Funkce komplexní typ ne vždy odpovídají definici komplexní funkce. Pokud existuje funkce tvaru y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, nelze ji na rozdíl od y \u003d sin 2 x považovat za komplexní.

Tento článek ukáže koncept komplexní funkce a její identifikaci. Pracujme se vzorci pro nalezení derivace s příklady řešení v závěru. Použití tabulky derivací a pravidel diferenciace výrazně zkracuje čas na nalezení derivace.

Základní definice

Definice 1

Komplexní funkce je funkce, jejíž argument je také funkcí.

Označuje se takto: f (g (x)) . Máme, že funkce g (x) je považována za argument f (g (x)) .

Definice 2

Pokud existuje funkce f a je funkce kotangens, pak g (x) = ln x je funkce přirozený logaritmus. Dostaneme, že komplexní funkci f (g (x)) zapíšeme jako arctg (lnx). Nebo funkce f, což je funkce umocněná na 4. mocninu, kde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 je považováno za celou racionální funkci, dostaneme, že f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Je zřejmé, že g(x) může být složité. Z příkladu y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 je vidět, že hodnota g má odmocninu se zlomkem. Tento výraz lze označit jako y = f (f 1 (f 2 (x))) . Odkud máme, že f je funkce sinus a f 1 je funkce umístěná pod odmocnina, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - zlomková racionální funkce.

Definice 3

Stupeň vnoření je definován libovolným přirozené číslo a zapisuje se jako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))).

Definice 4

Pojem složení funkcí se týká počtu vnořených funkcí podle zadání problému. Pro řešení vzorec pro nalezení derivace komplexní funkce tvaru

(f(g(x)))"=f"(g(x))g"(x)

Příklady

Příklad 1

Najděte derivaci komplexní funkce tvaru y = (2 x + 1) 2 .

Řešení

Podle konvence je f funkce kvadratury a g(x) = 2 x + 1 je považována za lineární funkci.

Aplikujeme derivační vzorec pro komplexní funkci a napíšeme:

f"(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2-1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Je nutné najít derivaci se zjednodušeným počátečním tvarem funkce. Dostaneme:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Proto to máme

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Výsledky se shodovaly.

Při řešení úloh tohoto druhu je důležité pochopit, kde se bude nacházet funkce tvaru f a g (x).

Příklad 2

Měli byste najít deriváty komplexních funkcí ve tvaru y \u003d sin 2 x a y \u003d sin x 2.

Řešení

První záznam funkce říká, že f je funkce kvadratury a g(x) je funkce sinus. Pak to dostaneme

y "= (hřích 2 x)" = 2 hřích 2 - 1 x (hřích x)" = 2 hřích x cos x

Druhý záznam ukazuje, že f je funkce sinus a g (x) = x 2 označuje výkonová funkce. Z toho vyplývá, že součin komplexní funkce lze zapsat jako

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Vzorec pro derivaci y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) bude zapsán jako y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) f 2 " (f 3 (... (f n (x) )))). . . f n "(x)

Příklad 3

Najděte derivaci funkce y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Řešení

Tento příklad ukazuje složitost zápisu a určování umístění funkcí. Potom y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označují, kde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) je funkce sinus, funkce zvýšení na 3 stupně, funkce s logaritmem a základem e, funkce arkus tangens a lineární.

Ze vzorce pro definici komplexní funkce to máme

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Získání toho, co najít

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jako derivace sinu v tabulce derivací, pak f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako derivace mocninné funkce, pak f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) jako logaritmická derivace, pak f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 "(f 4 (x)) jako derivace arkus tangens, pak f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Při hledání derivace f 4 (x) \u003d 2 x odeberte 2 ze znaménka derivace pomocí vzorce pro derivaci mocninné funkce s exponentem rovným 1, pak f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kombinujeme mezivýsledky a dostaneme to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analýza takových funkcí připomíná hnízdící panenky. Pravidla diferenciace nelze vždy použít explicitně pomocí derivační tabulky. Často je potřeba použít vzorec pro hledání derivací komplexních funkcí.

Mezi komplexním pohledem a komplexní funkcí jsou určité rozdíly. S jasnou schopností toto rozlišit bude nalezení derivátů obzvláště snadné.

