Než odpovím na vaši otázku, dovolte mi nejprve objasnit, že si myslím, že existuje zmatek. Ve formální matematice $infty$ není číslo. Důvod, proč matematici nepovažují $infty$ za číslo, je ten, že kdybychom to udělali, vyvodili bychom některé závěry, které jsou zjevně špatné.
Například jedno z čísel vlastností je, že můžete odečíst stejné číslo z obou stran rovnice a rovnice bude stále platit. Například mohu odečíst $1$ od obou stran rovnice $x+1=4$ a získat $x=3$ . Na druhou stranu, pokud zacházím s $infty$ jako s regulérním číslem a odečtem $infty$ od obou stran "rovnice" $infty + 1 = \infty$ , dostanu $1=0$ , což je jednoznačně nepravda.
Místo toho si matematici myslí $infty$ jako omezit. Zhruba řečeno to znamená, že pokud chcete „připojit“ $infty$ k funkci, připojíte více a více čísel a uvidíme, co se stane v dlouhodobém horizontu. Například napíšeme $lim_(x\to\infty)\frac(1)(x)=0$, což znamená, že „jak zapojujete větší a větší čísla do funkce $f (x) = 1/x$, funkce se libovolně blíží nule." Měli byste se přesvědčit, že tento konkrétní limit je správný. V některých případech je limit nekonečný; to vše znamená, že jak do funkce zapojujete větší a větší čísla, funkce se libovolně zvětšuje. Například,
- $lim_(x až infty)x = infty$ .
- $lim_(x až infty)x^2 = infty$ .
Abych odpověděl na vaši otázku, může se stát v podstatě cokoliv, když jde o $infty$. Podívejme se na dva příklady, které jsem právě uvedl. Přestože obě funkce $f (x) = x$ a $g (x) = x^2$ jdou do nekonečna, zatímco $x$ jde do nekonečna, druhá roste mnoho rychlejší. Příklad: $f (100) = 100 $ a $g (100) = 10 000 $. Ve skutečnosti $g (x)$ roste o tolik rychleji, že rozdíl $g (x) - f (x)$ (nezapomeňte, že toto je jen $x^2-x$) také jde do nekonečna, jak $x$ jde do nekonečna. Můžete se o tom přesvědčit vložením hodnot. V symbolech $lim_(x\to\infty)(x^2 - x) = \infty.$ Takže neformálně řečeno je možné, že $infty- infty = infty$ !
Pokud se vám tento výsledek zdá neintuitivní, je to proto ty jsi myslet na dvě nekonečna na levé straně rovnice $infty- infty = infty$ jako na stejné $infty$: ve skutečnosti jsou rozdílné. První $infty$ pochází z funkce $g (x) = x^2$ a v určitém smyslu je větší než $infty$ z funkce $f (x) = x$, protože $x^2$ se zvětšuje mnohem rychleji než $x$.
V každém případě můžete přijít s dalšími funkcemi (to znamená, že se můžete přiblížit k $infty$ různou rychlostí), díky kterým budou následující tvrzení pravdivá:
- $infty- infty$ se může rovnat čemukoli mezi $- infty$ a $+ infty$ .
- $infty/ infty$ se může rovnat čemukoli mezi $- infty$ a $+ infty$ .
- $infty^0$ se může rovnat čemukoli mezi $0$ a $+ infty$ .
Konečně, mohou nastat případy, kdy vám zapojení $infty$ neposkytne vůbec žádnou odpověď. Pokud jste provedli trigonometrii, pravděpodobně znáte funkci sinus, jejíž graf osciluje tam a zpět, jako vlna, mezi $- 1 $ a $ + 1 $. (Snažil jsem se sem vložit obrázek sinusového grafu, ale nemohl jsem to zprovoznit, protože jsem na těchto stránkách nový. Stačí vyhledat „graf sinus“ na obrázcích Google a uvidíte, co tím myslím .) Pokud do $sin (x)$ zapojíte větší a větší čísla, nepřiblížíte se žádnému pevnému číslu. Takže $sin infty$ neexistuje.
"To, co víme, je omezené, ale to, co nevíme, je nekonečné."
Pierre-Simon Laplace (1749-1827), francouzský vědec
Bezmezná láska, nesmírné štěstí, obrovský prostor, permafrost, bezmezný oceán a dokonce nekonečná lekce. V Každodenní život Věci a jevy často nazýváme nekonečnými, ale často ani nepřemýšlíme o skutečném významu tohoto pojmu. Mezitím se již od starověku teologové, filozofové a další největší mozky lidstva snažili pochopit jeho význam. A jen matematici pokročili nejdále v poznání toho, čemu se říká nekonečno.
co je nekonečno?
