Ve strategickém plánování a marketingu se používá poměrně hodně matic jednoho či druhého směru. Je potřeba tyto matice systematizovat, stejně jako postupná implementace maticového přístupu ve všech fázích strategické analýzy a plánování.
Úrovně strategického plánování v maticovém měření. Ve strategickém plánování lze rozlišit podnikovou úroveň, obchodní úroveň a funkční úroveň.
Matice strategického plánování na podnikové úrovni analyzují podniky zahrnuté v korporaci, tzn. pomoci provést analýzu portfolia i analýzu situace v korporaci jako celku.
Obchodní úroveň zahrnuje matice, které jsou relevantní pro danou obchodní jednotku. Matice se nejčastěji vztahují k jednomu produktu, rozebírají vlastnosti tohoto produktu, situaci na trhu s tímto produktem atd.
Matice funkčních úrovní zkoumají faktory ovlivňující funkční oblasti podniku, z nichž nejdůležitější jsou marketing a personál.
Klasifikace strategických analýz a plánovacích matic.
Prozkoumejte stávající strategické analýzy a plánovací matice různé aspekty tohoto procesu. Klasifikace matic je nezbytná pro identifikaci vzorců a rysů použití maticové metody ve strategické analýze a plánování.
Matice lze klasifikovat podle existujících charakteristik takto:
- Klasifikace podle počtu studovaných buněk.
- Klasifikace podle předmětu studia.
- Klasifikace podle obdržených informací.
Čím více buněk matrice obsahuje, tím je komplexnější a informativnější. V tomto případě je možné rozdělit matice do čtyř skupin. První skupina zahrnuje matice sestávající ze čtyř buněk. Druhá skupina obsahuje matice skládající se z devíti buněk, třetí - šestnáct a čtvrtá - více než šestnáct buněk.
Klasifikace podle předmětu studia rozděluje matice do skupin v závislosti na studovaném předmětu. V matici „Awareness - Attitude“ je předmětem zkoumání personál, stejně jako v matici „Vliv plateb na vztahy ve skupině“. Dalším předmětem studia je portfolio společnosti. Příklady v této skupině zahrnují matice Shell/DPM a BCG.
Tato klasifikace rozděluje matice do dvou skupin podle obdržených informací: buď kvantitativní nebo sémantické. V této skupině je příkladem matice tvořené informací ve tvaru čísla matice vektoru ekonomického stavu organizace a logickou informací tvořená maticí hlavních forem asociací.
Zavedení maticových nástrojů do analýzy a plánování podnikových aktivit.
V první fázi se navrhuje provést primární analýzu činnosti podniku. Pro tento účel byly vybrány tři matrice. SWOT matice je široce popsána v literatuře. Matice MCC zahrnuje analýzu souladu poslání podniku a jeho hlavních schopností. Vektorová matice vývoj ekonomiky podnik je tabulka, která uvádí číselné údaje hlavních ukazatelů podniku. Z této matice můžete čerpat informace pro další matice a na základě těchto dat můžete již v této fázi vyvodit různé závěry.
Druhá fáze aplikace maticové metody je analýza trhu a odvětví. Zde jsou analyzovány trhy, na kterých podnik působí, i odvětví jako celek. Hlavními v podskupině „Trh“ jsou matice BCG, která studuje vztah mezi mírou růstu a podílem na trhu, a matice GE, která analyzuje komparativní atraktivitu trhu a konkurenceschopnost v odvětví a má dvě varianty: Den verze a verze Monienson. Podskupina „Průmysl“ obsahuje matice, které studují průmyslové prostředí a vzorce rozvoje průmyslu. Hlavní v této podskupině je matice Shell/DPM, která studuje vztah mezi atraktivitou odvětví a konkurenceschopností.
Dalšími fázemi strategického plánování jsou diferenciační analýza a analýza kvality. Diferenciace a kvalita působí v tomto případě jako komponenty, s jejichž pomocí je možné dosáhnout požadovaného výsledku. Ve skupině „Diferenciace“ jsou tři matice. Matice „Zlepšení konkurenční pozice“ vám umožňuje jasně identifikovat vzorce a závislosti diferenciace na pokrytí trhu. Matice „Diferenciace - relativní nákladová efektivita“ odhaluje závislost relativní nákladové efektivity na daném trhu na diferenciaci. Matice Performance-Innovation/Diferenciation ukazuje vztah mezi výkonem dané obchodní jednotky a implementací inovace.
Předmětem výzkumu skupiny „Analýza kvality“ je identifikace faktorů a zákonitostí, které ovlivňují takový aspekt, jako je kvalita vyráběných produktů. Skupina může obsahovat dvě matice. Matice cenových strategií umisťuje produkty na základě kvality a ceny. Matice „Kvalita – Intenzita zdrojů“ určuje poměr kvality vyrobeného produktu a zdrojů na něj vynaložených.
