귀하의 질문에 대답하기 전에 먼저 혼란이 있다고 생각한다는 점을 분명히 하겠습니다. 공식 수학에서 $infty$는 숫자가 아닙니다. 수학자들이 $infty$를 숫자로 취급하지 않는 이유는 그렇게 하면 분명히 잘못된 결론을 도출하게 되기 때문입니다.
예를 들어, 속성 숫자 중 하나는 방정식의 양쪽에서 동일한 숫자를 뺄 수 있으며 방정식은 여전히 참이라는 것입니다. 예를 들어 $x+1=4$ 방정식의 양쪽에서 $1$을 빼서 $x=3$을 얻을 수 있습니다. 반면에, $infty$를 정규 숫자로 취급하고 "방정식" $infty + 1 = \infty$의 양쪽에서 $infty$를 빼면 $1=0$이 되는데 이는 분명히 거짓입니다.
대신, 수학자들은 $infty$를 다음과 같이 생각합니다. 한계. 대략적으로 말하자면, 이는 $infty$를 함수에 "연결"하려면 더 많은 것을 연결하고 더 많은 숫자그리고 장기적으로 무슨 일이 일어나는지 살펴보세요. 예를 들어, $lim_(x\to\infty)\frac(1)(x)=0$라고 쓰면 "$f (x) = 1/x$ 함수에 점점 더 큰 숫자를 연결하면, 함수는 임의로 0에 가까워집니다." 이 특정 제한이 옳다는 것을 스스로 확신해야 합니다. 어떤 경우에는 한계가 무한합니다. 이것이 의미하는 바는 함수에 점점 더 큰 숫자를 연결하면 함수가 임의로 커진다는 것입니다. 예를 들어,
- $lim_(x ~ infty)x = infty$ .
- $lim_(x ~ infty)x^2 = infty$ .
귀하의 질문에 대답하자면, $infty$가 관련되면 거의 모든 일이 일어날 수 있습니다. 제가 방금 제시한 두 가지 예를 살펴보겠습니다. $f(x) = x$ 및 $g(x) = x^2$ 두 함수 모두 $x$가 무한대로 이동함에 따라 무한대로 이동하더라도 두 번째 함수는 커집니다. 많이더 빠르게. 적절한 사례: $f(100) = $100 및 $g(100) = $10,000. 실제로 $g (x)$는 훨씬 더 빠르게 증가하므로 $g (x) - f (x)$ (이것은 $x^2-x$에 불과하다는 점을 기억하세요) $x$가 진행됨에 따라 그 차이도 무한대가 됩니다. 무한대. 값을 연결하면 이를 확신할 수 있습니다. 기호에서는 $lim_(x\to\infty)(x^2 - x) = \infty.$ 따라서 비공식적으로 말하면 $infty-infty = infty$가 가능합니다!
이 결과가 여러분에게 반직관적으로 보인다면, 그 이유는 다음과 같습니다. 당신은$infty-infty = infty$ 방정식의 왼쪽에 있는 두 개의 무한대를 동일한 $infty$로 생각하면 실제로는 서로 다릅니다. 첫 번째 $infty$는 $g (x) = x^2$ 함수에서 나오며 어떤 의미에서는 다음과 같습니다. 더 큰$f (x) = x$ 함수의 $infty$보다 $x^2$가 $x$보다 훨씬 빠르게 커지기 때문입니다.
어떤 경우든 다음 명령문을 참으로 만드는 다른 기능(즉, $infty$에 다른 속도로 접근할 수 있음)을 생각해 낼 수 있습니다.
- $infty- infty$는 $- infty$와 $+ infty$ 사이의 모든 것과 동일할 수 있습니다.
- $infty/ infty$는 $- infty$와 $+ infty$ 사이의 모든 것과 동일할 수 있습니다.
- $infty^0$는 $0$에서 $+ infty$ 사이의 값과 같을 수 있습니다.
마지막으로, $infty$를 연결해도 아무런 답이 나오지 않는 경우가 있을 수 있습니다. 삼각법을 사용했다면 그래프가 $- 사이에서 파동처럼 앞뒤로 진동하는 사인 함수에 익숙할 것입니다. 1$ 및 $+ 1$. (사인 그래프 사진을 여기에 넣으려고 했지만 이 사이트에 처음 왔기 때문에 제대로 작동하지 않았습니다. Google 이미지에서 "사인 그래프"를 검색하면 무슨 뜻인지 알 수 있습니다. .) $sin (x)$ 에 점점 더 큰 숫자를 연결하면 고정된 숫자에 접근하지 못할 것입니다. 그러니까 $sin infty$ 존재하지 않는다.
“우리가 아는 것은 제한되어 있지만, 우리가 모르는 것은 무한하다.”
피에르 시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace, 1749-1827), 프랑스 과학자
무한한 사랑, 엄청난 행복, 광활한 공간, 영구동토층, 무한한 바다 그리고 끝없는 교훈까지. 안에 일상 생활우리는 종종 사물과 현상을 무한하다고 부르지만, 종종 이 개념의 진정한 의미에 대해 생각조차 하지 않습니다. 한편 고대부터 신학자, 철학자 및 기타 인류의 가장 위대한 지성들은 그 의미를 이해하려고 노력해 왔습니다. 그리고 오직 수학자만이 무한이라고 불리는 것에 대한 지식을 가장 멀리 발전시켰습니다.
