Funktioner komplex typ stämmer inte alltid med definitionen komplex funktion. Om det finns en funktion av formen y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, så kan den inte betraktas som komplex, till skillnad från y = sin 2 x.

Den här artikeln kommer att visa konceptet med en komplex funktion och dess identifiering. Låt oss arbeta med formler för att hitta derivatan med exempel på lösningar i slutsatsen. Användningen av derivattabellen och differentieringsregler minskar avsevärt tiden för att hitta derivatan.

Grundläggande definitioner

Definition 1

En komplex funktion är en vars argument också är en funktion.

Det betecknas så här: f (g (x)). Vi har att funktionen g (x) anses vara ett argument f (g (x)).

Definition 2

Om det finns en funktion f och är en cotangensfunktion, så är g(x) = ln x funktionen naturlig logaritm. Vi finner att den komplexa funktionen f (g (x)) kommer att skrivas som arctg(lnx). Eller en funktion f, som är en funktion upphöjd till 4:e potens, där g (x) = x 2 + 2 x - 3 anses vara en hel rationell funktion, vi får att f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Uppenbarligen kan g(x) vara komplex. Från exemplet y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 är det tydligt att värdet på g har kubroten av bråket. Detta uttryck kan betecknas som y = f (f 1 (f 2 (x))). Därifrån har vi att f är en sinusfunktion, och f 1 är en funktion som ligger under roten ur, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - fraktionerad rationell funktion.

Definition 3

Häckningsgraden bestäms av ev naturligt nummer och skrivs som y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definition 4

Begreppet funktionssammansättning hänvisar till antalet kapslade funktioner enligt villkoren för problemet. För att lösa, använd formeln för att hitta derivatan av en komplex funktion av formen

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exempel

Exempel 1

Hitta derivatan av en komplex funktion av formen y = (2 x + 1) 2.

Lösning

Villkoret visar att f är en kvadratfunktion och g(x) = 2 x + 1 anses vara en linjär funktion.

Låt oss tillämpa derivatformeln för en komplex funktion och skriva:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Det är nödvändigt att hitta derivatan med en förenklad originalform av funktionen. Vi får:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Härifrån har vi det

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Resultaten var desamma.

När man löser problem av denna typ är det viktigt att förstå var funktionen av formerna f och g (x) kommer att ligga.

Exempel 2

Du bör hitta derivatorna av komplexa funktioner av formen y = sin 2 x och y = sin x 2.

Lösning

Den första funktionsbeteckningen säger att f är kvadratfunktionen och g(x) är sinusfunktionen. Då får vi det

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Den andra posten visar att f är en sinusfunktion, och g(x) = x 2 betecknas kraftfunktion. Det följer att vi skriver produkten av en komplex funktion som

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formeln för derivatan y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) kommer att skrivas som y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.). . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Exempel 3

Hitta derivatan av funktionen y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Lösning

Det här exemplet visar svårigheten att skriva och bestämma funktionernas placering. Då betecknar y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) där f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) är sinusfunktionen, funktionen att höja till 3 grader, funktion med logaritm och bas e, arctangent och linjär funktion.

Från formeln för att definiera en komplex funktion har vi det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

Vi får det vi behöver hitta

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) som derivatan av sinus enligt tabellen över derivator, sedan f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 () x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) som derivatan av en potensfunktion, sedan f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) som en logaritmisk derivata, sedan f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) som derivatan av arctangensen, sedan f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
När du hittar derivatan f 4 (x) = 2 x, ta bort 2 från tecknet för derivatan med hjälp av formeln för derivatan av en potensfunktion med en exponent lika med 1, sedan f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Vi slår samman mellanresultaten och får det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analys av sådana funktioner påminner om häckande dockor. Differentieringsregler kan inte alltid tillämpas explicit med hjälp av en derivattabell. Ofta behöver du använda en formel för att hitta derivator av komplexa funktioner.

Det finns vissa skillnader mellan komplext utseende och komplexa funktioner. Med en tydlig förmåga att särskilja detta blir det extra lätt att hitta derivat.