Příklad 4

Je třeba zvážit uvedení takového příkladu. Pokud existuje funkce tvaru y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , pak ji lze považovat za komplexní funkci tvaru g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Je zřejmé, že je nutné použít vzorec pro komplexní derivát:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkce tvaru y = t g x 2 + 3 t g x + 1 není považována za komplexní, protože má součet t g x 2, 3 t g x a 1 . Nicméně t g x 2 je považováno za komplexní funkci, pak dostaneme mocninnou funkci tvaru g (x) \u003d x 2 a f, která je funkcí tečny. K tomu je potřeba rozlišovat podle částky. Chápeme to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 co 2 x

Pojďme k nalezení derivace komplexní funkce (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Dostaneme, že y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexní funkce mohou být zahrnuty do komplexních funkcí a samotné komplexní funkce mohou být složenými funkcemi komplexní formy.

Příklad 5

Uvažujme například komplexní funkci ve tvaru y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Tato funkce může být reprezentována jako y = f (g (x)), kde hodnota f je funkcí logaritmu se základem 3 a g (x) je považováno za součet dvou funkcí ve tvaru h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 a k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Je zřejmé, že y = f (h (x) + k (x)).

Uvažujme funkci h(x) . Toto je poměr l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 k m (x) = e x 2 + 3 3

Máme, že l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) je součet dvou funkcí n (x) = x 2 + 7 a p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), kde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je komplexní funkce s číselným koeficientem 3 a p 1 je krychlová funkce, p 2 kosinusová funkce, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineární funkce.

Zjistili jsme, že m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) je součtem dvou funkcí q (x) = e x 2 a r (x) = 3 3, kde q (x) = q 1 (q 2 (x)) je komplexní funkce, q 1 je funkce s exponentem, q 2 (x) = x 2 je mocninná funkce.

To ukazuje, že h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Při přechodu na výraz ve tvaru k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) je jasné, že funkce je reprezentována jako komplex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) s celočíselným racionálním t (x) = x 2 + 1, kde s 1 je funkce druhé mocniny a s 2 (x) = ln x je logaritmické se základem e .

Z toho plyne, že výraz bude mít tvar k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Pak to dostaneme

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Podle struktur funkce se ukázalo, jak a jaké vzorce je třeba použít, aby se výraz při derivaci zjednodušil. Abychom se s takovými problémy seznámili a porozuměli jejich řešení, je nutné odkázat na bod derivování funkce, tedy nalezení její derivace.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Po předběžné dělostřelecké přípravě budou příklady s 3-4-5 přílohami funkcí méně děsivé. Možná se někomu budou následující dva příklady zdát složité, ale pokud je pochopíme (někdo bude trpět), pak téměř vše ostatní je diferenciální počet bude vypadat jako dětský vtip.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce

Jak již bylo uvedeno, při hledání derivace komplexní funkce je to nejprve nutné Že jo POROZUMĚJTE INVESTICÍM. V případech, kdy existují pochybnosti, připomínám užitečný trik: vezmeme například experimentální hodnotu "x" a pokusíme se (mentálně nebo na konceptu) nahradit daná hodnota do hrozného výrazu.

1) Nejprve musíme vypočítat výraz, takže součet je nejhlubší vnoření.

2) Poté musíte vypočítat logaritmus:

4) Pak krychli kosinus:

5) V pátém kroku rozdíl:

6) A konečně nejvzdálenější funkcí je druhá odmocnina:

Vzorec pro diferenciaci komplexních funkcí jsou aplikovány v opačném pořadí, od nejvzdálenější funkce k nejvnitřnější. rozhodujeme se:

Zdá se, že je bez chyb:

1) Vezmeme derivaci odmocniny.

2) Vezmeme derivaci rozdílu pomocí pravidla

3) Derivace trojky je rovna nule. Ve druhém členu vezmeme derivaci stupně (krychle).

4) Vezmeme derivaci kosinusu.

6) A nakonec vezmeme derivát nejhlubšího vnoření .

Může se to zdát příliš obtížné, ale toto není ten nejbrutálnější příklad. Vezměte si například Kuzněcovovu sbírku a oceníte veškeré kouzlo a jednoduchost analyzovaného derivátu. Všiml jsem si, že podobnou věc rádi dávají u zkoušky, aby si ověřili, zda student rozumí, jak najít derivaci komplexní funkce, nebo nerozumí.

Další příklad pro nezávislé rozhodnutí.