무한대란 무엇입니까?
우리 주변에서 보는 것의 대부분은 우리가 무한하다고 인식하지만 실제로는 완전히 유한한 것으로 밝혀졌습니다. 아이들에게 무한이 얼마나 큰지 때때로 설명하는 방법은 다음과 같습니다. “큰 해변에서 백년마다 모래 한 알을 모은다면 해변의 모든 모래를 모으는 데는 영원히 시간이 걸릴 것입니다.” 그러나 실제로 모래알의 수는 무한하지 않습니다. 그것들을 세는 것은 물리적으로 불가능하지만, 그 숫자는 지구의 질량과 모래 한 알의 질량의 비율과 같은 값을 초과하지 않는다고 자신있게 말할 수 있습니다.
아니면 또 다른 예입니다. 많은 사람들은 두 개의 거울 사이에 서 있으면 반사가 양쪽 거울에서 반복되어 먼 곳으로 가면서 점점 작아져서 어디가 끝나는지 알 수 없다고 생각합니다. 아아, 이것은 무한대가 아닙니다. 정말 무슨 일이 일어나고 있는 걸까요? 거울에 비치는 빛을 100% 반사하는 거울은 없습니다. 매우 고품질의 거울은 빛의 99%를 반사할 수 있지만, 70번 반사한 후에는 50%만 남고, 140번 반사한 후에는 25%의 빛만 남습니다. 등으로 빛이 너무 적어질 때까지 계속됩니다. 게다가, 대부분의 거울은 구부러져 있기 때문에 여러분이 보는 많은 반사는 "굴곡부근"으로 끝납니다.
수학이 무한을 어떻게 다루는지 살펴보겠습니다. 이것은 이전에 접했던 무한의 개념과는 매우 다르며 약간의 상상력이 필요합니다.
수학의 무한대
수학에는 구별이 있다 잠재적인그리고 현재의무한대.
특정 양이 무한한 잠재력을 가지고 있다고 말하는 것은 그것이 무한정 증가할 수 있다는 것, 즉 항상 증가할 가능성이 있다는 것을 의미합니다.
실제 무한성이라는 개념은 '지금 여기'에 이미 실제로 존재하는 무한한 가치를 의미합니다. 일반적인 DIRECT 라인의 예를 사용하여 이를 설명하겠습니다.
예시 1.
잠재적 무한성은 직선이 있고 연속적으로 확장될 수 있음을 의미합니다(예: 선분을 적용하여). 여기서 강조점은 선이 무한하다는 사실이 아니라 무한정 계속될 수 있다는 사실에 있습니다.
실제 무한이란 현재 시점에도 무한한 직선 전체가 이미 존재한다는 의미입니다. 하지만 문제는 살아있는 사람 중 단 한 명도 무한한 직선을 본 적이 없고 육체적으로 그것을 할 수 없다는 것입니다! 직선을 끝없이 연장할 수 있는 것과 실제로 끝없는 직선을 만드는 것은 별개의 문제입니다. 이 매우 미묘한 차이는 잠재적 무한성과 실제 무한성을 구별합니다. 윽! 이러한 무한함을 다루려면 많은 상상력이 필요합니다! 또 다른 예를 살펴보겠습니다.
예시 2.
시리즈를 만들기로 결정했다고 가정해 보겠습니다. 자연수: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
어느 시점에서 당신은 매우 큰 숫자 n에 도달하고 이것이 가장 큰 숫자라고 생각합니다. 큰 숫자. 이 순간, 당신의 친구는 당신의 숫자 n에 1(1)을 더하고 더 큰 숫자 k = n + 1을 얻는 데 비용이 전혀 들지 않는다고 말합니다. 그러면 당신은 약간 상처를 입었고, 더하는 것을 막을 수 있는 것은 아무것도 없다는 것을 이해합니다. 숫자 k 1을 얻고 숫자 k+1을 얻습니다. 그러한 단계의 수가 사전에 제한되어 있습니까? 아니요. 물론, 당신과 당신의 친구는 어떤 단계에서 다음 단계 m + 1을 수행할 충분한 힘이나 시간이 없을 수도 있지만, 잠재적으로 당신이나 다른 누군가가 이 시리즈를 계속해서 구축할 수 있습니다. 이 경우 우리는 잠재적 무한성의 개념을 얻습니다.
당신과 당신의 친구가 동시에 모든 요소가 존재하는 무한한 자연수의 계열을 구성한다면, 이것은 실제 무한대가 될 것입니다. 그러나 사실은 아무도 모든 숫자를 적을 수 없다는 것입니다. 이것은 논쟁의 여지가 없는 사실입니다!
잠재적 무한성은 상상하기 쉽기 때문에 우리가 더 이해하기 쉽다는 점에 동의하십시오. 따라서 고대 철학자와 수학자들은 잠재적 무한성만을 인식하고 실제 무한성을 가지고 연산할 수 있는 가능성을 단호히 거부했습니다.