Exempel 4

Det är nödvändigt att överväga att ge ett sådant exempel. Om det finns en funktion av formen y = t g 2 x + 3 t g x + 1, så kan den betraktas som en komplex funktion av formen g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Uppenbarligen är det nödvändigt att använda formeln för ett komplext derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

En funktion av formen y = t g x 2 + 3 t g x + 1 anses inte vara komplex, eftersom den har summan av t g x 2, 3 t g x och 1. Men t g x 2 anses vara en komplex funktion, då får vi en potensfunktion av formen g (x) = x 2 och f, som är en tangentfunktion. För att göra detta, differentiera efter mängd. Det förstår vi

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 för 2 x

Låt oss gå vidare till att hitta derivatan av en komplex funktion (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Vi får att y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funktioner av en komplex typ kan inkluderas i komplexa funktioner, och komplexa funktioner i sig kan vara komponenter av funktioner av en komplex typ.

Exempel 5

Betrakta till exempel en komplex funktion av formen y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Denna funktion kan representeras som y = f (g (x)), där värdet på f är en funktion av bas 3-logaritmen, och g (x) anses vara summan av två funktioner av formen h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 och k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Uppenbarligen är y = f (h (x) + k (x)).

Betrakta funktionen h(x). Detta är förhållandet l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 till m (x) = e x 2 + 3 3

Vi har att l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) är summan av två funktioner n (x) = x 2 + 7 och p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , där p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) är en komplex funktion med numerisk koefficient 3, och p 1 är en kubfunktion, p 2 av en cosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 av en linjär funktion.

Vi fann att m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) är summan av två funktioner q (x) = e x 2 och r (x) = 3 3, där q (x) = q 1 (q 2 (x)) är en komplex funktion, q 1 är en funktion med en exponential, q 2 (x) = x 2 är en potensfunktion.

Detta visar att h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

När man går till ett uttryck av formen k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), är det tydligt att funktionen presenteras i form av ett komplext s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) med ett rationellt heltal t (x) = x 2 + 1, där s 1 är en kvadratfunktion och s 2 (x) = ln x är logaritmisk med bas e.

Det följer att uttrycket kommer att ha formen k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Då får vi det

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Utifrån funktionens strukturer blev det tydligt hur och vilka formler som behöver användas för att förenkla uttrycket när man differentierar det. För att bli bekant med sådana problem och för konceptet med deras lösning är det nödvändigt att vända sig till punkten att differentiera en funktion, det vill säga att hitta dess derivata.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Efter preliminär artilleriförberedelse kommer exempel med 3-4-5 häckningar av funktioner att vara mindre skrämmande. Kanske kommer följande två exempel att verka komplicerade för vissa, men om du förstår dem (någon kommer att lida), då nästan allt annat i differentialkalkyl Det kommer att verka som ett barns skämt.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion

Som redan nämnts, när man hittar derivatan av en komplex funktion, är det först och främst nödvändigt Höger FÖRSTÅ dina investeringar. I fall där det finns tvivel påminner jag dig om en användbar teknik: vi tar det experimentella värdet av "x", till exempel, och försöker (mentalt eller i ett utkast) att ersätta givet värde till ett "hemskt uttryck".

1) Först måste vi beräkna uttrycket, vilket betyder att summan är den djupaste inbäddningen.

2) Sedan måste du beräkna logaritmen:

4) Kubba sedan cosinus:

5) Vid det femte steget skillnaden:

6) Och slutligen, den yttersta funktionen är kvadratroten:

Formel för att differentiera en komplex funktion tillämpas i omvänd ordning, från den yttersta funktionen till den innersta. Vi bestämmer:

Det verkar utan fel:

1) Ta derivatan av kvadratroten.

2) Ta derivatan av skillnaden med hjälp av regeln

3) Derivatan av en trippel är noll. I den andra termen tar vi derivatan av graden (kub).

4) Ta derivatan av cosinus.

6) Och slutligen tar vi derivatan av den djupaste inbäddningen.

Det kan tyckas för svårt, men det här är inte det mest brutala exemplet. Ta till exempel Kuznetsovs samling och du kommer att uppskatta all skönheten och enkelheten i det analyserade derivatet. Jag märkte att de gillar att ge en liknande sak i ett prov för att kontrollera om en student förstår hur man hittar derivatan av en komplex funktion eller inte förstår.

Följande exempel är för oberoende beslut.

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion

Tips: Först tillämpar vi linearitetsreglerna och produktdifferentieringsregeln

Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Det är dags att gå vidare till något mindre och finare.
Det är inte ovanligt att ett exempel visar produkten av inte två, utan tre funktioner. Hur man hittar derivatan av produkter av tre multiplikatorer?

