Maslová Angelina
Výzkumná práce v matematice. Angelina sestavil počítačový model lineární funkce, se kterou byla studie provedena.
Stažení:
Náhled:
Obecní autonomní vzdělávací instituce střední školač. 8 městský obvod Bor, oblast Nižnij Novgorod
Výzkumná práce v informatice a matematice
Vyplnila studentka třídy 7A Angelina Maslova
Vedoucí: učitelka informatiky, Voronina Anna Alekseevna.
Městská část Bor - 2015
Úvod
- Zkoumání lineárních funkcí v tabulkových procesorech
Závěr
Bibliografie
Úvod
Letos jsme se v hodinách algebry seznámili s lineárními funkcemi. Naučili jsme se sestavit graf lineární funkce, určili jsme, jak se má graf funkce chovat v závislosti na jejích koeficientech. O něco později jsme se v hodině informatiky dozvěděli, že tyto akce lze považovat za matematické modelování. Rozhodl jsem se zjistit, zda je možné prozkoumat lineární funkci pomocí tabulek.
Cíl práce: prozkoumejte lineární funkce v tabulkových procesorech
Cíle výzkumu:
- vyhledávat a studovat informace o lineární funkci;
- sestavit matematický model lineární funkce v tabulkovém procesoru;
- prozkoumat lineární funkci pomocí vytvořeného modelu.
Předmět studia:matematické modelování.
Předmět studia:matematický model lineární funkce.
Modelování jako metoda poznání
Člověk zažívá svět téměř od svého narození. K tomu člověk používá modely, které mohou být velmi rozmanité.
Modelka je nový objekt, který odráží některé podstatné vlastnosti skutečného objektu.
Modely skutečných objektů se používají v různých situacích:
- Když je objekt velmi velký (například Země je model: zeměkoule nebo mapa) nebo naopak příliš malý (biologická buňka).
- Když je objekt ve své struktuře velmi složitý (auto - model: dětské auto).
- Když je předmět nebezpečný ke studiu (sopka).
- Když je objekt velmi daleko.
Modelování je proces vytváření a studia modelu.
Modely vytváříme a používáme sami, někdy aniž bychom o tom přemýšleli. Například vyfotografujeme nějakou událost v našem životě a pak je ukážeme našim přátelům.
Na základě typu informací lze všechny modely rozdělit do několika skupin:
- Verbální modely. Tyto modely mohou existovat verbálně popř psaní. Může to být jen slovní popis předmětu nebo básně, nebo to může být novinový článek nebo esej – to všechno jsou verbální modely.
- Grafické modely. Toto jsou naše kresby, fotografie, schémata a grafy.
- Ikonické modely. Jedná se o modely zaznamenané na libovolném znaková řeč: poznámky, matematické, fyzikální nebo chemické vzorce.
Lineární funkce a jeho vlastnosti
Lineární funkcenazývá funkce formuláře
Grafem lineární funkce je přímka.
1 . K vykreslení funkce, potřebujeme souřadnice dvou bodů patřících do grafu funkce. Chcete-li je najít, musíte vzít dvě hodnoty x, dosadit je do rovnice funkce a použít je k výpočtu odpovídajících hodnot y.
Například k vykreslení funkce, pohodlné vzít a , pak se souřadnice těchto bodů budou rovnat A .
Dostaneme body A(0;2) a B(3;3). Propojíme je a získáme graf funkce:
2 . V rovnici funkce y=kx+b je koeficient k zodpovědný za sklon grafu funkce:
Koeficient b je zodpovědný za posun grafu podél osy OY:
Níže uvedený obrázek ukazuje grafy funkcí; ;
Všimněte si, že ve všech těchto funkcích koeficient větší než nula doprava . Navíc tím větší hodnotu, čím strmější je přímka.
Ve všech funkcích– a vidíme, že všechny grafy protínají osu OY v bodě (0;3)
Nyní se podíváme na grafy funkcí; ;
Tentokrát ve všech funkcích koeficient méně než nula a všechny grafy funkcí jsou skloněné vlevo, odjet . Koeficient b je stejný, b=3 a grafy stejně jako v předchozím případě protínají osu OY v bodě (0;3)
Podívejme se na grafy funkcí; ;
Nyní ve všech funkčních rovnicích koeficientyjsou rovny. A máme tři rovnoběžné čáry.
Ale koeficienty b jsou různé a tyto grafy protínají osu OY v různých bodech:
Graf funkce (b=3) protíná osu OY v bodě (0;3)
Graf funkce (b=0) protíná osu OY v bodě (0;0) - počátek.
Graf funkce (b=-2) protíná osu OY v bodě (0;-2)
Pokud tedy známe znaménka koeficientů k a b, můžeme si hned představit, jak vypadá graf funkce.
Pokud k 0, pak graf funkce má tvar:
Pokud k>0 ab>0 , pak graf funkce má tvar:
Pokud k>0 a b , pak graf funkce má tvar:
Pokud k, pak graf funkce má tvar:
Pokud k=0, pak funkce promění ve funkcia jeho graf vypadá takto:
Souřadnice všech bodů na grafu funkce rovnat se
Pokud b=0 , pak graf funkceprochází původem:
4. Podmínka pro rovnoběžnost dvou čar:
Graf funkce rovnoběžně s grafem funkce, Pokud
5. Podmínka pro kolmost dvou přímek:
Graf funkce kolmo ke grafu funkce, já pro
6 . Průsečíky funkčního grafuse souřadnicovými osami.