Skupiny „Analýza řízení“ a „Analýza marketingové strategie“ nejsou zahrnuty do procesu postupné implementace maticové metody ve strategickém plánování. Tyto skupiny jsou samostatné. Matice, které tvoří tyto skupiny, mohou být použity ve všech fázích strategického plánování a řeší otázky funkčního plánování. Skupina Analýza managementu se skládá ze dvou podskupin. První podskupina – „Management“ – zkoumá řízení podniku jako celku, procesy ovlivňující řízení a řízení podniku. Podskupina „Personál“ zkoumá procesy probíhající mezi kolegy a vliv různých faktorů na výkon personálu.
V navrženém schématu strategické analýzy a plánování v každé skupině se matice vzájemně ovlivňují, ale nelze se spoléhat na výsledek nebo závěr pouze jedné matice - je nutné vzít v úvahu závěry získané z každé matice ve skupině . Po provedení analýzy v první skupině se analýza provede v další skupině. Analýza ve skupinách „Management“ a „Marketingová strategie“ se provádí ve všech fázích analýzy strategického plánování.
Charakteristika jednotlivých matic
SWOT analýza je dnes jedním z nejběžnějších typů analýzy ve strategickém řízení. SWOT: Silné stránky; Slabé stránky; Příležitosti; Výhrůžky. SWOT analýza umožňuje identifikovat a strukturovat silné a slabé stránky společnosti, stejně jako potenciální příležitosti a hrozby. Toho je dosaženo porovnáním vnitřních silných a slabých stránek jejich společnosti s příležitostmi, které jim trh poskytuje. Na základě kvality souladu je učiněn závěr o směru, kterým by se měl podnik vyvíjet, a nakonec je určeno rozdělení zdrojů mezi segmenty.
Účelem SWOT analýzy je formulovat hlavní směry rozvoje podniku prostřednictvím systematizace dostupných informací o silných a slabých stránkách podniku, jakož i potenciálních příležitostech a hrozbách.
Nejatraktivnější na této metodě je, že informační pole tvoří přímo sami manažeři, ale i nejkompetentnější zaměstnanci firmy na základě zobecnění a koordinace vlastních zkušeností a vize situace. Obecný pohled na primární matici SWOT analýzy je znázorněn na obr. 1.
Obr. 1. Matice primární strategické SWOT analýzy.
Na základě důsledného zvažování faktorů jsou přijímána rozhodnutí o úpravě cílů a strategií podniku (podnikové, produktové, zdrojové, funkční, manažerské), které následně určují klíčové body organizování činností.
Analýza obchodního portfolia společnosti by měla manažerům pomoci posoudit oblast působnosti společnosti. Společnost by se měla snažit investovat do výnosnějších oblastí své činnosti a omezovat ty nerentabilní. Prvním krokem vedení při analýze obchodního portfolia je identifikace klíčových oblastí činnosti, které definují poslání společnosti. Lze je nazvat strategické obchodní prvky – SEB.
V další fázi analýzy obchodního portfolia musí management posoudit atraktivitu různých SSE a rozhodnout, jakou podporu si každý zaslouží. V některých společnostech se to děje neformálně během pracovního procesu. Management studuje souhrn činností a produktů společnosti a řídí se jimi selský rozum, rozhoduje o tom, kolik má každý SEB přinést a obdržet. Jiné společnosti používají formální metody pro plánování portfolia.
Formální metody lze nazvat přesnější a důkladnější. Mezi nejznámější a nejúspěšnější metody analýzy obchodního portfolia pomocí formálních metod patří:
- metoda Boston Consulting Group (BCG);
- Metoda General Electric (GE).
Metoda BCG je založena na principu analýzy matice růst/tržní podíl. Jedná se o metodu plánování portfolia, která vyhodnocuje PSE společnosti z hlediska jejich tempa růstu trhu a relativního podílu těchto prvků na trhu. SEB se dělí na „hvězdy“, „dojné krávy“, „tmavé koně“ a „psi“ (viz obr. 2).
| T E m P R R |
PROTI s S Ó Na A čt |
"Hvězda" | "dojné krávy" |
| n A h Na A čt |
"dojná kráva" | "Pes" | |
| vysoký | nízký | ||
| Relativní podíl na trhu | |||
Obr.2. BCG Matrix.
Vertikální osa na obr. 2, tempo růstu trhu, určuje míru atraktivity trhu. Horizontální osa, relativní podíl na trhu, určuje sílu pozice firmy na trhu. Při rozdělení matice růst/tržní podíl na sektory lze rozlišit čtyři typy EBS.