Mnoho z toho, co kolem sebe vidíme, vnímáme jako nekonečno, ale ve skutečnosti se to ukazuje jako zcela konečné věci. Takhle někdy dětem vysvětlují, jak velké je nekonečno: „Když na velké pláži nasbíráte jedno zrnko písku každých sto let, posbíráte všechen písek na pláži věčnost.“ Ale ve skutečnosti počet zrnek písku není nekonečný. Je fyzikálně nemožné je spočítat, ale můžeme s jistotou říci, že jejich počet nepřesahuje hodnotu rovnající se poměru hmotnosti Země k hmotnosti jednoho zrnka písku.
Nebo jiný příklad. Mnoho lidí si myslí, že když se postavíte mezi dvě zrcadla, odraz se bude opakovat v obou zrcadlech, půjde do dálky, bude se zmenšovat a zmenšovat, takže není možné určit, kde končí. Bohužel to není nekonečno. Co se to vlastně děje? Žádné zrcadlo neodráží 100% světla dopadajícího na něj. Velmi kvalitní zrcadlo dokáže odrazit 99% světla, ale po 70 odrazech z něj zbude jen 50%, po 140 odrazech jen 25% světla atd. dokud není světla příliš málo. Většina zrcadel je navíc zakřivená, takže mnoho odrazů, které vidíte, končí „za ohybem“.
Podívejme se, jak matematika zachází s nekonečnem. To se velmi liší od jakéhokoli konceptu nekonečna, se kterým jste se dosud setkali, a vyžaduje trochu představivosti.
Nekonečno v matematice
V matematice je rozdíl potenciál A aktuální nekonečno.
Když říkají, že určitá veličina má nekonečný potenciál, myslí tím, že ji lze neomezeně zvyšovat, to znamená, že vždy existuje potenciál pro její nárůst.
Pojem skutečného nekonečna znamená nekonečnou hodnotu, která již skutečně existuje „tady a teď“. Vysvětleme si to na příkladu obyčejné DIRECT linky.
Příklad 1
Potenciální nekonečno znamená, že existuje přímka a lze ji plynule prodlužovat (například tím, že na ni aplikujete segmenty). Upozorňujeme, že zde není kladen důraz na to, že čára je nekonečná, ale na to, že v ní lze pokračovat donekonečna.
Skutečné nekonečno znamená, že celá nekonečná přímka již existuje v přítomném čase. Potíž je ale v tom, že ani jeden živý člověk neviděl nekonečnou přímku a není to fyzicky schopen! Jedna věc je umět nekonečně prodlužovat přímku a druhá věc je skutečně nekonečnou přímku vytvořit. Tento velmi jemný rozdíl odlišuje potenciální nekonečno od skutečného nekonečna. Fuj! Vypořádat se s těmito nekonečny vyžaduje hodně fantazie! Podívejme se na další příklad.
Příklad 2
Řekněme, že se rozhodnete vytvořit sérii přirozená čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
V určitém okamžiku dosáhnete velmi velkého čísla n a myslíte si, že toto je nejvíce velké číslo. V tuto chvíli váš přítel říká, že ho nic nestojí přidat 1 (jedna) k vašemu číslu n a získat ještě větší číslo k = n + 1. Pak vy, lehce zraněný, pochopíte, že vám nic nemůže zabránit v tom, abyste přidali číslo k jedna a dostaneme číslo k+1. Je počet takových kroků předem omezený? Ne. Samozřejmě, vy a váš přítel možná nebudete mít v některém kroku m dostatek síly nebo času, abyste udělali další krok m + 1, ale potenciálně můžete vy nebo někdo jiný pokračovat v budování této série. V tomto případě dostaneme koncept potenciálního nekonečna.
Pokud se vám a vašemu příteli podaří sestrojit nekonečnou řadu přirozených čísel, jejichž prvky jsou přítomny všechny najednou, bude to skutečné nekonečno. Faktem ale je, že nikdo nedokáže zapsat všechna čísla – to je neoddiskutovatelný fakt!
Souhlaste, že potenciální nekonečno je pro nás srozumitelnější, protože je snazší si ho představit. Proto starověcí filozofové a matematici uznávali pouze potenciální nekonečno a rezolutně odmítali možnost operovat se skutečným nekonečnem.
Galileiho paradox
V roce 1638 si velký Galileo položil otázku: „Je nekonečně mnoho vždy stejně nekonečně mnoho? Nebo mohou existovat větší a menší nekonečna?