S osou OY. Úsečka libovolného bodu náležejícího k ose OY je rovna nule. Proto, abyste našli průsečík s osou OY, musíte do rovnice funkce místo x dosadit nulu. Dostaneme y=b. To znamená, že průsečík s osou OY má souřadnice (0; b).
S osou OX: Pořadnice libovolného bodu náležejícího k ose OX je rovna nule. Proto, abyste našli průsečík s osou OX, musíte do rovnice funkce místo y dosadit nulu. Dostaneme 0=kx+b. Odtud. To znamená, že průsečík s osou OX má souřadnice (;0):
Zkoumání lineárních funkcí v tabulkových procesorech
Pro studium lineární funkce v prostředí tabulkového procesoru jsem sestavil následující algoritmus:
- Sestavte matematický model lineární funkce v tabulkovém procesoru.
- Vyplňte tabulku trasování hodnot argumentů a funkcí.
- Vykreslete lineární funkci pomocí Průvodce grafem.
- Prozkoumejte lineární funkci v závislosti na hodnotách koeficientů.
Ke studiu lineární funkce jsem použil Microsoft Office Excel 2007. Pomocí vzorců jsem sestavil tabulky hodnot argumentů a funkcí. Dostal jsem následující tabulku hodnot:
Na takový matematický model, můžete snadno sledovat změny v grafu lineární funkce změnou hodnot koeficientů v tabulce.
Také jsem se rozhodl pomocí tabulek sledovat, jak se mění relativní poloha grafů dvou lineárních funkcí. Po vytvoření nového matematického modelu v tabulce jsem dostal následující výsledek:
Změnou koeficientů dvou lineárních funkcí jsem se jasně přesvědčil o platnosti informací, které jsem se o vlastnostech lineárních funkcí dozvěděl.
Závěr
Lineární funkce v algebře je považována za nejjednodušší. Ale zároveň má mnoho vlastností, které nejsou hned jasné. Po sestavení matematického modelu lineární funkce v tabulkových procesorech a jeho prozkoumání mi byly vlastnosti lineární funkce jasnější. Jasně jsem viděl, jak se graf mění, když se mění koeficienty funkce.
Myslím, že matematický model, který jsem vytvořil, pomůže žákům sedmé třídy samostatně prozkoumat lineární funkci a lépe ji porozumět.
Bibliografie
- Učebnice algebry pro 7. ročník.
- Učebnice informatiky pro 7. ročník
- Wikipedia.org
Náhled:
Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet Google a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com
Popisky snímků:
Předmět studia: lineární funkce. Předmět výzkumu: matematický model lineární funkce.
Cíl práce: prozkoumat lineární funkci v tabulkových procesorech Cíle výzkumu: najít a studovat informace o lineární funkci; sestavit matematický model lineární funkce v tabulkovém procesoru; prozkoumat lineární funkci pomocí vytvořeného modelu.
Lineární funkce je funkcí tvaru y= k x+ b, kde x je argument a kab jsou nějaká čísla (koeficienty) Graf lineární funkce je přímka.
Uvažujme funkci y=kx+b takovou, že k 0 , b=0 . Pohled: y=kx V jednom souřadnicovém systému sestrojíme grafy těchto funkcí: y=3x y=x y=-7x Každý graf sestrojíme s odpovídající barvou x 0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 y 0 7
Počátkem prochází graf lineární funkce tvaru y = k x. y=x y=3x y=-7x y x
Závěr: Graf lineární funkce tvaru y = kx + b protíná osu O Y v bodě (0; b).
Uvažujme funkci y=kx+b, kde k=0. Zobrazení: y=b V jednom souřadnicovém systému sestavte grafy funkcí: y=4 y=-3 y=0 Každý graf sestrojíme příslušnou barvou
Graf lineární funkce tvaru y = b probíhá rovnoběžně s osou OX a protíná osu O Y v bodě (0; b). y=4 y=-3 y=0 y x
V jednom souřadnicovém systému sestavte grafy funkcí: Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 Každý graf sestrojíme příslušnou barvou x 0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2
Grafy lineárních funkcí tvaru y=kx+b jsou rovnoběžné, pokud jsou koeficienty x stejné. y = 2x+ 3 y = 2x y = 2x-4 y x
V jednom souřadnicovém systému sestrojíme grafy funkcí: y=3x+4 Y= - 2x+4 Sestrojíme grafy s příslušnou barvou x 0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2
Grafy dvou lineárních funkcí tvaru y=kx+b se protínají, pokud jsou koeficienty x různé. y x
V jednom souřadnicovém systému sestrojíme grafy funkcí: y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 y -2 0 x 0 1 y -1 3 x 0 - 4 y -3 -2
y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 Grafy dvou lineárních funkcí tvaru y=kx+b jsou vzájemně kolmé, jestliže součin koeficienty x je "-1".