갈릴레오의 역설
1638년에 위대한 갈릴레오는 다음과 같은 질문을 했습니다. “무한히 많으면 항상 똑같이 무한히 많습니까?” 아니면 더 크고 더 작은 무한대가 있을 수 있나요?”
그는 나중에 "갈릴레오의 역설"이라는 이름을 받은 가정을 공식화했습니다. 자연수의 제곱만큼 많은 자연수가 있습니다. 즉, 집합 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... 같은 수의 요소가 있습니다. 세트 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...에 몇 개가 있습니까?
역설의 본질은 다음과 같습니다.
일부 숫자는 완전제곱수(즉, 다른 숫자의 제곱)입니다(예: 1, 4, 9...). 다른 숫자는 완전제곱수가 아닙니다(예: 2, 3, 5...). 이는 더 많은 숫자가 있어야 함을 의미합니다. 완전제곱수와 일반수를 함께 사용하는 것이 완전제곱수보다 좋습니다. 오른쪽? 오른쪽.
그러나 반면에 각 숫자에는 정확한 제곱이 있고 그 반대도 마찬가지입니다. 각 정확한 제곱에는 전체가 있습니다. 제곱근, 그러므로 정확한 제곱수와 자연수가 동일해야 합니다. 오른쪽? 오른쪽.
갈릴레오의 추론은 전체가 그 자체의 어떤 부분보다 크다는 부인할 수 없는 공리와 충돌하게 되었습니다. 그는 첫 번째와 두 번째 중 어느 무한대가 더 큰지 대답할 수 없었습니다. 갈릴레오는 자신이 뭔가에 대해 착각했거나 그러한 비교가 무한대에는 적용되지 않는다고 믿었습니다. 후자의 경우 그가 옳았습니다. 3세기 후에 게오르그 칸토어(Georg Cantor)는 "무한의 산술은 유한의 산술과 다르다"는 것을 증명했습니다.
셀 수 있는 무한대: 부분은 전체와 같습니다.
게오르그 칸토어집합론의 창시자인 (1845-1918)은 수학에서 실제 무한대를 사용하기 시작했습니다. 그는 무한이 동시에 존재한다는 것을 인정했습니다. 그리고 무한한 집합이 있기 때문에 한꺼번에 수학적 조작을 수행하고 비교할 수도 있습니다. 무한대의 경우 '수'와 '양'이라는 단어가 부적절하기 때문에 그는 '힘'이라는 용어를 도입했습니다. Cantor는 무엇이든 셀 수 있는 무한한 자연수(가산 집합이라고 함)와 그 힘(가산 집합의 힘)을 표준으로 삼아 다른 집합의 힘과 비교하기 시작했습니다.
그는 자연수 집합이 짝수 집합만큼 많은 원소를 가지고 있음을 증명했습니다! 실제로 아래에 하나씩 적어 보겠습니다.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...
언뜻 보면 첫 번째 세트에 두 번째 세트보다 두 배나 많은 숫자가 포함되어 있는 것이 분명해 보입니다. 그러나 반면에 두 번째 수열도 셀 수 있다는 것이 분명합니다. 그 수열 중 하나라도 항상 첫 번째 수열의 정확히 하나의 수와 일치하기 때문입니다. 그 반대! 따라서 두 번째 시퀀스는 첫 번째 시퀀스 이전에 소진될 수 없습니다. 따라서 이 세트는 똑같이 강력합니다! 자연수 제곱 집합(갈릴레오의 역설)이 셀 수 있고 자연수 집합과 동일하다는 것도 유사하게 입증되었습니다. 모든 셀 수 있는 무한대는 동일한 힘을 갖습니다.
매우 흥미로운 것으로 밝혀졌습니다. 짝수 집합과 자연수 제곱 집합(갈릴레오의 역설)은 자연수 집합의 일부입니다. 그러나 동시에 그들은 똑같이 강력합니다. 그러므로 부분은 전체와 동일합니다!
셀 수 없이 많은 무한대
그러나 모든 무한대가 짝수와 자연수의 제곱에서 했던 것과 같은 방식으로 다시 계산될 수 있는 것은 아닙니다. 세그먼트의 점, 실수(모든 유한 및 무한 소수로 표시됨), 심지어 0에서 1까지의 모든 실수도 계산할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 수학에서는 그 숫자를 셀 수 없다고 말합니다.
분수 시퀀스의 예를 사용하여 이를 살펴보겠습니다. 분수에는 정수에는 없는 속성이 있습니다. 연속된 두 정수 사이에는 다른 정수가 없습니다. 예를 들어, 8과 9 사이에 "맞는" 다른 정수는 없습니다. 하지만 정수 집합에 추가하면 분수, 이 규칙은 더 이상 시행되지 않습니다. 응, 전화번호야
8과 9 사이입니다. 마찬가지로 두 숫자 A와 B 사이에 있는 숫자를 찾을 수 있습니다.
이 동작은 무한정 반복될 수 있으므로 임의의 두 실수 사이에는 항상 무한한 수의 다른 실수가 있을 것이라고 주장할 수 있습니다.