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion

Först tittar vi, är det möjligt att förvandla produkten av tre funktioner till produkten av två funktioner? Till exempel, om vi hade två polynom i produkten, så kunde vi öppna parenteserna. Men i det aktuella exemplet är alla funktioner olika: grad, exponent och logaritm.

I sådana fall är det nödvändigt sekventiellt tillämpa produktdifferentieringsregeln dubbelt

Tricket är att vi med "y" betecknar produkten av två funktioner: , och med "ve" betecknar vi logaritmen: . Varför kan detta göras? Är det verkligen - detta är inte en produkt av två faktorer och regeln fungerar inte?! Det är inget komplicerat:

Nu återstår att tillämpa regeln en andra gång till parentes:

Du kan också vrida dig och sätta något inom parentes, men i det här fallet är det bättre att lämna svaret exakt i det här formuläret - det blir lättare att kontrollera.

Det övervägda exemplet kan lösas på det andra sättet:

Båda lösningarna är absolut likvärdiga.

Exempel 5

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel på en oberoende lösning, i provet löses den med den första metoden.

Låt oss titta på liknande exempel med bråk.

Exempel 6

Hitta derivatan av en funktion

Det finns flera sätt du kan gå här:

Eller så här:

Men lösningen kommer att skrivas mer kompakt om vi först använder regeln om differentiering av kvoten , med för hela täljaren:

I princip är exemplet löst, och om det lämnas som det är blir det inget fel. Men om du har tid är det alltid lämpligt att kolla på ett utkast för att se om svaret går att förenkla?

Låt oss reducera uttrycket för täljaren till gemensam nämnare och bli av med trevåningsfraktionen:

Nackdelen med ytterligare förenklingar är att det finns en risk att man gör fel inte när man hittar derivatan, utan under banala skolomvandlingar. Å andra sidan avvisar lärare ofta uppdraget och ber att "föra tankarna till det" derivatan.

Ett enklare exempel att lösa på egen hand:

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion

Vi fortsätter att bemästra metoderna för att hitta derivatan, och nu kommer vi att överväga ett typiskt fall när den "hemska" logaritmen föreslås för differentiering

Komplexa derivat. Logaritmisk derivata.
Derivat av en potensexponentiell funktion

Vi fortsätter att förbättra vår differentieringsteknik. I den här lektionen kommer vi att konsolidera materialet vi har täckt, titta på mer komplexa derivator och också bekanta oss med nya tekniker och knep för att hitta en derivata, i synnerhet med den logaritmiska derivatan.

De läsare som har en låg förberedelsenivå bör hänvisa till artikeln Hur hittar man derivatan? Exempel på lösningar, vilket gör att du kan höja dina färdigheter nästan från grunden. Därefter måste du noggrant studera sidan Derivat av en komplex funktion, förstå och lösa Allt exemplen jag gav. Den här lektionen är logiskt den tredje i raden, och efter att ha bemästrat den kommer du säkert att skilja ganska komplexa funktioner. Det är inte önskvärt att inta positionen ”Var annars? Ja, det räcker!”, eftersom alla exempel och lösningar är hämtade från verkliga tester och påträffas ofta i praktiken.

Låt oss börja med upprepning. På lektionen Derivat av en komplex funktion Vi tittade på ett antal exempel med detaljerade kommentarer. Under studien av differentialkalkyl och andra grenar av matematisk analys måste du skilja mycket ofta, och det är inte alltid bekvämt (och inte alltid nödvändigt) att beskriva exempel i detalj. Därför kommer vi att öva på att hitta derivator muntligt. De mest lämpliga "kandidaterna" för detta är derivator av de enklaste komplexa funktionerna, till exempel:

Enligt regeln om differentiering av komplexa funktioner :

När man studerar andra matanämnen i framtiden krävs oftast inte ett så detaljerat register, det antas att studenten vet hur man hittar sådana derivator på autopilot. Låt oss föreställa oss att klockan tre på morgonen ringde telefonen och en trevlig röst frågade: "Vad är derivatan av tangenten för två X?" Detta bör följas av ett nästan omedelbart och artigt svar: .

Det första exemplet kommer omedelbart att vara avsett för oberoende lösning.

