Innan jag svarar på din fråga, låt mig först vara tydlig med vad jag tror är förvirring. I formell matematik är $infty$ inte ett tal. Anledningen till att matematiker inte behandlar $infty$ som ett tal är att om vi gjorde det skulle vi dra några slutsatser som uppenbarligen är felaktiga.
Till exempel är en av egenskapsnumren att du kan subtrahera samma tal från båda sidor av en ekvation och ekvationen kommer fortfarande att vara sann. Till exempel kan jag subtrahera $1$ från båda sidor av ekvationen $x+1=4$ för att få $x=3$ . Å andra sidan, om jag behandlar $infty$ som ett vanligt tal och subtraherar $infty$ från båda sidor av "ekvationen" $infty + 1 = \infty$ , får jag $1=0$ , vilket uppenbarligen är falskt.
Istället tänker matematiker på $infty$ som begränsa. Grovt sett betyder det att om du vill "plugga" $infty$ i en funktion så kopplar du in fler och fler nummer och ser vad som händer i längden. Till exempel skriver vi $lim_(x\to\infty)\frac(1)(x)=0$ för att betyda att "när du kopplar in större och större siffror i funktionen $f (x) = 1/x$ , funktionen blir godtyckligt nära noll." Du bör övertyga dig själv om att just denna gräns är rätt. i vissa fall är gränsen oändlig; allt detta betyder är att när du kopplar in större och större siffror i funktionen, blir funktionen godtyckligt stor. Till exempel,
- $lim_(x till infty)x = infty$ .
- $lim_(x till infty)x^2 = infty$ .
För att svara på din fråga så kan i stort sett vad som helst hända när $infty$ är inblandat. Låt oss titta på de två exemplen jag just gav. Även om båda funktionerna $f (x) = x$ och $g (x) = x^2$ går till oändligheten när $x$ går till oändlighet, växer den andra mycket snabbare. Exempel: $f (100) = 100$ och $g (100) = 10 000$ . Faktum är att $g (x)$ växer så mycket snabbare att skillnaden $g (x) - f (x)$ (kom ihåg att detta bara är $x^2-x$) också går till oändlighet när $x$ går till oändligheten. Du kan övertyga dig själv om detta genom att plugga in värderingar. I symboler är $lim_(x\to\infty)(x^2 - x) = \infty.$ Så informellt sett är det möjligt att $infty- infty = infty$ !
Om detta resultat verkar kontraintuitivt för dig är det därför du är tänker på de två oändligheterna på vänster sida av ekvationen $infty- infty = infty$ som samma $infty$: i själva verket är de olika. Den första $infty$ kommer från funktionen $g (x) = x^2$ , och i någon mening är det störreän $infty$ från funktionen $f (x) = x$ eftersom $x^2$ blir större mycket snabbare än $x$ gör.
I vilket fall som helst kan du komma på andra funktioner (det vill säga, du kan närma dig $infty$ i olika hastigheter) som gör följande påståenden sanna:
- $infty- infty$ kan vara lika med allt mellan $- infty$ och $+ infty$ .
- $infty/ infty$ kan vara lika med allt mellan $- infty$ och $+ infty$ .
- $infty^0$ kan vara lika med allt mellan $0$ och $+ infty$ .
Slutligen kan det finnas fall där inkoppling av $infty$ inte ger dig något svar alls. Om du tog trigonometri är du förmodligen bekant med sinusfunktionen, vars graf pendlar fram och tillbaka, som en våg, mellan $- 1$ och $+ 1$ . (Jag försökte lägga in en bild av grafen för sinus här, men jag kunde inte få den att fungera eftersom jag är ny på den här sidan. Sök bara på "graf av sinus" på Googles bilder så ser du vad jag menar .) Om du kopplar in större och större nummer i $sin (x)$ kommer du inte att närma dig något fast nummer. Alltså $sin infty$ existerar inte.
"Vad vi vet är begränsat, och det vi inte vet är oändligt"
Pierre-Simon Laplace (1749-1827), fransk vetenskapsman
Gränslös kärlek, gränslös lycka, stor rymd, permafrost, gränslöst hav och till och med en oändlig lektion. I Vardagsliv vi kallar ofta saker och fenomen oändliga, men ofta tänker vi inte ens på den sanna innebörden av detta begrepp. Under tiden, sedan de äldsta tiderna, har teologer, filosofer och andra stora sinnen av mänskligheten försökt förstå dess innebörd. Och bara matematiker har kommit längst i kunskap om det som kallas oändlighet.