따라서 실수의 무한대는 셀 수 없고, 자연수의 무한대는 셀 수 있습니다. 이러한 무한대는 동일하지 않지만 셀 수 없는 실수 집합에서 자연수나 짝수와 같은 셀 수 있는 부분을 선택하는 것이 항상 가능합니다. 그러므로 셀 수 있는 무한보다 셀 수 없는 무한이 더 강력하다.
예를 들어 구의 표면입니다. 영역은 유한하지만 이를 따라 이동하면 가장자리에 도달할 수 없습니다.
우주가 유한한지 무한한지에 대한 질문은 여전히 우리 시대의 미스터리입니다. 수학적 모델, 이 두 가지 가능성을 모두 고려합니다. 우주에 무한한 물체가 존재하는가? 이 질문은 과학자들에게도 진정한 관심을 불러일으킵니다.
올해 4월 철학자, 우주론자, 물리학자들이 모였습니다. 케임브리지 대학교이 주제를 논의하기 위한 우주론 철학 회의의 일환으로.
존재하지 않는 무한
사람들은 무한성과 현실과의 관계를 오랫동안 연구해 왔습니다.
무한에 대한 연구는 아리스토텔레스 시대부터 시작되었습니다. 그는 무한의 두 가지 유형을 명확하게 구분했습니다. 그가 이름을 지은 사람 중 하나는 잠재적 무한, 이는 그의 세계 설명에서 발견되었습니다. 여기에는 끝이 없는 목록이 포함됩니다. 예를 들어, 1, 2, 3, 4, 5 등 도달할 수 없는 무한대까지의 일반 숫자입니다. 우주론에는 그러한 무한대가 많이 있습니다. 따라서 우주는 아마도 크기가 무한하거나 나이가 무한하거나, 무한정 계속 존재할 수도 있습니다. 이것들은 모두 우리가 증명할 수 없는 잠재적인 무한대입니다. 우리는 단순히 어떤 것들은 무한하다고 말합니다.
대부분의 사람들은 잠재적인 무한성이 존재한다는 것을 인정하지만 이것이 실제로 사실인지는 아무도 확실히 알지 못합니다.
우주를 볼 때 우주는 약 140억년이라는 유한한 기간 동안 존재하기 때문에 시야가 엄격하게 제한됩니다. 빛은 1905년에 알베르트 아인슈타인이 가정한 일정한 속도로 이동하므로 140억 광년 이상 떨어진 곳에서는 볼 수 없습니다. 무한대를 볼 수 없습니다. 그것은 탑 위에 서서 먼 곳을 바라볼 때 수평선까지 모든 것을 볼 수 있지만 그 너머를 볼 수 없는 것과 매우 유사합니다. 그러나 여기에는 비행기를 타고 지구상의 다른 곳으로 날아갈 수 있는 옵션이 있습니다. 우주의 경우, 그 규모는 우리가 관점을 바꿀 수 없을 정도이며, 우리는 한 곳에 갇혀 있고 그 지점에서 유한한 거리까지만 우주를 볼 수 있습니다.
그러나 엘리스가 언급한 140억 년이라는 한계도 실제 사실이라기보다는 이론에 가깝습니다. 우리는 현재 우주가 팽창하고 있다는 것을 알고 있으며, 이 경우 뒤로 이동하면 결국 우주의 시작이라고 부르는 빅뱅이라는 시점에 도달하게 됩니다. 그러나 일반적으로 받아들여지는 물리이론, 아인슈타인의 일반상대성이론, 양자물리학, 이 점을 고려하지 마십시오. 현재로서는 수많은 "가정" 이론 외에 이 사례를 설명할 수 있는 이론이 없습니다.
우주학자, 케이프타운 대학교 이러한 이론 중 일부는 시작이 없었다고 말하고 다른 이론은 시작이 있었다고 말합니다. 우리는 어느 정도 합리적인 가정을 하려고 노력합니다. 그러나 이를 위한 에너지가 충분하지 않기 때문에 이러한 가정 또는 저 가정을 증명하기 위한 실험을 수행할 수 없습니다.
빅뱅의 순간은 이제 손에 닿지 않는 곳에 있다 현대 이론그러나 그 이후의 첫 순간을 설명하는 일반적으로 받아 들여지는 모델이 있습니다. 예를 들어, 우주 인플레이션. 캘리포니아 대학교 산타 크루즈 캠퍼스의 앤서니 아귀레(Anthony Aguirre)는 이것이 우주 팽창에 관해 우리에게 무엇인가를 말해 줄 수 있다고 믿습니다.
인플레이션은 우주가 초기에 팽창했다는 개념이다. 기하학적 진행, 짧은 시간에 크기가 수백 배로 두 배로 늘어납니다. 이 이론은 많은 추측으로 이어지며, 그 중 다수는 올바른 것으로 판명되었으며, 일부는 향후 실험 과정에서 테스트될 수 있습니다. 이는 우리가 인플레이션을 믿게 만들지만 매우 흥미로운 부작용도 있습니다.
이들 중 하나 부작용이는 인플레이션이 우주의 다른 지역에서 다른 속도로 계속되었을 수 있음을 시사합니다. 일부 지역에서는 일정 시간이 지나면 크기가 급격히 두 배로 늘어나는 현상이 멈추고 결국 우리와 같은 관측 가능한 우주가 형성됩니다. 다른 지역에서는 공간적 변화로 인해 인플레이션이 영원히 지속될 수 있습니다.