Proto se koeficient k nazývá sklon přímky - graf funkce y=kx+ b. Je-li k 0, pak je úhel sklonu grafu k ose O X ostrý. Funkce se zvyšuje. y x y x
Tabulka
Tabulka
Lineární rovnice Algebraická podmínka Geometrická derivace y = k 1 x+ b 1 k 1 = k 2, b 1 ≠ b 2 y = k 2 x+ b 2 k 1 = k 2, b 1 = b 2 k 1 ≠ k 2 k 1 * do 2 = -1 Čáry jsou rovnoběžné Čáry jsou shodné Čáry jsou kolmé Čáry se protínají
Matematický model, který jsem vytvořil, pomůže žákům sedmé třídy samostatně prozkoumat lineární funkci a lépe ji porozumět.
Shrnout a systematizovat znalosti na téma „Lineární funkce“:
- upevnit schopnost číst a vytvářet grafy funkcí daných vzorci y = kx+b, y = kx;
- upevnit schopnost určovat relativní polohu grafů lineárních funkcí;
- rozvíjet dovednosti v práci s grafy lineárních funkcí.
Rozvíjet schopnost analyzovat, porovnávat, vyvozovat závěry. Rozvoj kognitivního zájmu o matematiku, kompetentní ústní matematický projev, přesnost a preciznost ve stavbě.
Výchova pozornost, samostatnost v práci, schopnost práce ve dvojicích.
Vybavení: pravítko, tužka, karty úkolů, barevné tužky.
Typ lekce: lekce o upevňování naučeného materiálu.
Plán lekce:
- Organizace času.
- Ústní práce. Matematický diktát se sebezkoumáním a sebehodnocením. Historická exkurze.
- Tréninková cvičení.
- Samostatná práce.
- Shrnutí lekce.
- Domácí práce.
Během vyučování
1. Uveďte účel lekce.
Účelem lekce je shrnout a systematizovat poznatky na téma „Lineární funkce“.
2. Začněme testováním vašich teoretických znalostí.
– Definujte funkci. Co je to nezávislá proměnná? Závislá proměnná?
– Definujte graf funkce.
– Formulujte definici lineární funkce.
– Jaký je graf lineární funkce?
– Jak znázornit graf lineární funkce?
– Formulovat definici přímé úměrnosti. co je to graf? Jak sestavit graf? Jak je graf funkce y = kx umístěn v rovině souřadnic pro k > 0 a pro k< 0?
Matematický diktát s autotestem a sebehodnocením.
Podívej se na obrázky a odpověz na otázky.
1) Graf které funkce je nadbytečný?
2) Který obrázek ukazuje graf přímé úměrnosti?
3) Na kterém obrázku má graf lineární funkce záporný sklon?
4) Určete znaménko čísla b. (Odpověď zapište jako nerovnost)
Kontrola práce. Hodnocení.
Pracovat v párech.
Rozlušti jméno matematika, který jako první použil termín funkce. K tomu napište do políček písmeno odpovídající grafu dané funkce. Do zbývajícího čtverce napište písmeno C. Doplňte do výkresu graf funkce odpovídající tomuto písmenu.
Obrázek 1
Obrázek 2
Obrázek 3
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, německý filozof, matematik, fyzik a lingvista. S anglickým vědcem I. Newtonem vytvořili (nezávisle na sobě) základy důležitého oboru matematiky - matematické analýzy. Leibniz představil mnoho konceptů a symbolů, které se v matematice používají dodnes.
3. 1. Jsou dány funkcemi určenými vzorci: y = x-5; y = 0,5x; y = – 2x; y = 4.
Pojmenujte funkce. Uveďte grafy, která z těchto funkcí bude procházet bodem M (8;4). Ukažte si schematicky, jak bude kresba vypadat, když na ní znázorníte grafy funkcí procházejících bodem M.
2. Bodem C (2;1) prochází graf přímé úměrnosti. Vytvořte vzorec, který určuje přímou úměrnost. Při jaké hodnotě m bude graf procházet bodem B (-4;m).
3. Nakreslete graf funkce dané y=1/2X. Jak lze z grafu dané funkce získat graf funkce dané vzorcem y=1/2X – 4 a y = 1/2X+3. Analyzujte výsledné grafy.
4. Funkce jsou dány vzorci:
1) y= 4x+9 a y= 6x-5;
2) y=l/2x-3 a y=0,5x+2;
3) y= x a y= -5x+2,4;
4) y= 3x+6 a y= -2,5x+6.
Jaká je relativní poloha grafů funkcí? Bez provedení jakékoli konstrukce najděte souřadnice průsečíku první dvojice grafů. (Samotest)
4. Samostatná práce ve dvojicích. (prováděno na ml papíru). Interdisciplinární komunikace.
Je nutné sestrojit grafy funkcí a vybrat tu část z nich pro body, pro které platí odpovídající nerovnost:
y = x + 6, 4 < X < 6; y = -x + 6, -6 < X < -4; y = – 1/3 x + 10, -6 < X < -3; y = 1/3 x +10, 3 < X < 6; y = -x + 14, 0 < X < 3; y = x + 14, -3 < X < 0; y = 9x – 18, 2 < X < 4; y = – 9x – 18 -4 < X < -2; y = 0, -2 < X < 2.