Vad är oändlighet?
Mycket av det vi ser omkring oss uppfattas av oss som oändlighet, men i verkligheten visar det sig vara ganska ändliga saker. Så här förklarar de ibland för barn hur stor oändligheten är: "Om du samlar ett sandkorn vart hundra år på en enorm strand, kommer det att ta en evighet att samla all sand på stranden." Men i själva verket är antalet sandkorn inte oändligt. Fysiskt är det omöjligt att räkna dem, men vi kan med säkerhet säga att deras antal inte överstiger ett värde som är lika med förhållandet mellan jordens massa och massan av ett sandkorn.
Eller ett annat exempel. Många tror att om du står mellan två speglar, så kommer reflektionen att upprepas i båda speglarna, gå i fjärran, bli mindre och mindre, så det är omöjligt att avgöra var den slutar. Tyvärr, det här är inte oändlighet. Vad är det som händer egentligen? Ingen spegel reflekterar 100 % av ljuset som faller på den. En spegel av mycket hög kvalitet kommer att reflektera 99 % av ljuset, men efter 70 reflektioner kommer endast 50 % av ljuset att finnas kvar, efter 140 reflektioner kommer endast 25 % av ljuset att finnas kvar, och så vidare tills det är för lite ljus. Dessutom är de flesta speglar böjda, så de många reflektioner du ser hamnar runt hörnet.
Låt oss se hur matematiken behandlar oändligheten. Detta skiljer sig mycket från begreppet oändlighet som du har stött på tidigare och kräver lite fantasi.
Oändlighet i matematik
I matematiken skiljer man potential Och aktuell oändlighet.
När de säger att ett visst värde är oändligt potentiellt, menar de att det kan ökas i det oändliga, det vill säga att det alltid finns en potentiell möjlighet till dess ökning.
Begreppet faktisk oändlighet betyder en oändlig storhet som redan verkligen existerar "här och nu". Låt oss förklara detta med exemplet med den vanliga DIRECT-linjen.
Exempel 1
Potentiell oändlighet betyder att det finns en rät linje och den kan förlängas kontinuerligt (till exempel genom att applicera segment på den). Observera att betoningen här inte ligger på det faktum att linjen är oändlig, utan på att den kan fortsätta i oändlighet.
Faktisk oändlighet betyder att hela den oändliga linjen existerar redan i nuet. Men problemet är att inte en enda levande person har sett en oändlig rak linje och är fysiskt oförmögen att göra det! Det är en sak att kunna förlänga en rät linje i det oändliga, och en helt annan att faktiskt skapa en oändlig rät linje. Detta är en mycket subtil skillnad och skiljer potentiell oändlighet från faktisk oändlighet. Puh! Att hantera dessa oändligheter kräver mycket fantasi! Låt oss titta på ytterligare ett exempel.
Exempel 2
Anta att du bestämmer dig för att bygga en serie naturliga tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
Någon gång har man nått ett väldigt stort antal n och tror att det här är mest stort antal. I detta ögonblick säger din vän att det inte kostar honom något att lägga till 1 (ett) till ditt nummer n och få ett ännu större tal k = n + 1. Då förstår du, lätt sårad, att ingenting kan hindra dig från att lägga till nummer k ett och få talet k+1. Är antalet sådana steg begränsat i förväg? Nej. Naturligtvis kanske du och din vän inte har tillräckligt med styrka, tid vid något steg m att ta nästa steg m + 1, men potentiellt kan du eller någon annan bygga den här serien vidare. I det här fallet får vi begreppet potentiell oändlighet.
Om du och din vän lyckas bygga en oändlig serie av naturliga tal, vars beståndsdelar är närvarande på en gång, kommer detta att vara verklig oändlighet. Men faktum är att ingen kan skriva ner alla siffror - detta är ett obestridligt faktum!
Håller med om att potentiell oändlighet är mer begriplig för oss, eftersom det är lättare att föreställa sig. Därför erkände forntida filosofer och matematiker endast potentiell oändlighet och avvisade resolut möjligheten att arbeta med verklig oändlighet.