Zformuloval postulát, který později dostal název „Galileův paradox“: Přirozených čísel je tolik, kolik je druhých mocnin přirozených čísel, tedy v množině 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... je stejný počet prvků, kolik je v množině 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...
Podstata paradoxu je následující.
Některá čísla jsou dokonalá druhá mocnina (tedy druhá mocniny jiných čísel), například: 1, 4, 9... Jiná čísla nejsou dokonalá druhá mocnina, například 2, 3, 5... To znamená, že by jich mělo být více dokonalé čtverce a obyčejná čísla dohromady, než jen dokonalé čtverce. Že jo? Že jo.
Ale na druhou stranu: pro každé číslo existuje jeho přesný čtverec a naopak - pro každý přesný čtverec je celý Odmocnina, proto by měl být stejný počet přesných čtverců a přirozených čísel. Že jo? Že jo.
Galileiho úvahy se dostaly do rozporu s nepopiratelným axiomem, že celek je větší než kterákoli z jeho vlastních částí. Nedokázal odpovědět, které nekonečno je větší - první nebo druhé. Galileo věřil, že se buď v něčem spletl, nebo taková přirovnání pro nekonečna neplatí. V tom druhém měl pravdu, protože o tři století později Georg Cantor dokázal, že „aritmetika nekonečna se liší od aritmetiky konečného“.
Počitatelná nekonečna: část se rovná celku
Georg Cantor(1845-1918), zakladatel teorie množin, začal v matematice používat skutečné nekonečno. Připustil, že nekonečno existuje najednou. A protože existují nekonečné množiny, všechny najednou, je možné s nimi provádět matematické manipulace a dokonce je porovnávat. Protože slova „číslo“ a „množství“ jsou v případě nekonečna nevhodná, zavedl termín „moc“. Jako standard vzal Cantor nekonečná přirozená čísla, která stačí k počítání čehokoli, tuto množinu nazval spočetnou a její mocninu – mocninu spočetné množiny a začal ji porovnávat s mocninami jiných množin.
Dokázal, že množina přirozených čísel má tolik prvků jako množina sudých čísel! Opravdu, napišme jeden pod druhým:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...
Na první pohled se zdá zřejmé, že první sada obsahuje dvakrát více čísel než druhá. Ale na druhou stranu je jasné, že i druhá posloupnost je spočetná, protože kterékoli její číslo VŽDY odpovídá právě jednomu číslu v první posloupnosti. A naopak! Takže druhá sekvence nemůže být vyčerpána před první. Proto jsou tyto sady stejně výkonné! Podobně je dokázáno, že množina druhých mocnin přirozených čísel (z Galileova paradoxu) je spočetná a rovná se množině přirozených čísel. Z toho vyplývá, že všechna spočetná nekonečna mají stejnou moc.
Ukazuje se to velmi zajímavě: Množina sudých čísel a množina druhých mocnin přirozených čísel (z Galileova paradoxu) jsou součástí množiny přirozených čísel. Ale zároveň jsou stejně mocné. Proto se ČÁST ROVNÁ CELKU!
Bezpočet nekonečna
Ale ne každé nekonečno lze přepočítat stejným způsobem, jako jsme to udělali se sudými čísly a druhými mocninami přirozených čísel. Ukazuje se, že nemůžete spočítat body na úsečce, reálná čísla (vyjádřená všemi konečnými a nekonečnými desetinnými zlomky), dokonce ani všechna reálná čísla od 0 do 1. V matematice se říká, že jejich počet je nespočítatelný.
Podívejme se na to na příkladu posloupnosti zlomkových čísel. Zlomková čísla mají vlastnost, kterou celá čísla nemají. Mezi dvěma po sobě jdoucími celými čísly nejsou žádná další celá čísla. Žádné jiné celé číslo se například „nevejde“ mezi 8 a 9. Ale pokud přidáme do množiny celých čísel zlomková čísla, toto pravidlo již nebude uplatňováno. Ano, číslo
bude mezi 8 a 9. Podobně můžete najít číslo umístěné mezi libovolnými dvěma čísly A a B:
Protože se tato akce může opakovat donekonečna, lze tvrdit, že mezi libovolnými dvěma reálnými čísly bude vždy nekonečné množství dalších reálných čísel.
Nekonečno reálných čísel je tedy nepočitatelné a nekonečno přirozených čísel je spočetné. Tato nekonečna nejsou ekvivalentní, ale z nespočítatelné množiny reálných čísel je vždy možné vybrat spočetnou část, například přirozená nebo sudá čísla. Proto je nepočitatelné nekonečno mocnější než počitatelné nekonečno.