물리학자, 캘리포니아대학교 산타크루즈 캠퍼스 우리가 무한한 시공간을 갖는 것은 시공간이 무한하다고 판단해서가 아니라, 자연스럽게 무한한 시공간으로 이어지는 과정을 고려했기 때문입니다.
이 이론은 또한 공간과 시간의 확장이 관점에 달려 있음을 시사합니다. 에 따라 일반 이론알베르트 아인슈타인의 상대성 이론, 시간, 공간은 뗄래야 뗄 수 없게 연결되어 있습니다. 시공간. 공간이나 시간을 따로 언급하려면 수학적으로 시공간을 분리해야 합니다.
물리학자, 캘리포니아대학교 산타크루즈 캠퍼스 "공간은 유한한가, 무한한가?"와 같은 질문에 대한 답이 밝혀졌습니다. 공간과 시간을 별도로 정의하는 방법에 따라 달라질 수 있습니다. 시공간이 있습니다. 아인슈타인은 우리에게 이것을 가르쳐줍니다. 우리는 그것을 다양한 방법으로 공간과 시간으로 나눌 수 있다. 그것들은 모두 유효하고 모든 실험에서 동일한 결과를 제공하지만 의미가 다르며 특정 목표를 달성하는 데 일부 의미는 다른 의미보다 더 편리합니다.
만약 당신에게 무한한 시공간이 있다면, 우주가 유한하고 팽창할 수 있도록 그것을 분해할 수 있습니다. 그것은 무한히 확장되고 무한히 커질 수 있지만 유한합니다. 또는 이 동일한 시공간을 공간이 무한하도록 분할하여 무한하고 팽창하는 우주를 만들 수도 있습니다.
인플레이션이 멈추는 인플레이션 우주에서는 자연적인 분할이 일어나며, 이 경우 우주는 균질성에 가깝다. 공간적으로 무한한 우주가 발생합니다.
인플레이션은 균질하고 무한한 우주를 생성하며, 이는 우리와 유사한 것으로 변할 수 있습니다. 우주가 무한한 풍부하고 다면적이며 흥미로운 현실에 대해 가정을 형성할 수 있다는 것은 놀라운 일입니다.
실제 무한대
우주가 무한한가에 대한 질문은 우리가 상상할 수는 있지만 결코 볼 수 없는 잠재적 무한성인 아리스토텔레스적 무한성의 한 유형에 관한 것입니다. 그러나 아리스토텔레스에 따르면 또 다른 유형의 무한성이 있습니다. 실제 무한대.
이 경우 우리가 측정할 수 있는 어떤 물체는 무한합니다.
이런 종류의 가상 무한대는 별과 같은 거대한 물체가 붕괴하기 시작할 때 형성되는 블랙홀에서 발생할 수 있습니다. 이론적으로 이는 한 지점에서 무한한 질량 밀도로 이어집니다. 그러나 그러한 무한함이 우주에 존재합니까?
Barrow는 “블랙홀은 반드시 단단한 물체일 필요는 없으며 우주의 일종의 표면입니다. 일단 안으로 들어가면 다시는 돌아오지 못할 것입니다. 더 빠른 속도가볍지 않으면 중력이 더 강해집니다. 블랙홀에서는 마치 거대한 구름이 붕괴되어 밀도가 점점 더 높아지는 것처럼 보입니다. 궁극적으로 그 주위에 표면이 형성되는데, 이를 지평선이라고 부릅니다. 만약 당신이 태양보다 10억 배 더 큰 매우 큰 블랙홀의 지평선 위에 있다면, 당신은 마치 큰 방에 있는 것처럼 느낄 것입니다. 그러나 거기에서 벗어나려고 하면 성공하지 못할 것입니다. 블랙홀 자체에서는 모든 것이 무한한 밀도로 중심을 향해 움직이기 시작합니다. 그러나 이는 외부에서는 보이지 않습니다. 이러한 효과는 고립되어 있으며 외부 우주에는 영향을 미칠 수 없습니다."
"수년 전 로저 펜로즈(Roger Penrose)는 우주 검열이라는 제안을 했습니다. 우주에 특이점이나 무한대가 형성되고 아무것도 이를 막을 수 없다면 그것들은 항상 지평선 안에 있을 것이라고 말합니다. 소위" 적나라한 특이성은 존재할 수 없으므로 외부에서 우리에게 영향을 미치는 무한성은 있을 수 없습니다. 일부 경우에이론은 입증되었지만 일반적인 증거와는 거리가 멀다. 이것은 매우 어려운 수학 문제이다."
존재할 수 있는 또 다른 유형의 무한성은 무한히 작거나 무한히 나누어질 수 있다고 합니다. 초정밀 자와 연필을 사용하여 세그먼트를 매번 작아지는 조각으로 나눌 수 있을까요?
Ellis는 그 아이디어가 우스꽝스럽다고 생각합니다. "손가락을 10cm 벌리고 그 사이에 수학처럼 실제로 점의 선이 있다고 믿는다면, 손가락 사이에는 헤아릴 수 없을 정도로 무한한 점이 있습니다. 이것은 완전히 비합리적입니다. 나는 이것이 순전히 수학적이라고 믿습니다. 아이디어는 물리학에 해당하지 않습니다.