Jaký druh kresby jsi dostal? ( Tulipán.)
Něco málo o tulipánech:
Je známo asi 120 druhů tulipánů, rozšířených především ve střední, východní a jižní Asii a Jižní Evropa. Botanici se domnívají, že kultura tulipánů vznikla v Turecku ve 12. století.Rostlina získala světovou proslulost daleko od své domoviny, v Holandsku, právem nazývaném Země tulipánů.
Zde je legenda o tulipánu. Štěstí bylo obsaženo ve zlatém poupěti žlutého tulipánu. Nikdo nemohl dosáhnout tohoto štěstí, protože neexistovala žádná taková síla, která by mohla otevřít jeho poupě. Jednou se ale po louce procházela žena s dítětem. Chlapec utekl matce z náručí, se zvonivým smíchem přiběhl ke květině a zlaté poupě se otevřelo. Bezstarostný dětský smích dokázal to, co žádná síla nedokázala. Od té doby se stalo zvykem dávat tulipány pouze těm, kteří cítí štěstí.
Tvořivý domácí práce. Vytvořte výkres v pravoúhlém souřadnicovém systému, který se skládá ze segmentů, a vytvořte jeho analytický model.
6. Samostatná práce. Diferencovaný úkol (ve dvou verzích)
Možnost I:
Načrtněte grafy funkcí:
Možnost II:
Nakreslete schematicky grafy funkcí, pro které jsou splněny následující podmínky:
7. Shrnutí lekce
Analýza provedené práce. Klasifikace.
Třída: 7
Funkce zaujímá jedno z předních míst v kurzu školní algebry a má četné aplikace v jiných vědách. Na začátku studie, za účelem motivace a aktualizace otázky, sděluji, že ani jeden jev, ani jeden proces v přírodě nelze studovat, žádný stroj nelze sestrojit a následně provozovat bez úplného matematického popisu . Jedním z nástrojů je funkce. Jeho studium začíná v 7. třídě, děti se zpravidla do definice nehrabou. Obzvláště obtížně dostupné pojmy jsou doménou definice a doménou významu. Pomocí známých souvislostí mezi veličinami v problémech pohybu a hodnoty je převádím do řeči funkce a udržuji souvislost s její definicí. Studenti tak rozvíjejí koncept funkce na vědomé úrovni. Ve stejné fázi se usilovně pracuje na nových konceptech: doména definice, doména hodnoty, argument, hodnota funkce. Používám pokročilé učení: zavádím zápis D(y), E(y), zavádím pojem nuly funkce (analyticky i graficky), při řešení úloh s oblastmi konstantního znaménka. Čím dříve a častěji se žáci setkávají s obtížnými pojmy, tím lépe si je uvědomují na úrovni dlouhodobé paměti. Při studiu lineární funkce je vhodné ukázat souvislost s řešením lineární rovnice a soustav a později s řešením lineárních nerovnic a jejich soustav. Na přednášce studenti dostanou velký blok (modul) nových informací, proto se na konci přednášky látka „vyždímá“ a sestaví se shrnutí, které musí studenti znát. Praktické dovednosti jsou rozvíjeny v procesu provádění cvičení různými metodami, které jsou založeny na samostatné a samostatné práci.
1. Některé informace o lineárních funkcích.
S lineární funkcí se v praxi setkáváme velmi často. Délka tyče je lineární funkcí teploty. Délka kolejnic a mostů je také lineární funkcí teploty. Vzdálenost, kterou urazí chodec, vlak nebo automobil konstantní rychlostí, je lineární funkcí cestovní doby.
Lineární funkce popisuje řadu fyzikálních vztahů a zákonů. Podívejme se na některé z nich.
1) l = l о (1+at) – lineární roztažnost pevných látek.
2) v = v о (1+bt) – objemová roztažnost pevných látek.
3) p=p o (1+at) – závislost měrného odporu pevných vodičů na teplotě.
4) v = v o + při – rychlosti rovnoměrně zrychleného pohybu.
5) x= x o + vt – souřadnice rovnoměrného pohybu.
Úkol 1. Určete lineární funkci z tabulkových dat:
| X | 1 | 3 |
| na | -1 | 3 |
Řešení. y= kx+b, úloha je redukována na řešení soustavy rovnic: 1=k 1+b a 3=k 3 + b
Odpověď: y = 2x – 3.
Úloha 2. Pohybující se rovnoměrně a přímočarě, těleso uběhlo 14 m za prvních 8 s a 12 m za další 4 s. Na základě těchto údajů vytvořte pohybovou rovnici.
Řešení. Podle podmínek úlohy máme dvě rovnice: 14 = x o +8 v o a 26 = x o +12 v o, řešením soustavy rovnic získáme v = 3, x o = -10.
Odpověď: x = -10 + 3t.
Úloha 3. Auto opustilo město rychlostí 80 km/h. Po 1,5 hodině za ním přijel motocykl, jehož rychlost byla 100 km/h. Jak dlouho bude motorce trvat, než ho dožene? V jaké vzdálenosti od města k tomu dojde?