Příklad 3

Najděte derivaci funkce

Tip: Nejprve použijeme pravidla linearity a pravidlo diferenciace součinu

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Je čas přejít na něco kompaktnějšího a hezčího.
Není neobvyklé, že v příkladu je uveden součin ne dvou, ale tří funkcí. Jak najít derivát produkty ze tří multiplikátory?

Příklad 4

Najděte derivaci funkce

Nejprve se podíváme, ale je možné proměnit součin tří funkcí na součin dvou funkcí? Pokud bychom například měli v součinu dva polynomy, mohli bychom otevřít závorky. Ale v tomto příkladu jsou všechny funkce odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takových případech je to nutné postupně použít pravidlo diferenciace produktů dvakrát

Trik je v tom, že pro "y" označujeme součin dvou funkcí: a pro "ve" - logaritmus:. Proč to lze udělat? je to? - to není součin dvou faktorů a pravidlo nefunguje?! Není nic složitého:

Nyní zbývá použít pravidlo podruhé do závorky:

Stále můžete zvrátit a něco vyjmout ze závorek, ale v tomto případě je lepší ponechat odpověď v této podobě - bude snazší zkontrolovat.

Výše uvedený příklad lze vyřešit druhým způsobem:

Obě řešení jsou naprosto ekvivalentní.

Příklad 5

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro nezávislé řešení, v ukázce je řešeno prvním způsobem.

Zvažte podobné příklady se zlomky.

Příklad 6

Najděte derivaci funkce

Zde můžete jít několika způsoby:

Nebo takhle:

Ale řešení lze napsat kompaktněji, pokud nejprve použijeme pravidlo derivace podílu , přičemž za celý čitatel:

V zásadě je příklad vyřešen a pokud bude ponechán v této podobě, nebude to chyba. Ale pokud máte čas, je vždy vhodné zkontrolovat návrh, ale je možné zjednodušit odpověď?

Přinášíme výraz čitatele do Společným jmenovatelem a zbavit se třípatrového zlomku:

Nevýhodou dodatečných zjednodušení je, že existuje riziko chyby nikoli při hledání derivace, ale při banálních školních transformacích. Na druhou stranu učitelé často úkol odmítnou a požadují, aby „připomněli“ odvozeninu.

Jednodušší příklad řešení pro kutily:

Příklad 7

Najděte derivaci funkce

Pokračujeme v zvládnutí technik pro nalezení derivace a nyní zvážíme typický případ, kdy je pro derivování navržen „strašný“ logaritmus.

komplexní deriváty. Logaritmická derivace.
Derivace exponenciální funkce

Pokračujeme ve zdokonalování naší techniky diferenciace. V této lekci si upevníme probranou látku, zvážíme složitější derivace a také se seznámíme s novými triky a triky pro nalezení derivace, zejména s logaritmickou derivací.

Čtenáři, kteří mají nízkou úroveň přípravy, by si měli přečíst článek Jak najít derivát? Příklady řešení což vám umožní zvýšit své dovednosti téměř od nuly. Dále musíte stránku pečlivě prostudovat Derivace složené funkce, pochopit a vyřešit Všechno příklady, které jsem uvedl. Tato lekce je logicky třetí v pořadí a po jejím zvládnutí budete sebevědomě rozlišovat docela složité funkce. Je nežádoucí lpět na pozici „Kde jinde? A to je dost!“, protože všechny příklady a řešení jsou převzaty ze skutečnosti ovládání funguje a v praxi se s nimi často setkáváme.

Začněme opakováním. Na lekci Derivace složené funkce zvážili jsme řadu příkladů s podrobnými komentáři. V průběhu studia diferenciálního počtu a dalších částí matematické analýzy budete muset velmi často rozlišovat a ne vždy je vhodné (a ne vždy nutné) malovat příklady velmi podrobně. Proto se procvičíme v ústním nalézání odvozenin. Nejvhodnějšími "kandidáty" na to jsou deriváty nejjednodušších komplexních funkcí, například:

Podle pravidla diferenciace komplexní funkce :

Při budoucím studiu dalších matanských témat se takto podrobný záznam nejčastěji nevyžaduje, předpokládá se, že student je schopen podobné odvozeniny najít na autopilotu. Představme si, že ve 3 hodiny ráno zazvonil telefon a příjemný hlas se zeptal: „Jaká je derivace tečny dvou x?“. Poté by měla následovat téměř okamžitá a zdvořilá odpověď: .