리처드 파인만(Richard Feynman)은 자신이 미래 세대에게 남기고 싶은 유일한 것은 “물질은 원자로 이루어져 있다”는 말뿐이라고 말한 적이 있습니다. 나는 유사한 진술이 시공간에도 적용되어 그 이산적 성격을 주장할 수 있다고 믿을 만한 타당한 이유가 있다고 생각합니다. 손가락 사이에는 매우 많은 수의 물리적 지점이 있지만 유한하고 셀 수 있습니다."
시공간이 분할할 수 없는 부분이라면 가장 작은 거리 척도, 가장 짧은 길이가 있어야 합니다. 물리적 이론은 소위 플랑크 길이보다 짧은 것은 없다는 것을 암시하면서 이 아이디어를 뒷받침합니다. 약 10~35m입니다(소수점 이하 0이 34개 있는 숫자입니다). 현대의 방법으로는 이 숫자에 근접할 수 없으며 이론상으로도 매우 강력한 도구를 사용하더라도 플랑크 길이보다 작은 것은 결코 측정할 수 없습니다.
우주 핫도그
엘리스는 중요한 구별을 했습니다. 한편으로는 무한대(선은 무한히 나누어진다)라는 수학적 개념이 있고, 다른 한편으로는 물리적 개념, 이는 자연에 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있는 실제 양과 현상에 관한 것입니다. 그러나 아마도 우리에게 가장 친숙한 세 번째 유형의 무한대가 있습니다.
케임브리지 대학교 우주학자 우리는 신학자나 철학자들이 이야기했던 수학적 무한대, 물리적 무한대, 초월적 무한대를 구별할 수 있습니다. 거리의 거의 모든 사람들이 이 초월적 무한성에 대해 잘 알고 있는 것 같습니다. 이것은 일종의 우주의 모든 것입니다. 마치 식당의 핫도그처럼 모든 것이 다 들어있습니다.
많은 종교에서는 절대적으로 모든 것이 신이나 우주의 힘에 달려 있습니다. 이것은 물리학자나 수학자들이 다루는 것과는 다른 것입니다. 수학과 물리학 사상의 역사를 생각해 보면 누구나 다음 진술 중 하나를 할 수 있습니다. "나는 수학적 무한성을 믿거나 믿지 않습니다.", "나는 물리적 무한성을 믿거나 믿지 않습니다." 또는 "나는 믿거나 믿지 않습니다." 다른 종류의 무한성을 믿으세요.” 초월적 무한성.
제안된 관점 중 하나를 선택할 수 있습니다. 그리고 의견은 정말 다릅니다. Barrow와 Aguirre는 수학적 무한성을 다루지만 물리적 무한성을 무시하지는 않습니다.
Aguirre는 "무한을 포함하는 이론을 만드는 것이 자연스러운 일이라고 생각합니다. "라고 말합니다. "예, 우리는 유한한 존재이고 우주의 유한한 부분만 이해할 수 있습니다. 하지만 원칙적으로 전체 우주를 제한할 이유는 없습니다."
반면에 Ellis는 물리적 무한성이 존재한다고 믿지 않으며 물리학과 관련된 수학적 논증에서 무한성을 사용할 때 잠재적인 문제를 지적합니다. 그는 수학자 데이비드 길버트(David Gilbert)의 유명한 사고 실험인 힐베르트 호텔(Hilbert Hotel)을 언급하는데, 이 호텔에는 무한한 수의 객실과 무한한 손님이 있어서 모든 방이 꽉 차 있습니다. 새로운 손님이 오면 그 사람을 수용할 수 있나요? 물론 이를 위해서는 각 손님에게 다음 방으로 이동하도록 요청하고 새로운 방문객을 첫 번째 방에 배치해야 합니다. 이는 n+1번째 방이 존재하기 때문에 가능한 일이다. 또 손님이 무한정 찾아오면 어쩌지? 방법도 간단합니다. n번 방의 각 손님에게 n*2번 방으로 이동하라고 요청하면 됩니다. 호텔이 꽉 차 있으면서도 동시에 꽉 차 있지 않은 것으로 나타났습니다.
이와 같은 역설 때문에 Ellis는 물리적 맥락에서 무한대를 사용할 때 매우 조심해야 한다고 믿습니다.
우주학자, 케이프타운 대학교 나는 명확히 할 것이다. 사람들이 무한대에 대해 이야기할 때 실제로는 매우 많은 양을 의미하는 경우가 많습니다. 이 경우 무한대는 단순히 코드워드로 사용됩니다. 이 경우에는 '무한대'라는 단어를 피하고 구체적으로 큰 숫자에 대해 이야기하는 것이 가치가 있다고 생각합니다. 다른 경우, 사람들은 예를 들어 힐베르트의 호텔처럼 깊고 역설적인 의미로 무한대를 사용합니다. 내 생각에는 어떤 주장이 그러한 역설적인 주장에 의존한다면 그것은 거짓이며 다른 주장으로 대체되어야 합니다.