Galileos paradox
År 1638 ställde den store Galileo frågan: "Oändligt många - är det alltid samma oändligt många? Eller kan det finnas större och mindre oändligheter?”
Han formulerade ett postulat, som senare blev känt som "Galilean Paradox": Det finns lika många naturliga tal som det finns kvadrater av naturliga tal, det vill säga i mängden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... samma antal element hur många i uppsättningen är 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...
Kärnan i paradoxen är följande.
Vissa tal är exakta kvadrater (det vill säga kvadrater av andra tal), till exempel: 1, 4, 9 ... Andra tal är inte exakta kvadrater, till exempel 2, 3, 5 ... Så det borde finnas mer exakta kvadrater rutor och vanliga tal tillsammans, än bara perfekta rutor. Höger? Höger.
Men å andra sidan: för varje tal finns dess exakta kvadrat, och vice versa - för varje exakt kvadrat finns ett heltal Roten ur, så det måste finnas samma antal exakta kvadrater och naturliga tal. Höger? Höger.
Galileos resonemang kom i konflikt med det obestridliga axiomet att helheten är större än någon av dess egna delar. Han kunde inte svara på vilken oändlighet som är störst – den första eller den andra. Galileo trodde att antingen hade han fel i något, eller så är sådana jämförelser inte tillämpliga på oändligheter. I det senare hade han rätt, för tre århundraden senare bevisade Georg Cantor att "det oändligas aritmetik skiljer sig från det finitas aritmetik."
Räknebara oändligheter: delen är lika med helheten
Georg Kantor(1845-1918), grundaren av mängdläran, började använda faktisk oändlighet i matematik. Han medgav att oändligheten existerar på en gång. Och eftersom det finns oändliga uppsättningar, och allt på en gång, kan du utföra matematiska manipulationer med dem och till och med jämföra dem. Eftersom orden "antal" och "kvantitet" är olämpliga när det gäller oändligheter, introducerade han termen "makt". Som standard tog Kantor oändliga naturliga tal, som räcker för att räkna om vad som helst, kallade denna mängd räknebar, och dess makt - kraften hos en räknebar mängd, och började jämföra den med styrkorna i andra mängder.
Han bevisade att mängden naturliga tal har lika många element som mängden jämna tal! Vi skriver faktiskt under varandra:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...
Vid första anblicken verkar det uppenbart att det finns dubbelt så många nummer i den första uppsättningen som det är i den andra. Men å andra sidan är det tydligt att den andra sekvensen också kan räknas, eftersom vilket antal som helst av den ALLTID motsvarar exakt ett nummer i den första sekvensen. Och vice versa! Så den andra sekvensen kan inte uttömmas före den första. Därför är dessa set likvärdiga! På liknande sätt är det bevisat att mängden kvadrater av naturliga tal (från Galileos paradox) är räknebar och ekvivalent med mängden naturliga tal. Därav följer att alla räknebara oändligheter är likvärdiga.
Det visar sig mycket intressant: Uppsättningen av jämna tal och uppsättningen kvadrater av naturliga tal (från Galileos paradox) är en del av uppsättningen naturliga tal. Men de är lika kraftfulla. Därför är DEL LIKAD MED HELHETEN!
Oräkneliga oändligheter
Men inte varje oändlighet kan räknas som vi gjorde med jämna tal och kvadrater av naturliga tal. Det visar sig att det är omöjligt att räkna poäng på ett segment, reella tal (uttryckta med alla ändliga och oändliga decimalbråk), även alla reella tal från 0 till 1. I matematiken säger de att deras antal är oräkneligt.
Tänk på detta i exemplet med en sekvens av bråktal. Bråktal har en egenskap som heltal inte har. Det finns inga andra heltal mellan två på varandra följande heltal. Till exempel kommer inget annat heltal att "passa" mellan 8 och 9. Men om vi adderar till mängden heltal bråktal, kommer denna regel inte längre att uppfyllas. Ja, numret
kommer att vara mellan 8 och 9. På samma sätt kan du hitta ett tal mellan två valfria siffror A och B:
Eftersom denna åtgärd kan upprepas i det oändliga, kan det hävdas att det mellan två reella tal alltid kommer att finnas oändligt många andra reella tal.