Odpověď: 7,5 hodiny, 600 km.
Úkol 4. Vzdálenost mezi dvěma body v počátečním okamžiku je 300 m. Body se k sobě pohybují rychlostí 1,5 m/s a 3,5 m/s. Kdy se potkají? kde se to stane?
Odpověď: 60 s, 90 m.
Úkol 5. Měděné pravítko má při 0 o C délku 1 m. Najděte nárůst její délky, když se její teplota zvýší o 35 o, o 1000 o C (bod tání mědi je 1083 o C)
Odpověď: 0,6 mm.
2. Přímá úměrnost.
Mnoho fyzikálních zákonů je vyjádřeno přímou úměrností. Ve většině případů se k sepsání těchto zákonů používá model
v některých případech -
Uveďme si pár příkladů.
1. S = v t (v – konst)
2. v = a t (a – konst, a – zrychlení).
3. F = kx (Hookeův zákon: F – síla, k – tuhost (konst), x – prodloužení).
4. E= F/q (E je intenzita v daném bodě elektrického pole, E je konst, F je síla působící na náboj, q je velikost náboje).
Jako matematický model přímé úměrnosti můžete použít podobnost trojúhelníků nebo úměrnost úseček (Thalesův teorém).
Úloha 1. Vlak projel semafor za 5 s, nástupiště dlouhé 150 m projel za 15 s. Jaká je délka vlaku a jeho rychlost?
Řešení. Nechť x je délka vlaku, x+150 je celková délka vlaku a nástupiště. V tomto problému je rychlost konstantní a čas je úměrný délce.
Máme poměr: (x+150) :15 = x: 5.
kde x = 75, v = 15.
Odpovědět. 75 m, 15 m/s.
Úloha 2. Loď ujela za nějaký čas 90 km po proudu. Za stejnou dobu by ujel 70 km proti proudu. Jak daleko raft za tuto dobu ujede?
Odpovědět. 10 km.
Úloha 3. Jaká byla počáteční teplota vzduchu, když se při zahřátí o 3 stupně jeho objem zvětšil o 1 % původního.
Odpovědět. 300 K (Kelvin) nebo 27 0 C.
Přednáška na téma "Lineární funkce".
Algebra, 7. třída
1. Zvažte příklady problémů pomocí dobře známých vzorců:
S = vt (vzorec cesty), (1)
C = ck (hodnotový vzorec). (2)
Úloha 1. Auto jelo 20 km z bodu A a pokračovalo v cestě rychlostí 62 km/h. V jaké vzdálenosti od bodu A bude auto po t hodinách? Sestavte výraz pro úlohu, označující vzdálenost S, najděte ji v t = 1 hodina, 2,5 hodiny, 4 hodiny.
1) Pomocí vzorce (1) zjistíme dráhu, kterou ujelo auto rychlostí 62 km/h za čas t, S 1 = 62t;
2) Potom z bodu A po t hodinách bude auto ve vzdálenosti S = S 1 + 20 nebo S = 62t + 20, zjistěme hodnotu S:
při t = 1, S = 62 x 1 + 20, S = 82;
při t = 2,5, S = 62 x 2,5 + 20, S = 175;
při t = 4, S = 62 x 4 + 20, S = 268.
Podotýkáme, že při hledání S se mění pouze hodnota t a S, tzn. t a S jsou proměnné a S závisí na t, každá hodnota t odpovídá jedné hodnotě S. Označením proměnné S Y a t x získáme vzorec pro řešení tohoto problému:
Y= 62x + 20. (3)
Problém 2. V obchodě jsme koupili učebnici za 150 rublů a 15 sešitů po n rublech. Kolik peněz jste zaplatili za nákup? Sestavte výraz pro úlohu, označující cenu C, najděte ji pro n = 5,8,16.
1) Pomocí vzorce (2) zjistíme náklady na notebooky C 1 = 15n;
2) Pak cena celého nákupu je C = C 1 +150 nebo C = 15n+150, zjistěme hodnotu C:
kde n = 5, C = 15 5 + 150, C = 225;
kde n = 8, C = 158 + 150, C = 270;
kde n = 16, C = 15 16+ 150, C = 390.
Podobně si všimneme, že C a n jsou proměnné, pro každou hodnotu n odpovídá jedna hodnota C. Označením proměnné C jako Y a n jako x získáme vzorec pro řešení úlohy 2:
Y= 15x + 150. (4)
Porovnáním vzorců (3) a (4) jsme přesvědčeni, že proměnná Y je nalezena prostřednictvím proměnné x pomocí stejného algoritmu. Uvažovali jsme pouze o dvou různých problémech, které popisují jevy, které nás každý den obklopují. Ve skutečnosti existuje mnoho procesů, které se mění podle získaných zákonitostí, takže taková závislost mezi proměnnými si zaslouží studium.