Exempel 1

Hitta följande derivator muntligt, i en åtgärd, till exempel: . För att slutföra uppgiften behöver du bara använda tabell över derivator av elementära funktioner(om du inte har kommit ihåg det än). Om du har några svårigheter rekommenderar jag att du läser lektionen igen Derivat av en komplex funktion.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Svar i slutet av lektionen

Komplexa derivat

Efter preliminär artilleriförberedelse kommer exempel med 3-4-5 häckningar av funktioner att vara mindre skrämmande. Följande två exempel kan verka komplicerade för vissa, men om du förstår dem (någon kommer att lida), så kommer nästan allt annat i differentialkalkyl att verka som ett barns skämt.

Exempel 2

Hitta derivatan av en funktion

Som redan nämnts, när man hittar derivatan av en komplex funktion, är det först och främst nödvändigt Höger FÖRSTÅ dina investeringar. I fall där det finns tvivel påminner jag dig om en användbar teknik: vi tar till exempel det experimentella värdet av "x", och försöker (mentalt eller i ett utkast) att ersätta detta värde med det "fruktansvärda uttrycket".

1) Först måste vi beräkna uttrycket, vilket betyder att summan är den djupaste inbäddningen.

2) Sedan måste du beräkna logaritmen:

4) Kubba sedan cosinus:

5) Vid det femte steget skillnaden:

6) Och slutligen, den yttersta funktionen är kvadratroten:

Formel för att differentiera en komplex funktion tillämpas i omvänd ordning, från den yttersta funktionen till den innersta. Vi bestämmer:

Det verkar inte finnas några fel...

(1) Ta derivatan av kvadratroten.

(2) Vi tar derivatan av skillnaden med hjälp av regeln

(3) Derivatan av en trippel är noll. I den andra termen tar vi derivatan av graden (kub).

(4) Ta derivatan av cosinus.

(5) Ta derivatan av logaritmen.

(6) Och slutligen tar vi derivatan av den djupaste inbäddningen.

Följande exempel är för dig att lösa på egen hand.

Exempel 3

Hitta derivatan av en funktion

Tips: Först tillämpar vi linearitetsreglerna och produktdifferentieringsregeln

Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Det är dags att gå vidare till något mindre och finare.
Det är inte ovanligt att ett exempel visar produkten av inte två, utan tre funktioner. Hur hittar man derivatan av produkten av tre faktorer?

Exempel 4

Hitta derivatan av en funktion

I sådana fall är det nödvändigt sekventiellt tillämpa produktdifferentieringsregeln dubbelt

Tricket är att vi med "y" betecknar produkten av två funktioner: , och med "ve" betecknar vi logaritmen: . Varför kan detta göras? Är det verkligen – detta är inte en produkt av två faktorer och regeln fungerar inte?! Det är inget komplicerat:

Nu återstår att tillämpa regeln en andra gång till parentes:

Du kan också bli vriden och ta något ur parentesen, men i det här fallet är det bättre att lämna svaret exakt i det här formuläret - det blir lättare att kontrollera.

Det övervägda exemplet kan lösas på det andra sättet:

Båda lösningarna är absolut likvärdiga.

Exempel 5

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel på en oberoende lösning, i provet löses den med den första metoden.

Låt oss titta på liknande exempel med bråk.

Exempel 6

Hitta derivatan av en funktion

Det finns flera sätt du kan gå här:

Eller så här:

Men lösningen kommer att skrivas mer kompakt om vi först använder regeln om differentiering av kvoten , med för hela täljaren:

I princip är exemplet löst, och om det lämnas som det är blir det inget fel. Men om du har tid är det alltid lämpligt att kolla på ett utkast för att se om svaret går att förenkla? Låt oss reducera uttrycket av täljaren till en gemensam nämnare och låt oss bli av med trevåningsbråket:

Ett enklare exempel att lösa på egen hand:

Exempel 7

Hitta derivatan av en funktion

Vi fortsätter att bemästra metoderna för att hitta derivatan, och nu kommer vi att överväga ett typiskt fall när den "hemska" logaritmen föreslås för differentiering

Exempel 8

Hitta derivatan av en funktion

Här kan du gå långt genom att använda regeln för att differentiera en komplex funktion:

Men det allra första steget kastar dig omedelbart i förtvivlan - du måste ta den obehagliga derivatan från en bråkdel, och sedan också från en bråkdel.

Det är därför innan hur man tar derivatan av en "sofistikerad" logaritm, det förenklas först med välkända skolegenskaper:

! Om du har en övningsanteckningsbok till hands, kopiera dessa formler direkt dit. Om du inte har en anteckningsbok, kopiera dem till ett papper, eftersom de återstående exemplen av lektionen kommer att kretsa kring dessa formler.