Således är oändligheten av reella tal oräknelig, och oändligheten av naturliga tal är räknebar. Dessa oändligheter är inte ekvivalenta, men från en oräknelig uppsättning reella tal kan man alltid välja en räkningsbar del, till exempel naturliga eller jämna tal. Därför är oräknelig oändlighet mer kraftfull än räknebar oändlighet.
Till exempel ytan på en sfär. Den har ett ändområde, men när du rör dig längs den kommer du aldrig till kanten.
Frågan om universum är ändligt eller oändligt är fortfarande ett modernitets mysterium, medan det finns matematiska modeller med hänsyn till båda dessa möjligheter. Huruvida det finns några oändliga objekt i universum - denna fråga orsakar också genuint intresse bland forskare.
I april i år samlades filosofer, kosmologer och fysiker Universitetet i Cambridge som en del av en konferens om kosmologins filosofi för att diskutera detta ämne.
Oändlighet som inte existerar
Människor har studerat oändligheten och dess relation till verkligheten under lång tid.
Studiet av oändligheten började på Aristoteles tid. Han särskiljde tydligt två typer av oändlighet. Han namngav en potentiell oändlighet, som möttes i hans beskrivningar av världen. Den innehåller listor som inte har något slut. Det är till exempel vanliga tal: ett, två, tre, fyra, fem och så vidare till oändligheten, som inte kan nås. Det finns många liknande oändligheter inom kosmologin. Således kommer universum sannolikt att ha en oändlig storlek eller en oändlig ålder, eller så kan det fortsätta att existera i det oändliga. Dessa är alla potentiella oändligheter som vi inte kan bevisa, vi säger bara att vissa saker är obegränsade.
De flesta medger att potentiella oändligheter finns, men ingen vet säkert om detta är sant.
När man tittar på universum är utsikten starkt begränsad, eftersom universum existerar under en begränsad tid, ungefär 14 miljarder år. Ljus färdas med konstant hastighet, postulerat redan 1905 av Albert Einstein, så du kan inte se mer än 14 miljarder ljusår bort. Du kan inte se oändligheten. Det är väldigt som när du står på ett torn och tittar i fjärran, du kan se hela vägen till horisonten, men du kan inte se bortom den. Men här finns det ett alternativ att sätta sig på ett plan och flyga till en annan plats på planeten. När det gäller universum är skalan sådan att vi inte kan ändra synvinkel, vi sitter fast på ett ställe och kan bara se universum från denna punkt och till ett ändligt avstånd.
Men även denna 14 miljarder år långa gräns som Ellis hänvisar till är mer teori än fakta. Vi vet att universum just nu expanderar, och om vi rör oss bakåt i det här fallet kommer vi så småningom fram till en tidpunkt, Big Bang, som vi kallar början på vårt universum. Men allmänt accepterade fysikaliska teorier, Einsteins allmänna relativitetsteori och kvantfysiken ta inte hänsyn till denna punkt. Det finns för närvarande ingen teori som beskriver detta fall, förutom en mängd "föreslagna" teorier.
kosmolog, University of Cape Town Vissa av dessa teorier säger att det aldrig fanns en början, andra säger att det fanns. Vi försöker göra mer eller mindre rimliga antaganden. Men vi kan inte genomföra några experiment som bevisar det eller det antagandet, eftersom det inte finns tillräckligt med energi för detta.
Ögonblicket för Big Bang är utom räckhåll moderna teorier, men det finns en allmänt accepterad modell som förklarar de första ögonblicken efter den. Till exempel, rymdinflation. Anthony Aguirre från University of California i Santa Cruz tror att hon kan berätta något om universums expansion.
Inflation är begreppet som universum i ett tidigt skede expanderade till geometrisk progression, fördubblas i storlek hundratals gånger på kort tid. Denna teori leder till många gissningar, av vilka många visade sig vara sanna, och några kan testas under loppet av nästa experiment. Detta får oss att tro på inflation, men det har också några mycket intressanta bieffekter.
En av dessa bieffekter tyder på att inflationen kan ha fortsatt i olika takt i olika delar av universum. I vissa regioner kommer den snabba fördubblingen i storlek att upphöra efter en tid och så småningom bilda ett synligt universum som vårt. I andra regioner, på grund av rumsliga förändringar, kan inflationen vara för evigt.
fysiker, UC Santa Cruz Vi har oändlig rumtid, inte för att vi har bestämt oss för att rumtiden är oändlig, utan för att vi har redogjort för en process som naturligt leder till oändlig rumtid.