Například povrch koule. Má omezenou plochu, ale jak se po ní pohybujete, nikdy nedosáhnete okraje.
Otázka, zda je vesmír konečný nebo nekonečný, je stále záhadou naší doby a existuje matematické modely s přihlédnutím k oběma těmto možnostem. Existují ve vesmíru nějaké nekonečné objekty?Tato otázka také vzbuzuje skutečný zájem mezi vědci.
V dubnu tohoto roku se sešli filozofové, kosmologové a fyzici Cambridge University v rámci konference o filozofii kosmologie k diskusi na toto téma.
Nekonečno, které neexistuje
Lidé studují nekonečno a jeho vztah k realitě již dlouhou dobu.
Studium nekonečna začalo v době Aristotela. Jasně rozlišil dva typy nekonečna. Jeden jmenoval potenciální nekonečno, který se nacházel v jeho popisech světa. To zahrnuje seznamy, které nemají konce. Jsou to například obyčejná čísla: jedna, dva, tři, čtyři, pět a tak dále až do nekonečna, kterých nelze dosáhnout. Takových nekonečností je v kosmologii mnoho. Vesmír je tedy pravděpodobně nekonečný co do velikosti nebo nekonečný ve věku nebo může existovat neomezeně dlouho. To všechno jsou potenciální nekonečna, která nemůžeme dokázat, prostě říkáme, že určité věci jsou nekonečné
Většina lidí připouští, že potenciální nekonečna existují, ale nikdo s jistotou neví, zda tomu tak skutečně je.
Když se podíváte na vesmír, váš pohled je přísně omezený, protože vesmír existuje po omezenou dobu, přibližně 14 miliard let. Světlo se šíří konstantní rychlostí, již v roce 1905 předpokládal Albert Einstein, takže nevidíte více než 14 miliard světelných let daleko. Nemůžeš vidět nekonečno. Je to velmi podobné tomu, jak když stojíte na věži a díváte se do dálky, jste schopni vidět vše až k obzoru, ale nemůžete se dívat za něj. Zde je ale možnost nastoupit do letadla a odletět na jiné místo na planetě. V případě Vesmíru je měřítko takové, že nemůžeme změnit úhel pohledu, uvízli jsme na jednom místě a vidíme Vesmír pouze z tohoto bodu a na konečnou vzdálenost.
Ale i tato hranice 14 miliard let, na kterou Ellis odkazuje, je spíše teorií než skutečným faktem. Víme, že vesmír se v současné době rozpíná, a pokud se v tomto případě posuneme zpět, nakonec dojdeme k určitému bodu v čase, k velkému třesku, který nazýváme počátkem našeho vesmíru. Nicméně obecně uznávané fyzikální teorie, Einsteinova obecná teorie relativity a kvantová fyzika, neberte tento bod v úvahu. V současnosti neexistuje žádná teorie, která by tento případ popsala, kromě řady „domnělých“ teorií.
kosmolog, Univerzita v Kapském Městě Některé z těchto teorií říkají, že začátek nikdy nebyl, jiné říkají, že byl. Snažíme se o více či méně rozumné předpoklady. Ale nemůžeme provádět žádné experimenty, které by dokázaly ten či onen předpoklad, protože na to není dostatek energie.
Moment velkého třesku je právě mimo dosah moderní teorie, nicméně existuje obecně uznávaný model, který vysvětluje první okamžiky po něm. Například, kosmická inflace. Anthony Aguirre z Kalifornské univerzity v Santa Cruz věří, že by nám to mohlo něco říct o rozpínání vesmíru.
Inflace je koncept, kterým se vesmír brzy rozšířil geometrická progrese, která se během krátké doby zdvojnásobí stokrát. Tato teorie vede k mnoha dohadům, z nichž mnohé se ukázaly jako správné a některé z nich lze otestovat v průběhu budoucích experimentů. To nás nutí věřit v inflaci, ale má to také některé velmi zajímavé vedlejší účinky.
Jeden z těchto vedlejší efekty naznačuje, že inflace mohla v různých oblastech vesmíru pokračovat různou rychlostí. V některých oblastech se rychlé zdvojnásobení velikosti po nějaké době zastaví a nakonec vznikne pozorovatelný vesmír, jako je ten náš. V jiných regionech může inflace kvůli prostorovým změnám trvat věčně.