따라서 과학자들은 무한대가 존재하는지 여부에 대한 합의에 이르지 못했습니다. 현실 세계아니면. 구체적인 과학적 답변이 부족하기 때문에 철학자들에게 문의하는 것이 합리적입니다.
물리학자, 캘리포니아대학교 산타크루즈 캠퍼스 물리학자와 철학자의 노력을 합칠 가치가 있다고 생각합니다. 이 경우 물리학자들은 철학자들이 과학을 모르고 그들이 말하는 내용을 모른다고 비난할 것입니다. 철학자들은 실용적인 과학자들과 비교하여 지적 기금이라는 다른 관점에서 물리학을 봅니다. 이런 생각의 교환은 정말 귀중한 일이라고 생각합니다.
무한대(Infinity)는 무한하거나 무한한 것을 설명하거나 의미하는 데 사용되는 추상적 개념입니다. 이 개념은 수학, 천체 물리학, 물리학, 철학, 논리학 및 예술에 중요합니다.
다음은 몇 가지입니다. 놀라운 사실수학에 익숙하지 않은 사람이라면 누구라도 놀라게 할 수 있는 이 복잡한 개념에 대해 말이죠.
무한대 기호
인피니티(Infinity)에는 고유한 특수 기호인 이 있습니다. 렘니스케이트(lemniscate) 기호는 1655년에 성직자이자 수학자인 존 월리스(John Wallis)에 의해 소개되었습니다. "lemniscate"라는 단어는 "리본"을 의미하는 라틴어 lemniscus에서 유래되었습니다.
월리스는 로마 숫자 1000을 기반으로 무한대 기호를 만들었을 수 있으며, 로마인들은 그 옆에 숫자 외에 "무수한"이라고 적었습니다. 기호가 오메가(Ω 또는 Ω)를 기반으로 하는 것도 가능합니다. 마지막 편지그리스 알파벳.
흥미로운 사실은 무한의 개념이 월리스가 오늘날에도 여전히 사용하는 상징을 부여하기 오래 전부터 존재했고 사용되었다는 것입니다.
기원전 4세기에 수리야 반야프티 수트라(Surya Prajnapti Sutra)라고 불리는 자이나교 수학 문헌은 모든 숫자를 세 가지 범주로 나누었고, 각 범주는 다시 세 개의 하위 범주로 나뉩니다. 이러한 범주에는 열거 가능한 숫자, 열거 불가능한 숫자, 무한한 숫자가 포함됩니다.
제노의 아포리아
기원전 5세기 경에 태어난 엘레아의 제노. 즉, 무한의 개념을 포함하여 역설 또는 아포리아로 유명했습니다.
Zeno의 모든 역설 중에서 가장 유명한 것은 아킬레스와 거북이입니다. 아포리아에서는 거북이가 그리스 영웅 아킬레스에게 경주에 도전합니다. 거북이는 아킬레스가 천 걸음 먼저 출발하면 경주에서 이길 것이라고 주장합니다. 역설에 따르면, 아킬레스가 전체 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 100걸음 더 나아갑니다. 아킬레스가 100걸음 더 달리는 동안 거북이는 10걸음을 더 걸을 시간을 갖게 되며, 이런 식으로 내림차순으로 진행됩니다.
더 간단한 방법으로 역설은 다음과 같이 간주됩니다. 다음 단계가 이전 단계 크기의 절반이면 방을 건너려고 합니다. 각 단계마다 방의 가장자리에 더 가까워지지만 실제로는 도달할 수 없거나 도달할 수 있지만 무한한 수의 단계가 필요합니다.
현대 해석 중 하나에 따르면, 이 역설은 시간과 공간의 무한한 분할 가능성에 대한 잘못된 생각에 기초하고 있습니다.
파이는 무한대의 예이다
무한대의 좋은 예는 숫자 파이(pi)입니다. 수학자들은 전체 숫자를 적는 것이 불가능하기 때문에 파이에 기호를 사용합니다. Pi는 무한한 수의 숫자로 구성됩니다. 3.14나 심지어 3.14159로 반올림되는 경우가 많지만, 숫자 끝에 도달하는 것은 불가능하기 때문에 소수점 뒤에 몇 자리를 적어도 상관없습니다.
무한 원숭이 정리
무한에 대해 생각하는 또 다른 방법은 무한 원숭이 정리를 고려하는 것입니다. 이 정리에 따르면, 원숭이에게 타자기와 무한한 시간을 주면 원숭이는 결국 햄릿이나 다른 작품을 타이핑할 수 있게 될 것입니다.
많은 사람들이 정리를 불가능한 것은 없다는 믿음을 입증하는 것으로 받아들이지만, 수학자들은 이를 특정 사건이 불가능하다는 증거로 간주합니다.
프랙탈과 무한대
프랙탈은 수학과 예술에서 사용되는 추상적인 수학적 대상으로, 대부분 자연 현상을 모델링합니다. 프랙탈은 수학 방정식으로 작성됩니다. 프랙탈을 보면 어떤 규모에서도 복잡한 구조를 볼 수 있습니다. 즉, 프랙탈은 무한히 확장 가능합니다.