"Hvězdy". Rychle se rozvíjející oblasti činnosti, produkty s velkým podílem na trhu. Obvykle vyžadují velké investice, aby si udržely svůj růst. Postupem času se jejich růst zpomaluje a mění se v „dojné krávy“.
"dojné krávy" Obory podnikání nebo produkty s nízkou mírou růstu a velkým podílem na trhu. Tyto udržitelné a úspěšné SEB vyžadují méně investic, aby si udržely svůj podíl na trhu. Zároveň generují vysoké příjmy, které společnost využívá k placení svých účtů a udržování dalších systémů sebehodnocení, které vyžadují investice.
"Temní koně". Prvky podnikání, které mají malý podíl na rychle rostoucích trzích. Potřebují hodně kapitálu, aby vůbec udrželi svůj podíl na trhu, natož aby jej zvýšili. Management by měl pečlivě zvážit, kteří tmaví koně by se měli proměnit ve hvězdy a kteří by měli být vyřazeni.
"Psi". Obchodní linie a produkty s nízkou mírou růstu a malým podílem na trhu. Mohou vytvářet dostatečný příjem, aby se uživili, ale neslibují, že se stanou vážnějšími zdroji příjmu.
Každý SEB je předložen tato matrice v poměru k jeho podílu na hrubém příjmu společnosti. Po klasifikaci EBS musí společnost určit roli každého prvku v budoucnu. Pro každý SEB lze použít jednu ze čtyř strategií. Společnost může zvýšit investice do prvku svého podnikání, aby pro ni získala podíl na trhu. Nebo může investovat přesně tolik, kolik je nutné k udržení podílu SEB na současné úrovni. Může odčerpávat zdroje z SEB, stahovat své krátkodobé peněžní zdroje po určitou dobu, bez ohledu na dlouhodobé důsledky. Nakonec se může zbavit SEB tím, že ji prodá nebo postupně ukončí a použije zdroje jinde.
V průběhu času SEB mění svou pozici v matici růstu/podílu na trhu. Každý SEB má svůj vlastní životní cyklus. Mnoho SEB začíná jako „temní koně“ a za příznivých okolností přechází do kategorie „hvězd“. Později, když se růst trhu zpomaluje, stávají se z nich „dojné krávy“ a nakonec, na konci svého životního cyklu, vyblednou nebo se promění v „psy“. Společnost potřebuje neustále zavádět nové produkty a aktivity, aby se některé z nich staly „hvězdami“ a následně „dojnými krávami“, které pomáhají financovat další SEB.
Maticové metody hrají velmi důležitou roli ve strategické analýze, plánování a marketingu. Maticová metoda je velmi pohodlná - to vysvětluje její prevalenci. Použití pouze maticových metod však nestačí, protože matice umožňují studovat strategické plánování a marketing z jednotlivých aspektů a neukazují úplný obraz, ale v kombinaci s jinými metodami umožňuje maticový přístup jasně vidět vzory v procesy probíhající v podniku a dělat správné závěry.
Stůl 1. Maticové nástroje v analýze a plánování organizačních činností
| № | Úrovně řešení problémů | Matice | Hlavní charakteristiky |
| 1 | Primární analýza | SWOT matice | Analýza silných a slabých stránek podniku, příležitostí a hrozeb |
| 2 | Matice MCC | Analýza souladu s posláním podniku a jeho hlavními schopnostmi | |
| 3 | Matice vektoru ekonomického rozvoje podniku | Analýza statistických dat | |
| 4 | Analýza trhu/průmyslu | BCG Matrix | Analýza tempa růstu a podílu na trhu |
| 5 | GE Matrix | Analýza komparativní atraktivity a konkurenceschopnosti trhu | |
| 6 | ADL matice | Analýza životního cyklu odvětví a relativní pozice na trhu | |
| 7 | Matice HoferSchendel | Analýza postavení mezi konkurenty v oboru a fáze vývoje trhu | |
| 8 | Ansoffova matice („tržní produkt“) |
Analýza strategie ve vztahu k trhům a produktům | |
| 9 | Porterova matice (pět konkurenčních sil) |
Analýza strategických vyhlídek rozvoje podnikání | |
| 10 | Matice pružnosti konkurenční odezvy na trhu | Analýza působení společnosti na faktory konkurenceschopnosti produktu v závislosti na elasticitě reakce prioritního konkurenta na produkt | |
| 11 | Matice seskupení produktů | Analýza seskupování produktů | |
| 12 | Matice „Nejistota dopadu“ | Analýza míry dopadu a míry nejistoty při vstupu na nový trh | |
| 13 | Průmysl | Cooperova matice | Analýza atraktivity odvětví a obchodní síly |
| 14 | Matice ShellDPM | Analýza atraktivity odvětví náročného na zdroje v závislosti na konkurenceschopnosti | |