Řešení problémů ukazují, že hodnoty proměnné x jsou voleny libovolně, splňující podmínky problémů (pozitivní v problému 1 a přirozené v problému 2), tj. x je nezávislá proměnná (nazývá se argument) a Y je závislá proměnná a existuje mezi nimi korespondence jedna ku jedné a podle definice je taková závislost funkcí. Pokud tedy koeficient x označíme písmenem k a volný člen písmenem b, dostaneme vzorec
Y = kx + b.
Definice: Funkce formuláře y= kx + b, kde k, b jsou nějaká čísla, x je argument, y je hodnota funkce, nazývaná lineární funkce.
Pro studium vlastností lineární funkce zavádíme definice.
Definice 1. Množina přípustných hodnot nezávislé proměnné se nazývá definiční obor funkce (přípustné - to znamená ty číselné hodnoty x, pro které se provádějí výpočty y) a označuje se D(y).
Definice 2. Množina hodnot závislé proměnné se nazývá definiční obor funkce (jedná se o číselné hodnoty, které y nabývá) a označuje se E(y).
Definice 3. Graf funkce je množina bodů na souřadnicové rovině, jejichž souřadnice mění vzorec ve skutečnou rovnost.
Definice 4. Koeficient k x se nazývá sklon.
Uvažujme vlastnosti lineární funkce.
1. D(y) – všechna čísla (násobení je definováno na množině všech čísel).
2. E(y) – všechna čísla.
3. Je-li y = 0, pak x = -b/k, bod (-b/k;0) – průsečík s osou Ox, se nazývá nula funkce.
4. Jestliže x = 0, pak y = b, bod (0; b) je průsečík s osou Oy.
5. Zjistíme, která přímka bude lineární funkce na souřadnicové rovině seřazovat body, tzn. což je graf funkce. Chcete-li to provést, zvažte funkce
1) y= 2x + 3, 2) y= -3x – 2.
Pro každou funkci vytvoříme tabulku hodnot. Nastavíme libovolné hodnoty proměnné x a vypočítáme odpovídající hodnoty proměnné Y.
| X | -1,5 | -2 | 0 | 1 | 2 |
| Y | 0 | -1 | 3 | 5 | 7 |
Po sestrojení výsledných dvojic (x;y) na souřadnicové rovině a jejich propojení pro každou funkci zvlášť (hodnoty x jsme vzali s krokem 1, pokud krok zmenšíme, body se budou častěji zarovnávat a pokud se krok blíží nule, pak se body spojí do plné čáry ), všimneme si, že se body seřadí do přímky v případě 1) a v případě 2). Vzhledem k tomu, že funkce jsou voleny libovolně (sestavte si vlastní grafy y= 0,5x – 4, y= x + 5), docházíme k závěru, že že graf lineární funkce je přímka. Využitím vlastnosti přímky: dvěma body prochází pouze jedna přímka, k sestrojení přímky stačí vzít dva body.
6. Z geometrie je známo, že přímky se mohou buď protínat, nebo být rovnoběžné. Pojďme studovat vzájemnou polohu grafů několika funkcí.
1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x - 4; 2) y= 2x + 2, y= x + 2, y= -0,5x + 2.
Sestavme skupiny grafů 1) a 2) a vyvodíme závěry.
|
 |
Grafy funkcí 1) jsou umístěny paralelně, při zkoumání vzorců si všimneme, že všechny funkce mají stejné koeficienty pro x.
Grafy funkcí 2) se protínaly v jednom bodě (0;2). Při zkoumání vzorců si všimneme, že koeficienty jsou různé a číslo b = 2.
Navíc je snadné si všimnout, že přímky definované lineárními funkcemi s k › 0 svírají ostrý úhel s kladným směrem osy Ox a tupý úhel s k ‹ 0. Proto se koeficient k nazývá sklonový koeficient.
7. Uvažujme speciální případy lineární funkce v závislosti na koeficientech.
1) Je-li b=0, pak má funkce tvar y= kx, pak k = y/x (poměr ukazuje, kolikrát je rozdíl nebo jaká část y je z x).
Funkce tvaru Y= kx se nazývá přímá úměrnost. Tato funkce má všechny vlastnosti lineární funkce, její zvláštností je, že pro x=0 y=0. Graf přímé úměrnosti prochází počátečním bodem (0;0).
2) Je-li k = 0, pak funkce nabývá tvaru y = b, což znamená, že pro jakoukoli hodnotu x má funkce stejnou hodnotu.
Funkce tvaru y = b se nazývá konstanta. Grafem funkce je přímka procházející bodem (0;b) rovnoběžná s osou Ox, při b=0 se graf konstantní funkce shoduje s osou úsečky.
Abstraktní
1. Definice Funkce ve tvaru Y = kx + b, kde k, b jsou nějaká čísla, x je argument, Y je hodnota funkce, se nazývá lineární funkce.
D(y) – všechna čísla.
E(y) – všechna čísla.
Grafem lineární funkce je přímka procházející bodem (0;b).
2. Je-li b=0, pak funkce nabývá tvaru y= kx, nazývaného přímá úměrnost. Počátkem prochází graf přímé úměrnosti.
3. Je-li k = 0, pak funkce nabývá tvaru y= b a nazývá se konstanta. Graf konstantní funkce prochází bodem (0;b), rovnoběžným s osou úsečky.
