logaritmické nerovnosti ale takto fungovat nebude, protože přechod od logaritmů k výrazům pod logaritmickým znaménkem bude nutné zapsat ODZ nerovnosti.

Kromě toho stojí za to připomenout, že teorie nerovnic se skládá z reálných čísel, což jsou kladná a záporná čísla, stejně jako číslo 0.

Pokud je například číslo „a“ kladné, musíte použít následující zápis: a >0. V tomto případě bude součet i součin těchto čísel také kladný.

Hlavním principem pro řešení nerovnosti je její nahrazení jednodušší nerovností, ale hlavní je, že je ekvivalentní dané. Dále jsme také získali nerovnost a opět jsme ji nahradili takovou, která má jednodušší tvar atd.

Při řešení nerovností s proměnnou je potřeba najít všechna její řešení. Pokud mají dvě nerovnosti stejnou proměnnou x, pak jsou takové nerovnosti ekvivalentní za předpokladu, že se jejich řešení shodují.

Při provádění úloh na řešení logaritmických nerovností si musíte pamatovat, že když a > 1, logaritmická funkce se zvyšuje a když 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metody řešení logaritmických nerovnic

Nyní se podívejme na některé metody, které se používají při řešení logaritmických nerovností. Pro lepší pochopení a asimilaci se je pokusíme pochopit na konkrétních příkladech.

Všichni víme, že nejjednodušší logaritmická nerovnost má následující tvar:

V této nerovnosti je V – jedním z následujících znaků nerovnosti:<,>, ≤ nebo ≥.

Když je základ daného logaritmu větší než jedna (a>1), při přechodu od logaritmů k výrazům pod logaritmickým znaménkem, pak je v této verzi znaménko nerovnosti zachováno a nerovnost bude mít následující tvar:

což je ekvivalentní tomuto systému:

V případě, kdy je základ logaritmu větší než nula a menší než jedna (0

To je ekvivalentní tomuto systému:

Podívejme se na další příklady řešení nejjednodušších logaritmických nerovnic zobrazených na obrázku níže:

Řešení příkladů

Cvičení. Pokusme se vyřešit tuto nerovnost:

Řešení rozsahu přijatelných hodnot.

Nyní zkusme vynásobit jeho pravou stranu:

Podívejme se, co můžeme vymyslet:

Nyní přejdeme k převodu sublogaritmických výrazů. Vzhledem k tomu, že základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A z toho vyplývá, že interval, který jsme získali, zcela patří do ODZ a je řešením takové nerovnosti.

Zde je odpověď, kterou jsme dostali:

Co je potřeba k vyřešení logaritmických nerovností?

Nyní se pokusíme analyzovat, co potřebujeme k úspěšnému vyřešení logaritmických nerovností?

Nejprve soustřeďte veškerou svou pozornost a snažte se nedělat chyby při provádění transformací, které jsou dány v této nerovnosti. Rovněž je třeba pamatovat na to, že při řešení takových nerovností je nutné se vyvarovat rozšiřování a smršťování nerovností, což může vést ke ztrátě nebo získání cizích řešení.

Za druhé, při řešení logaritmických nerovností se musíte naučit logicky myslet a chápat rozdíl mezi pojmy, jako je systém nerovností a množina nerovností, abyste mohli snadno vybírat řešení nerovnosti a přitom se řídit její DL.

Za třetí, pro úspěšné vyřešení takových nerovností musí každý z vás dokonale znát všechny vlastnosti elementárních funkcí a jasně chápat jejich význam. Mezi takové funkce patří nejen logaritmické, ale také racionální, mocenské, trigonometrické atd., jedním slovem všechny ty, které jste studovali během školní algebry.

Jak vidíte, po prostudování tématu logaritmických nerovností není při řešení těchto nerovností nic těžkého, pokud budete při dosahování svých cílů opatrní a vytrvalí. Abyste se vyhnuli jakýmkoliv problémům při řešení nerovností, je potřeba co nejvíce cvičit, řešení různých úloh a zároveň si pamatovat základní metody řešení takových nerovností a jejich soustavy. Pokud se vám nepodaří vyřešit logaritmické nerovnosti, měli byste své chyby pečlivě analyzovat, abyste se k nim v budoucnu znovu nevrátili.

Domácí práce

Chcete-li lépe porozumět tématu a upevnit probranou látku, vyřešte následující nerovnosti:

S nimi jsou uvnitř logaritmy.

Příklady:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Jak vyřešit logaritmické nerovnosti:

Měli bychom se snažit snížit jakoukoli logaritmickou nerovnost na tvar \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (symbol \(˅\) znamená kterýkoli z ). Tento typ vám umožňuje zbavit se logaritmů a jejich bází a přejít k nerovnosti výrazů pod logaritmy, tedy do tvaru \(f(x) ˅ g(x)\).

Ale při provádění tohoto přechodu je zde jedna velmi důležitá jemnost:
\(-\) pokud je číslo a je větší než 1, znaménko nerovnosti zůstává během přechodu stejné,
\(-\) pokud je základem číslo větší než 0, ale menší než 1 (leží mezi nulou a jedničkou), pak by se znaménko nerovnosti mělo změnit na opak, tzn.

Příklady:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(X<8\) Řešení: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Odpověď: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\začátek(případy)2x-4>0\\x+1 > 0\konec(případy)\) \(\začátek(případy)2x>4\\x > -1\konec (případy)\) \(\šipka doleva\) \(\začátek(případy)x>2\\x > -1\konec (případy) \) \(\Šipka doleva\) \(x\in(2;\infty)\) Řešení: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Odpověď: \((2;5]\)

Velmi důležité! V jakékoli nerovnosti lze přechod z tvaru \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) k porovnávání výrazů pod logaritmy provést pouze v případě, že:

Příklad . Vyřešte nerovnost: \(\log\)\(≤-1\)

Řešení:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Vypíšeme ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Otevíráme závorky a přinášíme .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Nerovnici vynásobíme \(-1\), přičemž nezapomeneme obrátit znaménko porovnání.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Sestrojme číselnou osu a označme na ní body \(\frac(7)(3)\) a \(\frac(3)(2)\). Vezměte prosím na vědomí, že tečka je odstraněna ze jmenovatele, přestože nerovnost není striktní. Faktem je, že tento bod nebude řešením, protože při dosazení do nerovnosti nás povede k dělení nulou.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Nyní vyneseme ODZ na stejnou číselnou osu a jako odpověď zapíšeme interval, který spadá do ODZ.
	Konečnou odpověď zapisujeme.

Odpovědět: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Příklad . Vyřešte nerovnici: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Řešení:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Vypíšeme ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Pojďme k řešení.
Řešení: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Zde máme typickou čtvercovou logaritmickou nerovnost. Pojďme na to.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Levou stranu nerovnosti rozšíříme na .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Nyní se musíme vrátit k původní proměnné - x. Chcete-li to provést, přejděte na , který má stejné řešení, a proveďte obrácenou substituci.
\(\left[ \begin(shromážděno) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformace \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(shromážděno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Přejděme ke srovnání argumentů. Základy logaritmů jsou větší než \(1\), takže znaménko nerovnic se nemění.
\(\left[ \begin(shromážděno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Spojme řešení nerovnosti a ODZ v jednom obrázku.
	Zapišme si odpověď.

Odpovědět: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)