| 15 | Matice strategií pro upadající podnikání | Analýza konkurenčních výhod v průmyslovém prostředí | |
| 16 | Matice základních forem asociací | Analýza fúzí v průmyslovém prostředí | |
| 17 | Diferenciační analýza | Matice zlepšení konkurenční pozice | Diferenciace trhu a analýza pokrytí |
| 18 | Matice „Diferenciace relativní nákladová efektivita“ | Analýza diferenciace a relativní efektivnosti nákladů | |
| 19 | Matrix „Výkon – Inovace/Diferenciace“ | Analýza inovací/diferenciace a produktivity | |
| 20 | Analýza kvality | Matrix "cena-kvalita" | Umístění produktu na základě kvality a ceny |
| 21 | Matice „Kvalita – náročnost na zdroje“ |
Analýza závislosti kvality na náročnosti zdrojů | |
| 22 | Analýza marketingové strategie | Matice strategie rozšiřování rodiny značky | Analýza vztahu mezi výraznými výhodami a segmentací cílového trhu |
| 23 | Matrix „Povědomí-postoj ke značce produktu“ | Analýza vztahu mezi hrubou ziskovou marží a prodejní odezvou | |
| 24 | Marketing Channel Matrix | Analýza vztahu mezi tempem vývoje trhu a přidanou hodnotou kanálu | |
| 25 | Matice "Kontakt - úroveň přizpůsobení služby" | Analýza závislosti míry přizpůsobení služeb požadavkům zákazníka na míře kontaktu s klientem | |
| 26 | Matice "Marketingová diagnostika" |
Analýza závislosti strategie na implementaci strategie | |
| 27 | Analýza managementu Řízení |
Matice metod strategického řízení | Analýza vztahu mezi strategií a dopadem plánování |
| 28 | Matice modelu strategického řízení | Analýza závislosti modelu řízení na typu změny | |
| 29 | Hersey-Blanchardova matice | Analýza situačního modelu vedení | |
| 30 | Matrix „Rozměrové kombinace stylů vedení Ohio University“ | Analýza kombinací dimenzí stylů vedení | |
| 31 | Matice "Mřížka řízení" | Analýza typů vedení | |
| 32 | Personál | Matice „Změna – v organizaci“ | Analýza závislosti změn probíhajících v organizaci a odolnosti vůči těmto změnám |
| 33 | Matice vlivu platby na vztahy ve skupině | Analýza závislosti vztahů ve skupině na diferenciaci plateb | |
| 34 | Matice typů zařazení člověka do skupiny | Analýza vztahu mezi postojem k hodnotám organizace a postojem k normám chování v organizaci | |
| 35 | Matice „Základní obchodní schopnosti“ | Analýza trhu a klíčových obchodních schopností | |
| 36 | Matice "Důležitost práce" | Analýza závislosti pracovního výkonu na důležitosti | |
| 37 | Matice existujících formálních systémů kritérií kvality práce | Analýza existujících formálních systémů kritérií kvality práce | |
| 38 | Matice výsledků řízení kritérií kvality výkonu | Analýza výsledků řízení kritérií kvality práce | |
| 39 | Blake-Mouton Matrix | Rozbor závislosti pracovního výkonu na počtu osob a na počtu úkolů | |
| 40 | MacDonald Matrix | Analýza výkonu |
Historicky první model podnikového strategického plánování je považován za tzv. „growth-share“ model, který je známější jako model Boston Consulting Group (BCG).
Tento model je jakýmsi zobrazením pozic určitého typu podnikání ve strategickém prostoru definovaném dvěma osami (x, y), z nichž jedna se používá k měření tempa růstu trhu pro odpovídající produkt, a jiné k měření relativního podílu produktů organizace na trhu s daným produktem.
Vznik modelu BCG byl logickým závěrem jednoho výzkumná práce, kterou svého času vedl specialista z poradenské společnosti Boston Consulting Group.
V procesu studia různých organizací vyrábějících 24 hlavních typů výrobků v 7 průmyslových odvětvích (elektrická energie, výroba plastů, průmysl barevných kovů, výroba elektrických zařízení, výroba benzínu atd.) byla zjištěna empirická fakta, že když se objem výroby zdvojnásobí, variabilní výrobní náklady jednotky produkce se snižují o 10-30%.
Bylo také zjištěno, že tento trend se vyskytuje téměř ve všech tržních odvětvích.
Tyto skutečnosti se staly podkladem pro závěr, že variabilní výrobní náklady jsou jedním z hlavních, ne-li hlavním faktorem obchodního úspěchu a určují konkurenční výhody jedné organizace oproti jiné.