Teorin antyder också att utvidgningen av rum och tid beror på synvinkeln. Enligt Albert Einsteins allmänna relativitetsteori är tid och rum oupplösligt sammanlänkade, därav termen rum-tid. Om du vill hänvisa till rum eller tid separat måste du separera rumtiden matematiskt.
fysiker, UC Santa Cruz Det visar sig att svaret på en fråga som "är rymden ändlig eller oändlig?" kan bero på hur du definierar rum och tid separat. Det finns rum-tid, Einstein lär oss detta. Vi kan dela in det i rum och tid på olika sätt. De är alla giltiga och ger samma resultat i alla experiment, men de har olika betydelser, och för vissa ändamål är vissa värden bekvämare än andra.
Om du har oändlig rum-tid, i så fall kan du dela upp den så att universum kan sluta vara ändligt och expandera. Den kan expandera i det oändliga och bli oändligt stor, men ändlig. Eller så kan samma rum-tid delas upp på ett sådant sätt att rymden blir oändlig, vilket resulterar i ett oändligt expanderande universum.
I det inflationära universum, på de platser där inflationen stannar, sker dess naturliga uppdelning, i detta fall är universum nära homogenitet. Universum dyker upp, vilket är rumsligt oändligt.
Inflation ger upphov till homogena oändliga universum som kan förvandlas till något som liknar vårt. Det är fantastiskt att vi kan göra antaganden om en så rik, mångfacetterad och intressant verklighet där universum är oändligt.
Faktisk oändlighet
Frågan om universum är oändligt gäller en typ av aristotelisk oändlighet, en potentiell oändlighet som vi kan föreställa oss men aldrig se. Men det finns en annan typ av oändlighet enligt Aristoteles, verklig oändlighet.
I det här fallet är något objekt som vi kan mäta oändligt.
Sådan virtuell oändlighet kan uppstå i ett svart hål, som bildas när ett massivt föremål, till exempel en stjärna, börjar kollapsa. Teoretiskt leder detta till en oändlig masstäthet vid en punkt. Men finns sådana oändligheter i universum?
"Ett svart hål är inte nödvändigtvis ett fast föremål, det är en sorts yta i universum", förklarar Barrow, "Om du kommer in kommer du aldrig tillbaka, för för detta behöver du röra dig snabbare hastighet lätt, annars blir gravitationen starkare. I ett svart hål är det som om ett gigantiskt moln kollapsar, som blir tätare och tätare. Så småningom bildas en yta runt den, som vi kallar horisonten. Om du befinner dig vid horisonten av ett mycket stort svart hål, som är, säg, en miljard gånger solens storlek, då kommer du att ha känslan av att du befinner dig i ett stort rum, inget konstigt. Men om du försöker ta dig därifrån kommer du att misslyckas. I själva det svarta hålet börjar allt röra sig mot mitten med obegränsad täthet. Detta syns dock inte från utsidan. Dessa effekter är isolerade, de kan inte påverka det yttre universum."
"För många år sedan gjorde Roger Penrose ett antagande som kallas kosmisk censur. Den säger att om singulariteter eller oändligheter skulle bildas i universum, och ingenting kunde stoppa dem, så skulle de alltid finnas inom horisonterna. Den så kallade "det kan vara inga "nakna" singulariteter, alltså kan det inte finnas några oändligheter som påverkar oss på utsidan. enskilda fall teorin är bevisad, men den är långt ifrån ett allmänt bevis. Det är ett väldigt svårt matematiskt problem."
En annan typ av oändlighet som kan existera kallas infinitesimal eller oändligt delbar. I närvaro av superexakta linjaler och pennor, skulle vi kunna dela upp segmentet i bitar som blir mindre för varje gång?
Ellis tycker att den här idén är löjlig. "Om du håller fingrarna 10 cm isär och tror att det finns en riktig linje av prickar mellan dem, som i matematik, så finns det en oändlig oändlighet av prickar mellan dina fingrar. Detta är helt orimligt. Jag tror att detta är rent matematisk idé, vilket inte är förenligt med fysik.