Fyzik, University of California, Santa Cruz Máme nekonečný časoprostor, ne proto, že jsme se rozhodli, že časoprostor je nekonečný, ale proto, že jsme vzali v úvahu proces, který přirozeně vede k nekonečnému časoprostoru.
Teorie také naznačuje, že expanze prostoru a času závisí na úhlu pohledu. V souladu s obecná teorie Relativita Alberta Einsteina, čas a prostor jsou neoddělitelně spjaty, odtud ten termín vesmírný čas. Pokud chcete zmínit prostor nebo čas odděleně, musíte časoprostor oddělit matematicky.
Fyzik, University of California, Santa Cruz Ukazuje se, že odpověď na takové otázky jako "Je prostor konečný nebo nekonečný?" může záviset na tom, jak definujete prostor a čas odděleně. Existuje časoprostor, učí nás to Einstein. Můžeme to rozdělit na prostor a čas různými způsoby. Všechny jsou platné a poskytují stejné výsledky ve všech experimentech, ale mají různé významy a některé významy jsou pro dosažení určitých cílů výhodnější než jiné.
Pokud máte nekonečný časoprostor, v tom případě ho můžete rozdělit, aby mohl být vesmír konečný a rozpínající se. Může se neomezeně rozšiřovat a stát se nekonečně velkým, ale konečným. Nebo lze tentýž časoprostor rozdělit tak, že prostor je nekonečný, což má za následek nekonečný, rozpínající se vesmír.
V inflačním Vesmíru, kde se inflace zastaví, dochází k přirozenému rozdělení, v tomto případě se Vesmír blíží homogenitě. Vzniká vesmír, který je prostorově nekonečný.
Inflace dává vzniknout homogenním nekonečným vesmírům, které se mohou proměnit v něco podobného tomu našemu. Je skvělé, že si můžeme vytvářet domněnky o tak bohaté, mnohostranné a zajímavé realitě, v níž je vesmír nekonečný.
Skutečné nekonečno
Otázka, zda je vesmír nekonečný, se týká jednoho typu aristotelského nekonečna, potenciálního nekonečna, které si dokážeme představit, ale nikdy nemůžeme vidět. Ale podle Aristotela existuje jiný typ nekonečna, skutečné nekonečno.
V tomto případě je nějaký objekt, který můžeme měřit, nekonečný.
Tento druh virtuálního nekonečna by mohl vzniknout v černé díře, která se vytvoří, když se masivní objekt, jako je hvězda, začne hroutit. Teoreticky to vede k nekonečné hustotě hmoty v jednom bodě. Ale existují taková nekonečna ve Vesmíru?
„Černá díra není nutně pevný objekt, je to druh povrchu ve vesmíru,“ vysvětluje Barrow, „Jakmile vstoupíte dovnitř, už se nikdy nevrátíte, protože k tomu se musíte hýbat. vyšší rychlost světlo, jinak bude gravitace silnější. V černé díře je to, jako by se obří mrak hroutil a byl stále hustší. Nakonec se kolem něj vytvoří plocha, kterou nazýváme horizont. Pokud jste na obzoru hodně velké černé díry, která je řekněme miliardkrát větší než Slunce, pak se budete cítit jako ve velké místnosti, nic divného. Ale pokud se odtamtud pokusíte dostat, neuspějete. V samotné černé díře se vše začne pohybovat směrem ke středu s neomezenou hustotou. To však zvenčí není vidět. Tyto efekty jsou izolované a nemohou ovlivnit vnější vesmír."
"Před mnoha lety Roger Penrose předložil návrh známý jako kosmická cenzura. Uvádí, že pokud by se ve vesmíru vytvořily singularity nebo nekonečna a nic by je nemohlo zastavit, pak by byly vždy v horizontu. Takzvané" Tam nemohou být nahými singularitami, a proto nemohou existovat nekonečna, která na nás působí navenek. v některých případech teorie byla prokázána, ale má daleko k obecnému důkazu. To je velmi obtížný matematický problém.“
Jiný typ nekonečna, který může existovat, se nazývá nekonečně malý nebo nekonečně dělitelný. Mohli bychom pomocí superpřesných pravítek a tužek rozdělit segment na kousky, které se pokaždé zmenšují?
Ellis si myslí, že ten nápad je směšný. "Pokud držíte prsty 10 cm od sebe a věříte, že je mezi nimi skutečná řada teček, jako v matematice, pak je mezi vašimi prsty nevyčíslitelné nekonečno teček. To je zcela nerozumné. Věřím, že jde o čistě matematické myšlenka, která neodpovídá fyzice.