Pomocí statistických metod byly odvozeny empirické závislosti, které popisují vztah mezi výrobními náklady, jednotkami výroby a objemem výroby. A jeden z hlavních faktorů konkurenční výhody byl umístěn v jednoznačné korespondenci s objemem výroby a následně s podílem na trhu odpovídajících produktů, který tento objem zaujímá.
Hlavním zaměřením modelu BCG je peněžní tok podniku, který směřuje buď k provádění operací v určité obchodní oblasti, nebo vzniká jako výsledek takových operací. Předpokládá se, že úroveň příjmů nebo peněžních výdajů je velmi silně funkčně závislá na tempu růstu trhu a relativním podílu organizace na tomto trhu.
Tempo růstu podnikání organizace určuje míru, s jakou bude organizace používat hotovost.
Obecně se uznává, že během fáze zralosti a poslední fáze životního cyklu jakéhokoli podnikání úspěšný podnik generuje hotovost, zatímco ve fázi rozvoje a růstu podniku se hotovost spotřebovává.
Závěr: Aby byla zachována kontinuita úspěšného podnikání, musí být peněžní zásoba vyplývající z realizace „vyspělého“ podnikání částečně investována do nových oblastí podnikání, které slibují, že se v budoucnu stanou generátory příjmů pro organizaci.
V modelu BCG se za hlavní komerční cíle organizace předpokládá růst masových a ziskových marží. Zároveň je soubor přijatelných strategických rozhodnutí o tom, jak lze těchto cílů dosáhnout, omezen na 4 možnosti:
- 1) zvýšení podílu podnikání organizace na trhu;
- 2) boj o udržení obchodního podílu organizace na trhu;
- 3) maximální využití pozice podniku na trhu;
- 4) osvobození od tohoto druhu podnikání.
Rozhodnutí, která model BCG navrhuje, závisí na pozici konkrétního typu podnikání organizace, strategického prostoru tvořeného dvěma souřadnými osami. Použití tohoto parametru v modelu BCG je možné ze 3 důvodů:
rostoucí trh zpravidla slibuje návratnost investic v blízké budoucnosti tenhle typ podnikání.
zvýšená míra růstu trhu ovlivňuje množství hotovosti se znaménkem „-“, a to i v případě poměrně vysoké míry zisku, protože vyžaduje zvýšené investice do rozvoje podnikání.
Existují dva modely BCG: klasický a upravený. Zvažte klasický model:
Struktura klasického modelu:
Na ose x je znázorněno měření některých konkurenčních pozic organizace v daném oboru ve formě poměru objemů prodeje organizace v daném oboru k objemu prodeje největšího konkurenta v dané oblasti podnikání.
V původní verzi BCG je úsečka logaritmická. Model BCG je tedy matice 2 * 2, na které jsou obchodní oblasti zobrazeny kruhy se středy v průsečíku souřadnic tvořených odpovídajícími mírami růstu trhu a relativním podílem organizace na odpovídajícím trhu.
Každý nakreslený kruh charakterizuje pouze 1 obchodní oblast charakteristickou pro danou organizaci.
Velikost kruhu je úměrná celkové velikosti celého trhu. Nejčastěji je tato velikost určena jednoduchý doplněk podnikání organizace a odpovídající podnikání jejích konkurentů.
Někdy je v každém kruhu identifikován segment, který charakterizuje relativní podíl obchodní oblasti organizace na daném trhu, i když to není nutné pro získání strategických závěrů v tomto modelu.
Rozdělení os na 2 části nebylo provedeno náhodou. Na vrcholu matice jsou obchodní oblasti s nadprůměrným tempem růstu. Ve spodní části odpovídajícím způsobem nižší.
Původní model BCG předpokládal, že hranicí mezi vysokým a nízkým tempem růstu je 10% nárůst tržeb za rok.
Každému z těchto čtverců jsou přiřazeny obrazové názvy (například: matice BCG se nazývá „Zoo“).
„Hvězdy“: jedná se o nové oblasti podnikání, které zaujímají poměrně velký podíl na rychle se rozvíjejícím trhu, na kterém generují vysoké zisky. Tyto obchodní oblasti lze nazvat lídry ve svých odvětvích, protože organizaci přinášejí velmi vysoké příjmy. nicméně hlavní problém je spojena s určením správné rovnováhy mezi příjmy a investicemi v této oblasti, aby byla zaručena návratnost investic v budoucnu.
Cash Cows: Jedná se o obchodní oblasti, které v minulosti získaly poměrně velký podíl na trhu, ale postupem času se růst příslušného odvětví znatelně zpomalil, peněžní tok v této pozici je dobře vyvážený, protože k investicím je zapotřebí naprosté minimum. v takové obchodní oblasti. Taková obchodní oblast může organizaci přinést dobrý příjem (jedná se o bývalé „hvězdy“).