Richard Feynman sa en gång att det enda han skulle vilja lämna till framtida generationer, om han var tvungen att lämna en sak, skulle vara uttalandet "Materia är gjord av atomer." Jag tror att vi har goda skäl att tro att ett sådant uttalande kan tillämpas på rum-tid, och hävdar dess diskreta natur. Det finns ett mycket stort antal fysiska punkter mellan dina fingrar, men de är ändliga och räknebara."
Om rum-tid är odelbara delar, måste det finnas den minsta skalan av avstånd, den kortaste längden. Fysiska teorier stöder denna idé, vilket tyder på att ingenting är kortare än den så kallade Plancklängden. Det är ungefär 10 -35 m (detta är ett tal med 34 nollor efter decimalkomma). Moderna metoder tillåter oss inte att närma oss detta nummer, inte ens i teorin, med mycket kraftfulla instrument, vi skulle aldrig kunna mäta något mindre än Plancklängden.
rymdkorv
Ellis gjorde en viktig skillnad. Å ena sidan finns det matematiska begreppet oändlighet (linjen är oändligt delbar), å andra sidan det fysiska begreppet, som avser verkliga mängder och fenomen som kan eller inte finns i naturen. Men det finns också en tredje typ av oändlighet, förmodligen den mest bekanta för oss.
kosmolog, University of Cambridge Vi kan skilja mellan matematiska oändligheter, fysiska oändligheter och transcendenta oändligheter som teologer eller filosofer har talat om. Nästan alla på gatan verkar vara bekanta med denna transcendentala oändlighet. Det är liksom kosmiskt. Som en varmkorv på en restaurang - en med allt.
I många religioner finns absolut allt i Gud eller någon kosmisk kraft. Det är något annat än vad fysiker och matematiker sysslar med. Var uppmärksam på idéhistorien inom matematik och fysik, vem som helst kan göra något av följande påståenden: "Jag tror eller tror inte på matematiska oändligheter", "Jag tror eller tror inte på fysiska oändligheter" eller "Jag tror eller tror eller gör tror inte på någon annan typ av transcendent oändlighet.
Du kan välja vilken som helst av de föreslagna synpunkterna. Och åsikterna är verkligen delade. Barrow och Aguirre arbetar med matematiska oändligheter, men försummar inte heller fysiska.
"Jag tycker att det är naturligt att skapa teorier som inkluderar oändligheten", säger Aguirre. "Ja, vi är ändliga varelser och kan bara vara medvetna om en ändlig del av universum, men jag ser ingen anledning att begränsa hela universum i princip."
Ellis, å andra sidan, tror inte att fysiska oändligheter existerar och pekar på potentiella problem när man använder oändlighet i matematiska argument som är relevanta för fysiken. Han hänvisar till matematikern David Gilberts berömda tankeexperiment, Gilbert Hotel, som har ett oändligt antal rum och ett oändligt antal gäster, så varje rum är upptaget. När en ny gäst kommer, är det möjligt att ta emot honom? Naturligtvis, för detta är det nödvändigt att be varje gäst att flytta till nästa rum och placera den nya besökaren i det första. Detta är möjligt eftersom det n+1:e rummet finns. Och om det kommer oändligt många gäster igen? Det är också enkelt - be bara varje gäst från rum n att flytta till rum n*2. Det visar sig att hotellet är fullt och ofullständigt på samma gång.
På grund av dessa paradoxer menar Ellis att vi måste vara mycket försiktiga när vi använder oändligheter i ett fysiskt sammanhang.
kosmolog, University of Cape Town Jag ska förtydliga. Ofta, när människor pratar om oändligheten, betyder de verkligen något i mycket stora mängder. Infinity i detta fall används helt enkelt som ett kodord. I det här fallet tycker jag att det är värt att undvika ordet "oändlighet" och prata om ett stort antal. I andra fall använder människor oändligheten i dess djupa, paradoxala betydelse, som till exempel Hilberts hotell. Enligt min åsikt, om ett argument beror på ett så paradoxalt argument, så är det falskt och bör ersättas med ett annat.
Således har forskare inte kommit till enighet om huruvida det finns oändligheter i verkliga världen eller inte. I avsaknad av konkreta vetenskapliga svar är det vettigt att vända sig till filosofer.
fysiker, UC Santa Cruz Jag tycker att det är värt att förena fysikers och filosofers ansträngningar. I det här fallet kommer fysiker att förebrå filosofer att de inte känner till vetenskapen och inte vet vad de pratar om. Filosofer ser på fysiken från en annan synvinkel, som en intellektuell fond, jämfört med praktiska vetenskapsmän. Jag tror att ett sådant utbyte av tankesätt skulle vara otroligt värdefullt.