První příklad bude okamžitě určen pro nezávislé řešení.

Příklad 1

Najděte následující deriváty ústně, v jednom kroku, například: . K dokončení úkolu stačí použít tabulka derivací elementárních funkcí(pokud si už nevzpomněla). Pokud máte nějaké potíže, doporučuji si lekci znovu přečíst Derivace složené funkce.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odpovědi na konci lekce

Komplexní deriváty

Po předběžné dělostřelecké přípravě budou příklady s 3-4-5 přílohami funkcí méně děsivé. Možná se někomu budou následující dva příklady zdát složité, ale pokud je pochopí (někdo trpí), pak téměř vše ostatní v diferenciálním počtu bude působit jako dětský vtip.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce

1) Nejprve musíme vypočítat výraz, takže součet je nejhlubší vnoření.

2) Poté musíte vypočítat logaritmus:

4) Pak krychli kosinus:

5) V pátém kroku rozdíl:

6) A konečně nejvzdálenější funkcí je druhá odmocnina:

Vzorec pro diferenciaci komplexních funkcí jsou aplikovány v opačném pořadí, od nejvzdálenější funkce k nejvnitřnější. rozhodujeme se:

Zdá se, že bez chyby...

(1) Vezmeme derivaci odmocniny.

(2) Vezmeme derivaci rozdílu pomocí pravidla

(3) Derivace trojky je rovna nule. Ve druhém členu vezmeme derivaci stupně (krychle).

(4) Vezmeme derivaci kosinusu.

(5) Vezmeme derivaci logaritmu.

(6) Nakonec vezmeme derivaci nejhlubšího vnoření .

Následující příklad je pro samostatné řešení.

Příklad 3

Najděte derivaci funkce

Tip: Nejprve použijeme pravidla linearity a pravidlo diferenciace součinu

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Je čas přejít na něco kompaktnějšího a hezčího.
Není neobvyklé, že v příkladu je uveden součin ne dvou, ale tří funkcí. Jak najít derivaci součinu tří faktorů?

Příklad 4

Najděte derivaci funkce

V takových případech je to nutné postupně použít pravidlo diferenciace produktů dvakrát

Trik je v tom, že pro "y" označujeme součin dvou funkcí: a pro "ve" - logaritmus:. Proč to lze udělat? je to? - to není součin dvou faktorů a pravidlo nefunguje?! Není nic složitého:

Nyní zbývá použít pravidlo podruhé do závorky:

Stále můžete zvrátit a něco vyjmout ze závorek, ale v tomto případě je lepší ponechat odpověď v této podobě - bude snazší zkontrolovat.

Výše uvedený příklad lze vyřešit druhým způsobem:

Obě řešení jsou naprosto ekvivalentní.

Příklad 5

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro nezávislé řešení, v ukázce je řešeno prvním způsobem.

Zvažte podobné příklady se zlomky.

Příklad 6

Najděte derivaci funkce

Zde můžete jít několika způsoby:

Nebo takhle:

Ale řešení lze napsat kompaktněji, pokud nejprve použijeme pravidlo derivace podílu , přičemž za celý čitatel:

V zásadě je příklad vyřešen a pokud bude ponechán v této podobě, nebude to chyba. Ale pokud máte čas, je vždy vhodné zkontrolovat návrh, ale je možné zjednodušit odpověď? Vyjádření čitatele přivádíme na společného jmenovatele a zbavit se třípatrového zlomku:

Jednodušší příklad řešení pro kutily:

Příklad 7

Najděte derivaci funkce

Pokračujeme v zvládnutí technik pro nalezení derivace a nyní zvážíme typický případ, kdy je pro derivování navržen „strašný“ logaritmus.

Příklad 8

Najděte derivaci funkce

Zde můžete jít dlouhou cestu pomocí pravidla diferenciace komplexní funkce:

Ale hned první krok vás okamžitě uvrhne do sklíčenosti - musíte vzít nepříjemnou derivaci zlomkového stupně a pak také zlomku.

Proto před jak vzít derivaci „fantastického“ logaritmu, bylo dříve zjednodušeno pomocí dobře známých školních vlastností:

! Pokud máte po ruce cvičný sešit, zkopírujte si tyto vzorce přímo tam. Pokud nemáte sešit, nakreslete si je na papír, protože kolem těchto vzorců se bude točit zbytek příkladů lekce.