Problémové děti: Tyto obchodní oblasti soutěží v rostoucích odvětvích, ale mají relativně malý podíl na trhu. Tato souhra okolností vede k potřebě zvýšit investice za účelem ochrany svého podílu na trhu. Vysoká míra růstu vyžaduje značný peněžní tok, aby udržela krok s tímto růstem.
„Psi“: Jedná se o obchodní oblasti s relativně malým podílem na trhu v pomalu se rozvíjejících odvětvích. Cash flow je zanedbatelný, někdy dokonce negativní.
Model Classic ale používá málokdo, protože je nepraktický kvůli nutnosti získávat aktuální data o stavu trhu a podílu, který firma a její konkurent zaujímá. Proto pro výpočty používáme
Upravený model:
Upravená BCG matice je postavena na základě interních firemních informací. Požadované údaje - objemy prodeje produktů za určité období, které nesmí být kratší než 12 měsíců, v budoucnu je pro sledování dynamiky nutné přidat údaje za další 3 měsíce (tj. údaje za 12, 15, 18, 21, 24 měsíců). Údaje nemusí začínat měsícem leden, ale měly by být po měsících. Je také důležité zvážit sezónnost prodeje zboží nebo služeb u produktů vaší společnosti. V uvažované společnosti tvoří produktové portfolio 5 skupin zboží a nechybí ani údaje o jejich tržbách za období leden - prosinec 2013.
Tabulka 5. Údaje o prodeji společnosti NordWest LLC
|
Keramická dlažba |
|||||||||||||
|
Buňkový beton |
 |
||||||||||||
|
Velkoformátová cihla |
Průběh přednášek z oboru
"Matricová analýza"
pro studenty 2. ročníku
obor Matematická fakulta
"Ekonomická kybernetika"
(přednášející Dmitruk Maria Alexandrovna)
1. Definice funkce.
Df. Nechat
– funkce skalárního argumentu. Je třeba určit, co se rozumí f(A), tzn. potřebujete rozšířit funkci f(x) na maticovou hodnotu argumentu.Řešení tohoto problému je známé, když f(x) je polynom:
, Pak .Definice f(A) in obecný případ.
Nechť m(x) je minimální polynom A a má následující kanonický rozvoj
, , jsou vlastní čísla A. Nechť polynomy g(x) a h(x) nabývají stejných hodnot.Nechť g(A)=h(A) (1), pak polynom d(x)=g(x)-h(x) je anulační polynom pro A, protože d(A)=0, proto d(x ) děleno lineární polynom, tj. d(x)=m(x)*q(x) (2).
, tj. (3), , , .Dohodněme se na m číslech pro f(x) takových
budou nazývány hodnotami funkce f(x) na spektru matice A a množina těchto hodnot bude označena .Pokud je pro f(x) definována množina f(Sp A), pak je funkce definována na spektru matice A.
Z (3) vyplývá, že polynomy h(x) a g(x) mají na spektru matice A stejné hodnoty.
Naše úvaha je vratná, tzn. od (3) Þ (3) Þ (1). Je-li tedy dána matice A, pak je hodnota polynomu f(x) zcela určena hodnotami tohoto polynomu na spektru matice A, tzn. všechny polynomy g i (x) nabývající stejných hodnot na spektru matice mají stejné hodnoty matice g i (A). Požadujeme, aby se určení hodnoty f(A) v obecném případě řídilo stejným principem.
Hodnoty funkce f(x) na spektru matice A musí plně určovat f(A), tzn. funkce, které mají stejné hodnoty ve spektru, musí mít stejnou hodnotu matice f(A). Je zřejmé, že pro určení f(A) v obecném případě stačí najít polynom g(x), který by na spektru A nabyl stejných hodnot jako funkce f(A)=g(A).
Df. Pokud je f(x) definováno na spektru matice A, pak f(A)=g(A), kde g(A) je polynom, který nabývá na spektru stejných hodnot jako f(A),
Df.Hodnota funkce z matice A nazvěme hodnotu polynomu z této matice at
.Mezi polynomy z C[x], které mají stejné hodnoty ve spektru matice A, jako f(x), stupeň není vyšší než (m-1), přičemž ve spektru nabývají stejné hodnoty A, jako f(x) - to je zbytek dělení libovolného polynomu g(x), který má na spektru matice A stejné hodnoty jako f(x), na minimální polynom m(x)=g( x)=m(x)*g(x)+r(x) .
Tento polynom r(x) se nazývá Lagrangeův-Sylvesterův interpolační polynom pro funkci f(x) na spektru matice A.
Komentář. Pokud minimální polynom m(x) matice A nemá více kořenů, tzn.