Richard Feynman jednou řekl, že jediná věc, kterou by chtěl zanechat budoucím generacím, pokud by měl zanechat jednu věc, by byl výrok „Hmota se skládá z atomů“. Myslím, že máme dobrý důvod se domnívat, že podobné tvrzení lze aplikovat na časoprostor a prosazovat jeho diskrétní povahu. Mezi vašimi prsty je velké množství fyzických bodů, ale jsou konečné a spočítatelné."
Jsou-li časoprostor nedělitelné části, pak musí existovat nejmenší měřítko vzdálenosti, nejkratší délka. Fyzikální teorie tuto myšlenku podporují a naznačují, že neexistuje nic kratšího než takzvaná Planckova délka. Je to přibližně 10 -35 m (jedná se o číslo s 34 nulami za desetinnou čárkou). Moderní metody nám nedovolují se tomuto číslu přiblížit, ani teoreticky bychom s velmi výkonnými přístroji nikdy nedokázali změřit nic menšího než Planckovu délku.
Vesmírný hot dog
Ellis udělal důležitý rozdíl. Na jedné straně je matematický pojem nekonečna (přímka je nekonečně dělitelná), na straně druhé fyzikální koncept, která se týká skutečných veličin a jevů, které v přírodě mohou, ale také nemusí existovat. Existuje ale i třetí typ nekonečna, nám asi nejznámější.
kosmolog, University of Cambridge Rozlišujeme matematická nekonečna, fyzikální nekonečna a transcendentální nekonečna, o kterých mluvili teologové nebo filozofové. Zdá se, že téměř každý na ulici zná toto transcendentální nekonečno. Toto je druh vesmírného všeho. Jako párek v rohlíku v jídelně – jeden se vším všudy.
V mnoha náboženstvích naprosto vše spočívá v Bohu nebo nějaké kosmické síle. To je něco jiného, než čím se zabývají fyzici a matematici. Zvažte historii myšlenek v matematice a fyzice, každý může učinit jedno z následujících prohlášení: „Věřím nebo nevěřím v matematická nekonečna“, „Věřím nebo nevěřím ve fyzikální nekonečna“ nebo „Věřím nebo nevěřím věřit v jakýkoli jiný typ nekonečna.“ transcendentální nekonečno.“
Můžete si vybrat kterýkoli z navrhovaných úhlů pohledu. A názory se opravdu různí. Barrow a Aguirre pracují s matematickými nekonečny, ale nezanedbávají nekonečna fyzická.
"Myslím, že je přirozené vytvářet teorie, které obsahují nekonečno," říká Aguirre. "Ano, jsme konečné bytosti a dokážeme pochopit pouze omezenou část vesmíru, ale nevidím důvod omezovat celý vesmír v principu."
Ellis, na druhé straně, nevěří, že fyzikální nekonečna existují, a poukazuje na potenciální problémy při použití nekonečna v matematických argumentech týkajících se fyziky. Odkazuje na slavný myšlenkový experiment matematika Davida Gilberta – hotel Hilbert, který má nekonečně mnoho pokojů a nekonečně mnoho hostů, takže každý pokoj je obsazený. Když přijede nový host, je možné ho ubytovat? To samozřejmě vyžaduje požádat každého hosta, aby se přesunul do další místnosti a umístit nového návštěvníka do první. To je možné, protože existuje n+1. místnost. Co když zase přijde nekonečné množství hostů? Je to také jednoduché – stačí požádat každého hosta z pokoje n, aby se přestěhoval do pokoje n*2. Ukazuje se, že hotel je plný a zároveň není plný.
Kvůli paradoxům, jako jsou tyto, Ellis věří, že bychom měli být velmi opatrní při používání nekonečna ve fyzickém kontextu.
kosmolog, Univerzita v Kapském Městě upřesním. Když lidé mluví o nekonečnu, často mají na mysli něco ve velmi velkém množství. Infinity se v tomto případě jednoduše používá jako kódové slovo. V tomto případě si myslím, že stojí za to vyhnout se slovu „nekonečno“ a mluvit konkrétně o velkém počtu. V jiných případech lidé používají nekonečno v jeho hlubokém, paradoxním smyslu, jako například Hilbert's Hotel. Podle mého názoru, pokud argument závisí na takovém paradoxním argumentu, pak je nepravdivý a měl by být nahrazen jiným.
Vědci tedy nedospěli ke shodě ohledně toho, zda v nich existují nekonečna reálný svět nebo ne. Vzhledem k nedostatku konkrétních vědeckých odpovědí má smysl obrátit se na filozofy.