Samotné řešení lze formulovat takto:

Pojďme transformovat funkci:

Najdeme derivaci:

Předběžná transformace samotné funkce značně zjednodušila řešení. Když je tedy pro derivování navržen podobný logaritmus, je vždy vhodné jej „rozložit“.

A nyní pár jednoduchých příkladů pro nezávislé řešení:

Příklad 9

Najděte derivaci funkce

Příklad 10

Najděte derivaci funkce

Všechny transformace a odpovědi na konci lekce.

logaritmická derivace

Pokud je derivace logaritmů taková sladká hudba, pak se nabízí otázka, zda je možné v některých případech logaritmus uměle uspořádat? Umět! A dokonce nutné.

Příklad 11

Najděte derivaci funkce

Podobné příklady jsme nedávno zvažovali. Co dělat? Lze postupně aplikovat pravidlo diferenciace kvocientu a poté pravidlo diferenciace produktu. Nevýhodou této metody je, že získáte obrovský třípatrový zlomek, se kterým se vůbec nechcete zabývat.

Ale v teorii a praxi existuje taková úžasná věc, jako je logaritmická derivace. Logaritmy lze uměle organizovat jejich „zavěšením“ na obě strany:

Poznámka : protože funkce může zabrat záporné hodnoty, pak, obecně řečeno, musíte použít moduly: , které v důsledku diferenciace mizí. Přijatelný je však i současný design, kde je standardně komplex hodnoty. Ale pokud se vší přísností, pak v obou případech je nutné provést rezervaci, že.

Nyní musíte co nejvíce „rozložit“ logaritmus pravé strany (vzorce před očima?). Tento proces popíšu velmi podrobně:

Začněme s rozlišováním.
Obě části uzavíráme tahem:

Odvození pravé strany je celkem jednoduché, nebudu se k tomu vyjadřovat, protože pokud čtete tento text, měli byste ho s jistotou zvládnout.

A co levá strana?

Na levé straně máme komplexní funkce. Předvídám otázku: "Proč, je pod logaritmem jedno písmeno "y"?".

Faktem je, že toto "jedno písmeno y" - JE FUNKCÍ SAMA O SOBĚ(pokud to není příliš jasné, podívejte se na článek Derivace implicitně specifikované funkce). Proto je logaritmus externí funkcí a "y" je vnitřní funkcí. A použijeme pravidlo diferenciace složených funkcí :

Na levé straně jako kouzlem máme derivaci. Dále, podle pravidla proporce, hodíme „y“ ze jmenovatele levé strany do horní části pravé strany:

A teď si pamatujeme, o jaké „herní“ funkci jsme mluvili při rozlišování? Podívejme se na stav:

Konečná odpověď:

Příklad 12

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Příklad šablony návrhu tohoto typu na konci lekce.

Pomocí logaritmické derivace bylo možné vyřešit kterýkoli z příkladů č. 4-7, další věc je, že funkce jsou tam jednodušší a možná použití logaritmické derivace není příliš opodstatněné.

Derivace exponenciální funkce

O této funkci jsme zatím neuvažovali. Exponenciální funkce je funkce, která má a stupeň a základ závisí na "x". Klasický příklad, který vám bude uveden v jakékoli učebnici nebo na jakékoli přednášce:

Jak najít derivaci exponenciální funkce?

Je nutné použít právě uvažovanou techniku - logaritmickou derivaci. Logaritmy zavěsíme na obě strany:

Stupeň se zpravidla odebírá pod logaritmem na pravé straně:

Výsledkem je, že na pravé straně máme součin dvou funkcí, které budou diferencovány podle standardního vzorce .

Najdeme derivaci, proto obě části uzavřeme pod tahy:

Další kroky jsou snadné:

Konečně:

Pokud některá transformace není zcela jasná, přečtěte si prosím znovu pečlivě vysvětlení příkladu 11.

V praktických úlohách bude exponenciální funkce vždy složitější než uvažovaný příklad z přednášky.

Příklad 13

Najděte derivaci funkce

Používáme logaritmickou derivaci.