, pak hodnotu funkce na spektru.Příklad:
Najděte r(x) pro libovolné f(x), pokud je matice
. Sestrojme f(H 1). Pojďme najít minimální polynom H 1 - poslední invariantní faktor:
dn-i = x2; dn-1 = 1;
m x = f n (x) = d n (x)/d n-1 (x) = x nÞ 0 – n-násobná odmocnina m(x), tzn. n-násobné vlastní hodnoty H 1 .
, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .
2. Vlastnosti funkcí z matic.
Nemovitost č. 1. Pokud matice
má vlastní čísla (mezi nimi mohou být násobky) a , pak jsou vlastní čísla matice f(A) vlastními hodnotami polynomu f(x): .Důkaz:
Nechť má charakteristický polynom matice A tvar:
... Pojďme si to spočítat. Pojďme od rovnosti k determinantům:Udělejme náhradu v rovnosti:
(*)Rovnost (*) platí pro libovolnou množinu f(x), takže nahradíme polynom f(x).
, dostaneme: .Vlevo jsme získali charakteristický polynom pro matici f(A), rozložený vpravo na lineární faktory, což znamená, že
jsou vlastní hodnoty matice f(A).CTD.
Nemovitost č. 2. Nechte matici
a jsou vlastními hodnotami matice A, f(x) je libovolná funkce definovaná na spektru matice A, pak jsou vlastní hodnoty matice f(A) rovny .Důkaz:
Protože funkce f(x) je definována na spektru matice A, pak existuje interpolační polynom matice r(x) takový, že
a pak f(A)=r(A) a matice r(A) má vlastní čísla podle vlastnosti č. 1, která se rovnají .Umožňuje stanovit optimální posloupnost studia akademických předmětů zařazených do učebního plánu. Každý předmět v učebním plánu má své číslo.
Nechť učební plán zahrnuje 19 předmětů. Sestavíme čtvercovou matici se základem, který se rovná počtu předmětů v učivu (19).
Metoda odborné posouzení zkušení učitelé určují nejvýznamnější vztahy mezi akademickými předměty. Sloupce matice jsou považovány za spotřebitele a řádky jsou nosiče informací. Například pro sloupec 10 důležitými dopravci informace jsou řádky 7, 9, 11, tedy znalosti o předmětech s těmito čísly. Tyto řádky ve sloupci jsou vyjádřeny jedničkami (1), nepřítomnost spojení je znázorněna nulami (0). Výsledkem analýzy byla matice devatenáctého řádu, která spočívá v postupném odstraňování sloupců a řádků. Sloupce vyplněné nulami nedostávají informace od jiných subjektů, tj. jejich studium není založeno na logickém vztahu s jinými subjekty, i když mohou být naopak nositeli primární informace. To znamená, že předměty, které mají čísla těchto sloupců, mohou být studovány jako první. Řádky vyplněné nulami nejsou považovány za nosiče informace a nebudou základem pro studium jiných předmětů, lze je tedy studovat jako poslední.
Nejprve se přeškrtnou sloupce 7, 8, 9, 18 a jim odpovídající řádky. Dostaneme první redukovanou matici patnáctého řádu, která má zase nula sloupců 4, 16, 17. Když se jich zbavíme, dostaneme druhou redukovanou matici. Po provedení všech následných redukcí získáme matici, ve které nejsou žádné sloupce bez jedniček, ale je zde nula řádků, které jsou také přeškrtnuty spolu s odpovídajícími sloupci. Po důsledném provádění podobných akcí se dostáváme k matici tvaru znázorněného v diagramu.
Výsledná matice odpovídá grafu na obrázku 3.2. Tento graf obsahuje tři uzavřené dvojité kontury (13-15), (5-6), (11-10). S určitou aproximací můžeme předpokládat, že předměty, které jsou v těchto obrysech zahrnuty, by se měly studovat paralelně a nejprve se studují předměty s číslem 13 a 15 a teprve potom předměty 5, 6, 10, 11.
V důsledku maticové analýzy je možné vytvořit schematický (blokový) model studijních předmětů v učebním plánu:
Diagram ukazuje kombinovaný systém pro připojení vzdělávacích předmětů. Buňky obsahují počty subjektů s paralelním studiem. Vytvořený spojovací systém by neměl být chápán jako povinná posloupnost spojování jedné skupiny předmětů až po absolvování předchozí, ale pouze jako nutnost postoupit v jejich studiu. Naznačuje pouze obecný trend ve spojování objektů.
Maticová analýza programu
Umožňuje vyhodnotit logickou posloupnost uspořádání vzdělávací materiál v rámci předmětu a odpovídajícím způsobem jej vylepšit.