Själva lösningen kan skrivas ungefär så här:

Låt oss omvandla funktionen:

Hitta derivatan:

Att förkonvertera själva funktionen förenklade lösningen avsevärt. Således, när en liknande logaritm föreslås för differentiering, är det alltid tillrådligt att "bryta ner den".

Och nu ett par enkla exempel som du kan lösa på egen hand:

Exempel 9

Hitta derivatan av en funktion

Exempel 10

Hitta derivatan av en funktion

Alla förvandlingar och svar finns i slutet av lektionen.

Logaritmisk derivata

Om derivatan av logaritmer är så söt musik, uppstår frågan: är det i vissa fall möjligt att organisera logaritmen på konstgjord väg? Burk! Och till och med nödvändigt.

Exempel 11

Hitta derivatan av en funktion

Vi tittade nyligen på liknande exempel. Vad ska man göra? Du kan sekventiellt tillämpa regeln om differentiering av kvoten, och sedan regeln för differentiering av produkten. Nackdelen med den här metoden är att du slutar med en enorm tre våningar bråkdel, som du inte vill hantera alls.

Men i teori och praktik finns det en sådan underbar sak som den logaritmiska derivatan. Logaritmer kan organiseras artificiellt genom att "hänga" dem på båda sidor:

Notera : därför att funktion kan acceptera negativa värden, då, generellt sett, måste du använda moduler: , som kommer att försvinna till följd av differentiering. Men den nuvarande designen är också acceptabel, där det som standard tas med i beräkningen komplex betydelser. Men om i all rigor, så bör i båda fallen en reservation göras som.

Nu måste du "sönderdela" logaritmen på höger sida så mycket som möjligt (formler framför dina ögon?). Jag kommer att beskriva denna process i detalj:

Låt oss börja med differentiering.
Vi avslutar båda delarna under prime:

Den högra derivatan är ganska enkel, jag kommer inte kommentera den, för om du läser den här texten bör du kunna hantera den med tillförsikt.

Hur är det med vänster sida?

På vänster sida har vi komplex funktion. Jag förutser frågan: "Varför, finns det en bokstav "Y" under logaritmen?"

Faktum är att detta "enbokstavsspel" - ÄR SJÄLV EN FUNKTION(om det inte är särskilt tydligt, se artikeln Derivat av en funktion specificerad implicit). Därför är logaritmen en extern funktion och "y" är en intern funktion. Och vi använder regeln för att differentiera en komplex funktion :

På vänster sida, som genom ett trollslag, har vi en derivata. Därefter, enligt proportionsregeln, överför vi "y" från nämnaren på vänster sida till toppen av höger sida:

Och låt oss nu komma ihåg vilken typ av "spelare"-funktion vi pratade om under differentieringen? Låt oss titta på tillståndet:

Slutligt svar:

Exempel 12

Hitta derivatan av en funktion

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Exempel på designexempel av denna typ i slutet av lektionen.

Med hjälp av den logaritmiska derivatan var det möjligt att lösa vilket som helst av exemplen nr 4-7, en annan sak är att funktionerna där är enklare, och kanske är användningen av den logaritmiska derivatan inte särskilt motiverad.

Derivat av en potensexponentiell funktion

Vi har inte övervägt denna funktion ännu. En effekt-exponentiell funktion är en funktion för vilken både graden och basen beror på "x". Ett klassiskt exempel som kommer att ges till dig i någon lärobok eller föreläsning:

Hur hittar man derivatan av en potensexponentialfunktion?

Det är nödvändigt att använda tekniken som just diskuterats - den logaritmiska derivatan. Vi hänger logaritmer på båda sidor:

Som regel tas graden ut under logaritmen på höger sida:

Som ett resultat har vi på höger sida produkten av två funktioner, som kommer att differentieras enligt standardformeln .

Vi hittar derivatan; för att göra detta omsluter vi båda delarna under streck:

Ytterligare åtgärder är enkla:

Till sist:

Om någon konvertering inte är helt klar, läs noggrant igenom förklaringarna i exempel nr 11 igen.

I praktiska uppgifter kommer den effektexponentiella funktionen alltid att vara mer komplicerad än föreläsningsexemplet.

Exempel 13

Hitta derivatan av en funktion

Vi använder den logaritmiska derivatan.