Oändlighet är ett abstrakt begrepp som används för att beskriva eller beteckna något oändligt eller gränslöst. Detta koncept är viktigt för matematik, astrofysik, fysik, filosofi, logik och konst.
Här är några otroliga fakta om detta komplexa begrepp som kan blåsa upp alla som inte är så bekanta med matematik.
Oändlighetssymbol
Infinity har sin egen speciella symbol: ∞. Symbolen, eller lemniscaten, introducerades av prästen och matematikern John Wallis 1655. Ordet "lemniscate" kommer från det latinska ordet lemniscus, som betyder "band".
Wallis kan ha baserat oändlighetssymbolen på den romerska siffran 1000, bredvid vilken romarna brukade ange "otaliga", förutom siffran. Det är också möjligt att symbolen är baserad på omega (Ω eller ω), den sista bokstaven i det grekiska alfabetet.
Ett intressant faktum är att begreppet oändlighet dök upp och användes långt innan Wallis belönade det med symbolen som vi använder till denna dag.
Under det fjärde århundradet f.Kr. delade en matematisk Jain-text kallad Surya Prajnapti Sutra upp alla tal i tre kategorier, som var och en i sin tur var indelad i tre underkategorier. I dessa kategorier specificerades numerable, non-numerable och oändliga siffror.
Aporia Zeno
Zeno av Elea, född omkring det femte århundradet f.Kr. t.ex. var känd för paradoxer eller aporier, inklusive begreppet oändlighet.
Av alla Zenos paradoxer är Akilles och sköldpaddan den mest kända. I en aporia utmanar sköldpaddan den grekiske hjälten Akilles och bjuder in honom till ett lopp. Sköldpaddan hävdar att han kommer att vinna loppet om Achilles ger honom en ledning i tusen takt. Enligt paradoxen kommer sköldpaddan under den tid som Akilles springer hela sträckan att ta ytterligare hundra steg i samma riktning. Medan Akilles springer ytterligare hundra steg hinner sköldpaddan ta ytterligare tio, och så vidare i fallande ordning.
På ett enklare sätt betraktas paradoxen som följer: försök att korsa rummet om varje nästa steg är hälften av det föregående. Även om varje steg tar dig närmare kanten av rummet, kommer du aldrig att komma till det, eller så kommer du att göra det, men det kommer att ta ett oändligt antal steg.
Enligt en av de moderna tolkningarna bygger denna paradox på en falsk föreställning om tidens och rummets oändliga delbarhet.
Talet pi är ett exempel på oändlighet
Pi är ett bra exempel på oändlighet. Matematiker använder en symbol för pi eftersom det är omöjligt att skriva ner hela talet. Pi består av ett oändligt antal tal. Det avrundas ofta uppåt till 3,14 eller till och med 3,14159, men oavsett hur många siffror som skrivs efter decimaltecknet är det omöjligt att komma till slutet av talet.
Oändlig apa sats
Ett annat sätt att tänka på oändlighet är att överväga satsen om oändlig apa. Enligt satsen, om du ger en apa en skrivmaskin och en oändlig mängd tid, kommer apan så småningom att kunna skriva ut Hamlet eller något annat verk.
Medan många människor tar teoremet som en demonstration av tron att ingenting är omöjligt, ser matematiker det som ett bevis på att en viss händelse är omöjlig.
Fraktaler och oändlighet
En fraktal är ett abstrakt matematiskt objekt som används i matematik och konst, oftast modellerar det naturfenomen. En fraktal skrivs som en matematisk ekvation. Om man tittar på en fraktal kan man lägga märke till dess komplexa struktur i vilken skala som helst. Med andra ord, fraktalen ökar oändligt.
Koch-snöflingan är ett intressant exempel på en fraktal. En snöflinga ser ut som en liksidig triangel som bildar en sluten kurva med oändlig längd. Genom att öka kurvan kan fler och fler detaljer ses på den. Processen att öka kurvan kan fortsätta ett oändligt antal gånger. Även om Koch-snöflingan har ett avgränsat område, avgränsas den av en oändligt lång linje.