Nechť akademický předmět obsahuje 6 témat. Matrix A! sestaveno podle tematického plánu tohoto akademického předmětu. Čísla, která jsou uvažována z hlediska jejich využití při studiu jiných témat při sestavování matice, jsou umístěna svisle, čísla umístěná vodorovně odpovídají uvažovaným tématům z hlediska jejich využití informací z jiných témat.
Pro identifikaci uzavřených kontur, jejichž přítomnost ukazuje na nemožnost stanovit posloupnost průchodu jednotlivých témat, provádíme transformace (zkrácení) matice Au. Vymažeme řádek 5 sestávající z nul a jemu odpovídající sloupec, stejně jako nulový sloupec 3 s odpovídajícím řádkem. Vytvoří se matice A2.
V matici A2 chybí řádky a sloupce sestávající pouze z nul. Pro vytvoření uzavřených kontur uvádíme graf odpovídající matici A2 (viz obr. 3.3, a).
Na základě studia grafu vyplývá, že přítomnost uzavřených kontur je způsobena vztahem mezi obsahem vzdělávacího materiálu témat 1 a 6, jakož i témat 4 a 6. Důvodem zaznamenaného vztahu je neúspěšné přerozdělování obsahu vzdělávacího materiálu mezi tato témata. Zobrazením obsahu těchto témat je možné eliminovat existující uzavřené smyčky grafu. Tímto způsobem se vytvoří nový graf (obr. 3.3, b) a odpovídající matice A3.
Zmenšením této matice vznikne nová matice A4.
Po odstranění oblouků (6, 4), (6, 1) a (1, 6) získáme novou počáteční matici B1, jejíž graf nemá uzavřené obrysy.
Nyní, když jsou uzavřené smyčky přerušeny, začněme upravovat pořadí témat. Za tímto účelem budeme postupně mazat sloupce sestávající z nul a řádků stejného jména. Při studiu témat, která těmto sloupcům odpovídají, nejsou využívány informace z jiných témat, a proto je lze studovat jako první.
V matrixu! sloupce 1 a 3 jsou nulové, téma 1 tak může zaujmout místo v tematickém plánu. Při zkoumání důvodů pro umístění tématu 3 před téma 2 se ukazuje, že některé informace k tématu 2 se vyskytují v tématu 3. Logičtější a užitečnější je však nechat je v tématu 3.
Po přeuspořádání výukového materiálu místo oblouku (3, 2) dostaneme oblouk (2, 3); odstranit sloupec 1 - dostaneme matici B2.
Dřívější číslo 2 přiřadíme k tématu 2. Smažeme sloupec 2, řádek 2. Získáme matici B3.
Témata 3 a 4 zůstávají se stejnými čísly. Vymažeme sloupce 3, 4 s odpovídajícími řádky; dostaneme matici B4
Téma 6 má přiděleno číslo 5 a téma 5 číslo 6.
Matici C1 skládáme podle nového rozložení témat.
Transformujme matici postupným odstraněním nula řádků a sloupců stejného jména. Témata jim odpovídající přesouváme na konec řádku, protože informace z těchto témat nejsou využity při studiu jiných témat. Téma 5 má přiděleno číslo 6.
Smažte řádek a sloupec 6. Přidělte tématu 6 číslo 5.
Řádky 4 a 3 škrtneme a dřívější čísla 4 a 3 přiřadíme k tématům, která na ně odpovídají.
Témata 1 a 2 zůstávají tematicky stejná. Výsledkem maticového zpracování je následující konečné uspořádání témat ve struktuře předmětu:
Z výše uvedené sekvence je zřejmé, že po maticovém zpracování struktury tematický plán byla prohozena témata 5 a 6. Navíc vznikla potřeba přesunout výukový materiál k tématu 5 do tématu 1, stejně jako z tématu 2 do tématu 3.
Jak je patrné z výše uvedeného příkladu, maticová analýza struktury vzdělávacího materiálu umožňuje jeho do určité míry zefektivnit a zlepšit. vzájemné domluvě témata osnov.
Je třeba vzít v úvahu maticovou analýzu osnovy a programy vyžaduje, aby umělci měli rozsáhlé praktické zkušenosti a hluboké znalosti o obsahu školení. Především se to týká sestavení výchozí matice, přesněji stanovení souvislostí mezi akademickými předměty resp. vzdělávací témata uvnitř položky. Mezi tak velkými prvky, jako jsou programová témata, existuje mnoho souvislostí, ale vykonavatelé maticové analýzy musí umět „číst mezi řádky“ (nacházet skryté, ale skutečně existující souvislosti), určit význam různých souvislostí ve vztahu k cílům maticové analýzy. a někdy být kritičtí k obsahu témat vzdělávacích předmětů.