코흐 눈송이는 프랙탈의 흥미로운 예입니다. 눈송이는 정삼각형처럼 보이며 길이가 무한한 닫힌 곡선을 형성합니다. 곡선을 늘리면 곡선에 대한 더 많은 세부 정보를 볼 수 있습니다. 곡선을 증가시키는 과정은 무한히 계속될 수 있습니다. 코흐 눈송이의 면적은 제한되어 있지만 무한히 긴 선으로 인해 제한됩니다.
다양한 크기의 무한대
무한은 무한하지만 상대적으로 측정할 수 있습니다. 양수(0보다 큼) 및 음수(0 미만)은 동일한 크기의 무한한 집합을 자랑할 수 있습니다. 두 세트를 결합하면 어떻게 되나요? 세트를 두 배로 크게 만듭니다. 또는 또 다른 예 - 모든 짝수(무한한 수가 있음)입니다. 그러나 그것은 모든 정수의 무한한 수의 절반에 불과합니다. 또 다른 예는 무한대에 1을 더하는 것입니다. 무한대보다 큰 숫자 1을 배워보세요.
우주론과 무한
우주론자들은 우주를 연구하는데, 무한의 개념이 그들에게 중요한 역할을 한다는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 우주에는 경계가 있습니까, 아니면 무한합니까?
이 질문은 아직 답이 없습니다. 우리 우주는 팽창하고 있는데, 어디일까요? 그리고 이 확장의 한계는 어디입니까? 물리적 우주에 경계가 있더라도 우리는 여전히 우리와는 다른 물리법칙을 가질 수 있는 무한한 수의 우주가 존재한다고 생각하는 다중우주 이론을 갖고 있습니다.
0으로 나누기
0으로 나누는 일은 없습니다. 적어도 일반 수학에서는 불가능합니다. 우리가 익숙한 수학에서는 1을 0으로 나눈 값을 정의할 수 없습니다. 이것은 실수입니다. 그러나 항상 그런 것은 아닙니다. 확장 복소수 이론에서는 1을 0으로 나누면 붕괴가 임박하지 않으며 어떤 형태의 무한대에 의해 결정됩니다. 즉, 수학은 다르며 모든 것이 교과서의 규칙에 의해 제한되는 것은 아닙니다.
일상생활에서 사람은 유한한 양을 다루어야 하는 경우가 가장 많습니다. 그러므로 무한한 무한성을 시각화하는 것은 매우 어려울 수 있습니다. 이 개념은 경계를 결정하는 것이 거의 불가능한 우주에 대한 경외심과 혼합된 신비함과 특이함의 아우라에 가려져 있습니다.
세계의 공간적 무한성은 가장 복잡하고 논란이 많은 과학적 문제에 속합니다. 고대 철학자와 천문학자들은 가장 단순한 논리적 구성을 통해 이 문제를 해결하려고 노력했습니다. 이를 위해서는 우주의 가장자리에 도달하는 것이 가능하다고 가정하는 것만으로도 충분했습니다. 하지만 이 순간 손을 뻗으면 국경은 어느 정도 멀어진다. 이 작업은 수없이 반복될 수 있으며 이는 우주가 무한하다는 것을 증명합니다.
우주의 무한함은 상상하기 어렵지만, 제한된 세계가 어떤 모습일지 상상하는 것도 마찬가지로 어렵지 않습니다. 우주론 연구에 그다지 발전하지 않은 사람들에게도 이 경우 자연스러운 질문이 생깁니다. 우주의 경계 너머에는 무엇이 있습니까? 그러나 그러한 추론을 바탕으로 상식그리고 일상의 경험은 엄격한 과학적 결론을 위한 견고한 기초가 될 수 없습니다.
우주의 무한성에 대한 현대적인 생각
다양한 우주론적 역설을 탐구하는 현대 과학자들은 유한한 우주의 존재가 원칙적으로 물리학 법칙에 위배된다는 결론에 도달했습니다. 지구 너머의 세계에는 공간이나 시간의 경계가 없는 것 같습니다. 이러한 의미에서 무한성은 우주에 포함된 물질의 양이나 기하학적 차원이 가장 큰 숫자로도 표현될 수 없음을 시사합니다(“Evolution of the Universe”, I.D. Novikov, 1983).
소위 빅뱅의 결과로 우주가 약 140억년 전에 형성되었다는 가설을 고려하더라도, 이는 그 아주 먼 시대에 세계가 또 다른 자연적 변화 단계를 겪었다는 것을 의미할 뿐입니다. 일반적으로 무한한 우주는 최초의 충동이나 일부 비물질적 물체의 설명할 수 없는 발전의 결과로 나타난 적이 없습니다. 무한한 우주에 대한 가정은 신성한 세계 창조 가설에 종지부를 찍습니다.
2014년 미국 천문학자들은 무한하고 평평한 우주의 존재에 대한 가설을 확인하는 최신 연구 결과를 발표했습니다. 과학자들은 수십억 광년 떨어져 있는 은하들 사이의 거리를 매우 정밀하게 측정했습니다. 이 거대한 성단은 일정한 반경을 가진 원 안에 위치한다는 것이 밝혀졌습니다. 연구자들이 구축한 우주론적 모델은 우주가 공간과 시간 모두에서 무한하다는 것을 간접적으로 증명합니다.