Infinity i olika storlekar
Oändligheten är gränslös, men den är mätbar, om än jämförbar. Positiva tal (större än 0) och negativa tal(mindre än 0) kan skryta med oändliga uppsättningar av lika stora nummer. Vad händer när du kombinerar båda uppsättningarna? Du får dubbelt så stor som setet. Eller ett annat exempel - alla jämna tal (det finns ett oändligt antal av dem). Och ändå är det bara hälften av det oändliga antalet av alla heltal. Ett annat exempel, lägg bara till en till oändligheten. Lär dig siffran 1 större än oändligheten.
Kosmologi och oändlighet
Kosmologer studerar universum, det är inte förvånande att begreppet oändlighet spelar en viktig roll för dem. Har universum gränser eller är det oändligt?
Denna fråga är fortfarande obesvarad. Vårt universum expanderar, men var? Och var går gränsen för denna expansion? Även om det fysiska universum har gränser, har vi fortfarande en teori om multiversum, som anser att det finns ett oändligt antal universum som kan ha andra fysiklagar än våra.
Dividera med noll
Division med noll finns inte. Det är omöjligt, åtminstone inte i vanlig matematik. I den matematik vi är vana vid kan ett delat med noll inte bestämmas. Detta är ett misstag. Detta är dock inte alltid fallet. I den utökade teorin om komplexa tal orsakar inte division av ett med noll en oundviklig kollaps och bestäms av någon form av oändlighet. Matematik är med andra ord annorlunda, och allt är inte begränsat till reglerna från läroböcker.
I vardagen måste en person oftast hantera ändliga kvantiteter. Därför är det väldigt svårt att visualisera en obegränsad oändlighet. Detta koncept är höljt i en gloria av mystik och ovanlighet, som blandas med vördnad för universum, vars gränser är nästan omöjliga att fastställa.
Världens rumsliga oändlighet tillhör de mest komplexa och kontroversiella vetenskapliga problemen. Forntida filosofer och astronomer försökte lösa denna fråga genom de enklaste logiska konstruktionerna. För att göra detta räckte det med att anta att det var möjligt att nå den förmodade kanten av universum. Men om du sträcker ut handen i detta ögonblick, flyttas gränsen tillbaka en viss sträcka. Denna operation kan upprepas otaliga gånger, vilket bevisar universums oändlighet.
Universums oändlighet är svår att föreställa sig, men inte mindre svårt är hur en begränsad värld skulle kunna se ut. Även för dem som inte är särskilt avancerade i studiet av kosmologi, uppstår i det här fallet en naturlig fråga: vad är bortom universums gräns? Men ett sådant resonemang utifrån sunt förnuft och vardagserfarenhet, kan inte tjäna som en solid grund för rigorösa vetenskapliga slutsatser.
Moderna idéer om universums oändlighet
Moderna vetenskapsmän, som utforskar flera kosmologiska paradoxer, har kommit till slutsatsen att existensen av ett ändligt universum i princip motsäger fysikens lagar. Världen utanför planeten Jorden har tydligen inga gränser varken i rymden eller tiden. I denna mening antyder oändligheten att varken mängden materia som finns i universum eller dess geometriska dimensioner kan uttryckas ens med det största antalet (“Evolution of the Universe”, I.D. Novikov, 1983).
Även om vi tar hänsyn till hypotesen att universum bildades för cirka 14 miljarder år sedan som ett resultat av den så kallade Big Bang, kan detta mycket väl bara betyda att världen under dessa extremt avlägsna tider gick igenom ett annat stadium av naturlig omvandling. I allmänhet dök det oändliga universum aldrig upp under den första pushen eller oförklarliga utvecklingen av något icke-materiellt föremål. Antagandet om ett oändligt universum sätter stopp för hypotesen om världens gudomliga skapelse.
2014 publicerade amerikanska astronomer resultaten av den senaste forskningen som bekräftar hypotesen om existensen av ett oändligt och platt universum. Med hög precision har forskare mätt avståndet mellan galaxer som ligger på ett avstånd av flera miljarder ljusår från varandra. Det visade sig att dessa kolossala rymdstjärnhopar är belägna i cirklar med konstant radie. Den kosmologiska modellen som konstruerats av forskarna bevisar indirekt att universum är oändligt både i rum och tid.