Fyzik, University of California, Santa Cruz Myslím, že stojí za to spojit úsilí fyziků a filozofů. V tomto případě budou fyzici vyčítat filozofům, že neznají vědu a nevědí, o čem mluví. Filosofové se na fyziku dívají z jiného úhlu pohledu, jako na intelektuální fond, ve srovnání s praktickými vědci. Myslím, že tento druh výměny myšlení by byl neuvěřitelně cenný.
Nekonečno je abstraktní pojem používaný k popisu nebo označení něčeho, co je nekonečné nebo neomezené. Tento koncept je důležitý pro matematiku, astrofyziku, fyziku, filozofii, logiku a umění.
Zde je několik úžasná fakta o tomto složitém konceptu, který dokáže vyvést z míry každého člověka, který není příliš obeznámen s matematikou.
Symbol nekonečna
Nekonečno má svůj speciální symbol: ∞. Symbol neboli lemniscate zavedl duchovní a matematik John Wallis v roce 1655. Slovo „lemniscate“ pochází z latinského slova lemniscus, což znamená „stužka“.
Wallis možná založil symbol nekonečna na římské číslici 1000, vedle které Římané kromě čísla psali „nespočet“. Je také možné, že symbol je založen na omega (Ω nebo ω), poslední dopisŘecká abeceda.
Zajímavým faktem je, že koncept nekonečna se používal dlouho předtím, než mu Wallis dal symbol, který používáme dodnes.
Ve čtvrtém století před naším letopočtem džinistický matematický text nazvaný Surya Prajnapti Sutra rozdělil všechna čísla do tří kategorií, z nichž každá byla rozdělena do tří podkategorií. Tyto kategorie zahrnovaly spočetná, nevyčíslitelná a nekonečná čísla.
Aporia Zeno
Zeno z Elea, narozený kolem pátého století před naším letopočtem. e., byl známý pro paradoxy nebo aporie, včetně konceptu nekonečna.
Ze všech Zenónových paradoxů je nejznámější Achilles a želva. V Aporia vyzve želva řeckého hrdinu Achilla k závodu. Želva tvrdí, že závod vyhraje, pokud mu Achilles dá náskok tisíc kroků. Podle paradoxu za dobu, co Achilles uběhne celou vzdálenost, udělá želva dalších sto kroků stejným směrem. Zatímco Achilles uběhne dalších sto kroků, želva stihne udělat dalších deset a tak dále v sestupném pořadí.
Jednodušším způsobem je na paradox nahlíženo následovně: pokuste se přejít místnost, pokud je každý další krok poloviční než ten předchozí. Sice vás každý krok přibližuje k okraji místnosti, ve skutečnosti na něj nikdy nedosáhnete, nebo ano, ale udělá nekonečně mnoho kroků.
Podle jedné z moderních interpretací je tento paradox založen na falešné představě o nekonečné dělitelnosti času a prostoru.
Pi je příkladem nekonečna
Skvělým příkladem nekonečna je číslo pí. Matematici používají symbol pro pí, protože je nemožné zapsat celé číslo. Pí se skládá z nekonečného počtu čísel. Často se zaokrouhluje na 3,14 nebo dokonce 3,14159, ale nezáleží na tom, kolik číslic je za desetinnou čárkou napsáno, protože se nelze dostat na konec čísla.
Věta o nekonečné opici
Dalším způsobem, jak přemýšlet o nekonečnu, je uvažovat o větě o nekonečné opici. Podle teorému, když dáte opici psací stroj a nekonečné množství času, bude opice nakonec schopna napsat Hamleta nebo jakékoli jiné dílo.
Zatímco mnoho lidí bere teorém jako demonstraci víry, že nic není nemožné, matematici to považují za důkaz, že určitá událost je nemožná.
Fraktály a nekonečno
Fraktál je abstraktní matematický objekt používaný v matematice a umění, nejčastěji modeluje přírodní jevy. Fraktál se zapisuje jako matematická rovnice. Při pohledu na fraktál si můžete všimnout jeho složité struktury v jakémkoli měřítku. Jinými slovy, fraktál je nekonečně rozšiřitelný.
Kochova sněhová vločka je zajímavým příkladem fraktálu. Sněhová vločka vypadá jako rovnostranný trojúhelník, který tvoří uzavřenou křivku nekonečné délky. Zvětšením křivky na ní můžete vidět stále více detailů. Proces zvyšování křivky může pokračovat nekonečněkrát. Sněhová vločka Koch má sice omezenou plochu, ale omezuje ji nekonečně dlouhá řada.