4. Vzájemné uspořádání grafy lineárních funkcí.
Jsou dány funkce y= k 1 x + b 1 a y= k 2 x + b 2 .
Jestliže k 1 = k 2, pak jsou grafy rovnoběžné;
Pokud k 1 a k 2 nejsou stejné, pak se grafy protínají.
5. Příklady grafů lineárních funkcí viz výše.
Literatura.
- Učebnice Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov a další. "Algebra, 8."
- Didaktické materiály v algebře pro 8. ročník / V.I. Zhokhov, Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. – M.: Vzdělávání, 2006. – 144 s.
- Příloha novin 1. září „Matematika“, 2001, č. 2, č. 4.
Instrukce
Chcete-li najít souřadnice bodu na čáře, vyberte jej na čáře a nakreslete kolmé čáry na souřadnicové ose. Určete, jakému číslu odpovídá průsečík, průsečík s osou x je hodnota úsečky, tedy x1, průsečík s osou y je pořadnice y1.
Pokuste se vybrat bod, jehož souřadnice lze určit bez zlomkových hodnot, pro pohodlí a přesnost výpočtů. K sestavení rovnice potřebujete alespoň dva body. Najděte souřadnice dalšího bodu patřícího k této přímce (x2, y2).
Dosaďte hodnoty souřadnic do rovnice přímky mající obecný tvar y=kx+b. Získáte soustavu dvou rovnic y1=kx1+b a y2=kx2+b. Tento systém vyřešte např. následujícím způsobem.
Vyjádřete b z první rovnice a dosaďte do druhé, najděte k, dosaďte do libovolné rovnice a najděte b. Například řešení soustavy 1=2k+b a 3=5k+b bude vypadat takto: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1,5, b=1-2*1,5=-2. Rovnice přímky je tedy y=1,5x-2.
Když znáte dva body na přímce, zkuste použít kanonická rovnice přímka, vypadá to takto: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1). Dosaďte hodnoty (x1;y1) a (x2;y2), zjednodušte. Například body (2;3) a (-1;5) patří k přímce (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3); -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2y-6; 2y=12-3x nebo y=6-1,5x.
Chcete-li najít rovnici funkce, která má nelineární graf, postupujte následovně. Zobrazit všechny standardní grafy y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx atd. Pokud vám některý z nich připomíná váš rozvrh, použijte jej jako základ.
Nakreslete standardní graf základní funkce na stejné souřadnicové ose a najděte jej ze svého grafu. Pokud se graf posune o několik jednotek nahoru nebo dolů, znamená to, že toto číslo bylo přidáno do funkce (například y=sinx+4). Pokud je graf posunut doprava nebo doleva, znamená to, že do argumentu bylo přidáno číslo (například y=sin (x+P/2).
Podlouhlý graf na výšku ukazuje, že funkce argumentu je vynásobena nějakým číslem (například y=2sinx). Pokud je graf naopak zmenšený na výšku, znamená to, že číslo před funkcí je menší než 1.
Porovnejte graf základní funkce a svou funkci podle šířky. Pokud je užší, pak před x předchází číslo větší než 1, široké - číslo menší než 1 (například y=sin0,5x).
Poznámka
Možná, že graf odpovídá nalezené rovnici jen na určitém segmentu. V tomto případě uveďte, pro které hodnoty x výsledná rovnost platí.
Přímka je algebraická přímka prvního řádu. V Kartézský systém souřadnice na rovině, rovnice přímky je dána rovnicí prvního stupně.
Budete potřebovat
- Znalost analytické geometrie. Základní znalosti v algebře.
Instrukce
Rovnice je dána dvojkou, na které musí tato přímka procházet. Udělejme poměr souřadnic těchto bodů. Nechť má první bod souřadnice (x1,y1) a druhý (x2,y2), pak rovnice přímky zapíšeme takto: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1 )(y2-yl).
Transformujme výslednou rovnici přímky a vyjádřeme y explicitně pomocí x. Po této operaci dostane rovnice přímky svůj konečný tvar: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.
Video k tématu
Poznámka
Pokud je jedno z čísel ve jmenovateli nula, znamená to, že přímka je rovnoběžná s jednou ze souřadnicových os.
Po napsání rovnice přímky zkontrolujte její správnost. Chcete-li to provést, nahraďte souřadnice bodů místo odpovídajících souřadnic a ujistěte se, že je splněna rovnost.
Často je známo, že y závisí lineárně na x a je uveden graf této závislosti. V tomto případě je možné zjistit rovnici přímky. Nejprve musíte vybrat dva body na přímce.
Instrukce
Najděte vybrané body. Chcete-li to provést, spusťte kolmice z bodů na souřadnicové ose a zapište čísla ze stupnice. Takže pro bod B z našeho příkladu je souřadnice x -2 a souřadnice y 0. Podobně pro bod A budou souřadnice (2;3).
Je známo, že přímka má tvar y = kx + b. Souřadnice vybraných bodů dosadíme do rovnice v obecném tvaru, pak pro bod A získáme rovnici: 3 = 2k + b. Pro bod B dostaneme další rovnici: 0 = -2k + b. Je zřejmé, že máme systém dvou rovnic se dvěma neznámými: k a b.