På höger sida har vi en konstant och produkten av två faktorer - "x" och "logaritm av logaritm x" (en annan logaritm är kapslad under logaritmen). När man differentierar, som vi minns, är det bättre att omedelbart flytta konstanten ut ur derivattecknet så att den inte kommer i vägen; och naturligtvis tillämpar vi den bekanta regeln :

Den här lektionen ägnas åt ämnet "Differentiering av komplexa funktioner. Ett problem från praktiken att förbereda sig för Unified State Exam i matematik.” Den här lektionen utforskar olika komplexa funktioner. En tabell med derivator av en komplex funktion kompileras. Dessutom övervägs ett exempel på att lösa ett problem från praktiken att förbereda sig för Unified State Exam i matematik.

Ämne: Derivat

Lektion: Differentiera en komplex funktion. En övningsuppgift för att förbereda sig för Unified State Exam i matematik

Komplexfungera vi har redan differentierat, men argumentet var en linjär funktion, nämligen vi vet hur man differentierar funktionen . Till exempel, . Nu kommer vi att hitta derivator av en komplex funktion på samma sätt, där istället för linjär funktion det kan finnas en annan funktion.

Låt oss börja med funktionen

Så vi hittade derivatan av sinus från en komplex funktion, där argumentet för sinus var en kvadratisk funktion.

Om du behöver hitta värdet på derivatan vid en specifik punkt, måste denna punkt ersättas med den hittade derivatan.

Så i två exempel såg vi hur regeln fungerar differentiering komplex funktioner.

3. . Låt oss påminna dig om det.

8. .

Därför kommer vi att avsluta tabellen över differentiering av komplexa funktioner i detta skede. Vidare kommer det naturligtvis att generaliseras ännu mer, men låt oss nu gå vidare till specifika problem på derivatan.

I praktiken att förbereda sig för Unified State Exam föreslås följande uppgifter.

Hitta minimum av en funktion .

ODZ: .

Låt oss hitta derivatan. Låt oss komma ihåg att, .

Låt oss likställa derivatan med noll. Punkten ingår i ODZ.

Låt oss hitta intervallen för konstant tecken för derivatan (intervall för monotoni av funktionen) (se fig. 1).

Ris. 1. Monotonicitetsintervall för en funktion .

Låt oss titta på en punkt och ta reda på om det är en extrempunkt. Ett tillräckligt tecken på ett extremum är att derivatan ändrar tecken när den passerar en punkt. I det här fallet ändrar derivatan tecken, vilket betyder att det är en extrempunkt. Eftersom derivatan ändrar tecken från "-" till "+", så är detta minimipunkten. Låt oss hitta värdet på funktionen vid minimipunkten: . Låt oss rita ett diagram (se fig. 2).

Fig.2. Extremum av funktionen .

På intervallet - minskar funktionen, på - ökar funktionen, extremumpunkten är unik. Funktionen tar sitt minsta värde endast vid punkten.

Under lektionen tittade vi på differentieringen av komplexa funktioner, sammanställde en tabell och tittade på reglerna för att differentiera en komplex funktion, och gav ett exempel på att använda en derivata från praktiken att förbereda för Unified State Exam.

1. Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Handledning för läroanstalter (profilnivå) ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Problembok för läroanstalter (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra och kalkyl för årskurs 10 ( handledning för elever i skolor och klasser med fördjupade studier i matematik).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Fördjupning i algebra och matematisk analys.-M.: Education, 1997.

5. Samling av problem i matematik för sökande till högre läroanstalter (redigerad av M.I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra och början av analys. 8-11 årskurser: En manual för skolor och klasser med fördjupning i matematik (didaktiskt material).- M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problem med algebra och analysprinciper (en manual för elever i årskurs 10-11 vid allmänna läroanstalter). - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Samling av problem om algebra och principer för analys: lärobok. traktamente för 10-11 årskurser. med djup studerat Matematik.-M.: Utbildning, 2006.

10. Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. Årskurs 9-10 (handbok för lärare).-M.: Utbildning, 1983

Ytterligare webbresurser

2. Portal Naturvetenskap ().

Gör det hemma

Nr 42.2, 42.3 (Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Problembok för allmänna läroanstalter (profilnivå) redigerad av A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Grundläggande definitioner

Exempel

Komplexa derivat. Logaritmisk derivata. Derivat av en potensexponentiell funktion

Komplexa derivat

Logaritmisk derivata

Derivat av en potensexponentiell funktion

Komplexa derivat. Logaritmisk derivata.
Derivat av en potensexponentiell funktion