Nekonečno různých velikostí
Nekonečno je neomezené, přesto se dá měřit, i když srovnatelně. Kladná čísla (větší než 0) a záporná čísla(méně než 0) se může pochlubit nekonečnými množinami stejně velkých čísel. Co se stane, když obě sady zkombinujete? Vytvoří sadu dvakrát větší. Nebo jiný příklad – všechna sudá čísla (je jich nekonečně mnoho). A přitom je to jen polovina z nekonečného počtu všech celých čísel. Další příklad, stačí přidat jeden do nekonečna. Naučte se číslo 1 větší než nekonečno.
Kosmologie a nekonečno
Kosmologové studují vesmír a není divu, že pro ně koncept nekonečna hraje důležitou roli. Má vesmír hranice nebo je nekonečný?
Tato otázka zůstává stále nezodpovězena. Náš vesmír se rozšiřuje, ale kam? A kde je hranice tohoto rozšíření? I když existují hranice fyzického vesmíru, stále máme teorii multivesmíru, která uvažuje o existenci nekonečného množství vesmírů, které mohou mít jiné fyzikální zákony než ty naše.
Dělení nulou
Žádné dělení nulou neexistuje. Je to nemožné, alespoň v běžné matematice. V matematice, na kterou jsme zvyklí, nelze definovat jedničku dělenou nulou. To je chyba. Není tomu však vždy tak. V rozšířené teorii komplexních čísel dělení jedničky nulou nezpůsobí bezprostřední kolaps a je určeno nějakou formou nekonečna. Jinými slovy, matematika je jiná a ne vše je omezeno pravidly z učebnic.
V běžném životě se člověk nejčastěji musí potýkat s konečnými veličinami. Proto může být velmi obtížné představit si neomezené nekonečno. Tento koncept je zahalen aurou tajemna a nevšednosti, která se mísí s úctou k Vesmíru, jehož hranice je téměř nemožné určit.
Prostorová nekonečnost světa patří k nejsložitějším a nejkontroverznějším vědeckým problémům. Starověcí filozofové a astronomové se snažili tento problém vyřešit pomocí nejjednodušších logických konstrukcí. K tomu stačilo předpokládat, že je možné dosáhnout domnělého okraje Vesmíru. Ale pokud v tuto chvíli natáhnete ruku, hranice se posune o určitou vzdálenost. Tato operace se může opakovat nesčetněkrát, což dokazuje nekonečnost Vesmíru.
Nekonečno vesmíru je těžké si představit, ale neméně obtížné je, jak může vypadat omezený svět. I pro ty, kteří nejsou příliš pokročilí ve studiu kosmologie, v tomto případě vyvstává přirozená otázka: co je za hranicí Vesmíru? Nicméně taková úvaha, založená na selský rozum a každodenní zkušenost nemůže sloužit jako pevný základ pro striktní vědecké závěry.
Moderní představy o nekonečnosti vesmíru
Moderní vědci, zkoumající mnohonásobné kosmologické paradoxy, dospěli k závěru, že existence konečného vesmíru v zásadě odporuje fyzikálním zákonům. Svět za planetou Zemí zjevně nemá žádné hranice ani v prostoru, ani v čase. V tomto smyslu nekonečno naznačuje, že ani množství hmoty obsažené ve vesmíru, ani jeho geometrické rozměry nelze vyjádřit ani tím největším číslem („Evolution of the Universe“, I.D. Novikov, 1983).
I když vezmeme v úvahu hypotézu, že vesmír vznikl asi před 14 miliardami let v důsledku takzvaného velkého třesku, může to znamenat jen to, že v těchto extrémně vzdálených dobách svět prošel další fází přirozené transformace. Obecně platí, že nekonečný vesmír se nikdy neobjevil v důsledku počátečního impulsu nebo nevysvětlitelného vývoje nějakého nehmotného objektu. Předpoklad nekonečného vesmíru ukončuje hypotézu o božském stvoření světa.
V roce 2014 zveřejnili američtí astronomové výsledky nejnovějšího výzkumu, který potvrzuje hypotézu o existenci nekonečného a plochého Vesmíru. Vědci změřili s vysokou přesností vzdálenost mezi galaxiemi umístěnými několik miliard světelných let od sebe. Ukázalo se, že tyto kolosální hvězdokupy se nacházejí v kruzích s konstantním poloměrem. Kosmologický model sestrojený výzkumníky nepřímo dokazuje, že vesmír je nekonečný jak v prostoru, tak v čase.