Poté systém vyřešíme jakýmkoliv pohodlným způsobem. V našem případě je možné rovnice soustavy sečíst, protože neznámá k je zahrnuta v obou rovnicích s koeficienty, které jsou stejné velikosti, ale opačného znaménka. Pak dostaneme 3 + 0 = 2k - 2k + b + b, neboli, co je stejné: 3 = 2b. Tedy b = 3/2. Dosazením nalezené hodnoty b do kterékoli z rovnic najdete k. Potom 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.
Dosadíme do obecné rovnice nalezená k a b a získáme požadovanou rovnici přímky: y = 3x/4 + 3/2.
Video k tématu
Poznámka
Koeficient k se nazývá sklon přímky a je roven tečně úhlu mezi přímkou a osou x.
Přímku lze nakreslit ze dvou bodů. Souřadnice těchto bodů jsou „skryty“ v rovnici přímky. Rovnice vám prozradí všechna tajemství o přímce: jak se otáčí, na které straně souřadnicové roviny se nachází atd.
Instrukce
Častěji je požadováno zabudování do roviny. Každý bod bude mít dvě souřadnice: x, y. Věnujte pozornost rovnici, dodržuje obecný tvar: y=k*x ±b, kde k, b jsou volná čísla a y, x jsou stejné souřadnice všech bodů na přímce. Z obecné rovnice platí, že k najděte souřadnici y, kterou potřebujete znát souřadnici x Nejzajímavější je, že pro souřadnici x si můžete vybrat libovolnou hodnotu: z celého nekonečna známých čísel. Dále dosaďte x do rovnice a vyřešte ji, abyste našli y. Příklad. Nechť je dána rovnice: y=4x-3. Vytvořte libovolné dvě hodnoty pro souřadnice dvou bodů. Například x1 = 1, x2 = 5. Dosazením těchto hodnot do rovnic zjistíte souřadnice y. y1 = 4*1 – 3 = 1. y2 = 4*5 – 3 = 17. Získáme dva body A a B, A (1; 1) a B (5; 17).
Nalezené body byste měli zakreslit do souřadnicové osy, spojit je a vidět velmi přímku, která byla popsána rovnicí. Chcete-li sestrojit přímku, musíte pracovat v kartézském souřadnicovém systému. Nakreslete osy X a Y. V průsečíku nastavte hodnotu na „nulu“. Nakreslete čísla na osy.
Ve vytvořeném systému označte dva body nalezené v kroku 1. Princip nastavení uvedených bodů: bod A má souřadnice x1 = 1, y1 = 1; na ose X vyberte číslo 1, na ose Y – číslo 1. V tomto bodě se nachází bod A. Bod B je dán hodnotami x2 = 5, y2 = 17. Analogicky najděte bod B na grafu. Spojte A a B a vytvořte přímku.
Video k tématu
Termín řešení funkce jako takový se v matematice nepoužívá. Tuto formulaci je třeba chápat jako provádění určitých akcí na dané funkci za účelem nalezení konkrétní charakteristiky a také zjištění potřebných dat pro sestavení grafu funkce.
Instrukce
Můžete zvážit přibližný diagram, podle kterého je chování funkce vhodné, a sestavit jeho graf.
Najděte doménu funkce. Určete, zda je funkce sudá nebo lichá. Pokud najdete požadovanou odpověď, pokračujte pouze na požadované poloose. Určete, zda je funkce periodická. Pokud je odpověď kladná, pokračujte ve studii pouze jedno období. Najděte body a určete jeho chování v blízkosti těchto bodů.
Najděte průsečíky grafu funkce se souřadnicovými osami. Najděte je, pokud existují. Použijte první derivaci ke zkoumání funkce pro extrémy a intervaly monotonie. Proveďte také studii s použitím druhé derivace pro konvexnost, konkávnost a inflexní body. Vyberte body pro upřesnění funkce a vypočítejte v nich hodnoty funkce. Sestavte graf funkce s přihlédnutím k výsledkům získaným ze všech provedených studií.
Na ose 0X by měly být identifikovány charakteristické body: body nespojitosti, x = 0, funkční nuly, extrémní body, inflexní body. Tyto asymptoty poskytnou náčrt grafu funkce.
Takže pomocí konkrétního příkladu funkce y=((x^2)+1)/(x-1) proveďte studii s použitím první derivace. Přepište funkci jako y=x+1+2/(x-1). První derivace bude rovna y’=1-2/((x-1)^2).
Najděte kritické body prvního druhu: y’=0, (x-1)^2=2, výsledkem budou dva body: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Získané hodnoty označte na definičním oboru funkce (obr. 1).
Určete znaménko derivace na každém z intervalů. Na základě pravidla střídání znamének od „+“ k „-“ a od „-“ k „+“ dostanete, že maximální bod funkce je x1=1-sqrt2 a minimální bod je x2=1+ sqrt2. Stejný závěr lze vyvodit ze znaménka druhé derivace.
Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
- Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.
Zpřístupnění informací třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí vládních orgánů v Ruské federaci – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.