Na pravé straně máme konstantu a součin dvou faktorů - "x" a "logaritmus logaritmu x" (pod logaritmus je vnořen další logaritmus). Při derivování konstanty, jak si pamatujeme, je lepší ji hned vyjmout ze znaménka derivace, aby nepřekážela; a samozřejmě použít známé pravidlo :

Tato lekce je věnována tématu „Diferenciace komplexních funkcí. Úkol z praxe přípravy na Jednotnou státní zkoušku z matematiky. V této lekci studujeme diferenciaci komplexních funkcí. Sestaví se tabulka derivací komplexní funkce. Dále je zvažován příklad řešení problému z praxe přípravy na USE v matematice.

Téma: Derivát

Lekce: Derivování komplexní funkce. Úkol z procvičování přípravy na zkoušku z matematiky

komplexfunkce už jsme derivovali, ale argumentem byla lineární funkce, totiž víme, jak funkci derivovat . Například, . Nyní stejným způsobem najdeme derivace komplexní funkce, kde místo lineární funkce může být jiná funkce.

Začněme funkcí

Našli jsme tedy derivaci sinu komplexní funkce, kde argumentem sinu byla kvadratická funkce.

Pokud je potřeba najít hodnotu derivace v určitém bodě, pak je třeba tento bod dosadit do nalezené derivace.

Na dvou příkladech jsme tedy viděli, jak pravidlo funguje diferenciace komplex funkcí.

3. . Odvolej to .

8. .

Tím bude tabulka diferenciace komplexních funkcí v této fázi dokončena. Dále se to samozřejmě ještě více zobecní a nyní přejděme ke konkrétním problémům na derivaci.

V nácviku přípravy na zkoušku jsou navrženy následující úkoly.

Najděte minimum funkce .

ODZ: .

Pojďme najít derivát. Odvolej to, .

Srovnejme derivaci s nulou. Bod - je zařazen do ODZ.

Najděte intervaly konstantního znaménka derivace (intervaly monotonie funkce) (viz obr. 1).

Rýže. 1. Intervaly monotonie pro funkci .

Zvažte bod a zjistěte, zda se nejedná o extrémní bod. Dostatečným znakem extrému je, že derivace při průchodu bodem změní znaménko. V tomto případě derivace změní znaménko, což znamená, že jde o extrémní bod. Protože derivace mění znaménko z "-" na "+", pak - minimální bod. Najděte hodnotu funkce v minimálním bodě: . Nakreslíme schéma (viz obr. 2).

Obr.2. Funkční extrém .

Na intervalu - funkce klesá, na - funkce roste, extrémní bod je jedinečný. Funkce nabývá nejmenší hodnoty pouze v bodě .

V lekci jsme zvažovali derivování komplexních funkcí, sestavili tabulku a zkoumali pravidla pro derivování komplexní funkce, uvedli příklad použití derivace z nácviku přípravy na zkoušku.

1. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Učebnice pro vzdělávací instituce ( úroveň profilu) vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začátek analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Sešit úkolů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra a matematická analýza pro ročník 10 ( tutorial pro studenty škol a tříd s prohloubeným studiem matematiky).-M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hloubkové studium algebry a matematické analýzy.-M .: Education, 1997.

5. Sborník úloh z matematiky pro uchazeče o studium na technických univerzitách (pod redakcí M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraický trenér.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra a počátky analýzy. 8-11 buněk: Příručka pro školy a třídy s prohloubeným studiem matematiky (didaktické materiály) - M .: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Úkoly z algebry a počátky analýzy (příručka pro studenty 10.-11. ročníku všeobecně vzdělávacích institucí).-M .: Education, 2003.

9. Karp A.P. Sbírka úloh z algebry a počátky analýzy: učebnice. příspěvek na 10-11 buněk. s hlubokým studie matematika.-M.: Vzdělávání, 2006.

10. Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole. Ročníky 9-10 (příručka pro učitele).-M.: Osvícení, 1983

Další webové zdroje

2. Portál Přírodní vědy ().

dělat doma

č. 42.2, 42.3 (Algebra a počátky analýzy, ročník 10 (ve dvou částech). Sešit úkolů pro vzdělávací instituce (úroveň profilu) vyd. A. G. Mordkovich. - M .: Mnemozina, 2007.)

Základní definice

Příklady

komplexní deriváty. Logaritmická derivace. Derivace exponenciální funkce

Komplexní deriváty

logaritmická derivace

Derivace exponenciální funkce

komplexní deriváty. Logaritmická derivace.
Derivace exponenciální funkce